Đang tải... (xem toàn văn)
Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt trong toán học. Trong hầu hết các cuộc thi học sinh giỏi các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay được đề cập và thường thuộc loại khó và rất khó.Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi tài liệu này cung cấp một số cơ sở dữ liệu về bất đẳng thức và một số vấn đề đại số liên quan đồng thời cũng phân loại từng dạng toán bất đẳng thức tho nhận dạng cũng như thuật toán để giải chúng.
Lời nói đầu Các vấn đề liên quan đến bất đẳng thức phận quan trọng giải tích đại số Nhiều dạng tốn hình học, lượng giác nhiều mơn học khác đòi hỏi giải vấn đề ước lượng, cực trị tối ưu, Các học sinh sinh viên thường phải đối mặt với nhiều dạng tốn loại khó liên quan đến chuyên đề Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt tốn học khơng đối tượng để nghiên cứu mà đóng vai trò cơng cụ đắc lực mơ hình tốn học liên tục mơ hình tốn học rời rạc lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Trong hầu hết kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia, thi Olympic Toán khu vực quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên trường đại học cao đẳng, toán liên quan đến bất đẳng thức hay đề cập thường thuộc loại khó khó Các tốn ước lượng tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) tổng, tích tốn xác định giới hạn số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ nhiều đến tính tốn, ước lượng (bất đẳng thức) tương ứng Lý thuyết bất đẳng thức đặc biệt, tập bất đẳng thức phong phú đa dạng Hiện có hàng trăm giáo trình sách chuyên đề, tham khảo đại số, giải tích, số học hình học trình bày lý thuyết tập bất đẳng thức Gần đây, số lượng sách tham khảo chuyên đề bất đẳng thức nhiều tác giả viết khai thác theo chủ đề quan điểm phân loại khác Tuy vậy, tài liệu bất đẳng thức chuyên đề chọn lọc cho giáo viên học sinh hệ Chuyên Toán bậc trung học phổ thơng chưa có nhiều, chưa thể đầy đủ hệ thống ý tưởng bản, cách thức tiếp cận số hướng ứng dụng theo dạng toán phương pháp giải điển hình Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm đáp ứng yêu cầu sáng tạo dạng tập chuyên đề bất đẳng thức tốn cực trị, chúng tơi viết sách nhỏ nhằm cung cấp số sở liệu bất đẳng thức số vấn đề đại số liên quan đến bất đẳng thức Đồng thời, cho phân loại số dạng toán bất đẳng thức theo nhận dạng thuật toán để giải chúng Đây giảng mà tác giả bồi dưỡng cho giáo viên giảng dạy chuyên toán cho học sinh, sinh viên đội tuyển thi Olympic Toán quốc gia, khu vực quốc tế Một số dạng tập chọn lọc đề kỳ thi học sinh giỏi quốc gia Olympic Toán quốc tế Một số tốn minh hoạ khác trích từ tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, Tốn học nhà trường, Kvant, Mathematica, sách giáo khoa sách giáo trình bản, đề thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế số đề thi Olympic Toán sinh viên năm gần (xem [1]-[19]) Cuốn sách gồm phần mở đầu, chương phụ lục Chương Bất đẳng thức Cauchy Chương Hàm đơn điệu tựa đơn điệu Chương Bất đẳng thức trung bình cộng nhân Chương Hàm lồi, lõm tựa lồi, lõm Chương Bất đẳng thức Karamata Chương Sắp thứ tự số số có trọng Chương Bất đẳng thức hàm Chương Bất đẳng thức dãy số Chương Bất đẳng thức tích phân Phụ lục Bảng bất đẳng thức liên quan Trong tài liệu này, sử dụng số kỹ thuật tập trích từ báo cáo đăng Kỷ yếu Hội nghị khoa học chuyên đề Bất đẳng thức ([17]-[30]) Ngồi ra, chúng tơi đưa vào xét số vấn đề liên quan đến hệ thống ứng dụng cách tiếp cận phương pháp nhằm giúp độc giả hiểu sâu sắc sở cấu trúc lý thuyết bất đẳng thức Tuy nhiên, tài liệu không đề cập nhiều sâu đến tốn có nội dung liên quan đến kiến thức đại giải tích không đề cập đến bất đẳng thức tốn cực trị tập rời rạc có ràng buộc phức tạp lý thuyết quy hoạch tối ưu Các dạng bất đẳng thức số học hình học khơng có mặt tài liệu Cuốn sách dành cho học sinh khiếu Toán học bậc trung học phổ thông, sinh viên học viên cao học, số đề mục viết dành riêng cho thầy giáo cô giáo trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Trong sách này, có trình bày số kết qủa chưa có sách hành, chủ yếu trích từ kết tác giả đồng nghiệp seminar khoa học Hệ THPT Chuyên Toán - Tin, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội số báo cáo đăng Kỷ yếu Hội Nghị Khoa Học "Các chuyên đề Toán chọn lọc Hệ THPT Chuyên", nên đòi hỏi độc giả phải giành nhiều thời gian tìm hiểu lĩnh hội đầy đủ ý tứ cách thức tiếp cận phương pháp Tuy nhiên, bạn đọc bỏ qua đề mục để tập trung đọc phần có nội dung quen thuộc trước sau quay lại phần kiến thức nâng cao Trong sách này, tên gọi bất đẳng thức cổ điển viết theo cách gọi truyền thống lấy từ sách chuyên khảo chuyên đề hành không phiên âm tên riêng tiếng Việt Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Trần Huy Hổ, PGS TS Nguyễn Thuỷ Thanh thành viên Seminar Giải tích - Đại số seminar Các chun đề Tốn phổ thơng, cho nhiều ý kiến đóng góp để sách hoàn chỉnh Tác giả đặc biệt cảm ơn anh Nguyễn Xuân Bình chị Phan Thị Minh Nguyệt đọc kỹ thảo có nhiều ý kiến quý báu để giúp tác giả chỉnh lý hiệu đính sách Tác giả vô biết ơn bạn đọc có ý kiến đóng góp nội dung cách thức trình bày sách Mọi góp ý xin gửi địa chỉ: Nhà xuất Giáo dục, 81 Trần Hưng Đạo, Hà Nội Hà Nội, ngày tháng năm 2006 Mục lục Lời nói đầu Chắằng 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Bất đẳng thức Cauchy Tam thức bậc hai Bất đẳng thức Cauchy Dạng phức dạng đảo bất đẳng thức Cauchy Tam thức bậc (α) tam thức bậc (α, β) Nhận xét số bất đẳng thức liên quan Phương pháp bất đẳng thức Cauchy 1.6.1 Độ gần thứ tự dãy cặp điểm 1.6.2 Kỹ thuật tách ghép số 1.6.3 Thứ tự lại thứ tự số 1.6.4 Điều chỉnh lựa chọn tham số 1.7 Bài tập Chắằng 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 9 20 21 25 28 33 33 37 45 48 54 Hàm đơn điệu tựa đơn điệu Hàm đơn điệu Hàm tựa đơn điệu Hàm đơn điệu khúc phép đơn điệu hoá hàm số Hàm đơn điệu tuyệt đối Hàm đơn điệu có tính tuần hồn Một số ứng dụng hàm đơn điệu Bài tập 57 57 65 67 78 80 81 83 87 87 88 89 94 94 95 Chắằng Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 Định lí giá trị trung bình cộng nhân 3.1.1 Quy nạp kiểu Cauchy 3.1.2 Một số dạng đa thức đối xứng sơ cấp 3.1.3 Quy nạp kiểu Ehlers 3.1.4 Đồng thức Hurwitz 3.1.5 Đẳng thức (phương trình) hàm Mục lục 96 97 98 99 100 102 106 107 113 120 Chắằng 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Hàm lồi, lõm tựa lồi, lõm Các tính chất hàm lồi Thứ tự dãy số sinh hàm lồi Hàm lồi, lõm bậc cao Biểu diễn hàm lồi lõm Một số lớp hàm số biểu diễn dạng tuyến tính Hàm tựa lồi tựa lõm Bài tập 124 124 131 134 136 138 144 151 Chắằng 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 Bất đẳng thức Karamata Định lí Karamata Bất đẳng thức đan dấu Độ gần thứ tự dãy Điều chỉnh phần biến số Một số định lí mở rộng hàm lồi Các định lí dạng Karamata Bài tập giác 153 153 158 159 164 174 181 190 Chắằng 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Sắp thứ tự số số có trọng Bất đẳng thức Abel Một số quy luật thứ tự số có trọng Sắp thứ tự ước lượng phần tử số Sắp thứ tự trung bình số với trọng Sắp thứ tự tổng số theo bậc chúng Bài tập 192 192 194 202 211 216 217 3.2 3.3 3.4 3.5 3.1.6 Đồng thức Jacobsthal 3.1.7 Cực trị hàm số 3.1.8 Hàm exponent 3.1.9 Hoán vị số Bất đẳng thức AG suy rộng Hàm phân thức quy Một số kỹ thuật vận dụng bất đẳng thức AG 3.4.1 Điều chỉnh lựa chọn tham số 3.4.2 Kỹ thuật tách, ghép phân nhóm Bài tập tam Chắằng Bất đẳng thức hàm 219 7.1 Hàm khoảng cách 222 7.1.1 Hàm khoảng cách biến 222 7.1.2 Hàm khoảng cách hai biến 223 Mục lục 7.2 7.3 7.4 7.5 Chắằng 8.1 8.2 8.3 8.4 7.1.3 Hàm khoảng cách nhiều biến Bất đẳng thức hàm liên quan đến tam giác 7.2.1 Hàm tựa đồng biến dạng hàm số sin 7.2.2 Hàm tựa lõm dạng hàm số cosin Hàm số bảo toàn bất đẳng thức hình học 7.3.1 Hàm số chuyển đổi tam giác 7.3.2 Nhận xét hàm liên quan đến diện tích đa Bất phương trình hàm với cặp biến tự Bài tập Bất đẳng thức dãy số Dãy sinh hàm số Ước lượng tích tổng số dãy Bất đẳng thức tập rời rạc Bài tập số Chắằng Bất đẳng thức tích phân 9.1 Ước lượng số biểu thức chứa tích phân 9.2 Phương pháp tích phân bất đẳng thức 9.3 Phương pháp tích phân toán cực trị 9.4 Bài tập Phụ lục: Bảng bất đẳng thức liên quan Tài liệu tham khảo giác 224 226 227 229 238 238 245 246 254 257 257 265 273 280 285 285 298 309 318 320 330 Chương Bất đẳng thức Cauchy 1.1 Tam thức bậc hai Bất đẳng thức quan trọng chương trình đại số bậc trung học phổ thơng bất đẳng thức dạng sau x2 0, ∀x ∈ R (1.1) Dấu đẳng thức xảy x = Gắn với bất đẳng thức (1.1) bất đẳng thức dạng sau (x1 − x2 )2 0, ∀x1 , x2 ∈ R, hay x21 + x22 2x1 x2 , ∀x1 , x2 ∈ R Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 Bất đẳng thức (1.1) dạng bậc hai đơn giản bất đẳng thức bậc hai mà học sinh làm quen từ chương trình lớp Định lí Viete đóng vai trò quan trọng việc tính tốn ước lượng giá trị số biểu thức dạng đối xứng theo nghiệm phương trình bậc hai tương ứng Đặc biệt, chương trình Đại số lớp 10, mảng tập ứng dụng định lí (thuận đảo) dấu tam thức bậc hai công cụ hữu hiệu nhiều dạng tốn bậc trung học phổ thơng Xét tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, a = Khi af (x) = ax + b 2 − ∆ , với ∆ = b2 − 4ac Từ đẳng thức này, ta có kết quen thuộc sau 10 Chương Bất đẳng thức Cauchy Định lí 1.1 Xét tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, a = i) Nếu ∆ < af (x) > 0, ∀x ∈ R ii) Nếu ∆ = af (x) ∀x ∈ R Dấu đẳng thức xảy b x=− 2a iii) Nếu ∆ > af (x) = a2 (x − x1 )(x − x2 ) với x1,2 √ b ∆ =− ∓ 2a 2|a| (1.2) Trong trường hợp này, af (x) < x ∈ (x1 , x2 ) af (x) > x < x1 x > x2 Ta nhắc lại kết sau Định lí 1.2 (Định lí đảo) Điều kiện cần đủ để tồn số α cho af (α) < ∆ > x1 < α < x2 , x1,2 nghiệm f (x) xác định theo (1.2) Nhận xét rằng, định lí mơ tả thông qua bất đẳng thức (kết so sánh biệt thức ∆ với 0) Các định lí sau cho ta tiêu chuẩn nhận biết, thông qua biểu diễn hệ số, tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, a = 0, có nghiệm Định lí 1.3 Với tam thức bậc hai f (x) có nghiệm thực tồn nguyên hàm F (x), đa thức bậc ba, có ba nghiệm thực Chứng minh Khi f (x) có nghiệm kép, tức f (x) = a(x − x0 )2 , ta cần chọn nguyên hàm dạng a F (x) = (x − x0 )3 Khi f (x) có hai nghiệm phân biệt, tức f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ), x1 < x2 , a = 0, ta chọn nguyên hàm F (x) thoả mãn điều kiện F x1 + x2 = Khi đó, rõ ràng hàm F (x) có cực đại cực tiểu x1 x2 điểm uốn đồ thị tương ứng M x1 +x , Từ suy điều cần chứng minh 11 1.1 Tam thức bậc hai Định lí 1.4 Tam thức bậc hai f (x) = 3x2 + 2bx + c có nghiệm (thực) hệ số b, c có dạng b=α+β+γ c = αβ + βγ + γα (1.3) Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy, ta có ∆ =b2 − 3c = (α + β + γ)2 − 3(αβ + βγ + γα) =α2 + β + γ − (αβ + βγ + γα) 1 = (α − β)2 + (β − γ)2 + (γ − α)2 2 Điều kiện cần Giả sử phương trình bậc hai có nghiệm thực x1 , x2 Khi đó, tồn đa thức bậc ba có ba nghiệm thực, nguyên hàm f (x), tức là: F (x) = (x + α)(x + β)(x + γ) Từ ta suy điều cần chứng minh Tiếp theo, chương này, ta xét dạng toán bất đẳng thức cực trị có sử dụng tính chất tam thức bậc hai Xét đa thức bậc hai hai biến (xem tam thức bậc hai x) F (x, y) = ax2 + bxy + cy , a = 0, ∆ : = (b2 − 4ac)y Khi đó, ∆ Vậy b2 aF (x, y) 0, ∀x, y ∈ R 4ac a < hiển nhiên ax2 + cy |bxy|, ∀x, y ∈ R Trường hợp riêng, a = c = 1, b = ±2 ta nhận lại kết x2 + y hay u+v √ 2|xy| uv, u, v Về sau, ta sử dụng tính chất dạng phân thức bậc hai y= a1 x2 + b1 x + c1 a2 x2 + b2 x + c2 12 Chương Bất đẳng thức Cauchy với điều kiện a2 > 0, f2 (x) = a2 x2 + b2 x + c2 > 0, ∀x ∈ R, để tìm cực trị số dạng tốn bậc hai Bài tốn 1.1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số a1 x2 + b1 x + c1 a2 x2 + b2 x + c2 y= với điều kiện a2 > 0, f2 (x) = a2 x2 + b2 x + c2 > 0, ∀x ∈ R c1 a1 Giải Nhận xét x = y(0) = x → ∞ y → Tiếp c2 a2 a1 c1 theo, ta xét giá trị y = y = c2 a2 c1 a1 Giả sử y giá trị biểu thức, y = y = Khi phương trình c2 a2 tương ứng a1 x2 + b1 x + c1 =y a2 x2 + b2 x + c2 phải có nghiệm, hay phương trình (a2 y − a1 )x2 + (b2 y − b1 )x + (c2 y − c1 ) = (1.4) phải có nghiệm Do (1.4) phương trình bậc hai nên điều tương đương với ∆ = (b2 y − b1 )2 − 4(a2 y − a1 )(c2 y − c1 ) hay g(y) := (b22 − 4a2 c2 )y + 2(b1 b2 + 2a2 c1 + 2a1 c2 )y + b21 − 4a1 c1 phải có nghiệm Vì g(y) có b22 − 4a2 c2 < nên theo Định lí đảo tam thức bậc hai, ∆ = (b1 b2 + 2a1 c2 + a2 c1 )2 − (4a1 c1 − b21 )(4a2 c2 − b22 ) y1 y y2 , (1.5)