SĐT: 0937351107 CHỦ ĐỀ 6: TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ * Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm A,B cách hai điểm này( MA = MB) Cho đoạn thẳng, u cầu tìm trung điểm đoạn thẳng đó( cho biết số đo khơng biết số đo đoạn thẳng đó) * Cách xác định trung điểm đoạn thẳng: Để xác định trung điểm M AB ta dùng thước đo độ dài đoạn AB xác định vị trí điểm M nằm A , B chia đoạn AB thành hai ddoanj B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tính độ dài đoạn thẳng liên quan tới trung điểm I/ Phương pháp giải: Để tính độ dài đoạn thẳng ta thường sử dụng nhận xét sau: - Nếu điểm M nằm hai điểm A,B AM + MB = AB MA = MB = - Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB AB II/ Các ví dụ Ví dụ Vẽ đoạn thẳng BC Tính BM AB = 7cm C điểm nằm A B AC = 3cm M , trung điểm Giải: Ta có C nằm A B nên AC + BC = AB ⇔ + BC = ⇔ BC = − = 4(cm) SĐT: 0937351107 BM = Vì M trung điểm BC nên Ví dụ Cho đoạn thẳng AB = 6cm M AM , MB điểm đoạn thẳng Tính BC = = 2(cm) 2 điểm nằm A B C, D Gọi trung CD Giải: M điểm nằm CM = Mà A B nên AM + MB = AB AM MB , MD = 2 CM + MD = Do đó: AM MB AB + = 2 III/ Bài tập vận dụng Bài 1: Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Tính độ dài hai đoạn thảng AM MB, biết AB = 4cm Bài 2: Gọi C trung điểm đoạn thẳng AB Tính độ dài hai đoạn thảng AC BC, biết AB= 6cm Bài 3: Cho điểm O thuộc đường thẳng xy Trên tia Ox lấy điểm M cho OM = 4cm Trên tia Oy lấy điểm N cho ON=2cm Gọi A, B trung điểm OM ON a) Chứng tỏ O nằm A B b) Tính độ dài đoạn thẳng AB Bài 4: Cho Ox Oy hai tia đối Trên tia Ox lấy điểm A cho OA = 6cm Trên tia Oy lấy điểm B cho OB=3cm Gọi M vàN trung điểm OA OB a) Tong ba điểm M,O,N điểm nằm hai điểm lại? Vì sao? b) Tính độ dài đoạn thẳng OM, ON MN Bài 5: Trên Ox lấy hai điểm A,B cho OA=2cm, OB =6cm Gọi M trung điểm đoạn thẳn OB a) Tính độ dài đoạn thẳng AB SĐT: 0937351107 b) Chứng tỏ A nằm O M c) Tính đọ dài AM Bài 6: Trên tia Ox, lấy hai điểm A B cho OA= 4cm, OB = 6cm Gọi M trung điểm đoạn thẳng OB a) Tinh độ dài AB b) Chứng tỏ M nằm hai điểm O A Bài 7: Cho điểm O nằm hai điểm A B Gọi M N theo thứ tự trung điểm OA OB Tính độ dài MN, biết AB = a Bài 8: Cho đoạn thẳng AB= 6cm Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC=4cm Gọi M N trung điểm đoạn thẳng AC BC a) Tính độ dài MC NC b) Chứng tỏ điểm C nằm hai điểm M N c) Tính độ dài MN Dạng 2: Chứng minh điểm trung điểm đoạn thằng, chứng minh đẳng thức độ dài có liên quan I/ Phương pháp giải: Để chứng minh M trung điểm đoạn thẳng AB, ta thường làm sau: Bước 1: Chứng tỏ M nằm A B Bước 2: Chứng tỏ MA = MB II/ Các ví dụ Ví dụ Trên tia Ox lấy điểm M N cho OM = 3cm, ON = 6cm ( H.30) 1) Chứng tỏ điểm M nằm hai điểm O N 2) Chứng tỏ điểm M trung điểm đoạn thẳng ON Giải 1) Điểm M N thuộc tia Ox, nên tia a OM tia ON trùng Mà OM = 3cm, ON = 6cm, nên ON > OM suy M phải nằm hai điểm O N 2) Vì M nằm hai điểm O N, nên ta có : ON = OM + MN Thay số ta có : = + MN Vậy, MN = 3cm Suy OM = MN = 3cm ⇒ MN = – = 3(cm) SĐT: 0937351107 Chứng tỏ M trung điểm đoạn ON Ox 31 Trên tia OA = 4cm, OB = 2cm đặt Chứng tỏ B trung điểm đoạn thẳng OA Giải: B 32 Cho nằm O A OB = AB ( = 2cm ) ; điểm AB AM = MB = A, M , B cho M Chứng tỏ trung điểm AB Giải: AB AB + 2 AM + MB = AB AM + MB = Nên Mà M nằm AM = MB A 34 Trên tia B (1) (2) Từ (1) (2) suy Ox lấy M trung điểm OA = m,OB = n ( m < n ) AB C trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh: OA + OB = 2OC Giải: A nằm O B A , nằm O C C , nằm O B AC = CB OA + AC = OC ⇒ OA = OC − AC OB = OC + CB ⇒ OA + OB = 2OC 35 Cho đoạn thẳng Chứng tỏ: AB C MA − MB = MC trung điểm đoạn thẳng AB M điểm nằm B C SĐT: 0937351107 Giải: MA = AC + MC MB = BC − MC Lại có: AC = BC Nên MA − MB = MC 37 Trên đường thẳng xy lấy a) Chứng minh: điểm cho AC = BD trung điểm AB CD PQ = Chứng minh Giải: a) AB = AC − BC CD = BD − BC Mà Nên b) AB = CD P, Q b) Gọi A, B, C , D AC = BD AB = CD PQ = PB + BC + CQ AB CD PB = ; CQ = 2 B/ Bài tập vận dụng Bài 1: Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA=3cm, OB= 6cm a, Điểm A nằm hai điểm O B khơng? Vì sao? b, So sánh OA AB c, Điểm A có trung điểm đoạn OB khơng ? Vì sao? Bài 2: Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA=4cm, OB= 8cm a, Điểm A nằm hai điểm O B khơng? Vì sao? AC + BD SĐT: 0937351107 b, So sánh OA AB c, Điểm A có trung điểm đoạn OB khơng ? Vì sao? Bài 3: Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA=3cm, OB= 7cm a, So sánh OA AB b, Điểm A có trung điểm đoạn OB khơng ? Vì sao? Bài 4: Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA=4cm, OB= 7cm a, So sánh độ dài hai đoạn thẳng OA AB b, Điểm A có trung điểm đoạn OB khơng ? Vì sao? Bài 5: Cho hai tia Ox Oy đối Trên tia Ox lấy điểm A cho OA=3cm Trên tia Oy lấy điểm B cho OB =6cm Điểm O có trung điểm đoạn thẳng AB khơng? Vì sao? Bài 6: Cho điểm O thuộc đường thẳng xy Trên tia Ox lấy điểm A cho OA=3cm Trên tia Oy lấy điểm B cho OB=3cm Điểm O có trung điểm đoạn thẳng AB khơng? Vì sao? Bài 7: Cho đoạn thẳng AB = 8cm, lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho BC= 5cm a, Tính độ dài đoạn thẳng AC b, Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD=3cm Chứng tỏ A trung điểm đoạn thẳng CD Bài 8: Cho đoạn thẳng AB = 8cm, lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC= 3cm a, Tính độ dài đoạn thẳng BC b, Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho AD=5cm Chứng tỏ B trung điểm đoạn thẳng CD C/ BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Cho đường thẳng xy điểm O đường thẳng xy Lấy hai điểm A B đường thẳng xy cho OA = 6cm , OB = 3cm a) ba điểm O, A, B điểm nằm hai điểm lại? b) Tính độ dài đoạn thẳng AB c) Trường hợp điểm B trung điểm đoạn thẳng OA? Bài Cho đoạn thẳng MN = 8cm điểm O nằm hai điểm M N Gọi E trung điểm đoạn thẳng MO, F trung điểm đoạn thẳng ON a) Tính độ dài đoạn thẳng EF SĐT: 0937351107 b) Điều kiện điểm O phải thêm điều kiện để điểm O trung điểm đoạn thẳng EF? Tại sao? Bài Cho điểm O nằm đường thẳng xy Trên tia Ox lấy điểm M cho OM = 1cm Trên tia Oy lấy điểm N điểm P cho ON = 1cm, OP = 3cm a) Tìm trung điểm đoạn thẳng MP b) Trên tia đối tia My đặt đoạn MQ = 2cm Tìm trung điểm đoạn thẳng : PQ, MN, NQ Bài Điểm C trung điểm đoạn thẳng AB có độ dài 64cm Trên tia CA lấy điểm D cho CD = 15cm a) Hãy tìm độ dài đoạn thẳng BD DA b) Điểm D trung điểm đoạn thẳng ? Bài Trên đường thẳng đặt đoạn AB = 8cm, BC = 4cm ( biết tia BA BC hai tia đối ) Gọi M, N, P trung điểm đoạn thẳng AB, AC, BC a) Điểm N trung điểm đoạn thẳng ? Tại sao? b) Điểm B trung điểm đoạn thẳng ? Tại sao? c) Lấy I trung điểm đoạn thẳng MN điểm I trung điểm đoạn thẳng ? Tại ? Bài Cho điểm O đường thẳng xy Trên đường thẳng đặt đoạn OA = 2cm, OB = 3cm, lấy điểm E F cho A trung điểm đoạn thẳng OE ; B trung điểm đoạn thẳng OF Tính độ dài đoạn EF Bài Cho hai tia Ox Ox’ hia tia đối Trên tia Ox lấy hai điểm M N cho OM = 2cm, ON = 6cm Trên tia Ox’ lấy điểm P cho OP = 2cm a) Trong ba điểm M, N, O điểm nằm hai điểm lại ? Tại ? b) Tia MO trùng với tia ? Tia MO tia đối tia ? c) Chứng tỏ M trung điểm đoạn MP Điểm O trung điểm đoạn thẳng ? Vì sao? Bài Cho ba điểm M, N, O : biết độ dài ba đoạn thẳng MN = 5cm, NO = 4cm, MO = 3cm a) Điểm O có nằm hai điểm M N khơng ? sao? b) Ba điểm M, N, O có thẳng hàng khơng ? sao? SĐT: 0937351107 Bài Đoạn thẳng AB= 36 cm chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không đoạn thẳng AM, MN, NP PB Gọi E, F, H theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AM, MN, NP PB Biết độ dài đoạn thẳng EH = 30cm Tính độ dài đoạn thẳng FG Bài 10 Các điểm A, B, C nằm đường thẳng Các điểm M N trung điểm đoạn thẳng AB AC Chứng tỏ : BC = 2MN Bài tốn có trường hợp, chứng tỏ trường hợp Bài 11 Trả lời câu hỏi sau: a) Qua hai điểm tùy ý vẽ đường thẳng ? b) Hai đường thẳng tùy ý có điểm chung? c) Đoạn thẳng ? Kí hiệu ? d) Tia ? Kí hiệu ? Cho hai tia xảy trường hợp nào? e) Cho hai đoạn thẳng CA = CB, Điểm C có phải trung điểm đoạn AB không ? Tại ? f) Muốn cho C trung điểm đoạn thẳng AB cần thêm điều kiện ? g) Điểm C chia đoạn thẳng AB thành hai đoạn thẳng Nếu biết độ dài đoạn thẳng AB CB tìm độ dài đoạn thẳng AC cách ? h) Cách so sánh hai đoạn thẳng nào? Những dụng cụ thường đo khoảng cách hai điểm cho ? Bài 12 Xem hình vẽ bên cho biết : a) Hình có tia gốc O ? Là tia b) Những cặp tia đối ? c) Những cặp tia trùng ? d) Có đoạn thẳng ? đoạn thẳng ? Bài 13 Cho đoạn thẳng MN = 8cm điểm O nằm hai điểm M N a) Nếu O trung điểm đoạn MN, tính độ dài đoạn OM, ON b) Nếu đoạn OM lớn đoạn ON 2cm, tính độ dài đoạn OM, ON SĐT: 0937351107 Bài 14 Cho ba điểm O, M, N thẳng hàng điểm O nằm hai điểm M N ba đoạn thẳng OM, ON MN cần biết số đo đoạn thẳng để tính đoạn thẳng lại ? Vì sao? Bài 15 Điểm A B thuộc đường thẳng a; điểm C nằm hai điểm A B; điểm D nằm hai điểm C B a) Tìm hình vẽ tia gốc C đối Tìm hình vẽ tia gốc C trùng b) Hãy chứng tỏ điểm C nằm hai điểm A D Bài 16 điểm A, B, C nằm đoạn thẳng Biết AB= 12cm, BC = 13,5cm Độ dài đoạn thẳng AC bao nhiêu? Chỉ rõ trường hợp Bài 17 Trên đường thẳng xy cho trước lấy điểm O, A B cho OA = 12cm, OB = 9cm Hãy tính khoảng cách hai điểm M N trung điểm đoạn OA OB nếu: a) Điểm O nằm đoạn AB b) Điểm O nằm đoạn AB Bài 18 Đoạn thẳng AB có độ dài 28cm Được chia thành ba đoạn thẳng không theo thứ tự AC, CD DB E F trung điểm đoạn thẳng AC DB Biết độ dài đoạn EF = 16cm Tìm độ dài đoạn CD Bài 19 Cho đoạn thẳng AB = 4cm Trên tia đối tia BA lấy điểm C cho BC = 5cm Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 4cm a) Hãy chứng tỏ bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng b) So sánh độ dài đoạn thẳng AC BD c) Nếu I trung điểm đoạn thẳng BC I có phải trung điểm đoạn thẳng AD không ? Tại sao? Bài 20 Cho đoạn thẳng AB= 6cm Trên tia đối tia AB lấy điểm C Biết E trung điểm đoạn thẳng CA, F trung điểm đoạn thẳng CB a) Chứng tỏ độ dài đoạn CB lớn độ dài đoạn CA b) Tìm độ dài đoạn EF Bài 21 Buổi họp mặt nhóm học sinh gồm bạn Mỗi bạn bắt tay bạn khác lần Hỏi tất có bắt tay? SĐT: 0937351107 Bài 22 Cho điểm : M, N, P, Q, E, F, O mặt phẳng, khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm xác định đoạn thẳng Hỏi vẽ tất đoạn thẳng? Bài 23 Đoạn thẳng AB có độ dài a chia thành hai đoạn thẳng điểm chia Tính khoảng cách hai trung điểm hai đoạn thẳng chia Bài 24 Đoạn thẳng AB có độ dài a chia thành ba đoạn thẳng hai điểm chia P, Q theo thứ tự đoạn AP, PQ QB cho AP = 2PQ = QB Tìm khoảng cách a) Điểm A điểm I trung điểm QB b) Điểm E trung điểm đoạn AP điểm I HƯỚNG DẪN Bài a) Xảy hai trường hợp : - Trường hợp 1: Hai điểm A B thuộc hai tia đối ( A ∈ Ox, B ∈ Oy) ngược lại đó, điểm O nằm hai điểm A B ( H.a) - Trường hợp 1: Hai điểm A B thuộc tia ( Ox, Oy) Mà OB < OA ( 3cm < 6cm), nên điểm B nằm hai điểm O A ( H.b) b) – Trường hợp 1: AB = 9cm – Trường hợp 2: AB = 3cm c) Xét trường hợp 2: Theo câu a, điểm B nẳm hai điểm O A, mà OB = 3cm ( đầu bài), BA = 3cm( câu b), nên OB = BA Điểm B thỏa mãn hai điều kiện trung điểm , nên điểm B trung điểm đoạn thẳng OA Bài a) E trung điểm MO, nên E ∈ MO ME = EO SĐT: 0937351107 EO = Vậy, MO (1) OF = F trung điểm ON, nên F ∈ ON OF = FN, Vậy ON (2) Hai điểm E F thuộc hai tia đối OM ON, nên điểm O nằm hai điểm E F Vậy, ta có : EF = EO + OF (3) EF = MO ON MO + ON + = 2 Thay (1), (2) vào (3) ta có : EF = MN = = 4(cm) 2 Vậy b) Muốn cho O trung điểm EF phải có thêm điểu kiện OE = OF OM ON = 2 Từ (1) (2) suy : hay OM = ON Tức là, O phải trung điểm đoạn MN ( khơng phải điểm ) Chú ý : - Từ kết câu a, ta khái quát : Độ dài đoạn thẳng EF không phụ thuộc vào vị trí chọn điểm O mà luôn nửa đoạn MN SĐT: 0937351107 - Trường hợp câu b trường hợp đặc biệt : Nếu O trung điểm đoạn MN O trung điểm đoạn EF Bài 3.a) Hai điểm N P thuộc tia Oy ( đầu ) , mà ON < OP ( 1cm < 3cm), nên điểm N nằm hai điểm O P Ta có : OP = ON + NP Thay số vào ta có : = 1+ NP → NP = (cm) Hai điểm M N thuộc hai tia đối Ox Oy ( đầu ) Vậy, điểm O nằm hai điểm M N ta có : MN = MO + ON → MN = + → MN = (cm) Ba điểm M, N, P thuộc đường thẳng xy Điểm N nằm hai điểm M P, lại có MN = NP = 2cm Vậy, điểm N trung điểm đoạn thẳng MP b) Tương tự , chứng tỏ : - Điểm O trung điểm đoạn MN PQ - Điểm M trung điểm đoạn thẳng QN SĐT: 0937351107 Bài a) Điểm C trung điểm đoạn AB ( đầu bài), nên ta có: CB = CA = AB 64 = = 32(cm) 2 - Điểm D thuộc tia CA, mà CD < CA ( 15cm < 32cm), nên điểm D nằm hai điểm A C Ta có : AC = AD + DC 32 = AD + 15 ⇒ AD = 17(cm) Thay số vào ta có: - Điểm D thuộc tia CA, tia đối tia CB, nên điểm C nằm hai điểm D B Ta có : DB = DC + CB => DB = 15 + 32 = 47 cm b) Điểm D trung điểm đoạn thẳng hình vẽ Vì : AC  AC  = 16cm ÷    - D nằm A C, mà DC = 15(cm) ≠ ; AB  AB  = 32cm ÷    - D nằm A B, mà AD = 17(cm) ≠ Bài SĐT: 0937351107 a) Điểm N trung điểm đoạn thẳng MB AC b) Điểm B trung điểm đoạn thẳng NP MC c) Điểm I trung điểm đoạn thẳng AP Bài Khi vẽ ta có hai trường hợp: -Trường hợp : Hai điểm A B thuộc hai tia đối ( A ∈ Ox, B ∈ Oy ngược lại) Ta tính EF = 10 cm -Trường hợp : Hai điểm A B thuộc tia Oy ( tia Ox) Ta tính EF = 2cm Bài a) Hai điểm M N nằm tia Ox, mà OM < ON ( 2cm < cm) Vậy, điểm M nằm hai điểm O N b) Tia MO trùng với tia MP tia Mx’ Tia MO tia đối tia MN tia Mx c) Muốn chứng tỏ M trung điểm đoạn thẳng NP ta phải chứng tỏ điểm M nằm hai điểm N P, NM = MP Thật : - Theo câu a, điểm M nằm hai điểm O N theo đầu bài, điểm N P thuộc hai tia Ox Ox’ đối Vậy, điểm M phải nằm hai điểm N P - Từ câu a ta có : ON = NM + MO = NM + ⇒ NM = 4(cm) Thay số vào ta có : (1) - Theo đầu M ∈ Ox, P ∈ Ox’ Vậy, điểm O nằm hai điểm M P Ta có : MP = MO + OP SĐT: 0937351107 MP = + ⇒ MP = 4(cm) Thay số vào ta có : (2) - Từ (1) (2) có NM = MP = 4(cm) Điểm M thỏa mãn hai điều kiện trung điểm Vậy, M trung điểm đoạn thẳng NP Bài a) Giả sử điểm O nằm hai điểm M N, ta có : MN = MO + ON Thay số vào ta có : = + => vơ lí Vậy, O khơng thể nằm hai điểm M N b) Giả sử điểm M nằm hai điểm O N, ta có : ON = OM + MN Thay số vào ta có = + vơ lí Giả sử điểm N nằm hai điểm lại O M, ta có : OM = ON + NM Thay số vào ta có = + vơ lí Vậy, theo câu a : O nằm hai điểm M N; theo câu b: M nằm hai điểm O N; N nằm hai điểm O M Ta không điểm nằm hai điểm lại Vậy, ba điểm O, M, N với ba khoảng cách thẳng hàng Bài -Theo đầu : AB = 36 cm, EH = 30 cm Vậy AE + HB = 36 – 30 = 6(cm) SĐT: 0937351107 AE = Mà AM HB = (1) ; PB (2) (E H trung điểm AM PB) Từ (1) (2) ta có : AE + HB = AM PB AM + PB + = 2 AM + PB = ⇒ AM + PB = 12(cm) Mà AE + HB = 6(cm) , nên Vậy, MP = AB – ( AM +PB ) = 36 – 12 →MP = 24 (cm) FN = MN -Theo đầu : F trung điểm MN, nên NG = (3) NP Và G trung điểm NP, nên (4) Từ (3) (4) suy : FN + NG = MN NP MN + NP + = 2 (5) Theo thứ tự lấy điểm chia thứ tự lấy trung điểm đoạn thẳng, N điểm nằm hai điểm F G; N điểm nằm hai điểm M P Vậy FN + NG = FG MN + NP = MP SĐT: 0937351107 FG = MP 24 = = 12(cm) 2 Thay vào (5) ta có : Vậy độ dài đoạn thẳng FG 12 cm Bài 10 Khi vẽ hình có hai trường hợp: - Trường hợp 1( H.a) : Hai điểm B C phía với A, tức hai tia AB AC trùng Trường hợp chia làm hai trường hợp nhỏ : AB > AC, AC > AB ( hai trường hợp chứng minh tương tự ) Ta chứng tỏ AB < AC: AN = N trung điểm AC, nên : AC AM = M trung điểm AB, nên : (1) AB (2) Từ (1) (2) ta có : AN − AM = AC AB AC − AB − = 2 (3) Ta xét AB < AC, nêm điểm B nằm hai điểm A C Ta có : AC = AB + BC => BC = AC - AB (4) AB < AC => AM < AN nên điểm M nằm hai điểm A N Ta có AN = AM + MN => MN = AN - AM (5) Thay (4) (5) vào (3), ta có: MN = BC/2 hay BC = 2MN SĐT: 0937351107 - Trường hợp ( H.b) : Hai điểm B C thuộc hai tia đối AB AC Suy hai trung điểm thuộc hai tia đối AM = M trung điểm AB, nên : AN = N trung điểm AC, nên : AB (6) AC (7) Từ ( 6) (7) có : AM + AN = AB + AC (8) Mà AB AC hai tia đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm B C Ta có : BC = BA + AC (9) M ∈ AB N∈ AC hai tia đối, nên điểm A nằm hai điểm M N ta có : MN = AM + AN (10) MN = Thay (9) (10) vào (8), ta có : BC hay BC = 2MN Bài 11 Học sinh tự làm Bài 12 a) Có tia chung gốc O tia OA, Ox, OB, Oy, OC Oz b) - Tại gốc A có tia Ax tia đối tia Ay, AO AB – Tại gốc O có tia Ox tia đối tia OB Oy – Tại gốc B có tia By tia đối tia Bx, BA BO – Tại gốc C có tia Cz tia đối tia CO c) SĐT: 0937351107 – Tại gốc O có tia OA trùng với tia Ox, tia OB trùng với tia Oy tia OC trùng với tia Oz – Tại gốc A có tia AO trùng với tia AB Ay – Tại gốc B có tia BO trùng với tia BA Bx d) Có đoạn thẳng đoạn OA, OB, OC AB Bài 13 OM = ON = a) Nếu O trung điểm đoạn thẳng MN ta có : b) O nằm hai điểm M N, nên : MN = MO + ON MN = ⇒ OM = ON = 4cm 2 (1) mà MO = ON +2, thay vào (1) ta có : = ON + + ON ⇒ = 2ON + ⇒ ON = 3(cm) Vậy OM = + = (cm) Bài 14 Vì O nằm hai điểm M N, nên ta có : MN = MO + ON Trong phép tính trên, biết hai số hạng tính số thứ ba Vậy cần biết độ dài hai đoạn thẳng tính đoạn thẳng lại Bài 15 1) Tia CA CD hai tia đối nhau, tia CA CB hai tia đối Những tia gốc C trùng tia CB trùng với tia CD 2) – Theo đầu bài, D nằm hai điểm C B Vậy, hai tia CD CB trùng – Theo đầu bài, C nằm hai điểm A B Vậy, hai tia CA CB hai tia đối – Tia CA tia CB, mà tia CB trùng với tia CD Vậy, tia CA tia đối tia CD Suy điểm C nằm hai điểm A D Bài 16 Xét hai trường hợp : – Trường hợp ( H.a) : Hai điểm B C hai tia đối AB AC Vậy, điểm A nằm hai điểm B C SĐT: 0937351107 Ta có: BC = BA + AC Thay số vào ta : 13,5 = 12 + AC Vậy AC = 1,5 ( cm) – Trường hợp ( H.b) : Hai điểm B C phía với điểm A Vì BC > BA ( 13,5 cm > 12cm), nên xảy trường hợp điểm C nằm hai điểm A B Chỉ xảy điểm B nằm hai điểm A C Ta có : AC = AB + BC ⇒ AC = 12 + 13,5 = 25,5 (cm) Vậy AC = 25,5 (cm) Bài 17 Chia làm hai trường hợp : - Trường hợp 1: Điểm O nằm hai điểm A B Ta có : AB = 21cm - Trường hợp 2: Điểm A B phía với điểm O Ta có : AB = cm Bài 18 Đoạn AB chia thành ba đoạn theo thứ tự AC, CD, DB Vậy, hai điểm C D nằm hai điểm A B, hay đoạn thẳng CD nằm hai đoạn thẳng AC DB AE = E trung điểm AC nên FB = F trung điểm DB nên AE + FB = Từ (1) (2) có : AC DB (1) (2) AC DB AC + BD + ⇒ AE + FB = 2 Trong AE + FB = AB – EF AE + FB = Vậy, AC + BD = 28 − 16 = 12 Suy ra: AC + BD = 24 (cm) Vậy đoạn CD = AB – ( AC + BD ) = 28 – 24 = (cm) Bài 19 SĐT: 0937351107 a) Tia BC tia đối tia BA, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng (cùng nằm đường thẳng qua B C) Tia CB tia đối tia CD nên ba điểm B, C, D thẳng hàng (cùng nằm đường thẳng qua B C) Vậy A D nằm đường thẳng qua B C, nên bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng b) Tia BC tia đối tia BA, nên điểm B nằm hai điểm A C Ta có : AC = AB + BC Thay số ta có : AC = + = (cm) Tia CB tia đối tia CD, nêm điểm C nằm hai điểm B D Ta có : BD = BC + CD Thay số ta có : BD = 3+4 = (cm) Vậy AC = BD = cm c) I trung điểm BC, suy : BI = IC = = 1,5(cm) Từ ta tính độ dài đoạn AI ID để suy AI = Id kết luận I trung điểm đoạn AD Bài 20 a) Điểm C thuộc tia đối tia AB, nên điểm A nằm hai điểm B C Vậy ta có : BC = BA + AC Độ lớn đoạn BC, BA, BC số dương, nên tổng hai số phải lớn số hạng Vậy, BC phải lớn AC CF = b) F trung điểm đoạn CB, nên : CB CE = E trung điểm đoạn CA, nên : (1) CA (2) Mà CA < Cb ( câu a), nên CE < CF, chứng tỏ điểm E nằm hai điểm C F SĐT: 0937351107 Suy : CF = CE + EF ⇒ EF = CF – CE (3) EF = Thay (1) (2) vào (3), ta có : CB CA CB − CA AB − = = = = 3(cm) 2 2 Vậy EF = cm Bài 21 Có thể biểu thị 6cm chữ khác Coi bắt tay hai em đường thẳng nối hai điểm Theo cách giải thứ 12 ( chủ đề – Dạng 2), ta có : 6×5 = 15 ( bắt tay) Bài 22 Giải tương tự 51 Ta có số đoạn thẳng vẽ 7×6 = 21 ( đoạn thẳng) Bài 23 Gọi điểm chia đoạn thẳng AB thành hai đoạn C, điểm C phải nằm hai điểm A B Ta có : AB = AC + CB IC = I trung điểm AC, nên : AC (1) Q trung điểm CB, nên : CQ = CB / (2) Tia CA CB hai tia đối nhau, mà I ∈ AC, Q ∈ CB, nên C phải nằm I Q Ta có : IQ = IC + CQ (3) Thay (1), (2) vào (3) có : IQ = AC CB AC + CB + = 2 IQ = hay AB a = 2 SĐT: 0937351107 ( a độ dài đoạn AB) Bài 24 a) Đoạn AB chia thành ba đoạn theo thứ tự AP, PQ, QB Vậy AB = AP + PQ + QB Mà AP = PQ (1) 2QP = 2QB ⇒ PQ + QB Vậy AB = 2QB + BQ + QB (2) ⇒ AB = 4QB IB = I trung điểm QB, nên : (3) QB (4) I trung điểm QB, mà Q nằm hai điểm A B, nên I nằm hai điểm A B Vậy ta có : AB = AI + IB (5) Từ (3) ta có : AB = 4QB ⇒ QB = AB QB AB ⇒ = IB = Vậy QB AB = (6) SĐT: 0937351107 Thay (6) vào (5) có : AB AB AB − AB ⇒ AI = AB − = 8 AB 7a ⇒ AI = = (cm) 8 AB = AI + ( a độ dài đoạn AB ) b) Theo (3) : AB = 4QB Theo (1) : 2QB = AP AB = AP ⇒ AP = AB Vậy ta suy : EP = AP AB = Mà E trung điểm AP, nên (7) QB AB = Theo (6) : Suy QB = Theo (6) : AB , mà PQ + QB, : PQ = QB AB AB = ⇒ QB = Mà I trung điểm QB, nên Thay AB QI = , có AB (8) QI = QB = AB QB (9) SĐT: 0937351107 Theo đầu bài, đoạn AB chia thành ba đoạn thẳng theo thứ tự AP, PQ, QB nên EI = EP + PQ + QI (10) Thay (7), (8), (9) vào (10) có: EI = ⇒ EI = AB 5a ⇒ EI = (cm) 8 AB + AB + AB , ( a độ dài đoạn AB)  ... M, N, P trung điểm đoạn thẳng AB, AC, BC a) Điểm N trung điểm đoạn thẳng ? Tại sao? b) Điểm B trung điểm đoạn thẳng ? Tại sao? c) Lấy I trung điểm đoạn thẳng MN điểm I trung điểm đoạn thẳng ?... dài đoạn thẳng AB c) Trường hợp điểm B trung điểm đoạn thẳng OA? Bài Cho đoạn thẳng MN = 8cm điểm O nằm hai điểm M N Gọi E trung điểm đoạn thẳng MO, F trung điểm đoạn thẳng ON a) Tính độ dài đoạn. .. I trung điểm đoạn thẳng BC I có phải trung điểm đoạn thẳng AD không ? Tại sao? Bài 20 Cho đoạn thẳng AB= 6cm Trên tia đối tia AB lấy điểm C Biết E trung điểm đoạn thẳng CA, F trung điểm đoạn thẳng