1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀHỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Điều kiện: Nếu đề cho hàm số sau điều kiện tương ứng là: + y = f (x) không cần điều kiện y = f ( x) + g(x)>0 điều kiện f (x) hàm đa thức ví dụ y= f (x) ≥ + f (x) g( x ) f ( x) = x + f (x) g( x ) y= điều kiện g(x)≠0 + điều kiện Lưu ý: bậc chẵn điều kiện giống bậc bậc lẻ khơng cần điều kiện DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT Xét f (x ) = ax + b việc xét dấu f(x) ta thực sau: Dạng tìm m để Vơ nghiệm f ( x) ≥ −b a trái dấu a dấu a vô nghiệm, vô số nghiệm, ta nhớ: a = ⇔ b < vô số nghiệm a = ⇔ b ≥ Trường hợp khác nghiệm nửa khoảng tùy Các dạng 0 ; ≤0 làm tương tự BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Việc tìm max tốn thực chất tìm giao điểm đồ thị thay số vào thơi DẤU CỦA TAM THỨC BAÄC HAI f ( x) = ax + bx + c ( a ¹ 0) Cho a < f (x) ≤ ⇔  ∆ ≤ điều kiện để Trường hợp ∆>0 a > f (x) > ⇔  ∆ < CUNG VÀ GÓC LƯNG GIÁC 10 = p rad 180 ổ 180ữ 1rad = ỗ ữ ỗ ữ ç èp ø ; a > f (x) ≥ ⇔  ∆ ≤ ; ta tìm nghiệm phương trình f(x)=0 nhớ câu trái ngồi Ok ; a < f ( x) < ⇔  ∆ < Góc phần tư Giá trị lượng giác I II III IV cosa + - - + sina + + - - tana + - + - cota + - + - l = Ra với l độ dài cung tròn bán kính R có số đo α rad GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Đối với giá trị lượng giác, ta có đẳng thức sau 1+ tan2 a = sin a + cos a = 1 , cos2 a 1+ cot2 a = Nhớ câu cos đối, sin bù, phụ chéo, tan cot , sin2 a tan a.cot a = 1, π sin2a = 2sin acosa CÔNG THỨC LƯNG GIÁC cos2a = cos2 a- sin2 a = 2cos2 a- 1= 1- 2sin2 a 2tan a tan2a = 1- tan2 a cos( a- b) = cosacosb+ sin asin b cos( a+ b) = cosacosb- sin asin b sin( a- b) = sin acosb- cosasin b sin( a + b) = sin acosb+ cosasin b tan a- tan b 1+ tan atan b tan a+ tan b tan( a + b) = 1- tan atan b tan( a- b) = u +v u- v cos 2 u +v u- v cos u - cos v = - sin sin 2 u +v u- v sin u + sin v = 2sin cos 2 u +v u- v sin u - sin v = cos sin 2 cos u + cos v = cos cosacosb = é cos( a- b) + cos( a + b) ù û 2ë sin asin b = é cos( a- b) - cos( a + b) ù û 2ë sin acosb = é sin( a- b) + sin( a + b) ù û 2ë Một số mẹo bấm máy tính sinx = a;cosx = a;tanx = a Khi đề cho bắt tìm yếu tố liên quan tới góc a ta việc bấm shift sin, cos, tan tương ứng lưu lại shift Sto A sau nhập hàm cần tính ok Lưu ý toán cho cotx=a trước hết ta chuyển tanx=1/a bấm Cẩn trọng với cho góc phần tư thứ trước lưu biến ta phải lấy 180 trừ vừa bấm shift sin, cos, tan Đối với tốn cho góc tam giác ta việc chọn góc cho tổng 180 ok Với toán rút gọn biểu thức ta việc bấm máy cho số trước có ẩn ta chọn ẩn số( thường chọn số 1) A CÁC HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM b c GIÁC B a C ABC Cho tam giác có BC = a, AC = b AB = c a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A; b2 = c2 + a2 - 2ca.cos B; 2 c = a + b - 2ab.cosC cos A = b2 + c2 - a2 c2 + a2 - b2 a2 + b2 - c2 ; cos B = ; cosC = 2bc 2ca 2ab a b c = = = 2R sin A sin B sinC ma2 = b + c a 2 a + c b2 a + b c ; mb = ; mc = 4 1 1 1 abc S = aha = bhb = chc = bc sin A = ca sin B = ab sin C = = pr = p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) 2 2 2 4R PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Đường thẳng D qua điểm tham số đường thẳng thẳng D r u = ( a;b) có VTCP Đường thẳng D D có dạng có VTCP ïìï x = x0 + at í ïïỵ y = y0 + bt có hệ số góc qua điểm quát đường thẳng M ( x0 ; y0 ) D M ( x0 ; y0 ) có dng r u = ( a;b) ắắ đ phng trỡnh tỴ ¡ Nhận xét Nếu đường b k= a có VTPT r n = ( A; B) ¾¾ ® A ( x - x0 ) + B ( y- y0 ) = phương trình tổng Ax + By +C = hay với C = - Ax0 - By0 Nhận xét ● Nếu đường thẳng ● Nếu x y + =1 a0 bo A, B, C khác a0 =- với C C , b0 = A B D có VTPT r n = ( A; B) k =- có hệ số góc A B ta đưa phương trình tổng quát dạng Phương trình gọi phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng cắt Ox Oy M ( a0 ;0) N ( 0;b0 ) D1 : a1x + b1 y + c1 = Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát D : a2 x + b2 y + c2 = Tọa độ giao điểm Cho hai đường thẳng uu r n2 = ( a2 ;b2 ) D1 D2 nghiệm hệ phương trình: D1 : a1x + b1 y + c1 = có VTPT ïìï a1x + b1 y + c1 = í ïïỵ a2 x + b2 y + c2 = ur n1 = ( a1;b1) D : a2 x + b2 y + c2 = ; có VTPT uu ruu r n1.n2 ur uu r a1.a2 + b1.b2 cosa = cos n1, n2 = ur uu r = a1 + b12 a22 + b22 n1 n2 ( ) Khi Khoảng cách từ d ( M 0, D ) = M ( x0 ; y0 ) ax0 + by0 + c a2 + b2 đến đường thẳng D : ax + by + c = tính theo cơng thức D1 : a1x + b1 y + c1 = D : a2 x + b2 y + c2 = Nhận xét Cho hai đường thẳng cắt phương trình hai đường phân giác góc tạo hai đường thẳng là: a1x + b1y + c1 2 a +b =± a2x + b2 y + c2 a22 + b22 10 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Trong mặt phẳng Oxy , đường tròn ( C) tâm I ( a;b) , bán kính R có phương trình: ( x - a) +( y- b) = R Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = phương trình đường tròn ( C) a2 + b2 - c > Khi đó, đường tròn Cho đường tròn với ( C) ( C) có tâm có tâm I ( a;b) I ( a;b) , bán kính bán kính R R = a2 + b2 - c Đường thẳng D tiếp tuyến ( x0 – a) ( x – x0 ) +( y0 – b) ( y – y0 ) = M ( x0 ; y0 ) điểm ( C) 11 PHƯƠNG TRÌNH ELIP Cho hai điểm cố định F1 F2 với F1F2 = 2c ( c> 0) Tập hợp điểmy MF1 + MF2 = 2a a ( không đổi ● ● F1, F2 a> c> F1 ) đường Elip O F2 tiêu cự Elip ( E) : ● Phương trình tắc cuae elip ● Trục đối xứng ● Tâm đối xứng Ox O ● Độ dài trục lớn (chứa trục lớn), Oy x2 y2 + =1 a2 b2 A1 ( - a;0) , A2 ( a;0) , B1 ( 0;- b) , B2 ( 0;b) 2a Độ dài trục bé F1 ( - c;0) , F2 ( c;0) ●Tiêu cự với a2 = b2 + c2 (chứa trục bé) ● Tọa độ đỉnh ● Tiêu điểm thỏa mãn M ( x; y) hai tiêu điểm F1F2 = 2c M 2b 2c x ... a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A; b2 = c2 + a2 - 2ca.cos B; 2 c = a + b - 2ab.cosC cos A = b2 + c2 - a2 c2 + a2 - b2 a2 + b2 - c2 ; cos B = ; cosC = 2bc 2ca 2ab a b c = = = 2R sin A sin B sinC ma2... b2 y + c2 = ur n1 = ( a1;b1) D : a2 x + b2 y + c2 = ; có VTPT uu ruu r n1.n2 ur uu r a1.a2 + b1.b2 cosa = cos n1, n2 = ur uu r = a1 + b 12 a 22 + b 22 n1 n2 ( ) Khi Khoảng cách từ d ( M 0, D... tan2 a = sin a + cos a = 1 , cos2 a 1+ cot2 a = Nhớ câu cos đối, sin bù, phụ chéo, tan cot , sin2 a tan a.cot a = 1, π sin2a = 2sin acosa CÔNG THỨC LƯNG GIÁC cos2a = cos2 a- sin2 a = 2cos2 a-