Đang tải... (xem toàn văn)
Luận án này đượ c thực hiện b ởi chính tác giả tại Khoa Toán Tin Trường Đại họ c Sư phạm Hà Nội dư ới sự hướng dẫn tận tình của GS. TS. Nguyễn Quang Diệu; các kết quả của Luận án là mới, đề tài của Luận án không trùng lặp và chưa từng đượ c công b ố trong các công trình công trình khác
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THÀNH HƯNG SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM HỮU TỶ VÀ CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THÀNH HƯNG SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM HỮU TỶ VÀ CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TS Nguyễn Quang Diệu HÀ NỘI - NĂM 2018 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận án thực tác giả Khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Quang Diệu; kết Luận án mới, đề tài Luận án không trùng lặp chưa cơng bố cơng trình cơng trình khác Nghiên cứu sinh Lê Thành Hưng Lời cảm ơn Trước tiên, tất kính trọng mình, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TS Nguyễn Quang Diệu Người Thầy trực tiếp giảng dạy hướng dẫn khoa học giúp tơi hồn thành Luận án Khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Trong trình làm luận án, vô may mắn thường xuyên nhận dẫn khoa học nghiêm túc với chia sẻ, động viên khích lệ thầy để tơi có tự tin lòng đam mê từ chặng đường nghiệp nghiên cứu khoa học Được làm việc thường xuyên tập thể khoa học nghiêm túc, vô biết ơn thầy, bạn đồng nghiệp toàn thể thành viên Seminar Bộ môn Lý thuyết hàm Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đặc biệt GS TSKH Lê Mậu Hải, TS Tăng Văn Long PGS TS Phùng Văn Mạnh dẫn góp ý trực tiếp đề tài luận án Cuối cùng, xin cảm ơn Trường Cao đẳng Vĩnh Phúc, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đơn vị chức tạo cho điều kiện thuận lợi mặt quản lý nhà nước suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2018 NCS Lê Thành Hưng Mục lục Kí hiệu Mở đầu Tổng quan vấn đề nghiên cứu 1.1 10 Định lý hội tụ kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình khơng bị chặn 10 1.2 Hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn 15 1.3 Hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn 17 Định lý hội tụ kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình khơng bị chặn 20 2.1 Một số kết bổ trợ 20 2.2 Hội tụ nhanh hàm chỉnh hình hàm hữu tỉ 24 2.3 Một ví dụ hội tụ nhanh hàm hữu tỷ 41 Hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn 49 3.1 Một số kiến thức sở 49 3.2 Hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức 52 Hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn 63 4.1 Một số kết bổ trợ 63 4.2 Hội tụ có trọng hàm hữu tỉ 66 Kết luận kiến nghị 78 Tài liệu tham khảo 81 Tài liệu tham khảo 81 KÍ HIỆU • C ∞ (Ω) - Tập hàm trơn vơ hạn Ω • C 0,α () - Tp cỏc hm liờn tc -Hăolder trờn • L∞ (Ω) - Không gian hàm bị chặn Ω • L∞ loc (Ω) - Khơng gian hàm bị chặn địa phương Ω • P SH(Ω) - Tập hàm đa điều hòa Ω • P SH − (Ω) - Tập hàm đa điều hòa âm Ω • M P SH(Ω) - Tập hàm đa điều hòa cực đại Ω • SH(Ω) - Tập hàm điều hòa Ω • HP SH(Cn ) tập hàm đa điều hòa Cn • cap(E, D) = sup{ E (dd c u)n : u ∈ P SH(D), −1 < u < 0}.-Dung lượng tương đối tập Borel E D • {hm }m≥1 dãy hàm nhận giá trị thực, C −trơn định nghĩa (0, ∞) • {χm }m≥1 nhận giá trị thực, liên tục xác định [0, ∞) • uj ↑ u - Kí hiệu dãy {uj } hội tụ tăng tới u • uj ↓ u - Kí hiệu dãy {uj } hội tụ giảm tới u • 1A = χA - Kí hiệu hàm đặc trưng tập A Mở đầu Lý chọn đề tài Các dạng hội tụ hàm hữu tỷ Cn phần quan trọng giải tích phức đại, lĩnh vực hay có nhiều ứng dụng thực tế làm tiền đề cho việc nghiên cứu vấn đề khác Một toán cổ điển đồng hành q trình phát triển Giải tích tốn học tốn liên quan đến tính hội tụ dãy hàm Các vấn đề liên quan đến tính hội tụ dãy hàm đặt thường để trả lời câu hỏi: Các dãy hàm cho có hội tụ hội tụ hay không? hội tụ hay hội tụ đến hàm nào? hàm biết hay chưa biết? giả thiết dãy hàm hội tụ nhanh, nhanh đều? Hội tụ điểm hội tụ đều? v.v Trong lý thuyết Giải tích phức, tính hội tụ, hội tụ dãy hàm có liên quan chặt chẽ tới cực Những năm gần cách sử dụng số công cụ lý thuyết đa vị nhà toán học Việt Nam giới chứng minh nhiều kết quan trọng có tính ứng dụng cao Gonchar, T Bloom, Z Blocki, Molzon, Alexander Việt Nam có Nguyễn Quang Diệu, Lê Mậu Hải, Nguyễn Xuân Hồng, Phạm Hoàng Hiệp Định lý Montel cổ điển khẳng định hàm chỉnh hình bị chặn tập compact tập mở D Cn compact tương đối tô pô mở compact Một kết mở rộng thú vị định lý định lý hội tụ Vitali (tìm đầu kỷ 20) nói giả thiết thêm dãy hàm cho hội tụ điểm tập S đủ lớn dãy phải hội tụ tập compact miền xác định Một vấn đề tự nhiên đặt liệu ta thay giả thiết bị chặn tốc độ hội tụ dãy hàm xấp xỉ không? Để làm rõ câu hỏi này, cần nhắc lại số kết Gonchar (vào năm 70 kỷ trước) Cho R tập hàm chỉnh hình f lân cận U ∈ Cn mà xấp xỉ nhanh theo độ đo dãy hàm hữu tỷ {rm }m≥1 , degrm ≤ m Bằng cách sử dụng khai triển Taylor ta chứng minh hàm phân hình Cn chỉnh hình lân cận thuộc lớp R Khái niệm đưa Gonchar vào cuối năm 70 kỷ trước nhằm nghiên cứu cấu trúc miền tồn hàm chỉnh hình f Gonchar chứng minh f xấp xỉ nhanh rm miền tồn f đơn trị tức tập Cn Hơn 20 năm sau, cách sử dụng số công cụ lý thuyết đa vị, Bloom chứng minh định lý Gonchar thay hội tụ nhanh theo độ đo hội tụ nhanh theo dung lượng tương đối Các kết xấp xỉ nhanh hàm chỉnh hình có ứng dụng việc xây dựng bao đa cực tập đa cực Cn toán thác triển hàm chỉnh hình Có thể thấy vấn đề hội tụ xấp xỉ dãy hàm chỉnh hình đa điều hòa vấn đề truyền thống giải tích có ứng dụng vào nhiều tốn khác giải tích thực phức Tiếp tục hướng nghiên cứu đó, luận án này nghiên cứu Định lý hội tụ kiểu Vitali hàm chỉnh hình, hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn Các kết liên quan đến đề tài tìm thấy cơng trình sử dụng luận án Mục đích nghiên cứu Luận án Từ kết quan trọng có hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn nghiên cứu gần đây, đặt số mục đích nghiên cứu cho Luận án sau: - Định lý hội tụ kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình khơng bị chặn - Đưa dãy hàm hữu tỷ hội tụ nhanh hội tụ cần xét biên - Sự hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn - Sự hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn - Cố gắng mở rộng nêu hướng mở rộng kết nghiên cứu trường hợp thực Đối tượng nghiên cứu - Các tính chất kết hội tụ hàm chỉnh hình, hàm hữu tỷ, hàm đa điều hòa - Các tính chất chuỗi lũy thừa hình thức điều kiện cho hội tụ - Các hàm hữu tỉ điều kiện đủ cho hội tụ Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết nghiên cứu toán học với công cụ kỹ thuật truyền thống lý thuyết chuyên ngành Giải tích hàm Giải tích phức - Tổ chức seminar, trao đổi, thảo luận, công bố kết nghiên cứu ... minh (a) Ta cần áp dụng (1 . 1) với dãy am = với m (b) Đặt ϕm (t) := tχm (t) , t > χm (t) Bằng cách tính tốn trực tiếp tính chất (1 . 2) ta có χm (t )( m (t) + tχm (t )) − t(χm (t )) 2 ≥ ϕm (t) = χm (t)2... (1 . 2) (1 . 3) Khi ta có khẳng định sau: (a) χm (0 ) → m → ∞ (b) Các hàm t → tχm (t) χm (t) t → tχ ˜m (t) χ ˜m (t) tăng (0 , ) với m (c) χm , χ˜m tăng ngặt (0 , ) (d) supm≥1 ( m (am ) + χ˜m (am )) < ∞... thỏa mãn: (1 . 1) χm > (0 , ) với dãy {am } ⊂ [0, ) inf χm (am ) = ⇒ inf am = m≥1 m≥1 (1 . 2) Với m ≥ 1, χm C −trơn (0 , ) χm (t )( m (t) + tχm (t )) ≥ t(χm (t )) 2 ∀t ∈ (0 , ) (1 . 3) Tồn dãy hàm nhận