BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỒN NGỌC HẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TRONG KHƠNG GIAN HƯLDER LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI, 2010 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐOÀN NGỌC HẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TRONG KHƠNG GIAN HƯLDER Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Bằng HÀ NỘI, 2010 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết luận văn trung thực, chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu khác Hà nội, ngày tháng Đoàn Ngọc Hải năm LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hưỡng dẫn Tiến sĩ Trần Văn Bằng Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Văn Bằng, người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tơi q trình thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau đại học, thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi xuất q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu nhà Trường THPT Minh Quang – Chiêm Hóa – Tuyên Quang, bạn bè, đồng nghiệp tạo điều kiện, giúp đỡ tơi q trình học tập, nghiên cứu Hà Nội, ngày tháng Đoàn Ngọc Hải năm Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mở đầu Chương 1: Phương trình Elliptic với hệ số ¡ d 1.1 Toán tử Elliptic 1.2 Tính giải phương trình Elliptic biểu diễn Green 1.3 Các hàm Green giới hạn hàm thông thường 1.4 Các hàm số Green hàm thơng thường 1.5 Tính khả vi hàm Green 1.6 Một vài tính chất nghiệm Lu=f 1.7 Một số thông tin hàm Green Chương 2: Phương trình Laplace 2.1 Các cơng thức Green 2.2 Công thức Poisson 2.3 Các hàm Green miền 2.4 Hàm Green nhân Poisson hình cầu 2.5 Một vài tính chất hàm điều hòa 2.6 Ngun lý cực đại 2.7 Phương trình Poisson hình cầu 2.8 Toán tử Elliptic cấp hai với hệ số 2.9 Nguyên lý cực đại cho phương trình cấp hai với hệ số biến thiên Chương 3: Tính giải phương trình Elliptic khơng gian Hưlder 3.1 Khơng gian Hưlder 3.2 Bất đẳng thức nội suy 3 Chuẩn tương đương không gian Hưlder 3.4 Đánh giá tiên nghiệm khơng gian toán tử Laplace 3.5 Một đánh giá cho đạo hàm hàm L điều hòa 3.6 Đánh giá tiên nghiệm không gian tốn tử Elliptic tổng qt 3.7 Tính giải phương trình Elliptic với hệ số Chương 4: Phương trình Elliptic với hệ số biến thiên ¡ d 4.1 Đánh giá tiên nghiệm Schauder 4.2 Lu quy u quy 4.3 Tính giải phương trình Elliptic cấp hai với hệ số biến thiên Phương pháp liên tục 4.4 Phương trình cấp hai Lu − zu = f với z phức 4.5 Tính giải phương trình Elliptic bậc cao với hệ số biến thiên Kết luận Tài liệu tham khảo Mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình Elliptic nói chung, phương trình Laplace Poison nói riêng lớp phương trình có vai trò quan trọng thực tiễn Loại phương trình dành nhiều quan tâm nhà toán học nước giới Trong chương trình học bậc đại học cao học, nghiên cứu nghiệm cổ điển, nghiệm suy rộng lớp phương trình Việc mở rộng nghiên cứu phương trình số không gian khác vấn đề có ý nghĩa quan trọng Trong luận văn tơi chọn đề tài: “ Phương trình Elliptic khơng gian Hưlder” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số tính chất nghiệm phương trình Elliptic khơng gian Hưlder Nhiệm vụ nghiên cứu Phương trình Elliptic với hệ số ¡ d , Phương trình Laplace, Tính giải phương trình Elliptic với hệ số khơng gian Hưlder, Phương trình Elliptic với hệ số biến thiên ¡ d Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khơng gian Hưlder, Nghiệm phương trình Elliptic khơng gian Hưlder Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu tài liệu, sử dụng phương pháp giải tích hàm, phương trình đạo hàm riêng để nghiên cứu phương trình Elliptic khơng gian Hưlder Giả thiết khoa học Trình bày hệ thống vấn đề nghiên cứu, Chi tiết hóa chứng minh tài liệu, Hơn nữa, với hàm số khả vi v ta có ∂v ( x + the j )dt , ∂x j δ h, j v( x) = ∫ nên δ h , j v k +δ ≤ v k +1+δ Vì vậy, δ h , j v k +δ bị chặn theo h v ∈ C k +1+δ (¡ d ) Suy C k +δ (¡ d ) chuẩn vế phải (4.2.2) bị chặn theo h Theo giả thiết, (4.2.1) bất đẳng thức nội suy ta có δ h , j u k + m+δ bị chặn theo k + m +δ (¡ d ) , j tuỳ ý nên u ∈ C k0 +1+ m +δ (¡ d ) h Chứng tỏ D j u ∈ C Vẫn đề lại đánh giá (4.2.1) với k = k0 + Nếu với k = k0 Thực tế ta không cần giả thiết đánh giá với k = k0 , mà cần ∀u ∈ C k + m+δ (¡ d ) Do ta chứng minh (4.2.1) với λ = λ0 co giãn khơng gian nên ta giả thiết λ0 = Lấy đa số α với α = k áp dụng Định lí 4.1.2 Khi Dα u m +δ ≤ N (  LDα u  + LDα u ) ≤ N  LDα u  + N u m + k δ δ Ở LDα u = Dα Lu + ∑ c βσ  D β aη  Dη +σ u , η ≤ m , β ≥1 β +σ = k c βσ số Do η + σ ≤ m + (k − 1) β ≤ k , nên  LDα u  ≤  Dα Lu  + N u k + m −1+δ , Dα u ≤ N [ Lu ] k +δ + N u k + m , δ δ m +δ [ u ] k + m +δ ≤ N [ Lu ] k +δ + N u k + m (4.2.3) Cuối cùng, theo bất đẳng thức nội suy u k + m ≤ ε [ u ] k + m +δ + N (ε ) u , nên ta thay N u k + m vế phải (4.2.3) N u Lúc này, giống chứng minh Định lí 4.1.2, ta có u ≤ N ([ Lu ] δ + Lu ) , [ Lu ] δ ≤ N ([ Lu ] k +δ + Lu ) Định lí chứng minh 4.3 Tính giải phương trình Elliptic cấp hai với hệ số biến thiên Phương pháp liên tục Trong mục mục sau ta tầm quan trọng đánh giá tiên nghiệm việc chứng minh tính giải phương trình Elliptic khơng gian Ở ta cách mà phương pháp liên tục thực với toán tử Elliptic cấp hai, với hệ số thực toán tử nằm lớp toán tử Elliptic tổng quát đề cập Nhưng tình đơn giản ta đưa khái niệm thiết lập giả thiết Đặc biệt ta xét toán tử ta có dạng L = a ij ( x ) ∂2 ∂ + bi ( x) i + c ( x ) , i j ∂x ∂x ∂x aij ( x), bi ( x), c( x) hàm thực Giả sử có số k > 0, ∀x, ξ ∈ ¡ d ta có a ij ( x )ξ iξ j ≥ k ξ , c( x) ≤ Hằng số k gọi số Elliptic L Không tính tổng quát giả sử ma trận a đối xứng, ta xét nghiệm thực Định lí 4.3.1: Lấy số nguyên k ≥ giả thiết a ij , bi , c ∈ C k +δ (¡ d ) với i, j Khi u ∈ C k + +δ (¡ d ) u ∈ C 2+δ (¡ d ) Lu − zu ∈ C k +δ (¡ d ) với giá trị z ∈ ¡ Hơn nữa, với ∀z ≥ ∀u ∈ C k + 2+δ (¡ d ) ta có [ u ] k + +δ (4.3.1) ≤ N ([ f ] k +δ + ( z −1 + z ( k +δ ) ) f ), z u ≤ f f := Lu − zu số N phụ thuộc vào d , k, δ chuẩn a, b, c C k +δ (¡ d ) Chứng minh Đánh giá thứ hai (4.3.1) suy từ Định lí 2.9.2 Tiếp đó, ij đặt L0u := a Di D j u Dễ thấy toán tử L0 − toán tử Elliptic nên theo Định lí 4.2.1 ta có u ∈ C k + 2+δ (¡ d ) u ∈ C 2+δ (¡ d ) L0u ∈ C k +δ (¡ d ) Ta thay tốn tử L0 L − z theo cách chứng minh Định lí 4.2.1 sau ý hiệu chúng toán tử Elliptic cấp thấp với hệ số quy Do ta có khẳng định thứ định lý Cũng theo Định lí 4.2.1 có z0 ≥ , phụ thuộc vào d , k, δ chuẩn a, b, c C δ (¡ d ) , cho [ u ] k + 2+δ ≤ N ([ L0u − z0u ] k +δ + L0u − z0u ) (4.3.2) với N phụ thuộc vào d , k, δ chuẩn a, b, c C k +δ (¡ d ) Hơn nữa, theo bất đẳng thức nội suy ta có [ ( L0 − L)u − ( z0 − z )u ] k +δ + ( L0 − L)u − ( z0 − z )u ≤ N ( u k +1+δ + ( z + 1) [ u ] k +δ + ( z + 1) u ) ≤ γ [ u ] k + 2+δ + N (γ )( z + 1) ( k +δ ) +1 u0 , γ > số số N (γ ) phụ thuộc vào đại lượng nêu Chọn γ thích hợp từ (4.3.2 ) ta suy ( k +δ ) +1 u ≤ ( ) u + N ( f + f + ( z + 1) u 0) , [ ] k + +δ [ ] k + 2+δ [ ] k +δ ta có bất đẳng thức thứ (4.3.1) sau sử dụng bất đẳng thức thứ hai bất đẳng thức + ( z + 1) ( k +δ ) +1 z −1 ≤ N ( z −1 + z ( k +δ ) ) Định lí chứng minh Định lí 4.3.2: Giả thiết Định lí 4.3.1, với ∀z > f ∈ C k +δ (¡ d ) tồn nghiệm u ∈ C k + 2+δ (¡ d ) phương trình Lu ( x) − zu = f ( x ), x ∈ ¡ d Chứng minh: Tính suy từ Định lí 4.3.1 Định lí cho thấy ta cần xét trường hợp k = Ở ta sử dụng phương pháp liên tục Với t ∈ [ 0,1] đặt ∂2 ∂ L = tL + (1 − t )∆ = (ta + (1 − t )δ ) i j + tbi i + tc , ∂x ∂x ∂x t ij ij gọi T tập tất điểm t ∈ [ 0,1] cho khẳng định định lí (với Lt thay cho L ) Theo ta có ∈ T nên T khác rỗng Rõ ràng đánh giá (4.3.1) với số N tất nghiệm phương trình Lt u − zu = f Chứng tỏ T tập đóng Do đó, để hồn thành việc chứng minh, ta cần T tập mở tôpô [ 0,1] Lấy t0 ∈ T , gọi R : C δ (¡ d ) → C 2+δ ( ¡ d ) tốn tử tuyến tính ánh xạ ∀f ∈ C δ (¡ d ) thành nghiệm phương trình Lt u − zu = f Theo giả thiết ℜ xác định tốt theo Định lí 4.3.1 bị chặn Để với t ∈ [ 0,1] gần tới t0, phương trình Lt u − zu = f giải được, ta viết phương trình dạng Lt0 u − zu = f + ( Lt0 − Lt )u , u = ℜf + ℜ( Lt0 − Lt )u , ta toán tử ℜ( Lt − Lt ) ánh xạ co C 2+δ (¡ d ) , với t gần t0 Thật vậy, với số N độc lập với t , u ℜ( Lt0 − Lt )u ≤ N ( Lt0 − Lt )u = N t0 − t ( L − ∆ )u δ ≤ N1 t0 − t u 2+δ δ +δ Với t cho N1 t0 − t ≤ ta suy toán tử ℜ( Lt0 − Lt ) ánh xạ co, định lí chứng minh Nhận xét 4.3.3: Thực tế cách lập luận dựa tính vừa đóng vừa mở T thực cần thiết trường hợp phức tạp Định lí 4.3.2 Trong trường hợp số N1 độc lập với t0 , ta tiến dần tới điểm t = bắt đầu với t = sau số hữu hạn bước Xác định quy tắc t0 = ti +1 thỏa mãn N1 ti +1 − ti ≤ Hệ 4.3.4: Nếu a, b, c, f khả vi vô hạn đạo hàm cấp bị chặn, nghiệm u phương trình Lu − zu = f có tính chất Nhận xét 4.3.5: Lấy số nguyên k ≥ số K > Các Định lí 4.3.1 4.3.2 cho thấy a, b, c k +δ ≤ K z > , tốn tử z − L : C k + +δ ( ¡ d ) → C k +δ ( ¡ d ) song ánh, Hơn nữa, ta kí hiệu ℜ z tốn tử ngược nó, với z1 > có số N phụ thuộc vào k,η , δ , K , d , z1 cho với f ∈ C k +δ (¡ d ) z ≥ z1 ta có [ ℜ z f ] k + 2+δ Từ [ u ] s ≤ N [ u ] r r u s 1− s r ≤ Nz ( k +δ ) f k +δ , z ℜz f ≤ f , ≤ s ≤ r , ta có với r ≤ k + + δ [ ℜ z f ] r ≤ Nz r −1 f k +δ , ℜ z f r ≤ Nz r −1 f k +δ Đặc biệt, ta có ℜz f ≤ N f δ , ℜz f ≤ z −1 N f δ , ℜz f 1+δ ≤ z ( δ −1) N f δ , ℜz f δ ≤ z −1+δ N f δ Đồng thời, Hệ 2.9.3 cho thấy toán tử ℜ z độc lập với k với δ 4.4 Phương trình cấp hai Lu − zu = f với z phức Nghiên cứu toán tử Elliptic với hệ số phức cho ta số thông tin quan trọng phương trình cấp hai chí có hệ số z số hạng cấp phức Dĩ nhiên, ta xét nghiệm giá trị phức Cho δ ∈ ( 0,1) toán tử L xét mục 4.3, số η ∈ [ 0, π ) E = Eη = { z = a + ib ∈ C \ { 0} : arg z ≤ η } Định lí 4.4.1: Với số nguyên k ≥ giả sử a ij , bi , c ∈ C k +δ (¡ d ) với i, j Khi u ∈ C k + 2+δ (¡ d ) u ∈ C 2+δ (¡ d ) Lu − zu ∈ C k +δ (¡ d ) với z ∈ C Hơn nữa, có số z0 > phụ thuộc vào d , k,η , δ chuẩn a, b, c C δ (¡ d ) cho với ∀z ∈ Eη , z ≥ z0 ∀u ∈ C k + 2+δ (¡ d ) ta có [ u ] k + +δ + z ( k + +δ ) u ≤ N ([ f ] k +δ + z ( k +δ ) f 0) , (4.4.1) f := Lu − zu số N phụ thuộc vào d , k,η , δ chuẩn a, b, c C k +δ (¡ d ) Để định lí thực trường hợp đặc biệt Định lí 4.2.1 ta viết Lu − zu = a iju xi x j + bzi z u x i + cz z u , i bi , c = c − θ , θ = z b = z z với z z Đặt z Lz u := a iju xi x j + bzi u xi + cz u , ý z Lzλ u := a iju xi x j + λbzi u xi + λ cz u , L z 12 u = Lu − zu Đa thức đặc trưng Lz p z (ξ , x) = −a ijξ iξ j + −1bzi ξ i + cz z Nếu ta lấy z = ∞, p trở thành I (ξ , x) := a ijξ iξ j + θ Khi arg θ ≤ π , ta có I (ξ , x) ≥ a ijξ iξ j + Khi −1 2 ≥ kξ +2 −1 π π ≤ arg θ ≤ η ta có Im θ ≥ (sin η ) ∧ (sin ) Do đó, 4 π I (ξ , x) ≥ (sin η ) ∧ (sin ) với ∀ξ Hơn I (ξ , x) ≥ k ξ với ≥ k1 (1 + ξ ) π ≤ arg θ ≤ η ta có I (ξ , x) ≥ k2 (1 + ξ ), ∀ξ k với ξ ≥ Do đó, z k2 = k2 (k,η ) > Khi z lớn p gần với I (ξ , x) Ta biết (xem Bổ đề 1.1.7) z ∈ Eη z đủ lớn, chẳng hạn z ≥ z1 tốn tử Lz Elliptic số Elliptic bị chặn ∀z ≠ giả thiết a,η Với z chuẩn bz , cz khơng gian Hưlder tương ứng bị chặn Do đó, Định lí 4.1.2 ta lấy số λ0 chung cho Lz với z ≥ z1 z ∈ Eη Lúc ta cần đặt z0 = z1 + λ02 áp dụng Định lí 4.2.1 Lzλ , λ = z xong Định lí 4.4.2: Giả thiết Định lí 4.4.1 lấy số z0 > Khi với ∀z ∈ Eη với z ≥ z0 , với ∀f ∈ C k +δ (¡ d ) tồn nghiệm u ∈ C k + +δ (¡ d ) phương trình Lu ( x) − zu ( x) = f ( x), x ∈ ¡ d Chứng minh Định lí 4.4.1 cho thấy ta cần xét trường hợp k = Một lần ta lại áp dụng phương pháp liên tục Cố định z ∈ Eη ∩ { z ≥ z0 } lấy đường cong trơn z (t ) ∈ Eη ∩ { z ≥ z0 } , t ∈ [ 0,1] , cho z (1) = z z ( ) thực Sau với tốn tử L − z ( t ) ta lặp lại phép chứng minh Định lí 4.3.2 với ý theo định lí phương trình Lu − z ( ) u = f giải tập hợp T tương ứng khác rỗng Định lí chứng minh Hệ 4.4.3: Nếu a, b, c, f khả vi vô hạn đạo hàm chúng bị chặn, nghiệm u phương trình Lu − zu = f Nhận xét 4.4.4: Lấy số nguyên k ≥ số K > Định lí 4.4.2 nghĩa a, b, c k +δ ≤ K lấy z0 > từ Định lí 4.4.2, với z ∈ Eη có z ≥ z0 toán tử z − L : C k + +δ ( ¡ d ) → C k + δ ( ¡ d ) khả nghịch Hơn nữa, ta gọi ℜ z toán tử nghịch đảo, theo Định lí 4.4.1, có số N phụ thuộc vào k,η , δ , K , d , z0 cho với f ∈ C k +δ ( ¡ d ) [ ℜ z f ] k + +δ + z ( k + +δ ) ℜz f ≤N z ( k +δ ) f k +δ Từ phép nội suy ta có với r ≤ k + + δ [ ℜ z f ] r ≤ Nz r −1 f k +δ , ℜ z f r ≤ Nz r −1 f k +δ Đặc biệt, ta có ℜz f ℜz f ≤ N f δ , ℜz f ≤ z 1+δ ≤ z ( δ −1) −1 N f δ, N f δ , ℜz f δ ≤ z −1+δ N f δ Định lí 4.4.2 cho thấy toán tử ℜ z độc lập với k δ 4.5 Tính giải phương trình Elliptic bậc cao với hệ số biến thiên α α Định lí 4.5.1: Cho L = L( x) = ∑ α ≤m a ( x) D toán tử Elliptic đều, số nguyên k ≥ Giả sử aα ∈ C k +δ (¡ d ) với ∀α Gọi λ0 số phụ thuộc vào α số Elliptic k m, δ , d giá trị cực đại a δ Định lí 4.1.2, lấy λ cho λ ≥ λ0 Khi với ∀f ∈ C k +δ (¡ d ) tồn nghiệm u ∈ C k + m+δ (¡ d ) phương trình Lλ u ( x) = f ( x ), x ∈ ¡ d Chứng minh: Từ Định lí 4.1.2 suy tính ta cần chứng minh cho trường hợp k = Chứng minh tồn chia làm bước lại áp dụng phương pháp liên tục Chú ý L toán tử Elliptic cấp hai với số x ta có L = ∆ − với x khác ta có L = −∆ + ‘thì cách’ kết hợp L với ∆ − tổ hợp lồi tL + (1 − t )(∆ − 1) khơng cho ta họ tốn tử Elliptic Do ta phải sử dụng họ toán tử khác Bước 1: Giả sử aα độc lập với x Khi ta có kết từ Định lí 3.7.2 Bước 2: Giả sử aα ∈ C1 (¡ d ) Với t ∈ [ 0, ∞ ] đặt ς (t , x) = m− α t α tx Dα , aα (t , x ) = aα (ς (t , x)), Lλ = ∑ a (t , x)λ α ≤m t+ x (Dĩ nhiên, ς (∞, x) := x ) T tập tất điểm t ∈ [ 0, ∞ ] cho định lí (với Ltλ thay cho Lλ ) Ta thấy aα (0, x) = aα (0) Do đó, tập T rỗng Tiếp theo chứng tỏ ς (t , x) − ς (t , y ) ≤ x − y (4.5.1) với t , y, x Rõ ràng ta cần chứng minh grad xς (t , x) ≤ với x ≠ Thật vậy, với x ≠ véctơ đơn vị l ta có l.grad xς (t , x) = tl tx l.x − t + x (t + x ) x ≤ tx x t t + ≤ + =1 t + x (t + x ) t+ x t+ x Từ ta có (4.5.1) α α Từ (4.5.1) cho thấy, nói riêng,  a (t ,.) δ ≤  a δ nên theo Định lí 4.1.2 bất đẳng thức (3.7.3) với số N chung cho tất nghiệm phương trình Ltλ u = f Chứng tỏ T - đóng Do đó, để hồn thành bước ta cần chứng minh T ∩ [ 0, ∞ ) mở tôpô [ 0, ∞ ) Lấy t0 ∈ T ∩ [ 0, ∞ ) gọi R : C m+δ (¡ d ) → C δ (¡ d ) tốn tử tuyến tính biến f ∈ C δ (¡ d ) thành nghiệm phương trình Ltλ0 u = f Theo Định lí 4.1.2 ta có ℜ bị chặn Bây để chứng minh với ∀t ∈ [ 0, ∞ ) gần t0 phương trình Ltλ u = f giải được, ta viết Ltλ0 u = f + ( Ltλ0 − Ltλ )u , u = ℜf + ℜ( Ltλ0 − Ltλ )u, t ta chứng tỏ toán tử ℜ( Lλ − Ltλ ) ánh xạ co C m+δ (¡ d ) Theo ℜ( Ltλ0 − Ltλ )u ≤ N ( Ltλ0 − Ltλ )u m +δ δ với số N độc lập với t , u Tiếp theo ( Ltλ0 − Ltλ )u ≤ δ ∑ { a α ≤m α (t0 ,.) − aα (t ,.)  Dα u + aα (t0 ,.) − aα (t ,.) Dα u δ Ở aα (t0 ,.) − aα (t ,.) ≤ N sup ς (t0 , x) − ς (t , x) ≤ N t0 − t x δ } ς t ≤ Nếu x − y ≤ t0 − t , (do tính trơn aα )  aα (t0 , x) − aα (t , x )  −  aα (t0 , y ) − aα (t , y )  I := δ x− y ≤ aα (t0 , x) − aα (t0 , y ) x− y ≤ N x− y 1−δ δ ≤ N t0 − t + aα (t , x) − aα (t , y ) 1−δ x− y δ Nếu x − y ≥ t0 − t , I≤ aα (t0 , x) − aα (t , x) x− y t0 − t ≤N x− y δ δ ≤ N t0 − t + 1−δ aα (t0 , y ) − aα (t , y ) x− y δ Vì vậy, với t0 − t ≤ ta có (L t0 λ ) − Ltλ u ≤ N u m +δ t0 − t δ 1−δ ( ) , ℜ Ltλ0 − Ltλ u m +δ ≤ N u m +δ t − t 1−δ t Do số cuối N độc lập với t , u , nên toán tử ℜ( Lλ − Ltλ ) ánh xạ co ta hoàn thành bước Bước 3: Ta xét trường hợp tổng quát chứng minh tính giải λ đủ lớn Với aα xác định hàm số aεα Mệnh đề 3.2.3 có  a εα  ≤  aα  Hơn a εα gần với aα ε nhỏ aα ∈ C δ (¡ d ) Do đó, δ δ ε εα α ε nhỏ, với tốn tử L = ∑ α ≤m a D , số Elliptic kε lớn phần hai số Elliptic k L (xem Bổ đề 1.1.7) số λ0ε εα ∞ tương ứng với Lε bị chặn λ0 Vậy a ∈ Cb ∞ ( ¡ d ) Theo bước phương trình Lελ uε = f có nghiệm λ ≥ λ0 , f ∈ C δ (¡ d ) Ngoài ra, chuẩn uε C m+δ (¡ d ) bị chặn theo ε Do ta chuyển qua giới hạn Bước 4: Theo tính giải phương trình Lλ u = f với ∀λ có λ ≥ λ0 (để có đánh giá tiên nghiệm) suy từ tính giải với λ lớn Định lí chứng minh Hệ 4.5.3: Nếu aα khả vi vơ hạn đạo hàm bị chặn, nghiệm u phương trình Lλ u = f KẾT LUẬN Trong luận văn tơi nghiên cứu tính chất tổng quan nghiệm phương trình Elliptic khơng gian Hưlder Chi tiết hóa số chứng minh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Minh chương, Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung (2000) Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Mạnh Hùng (2005) Phương trình vi phân đạo hàm riêng (Phần II), NXB Đại học Sư phạm [3] Trần Đức Vân (2005) Phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [3] N.V Krylov, Lectures on Elliptic and Parabolic equations in Hölder Spaces (1996), Graduate Studies in Mathematics Volume 12, AMS ... Phương trình Elliptic khơng gian Hưlder” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số tính chất nghiệm phương trình Elliptic khơng gian Hưlder Nhiệm vụ nghiên cứu Phương trình Elliptic với hệ số ¡ d , Phương. .. Phương trình Laplace, Tính giải phương trình Elliptic với hệ số khơng gian Hưlder, Phương trình Elliptic với hệ số biến thiên ¡ d Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khơng gian Hưlder, Nghiệm phương trình. .. giải phương trình Elliptic cấp hai với hệ số biến thiên Phương pháp liên tục 4.4 Phương trình cấp hai Lu − zu = f với z phức 4.5 Tính giải phương trình Elliptic bậc cao với hệ số biến thiên Kết luận