SỞ GD&ĐT TUYÊN QUANG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT CHIÊM HOÁ Độc lập - tự - hạnh phúc Chiêm Hoá, ngày 30 tháng năm 2017 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016 – 2017 Họ tên người thực hiện: Đồn Ngọc Hải Mơn dạy: Tốn Tổ chun mơn: Tốn Đơn vị cơng tác: Trường THPT Chiêm Hóa Nhiệm vụ giao năm học 2016- 2017: + Dạy toán lớp : 10A3 Tên sáng kiến kinh nghiệm:“Phân loại tốn tìm toạ độ đỉnh, viết phương trình cạnh tam giác giúp học sinh lớp 10A3 năm học 2016-2017 giải tốt tập” Mở đầu Lý chọn đề tài Bài toán tìm tọa độ đỉnh, viết phương trình cạnh tam giác biết trước số yếu tố tam giác dạng tốn hay khơng q khó chương trình lớp 10; để làm tốn dạng đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học phẳng, mối quan hệ yếu tố tam giác điểm đặc biệt tam giác như: Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp Mức độ tư lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lơ gíc Phát lời giải hay hấp dẫn người học Năm năm đổi thi tốn trắc nghiệm, nên đòi hỏi em phải giải nhanh xác kịp thời gian làm Là giáo viên giảng dạy trường THPT nhìn chung tơi thấy đối tượng học sinh khối 10 mức độ nhận thức trung bình khá, tư vừa phải, em giải toán dạng hay nhầm lẫn yếu tố tam giác nên việc giải tập tìm tọa độ đỉnh viết phương trình cạnh tam giác gặp nhiều khó khăn Để giúp học sinh khơng bị khó khăn gặp dạng tốn tơi đưa phương pháp phân loại tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận cách đơn giản, dễ nhớ bước giúp học sinh hình thành lối tư giải vấn đề Qua giúp em học tốt mơn hình học lớp 10, tạo cho em tự tin làm tập Hình học tạo tâm lý khơng "bí" giải tập hình Cho nên tơi chọn SKKN:"Phân loại tốn tìm toạ độ đỉnh, viết phương trình cạnh tam giác giúp học sinh lớp 10A3 năm học 2016-2017 giải tốt tập" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số loại tốn tìm tọa độ đỉnh, viết phương trình cạnh tam giác Đối tượng nghiên cứu Khơng gian 0xy , Tìm tọa độ đỉnh, viết phương trình cạnh tam giác Kế hoạch nghiên cứu Hệ thống lại toàn kiến thức tọa độ có liên quan, kiến thức đường thẳng Đưa dạng tốn từ dễ đến khó Phương pháp nghiên cứu Trong trình thực đề tài này, sử dụng kết hợp phương pháp nghiên cứu sau: Các phương pháp nghiên cứu lí luận + Phương pháp trích dẫn, phương pháp phân tích, chọn lọc Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn + Phương pháp phân tích, tổng hợp Phần I: nhắc lại kiến thức có liên quan 1, Véc tơ phương đường thẳng d r r r Vectơ u ≠ có giá song song trùng với d u vectơ phương d r r Nếu u vectơ phương d k u vectơ phương d ( k ≠ ) 2, Véc tơ pháp tuyến đường thẳng d r r r Vectơ n ≠ có giá vng góc với d n vectơ pháp tuyến d r r Nếu n vectơ pháp tuyến d k n vectơ pháp tuyến d ( k ≠ ) 3, Phương trình đường thẳng r Nếu đường thẳng d qua điểm M ( x ; y ) có véc tơ phương u ( a;b ) với a + b ≠ thì:  x = x + at + Phương trình tham số đường thẳng d :  ( t ∈ R tham số)  y = y + bt + Phương trình tắc đường thẳng d : x − x y − y0 = ( a.b ≠ ) a b Phương trình tổng qt đường thẳng d có dạng: Ax + By + C = r M x ; y ( ) n Phương trình đường thẳng d qua ( A;B ) với 0 , có vectơ pháp tuyến A + B2 ≠ là: A ( x − x ) + B ( y − y0 ) = Phương trình đường thẳng d qua M ( x ; y ) có hệ số góc k: y = k ( x − x ) + y Phương trình đường thẳng qua điểm A ( x1; y1 ) , B ( x ; y ) có dạng: x − x1 y − y1 = x − x1 y − y1 Phương trình đoạn thẳng chắn trục tọa độ: x y + =1 a b (đi qua điểm A ( a;0 ) ∈ Ox; B ( 0;b ) ∈ Oy ) Phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ : Ax + By + C = có dạng Ax + By + m = ( m ≠ C ) Phương trình đường thẳng d vng góc với đường thẳng ∆ : Ax + By + C = có dạng Bx − Ay + m = 4, Các kiến thức khác Cho A ( x A ; y A ) ; B ( x B ; y B ) ; C ( x C ; y C ) uuur - Véc tơ AB ( x B − x A ; y B − y A )  x + x B yA + yB  ; - Toạ độ trung điểm I AB I  A ÷ 2   uuur uuur 2 - Độ dài vectơ AB AB = AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) - Nếu điểm M ( x M ; y M ) chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ≠ x A − kx B  x = M uuuu r uuur  1− k MA = kMB ⇔   y = y A − ky B  M 1− k uuur uuur  x B − x A = k ( x C − x A ) ⇔ AB = kAC ⇔ - A, B, C thẳng hàng   y B − y A = k ( yC − y A ) - Nếu A, B, C đỉnh tam giác, gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có:  x + x B + x C y A + yB + yC  G A ; ÷ 3   r Quy ước: Pháp tuyến đường thẳng ký hiệu n r Chỉ phương đường thẳng ký hiệu u Phần II: Nêu phương pháp chung để giải toán: Trong tốn Viết phương đường thẳng d phương pháp chung xác định véc tơ phương vetơ pháp tuyến đường thẳng toạ độ điểm mà đường thẳng qua sau áp dụng dạng phương trình đường thẳng nêu để viết phương trình đường thẳng Phần III: dạng tập thường gặp Các toán tam giác Dạng 1: Tam giác ABC biết đỉnh A, biết hai trung tuyến xuất phát từ đỉnh lại BM, CN Tìm toạ độ B; C, viết phương trình cạnh tam giác Phương pháp: Cách 1: B1: Tìm toạ độ trọng tâm G ( x G ; y G ) ABC B2: Tham số hoá toạ độ B ( x B ; y B ) ; C ( x C ; y C ) theo phương trình BM, CN B3: Tìm toạ độ B, C: áp dụng công thức: xG = xA + xB + xC y + y B + yC ; yG = A 3 B4: Viết phương trình cạnh Cách 2: B1: Tìm toạ độ trọng tâm G ( x G ; y G ) ABC B2: Xác định điểm H đối xứng với A qua G theo công thức trung điểm Khi tứ giác BGCH hình bình hành B3: Lập phương trình đường thẳng HC qua H song song với trung tuyến BM C giao điểm HC với CN B4: Lập phương trình đường thẳng HB qua H song song với trung tuyến CN B giao điểm HB với BM B5: Viết phương trình cạnh ví dụ: 1, Cho tam giác ABC có A ( 1;3) hai đường trung tuyến BL: x − 2y + = CK: y − = Viết phương trình cạnh tam giác ABC Bài giải: Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC nghiệm hệ phương trình:  x − 2y + =  x = ⇔ ⇒ G ( 1;1)  y − = y = Gọi G' điểm đối xứng với A qua G Ta có: xA + xG '   x G =  x G ' = 2x G − x A x G ' = ⇔ ⇔ ⇒ G ' ( 1; −1)  y + y y = 2y − a y = − G' G A  G'  G' y = A G  Tứ giác BGCG' hình bình hành nên G'C // BL nên phương trình G'C có dạng: x − 2y + m = G ' ∈ G 'C ⇒ − ( −1) + m = ⇔ m = −3 Phương trình G'C là: x − 2y − = y − = x = ⇔ ⇒ C ( 5;1) Tọa độ đỉnh C nghiệm hệ:  x − 2y − = y =   Lại có G'B // CK nên phương trình G'B có dạng: y + n = mà G ' ∈ G 'B ⇒ + n = ⇔ n = Phương trình G'B là: y + = y + =  x = −3 ⇔ ⇒ B ( −3; −1) Tọa độ đỉnh B nghiệm hệ:   x − 2y + =  y = −1 Khi đó: Phương trình cạnh AB là: x − y + = Phương trình cạnh AC là: x + 2y − = Phương trình cạnh BC là: x − 4y − = 2, Cho tam giác ABC có A ( −2;3) hai đường trung tuyến BM: x − 2y + = CN: x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Bài giải: Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC nghiệm hệ phương trình: 2x − y + =  x = ⇔ ⇒ G ( 1;3)  x + y − = y =   Vì B thuộc đường thẳng BM nên giả sử B ( x B ; y B ) thì: x B − 2y B + = ⇔ y B = xB +1 x +1  ⇒ B x B; B ÷ 2   Tương tự C ( x C ;4 − x C ) Mặt khác G ( 1;3) trọng tâm tam giác ABC nên ta có:  −2 + xB + xC  1 = x = B  xB + xC =   ⇔ ⇔  xB +  xB − xC =  x = 13  + + − xC C 3 =      13  Vậy B  ; ÷; C  ; − ÷  6  3 BBTT: Cho tam giác ABC có A ( 3;1) hai đường trung tuyến BM: 2x − y − = CN: x − = Lập phương trình cạnh tam giác ABC Dạng 2: Tam giác ABC biết đỉnh A đường cao BH, CK Tìm tọa độ đỉnh B; C, lập phương trình cạnh tam giác ABC Phương pháp: B1: Lập phương trình cạnh AB qua A vng góc với CK Lập phương trình cạnh AC qua A vng góc với BH B2: Tìm toạ độ điểm B, C B3: Lập phương trình cạnh BC Ví dụ: 1> Lập phương trình cạnh ∆ABC cho A ( 2; −1) đường cao xuất phát từ B C có phương trình 2x − y + = 3x + y + = Bài giải: Vì BH ⊥ AC nên cạnh AC có phương trình x + 2y + m = , AC qua A nên − + m = ⇔ m = Phương trình cạnh AC là: x + 2y = Vì CK ⊥ AB nên cạnh AB có phương trình x − 3y + n = , AB qua A nên + + n = ⇔ n = −5 Phương trình cạnh AB là: x − 3y − =  x = −   x + 2y =  2 ⇔ ⇒ C − ; ÷ Tọa độ điểm C nghiệm hệ   5 3x + y + =  y =   x = −  x − y − =   11  ⇔ ⇒ B − ;− ÷ Tọa độ điểm B nghiệm hệ   5 2 x − y + =  y = − 11  uuu r  13  uuur Khi BC =  ; ÷ = ( 4;13) nên vectơ pháp tuyến BC n BC = ( 13; −4 ) 5  8  11   Phương trình cạnh BC có dạng: 13 x + ÷−  y + ÷ = ⇔ 13x − 4y + 12 = 5  5  2> Tam giác ABC có A ( 2;1) phương trình hai đường cao BH: x + y + = CK: 2x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Bài giải: Cạnh AB qua A ( 2;1) vng góc với CK: 2x + y − = nên AB có phương trình: 1( x − 1) − ( y − ) = ⇔ x − 2y + = Tương tự cạnh AC qua A ( 2;1) vng góc với BH: x + y + = nên AC có phương trình: 1( x − 1) − 1( y − ) = ⇔ x − y + =  x=−  x − y + =   2 ⇔ ⇒ B − ; ÷ Toạ độ điểm B nghiệm hệ:   3 x + y + = y =   x =  x − y + = 1 4 ⇔ ⇒ C ; ÷ Toạ độ điểm C nghiệm hệ:  3 3 2x + y − =  y =  BBTT: 1> Lập phương trình cạnh ∆ABC cho A ( −1; −3) đường cao xuất phát từ B C có phương trình 5x + 3y − 25 = 3x + 8y − 12 = 2> Cho ∆ABC có phương trình cạnh AB: 5x − 3y + = đường cao xuất phát từ A B có phương trình 4x − 3y + = 7x + 2y − 22 = Dạng 3: Tam giác ABC biết đỉnh A, phương trình đường cao BH trung tuyến xuất CK Xác định tọa độ đỉnh B, C; lập phương trình cạnh Phương pháp: B1: Lập phương trình cạnh AC qua A vng góc với BH Từ tìm tọa độ điểm C giao điểm AC trung tuyến CK B2: Tham số hoá toạ độ B ( x B ; y B ) ; K ( x K ; y K ) (với K trung điểm AB) xA + xB  x = K  theo phương trình BH, CK Tìm toạ độ B nhờ:   y = yA + yB  K B3: Lập phương trình cạnh AB; BC ví dụ: 1> Xác định tọa độ đỉnh A; C ∆ABC biết B(0; −2) đường cao (AH) : x − 2y + = ; trung tuyến (CM) : 2x − y + = Bài giải: Theo BC qua B(0; −2) vng góc với (AH) : x − 2y + = nên phương trình cạnh BC là: 2x + y + = Suy toạ độ C nghiệm hệ: 2 x + y + =  x = −1 ⇔ C ( −1;0 )  2 x − y + = y = xA + xB x +0   xM = A  x M =   2 ⇔ Giả sử A ( x A ; y A ) ta có:   y = yA + yB y = yA − M   M 2 Vì M thuộc trung tuyến CM nên x A yA − − + = ⇔ 2x A − y A + = 2 Tọa độ điểm A nghiệm hệ: 11  x = − A   x A − 2y A + =  11  ⇔ ⇒ A − ;− ÷   3 2x A − y A + =  x = − A   11  Vậy A  − ; − ÷; C ( −1;0 )  3 2> Xác định tọa độ đỉnh B; C ∆ABC biết A(4; −1) đường cao (BH) : 2x − 3y = ; trung tuyến (CK) : 2x + 3y = Bài giải: Theo AC qua A(4; −1) vng góc với (BH) : 2x − 3y = nên phương trình cạnh AC là: 3x + 2y − 10 = 3 x + y − 10 = x = ⇔ ⇒ C ( 6; −4 ) Suy toạ độ C nghiệm hệ:  2 x + y =  y = −4   Giả sử B ( x B ; y B ) ta có: 2x B − 3y B = nên y B = x B B  x B ; x B ÷     Tương tự toạ độ K  x K ; − x K ÷ Vì K trung điểm AB nên ta có:   + xB  xA + xB x =  K   x K =  ⇔  y + y − + xB A B y =  2x K K = −  2  11  x = K  2x − x B =  5 ⇔ K ⇔ ⇒ B − ; − ÷  6 4x K + 2x B =  x = − B  BTTT: Lập phương trình cạnh ∆ABC biết C(3;5) phương trình đường cao đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh 5x + 4y − = 8x + y − = Dạng 4: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC biết trọng tâm G Xác định tọa độ đỉnh, lập phương trình cạnh lại Phương pháp: B1 (Chung cho cách): tìm toạ độ điểm A giao điểm AB AC uuuu r uuur uuur uuuu r Suy toạ độ điểm M trung điểm BC nhờ : AG = 2GM AM = AG Cách 1: B2: Tham số hoá toạ độ B ( x B ; y B ) ; C ( x C ; y C ) theo phương trình AB, AC B3: Tìm toạ độ B; C nhờ: xB + xC  x = M    y = y B + yC  M B4: lập phương trình BC Cách 2: B2: Viết phương trình đường thẳng MN qua M song song với AC với N trung điểm AB Tìm tọa độ điểm N uuur uuur B3: Từ AB = 2AN suy tọa độ điểm B Phương trình cạnh BC qua B nhận uuur BM làm vectơ phương Từ tìm tọa độ C Ví dụ: 1> Tam giác ABC biết phương trình AB: 4x + y + 15 = ; AC: 2x + 5y + = trọng tâm G ( −2; −1) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, viết phương trình BC Bài giải Toạ độ điểm A nghiệm hệ: 4x + y + 15 =  x = −4 ⇔ ⇒ A ( −4;1)  2x + 5y + = y =   Gọi M ( x; y ) trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC nên:  x − x = ( x G − x A )  x = −1 M A  uuuu r uuur  ⇔ M ⇒ M ( −1; −2 ) AM = AG ⇔  y = − 2  M y − y = ( y − y ) M A G A  Gọi N trung điểm AB Phương trình đường thẳng MN // AC có dạng: 2x + 5y + m = Điểm M ∈ MN ⇒ −2 − 10 + m = ⇔ m = 12 Phương trình MN là: 2x + 5y + 12 =  2x + 5y + 12 =  x = −   ⇔ ⇒ N  − ; −1 ÷ Tọa độ điểm N nghiệm hệ    4x + y + 15 =  y = −1 uuur uuur  x B − x A = ( x N − x A )  x = −3 ⇔ B ⇒ B ( −3; −3) Ta có AB = 2AN ⇒   y B = −3  y B − y A = ( y N − y A ) uuur Đường thẳng BC qua B nhận BM = ( 2;1) làm vectơ phương có dạng: x+3 y+3 = ⇔ x − 2y − =  x − 2y − = x = ⇔ ⇒ C ( 1; −1) Tọa độ điểm C nghiệm hệ:  2x + 5y + = y = −   2> Tam giác ABC biết phương trình AB: x + y − = ; AC: x − y + = trọng tâm G ( 1;2 ) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài giải Toạ độ điểm A nghiệm hệ: x + y + =  x = −2 ⇔ ⇒ A ( −2;1)   x − y + =  y = Gọi M ( x; y ) trung điểm BC, G trọng tâm nên:  x = 3 = ( x − 1) uuur uuuu r  ⇒ M 5;  ⇔ ⇔   AG = 2GM  ÷ 2 2 y = 1 = ( y − )  Vì B thuộc AB nên toạ độ B ( x B ; y B ) với x B + y B − = ⇔ y B = − x B nên B ( x B ;1 − x B ) Tương tự C ( x C ; x C + 3) 5 5 Mà M  ; ÷ trung điểm BC nên ta có: 2 2 xB + xC   xB + xC x = M   = x B + x C = x B = 2 ⇔ ⇔ ⇔     − x B + x C =  x C =  y = y B + yC  = − xB + xC +  M  2 nên B ( 1;0 ) ; C ( 4;7 ) BBTT: Tam giác ABC biết phương trình AB: 2x − 3y − = ; AC: x + 9y + 28 = trọng tâm G ( 4; −2 ) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Dạng 5: Tam giác ABc biết hai cạnh AB, AC trực tâm H Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, viết phương trình cạnh BC Phương pháp: B1: tìm toạ độ điểm A giao điểm AB AC B2: Tham số hoá toạ độ B(xB ; yB) theo AB B3: Tìm toạ độ B: uuur uuur uuur Vì H trực tâm nên HB vectơ pháp tuyến AC Vậy HB.u AC = uuur B4: Phương trình cạnh BC qua B có HA véc tơ pháp tuyến Ví dụ: Tam giác ABC biết phương trình cạnh AB: 5x − 2y + = cạnh AC: 4x + 7y − 21 = H ( 0;0 ) trực tâm tam giác Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh BC Bài giải: Toạ độ A nghiệm hệ phương trình: 5x − 2y + = x = ⇔ ⇒ A ( 0;3)  4x + 7y − 21 = y =   5x B + 5x +   ⇒ B  x B; B ÷ 2   uuur Mặt khác H trực tâm nên HB ⊥ AC Suy HB vectơ pháp tuyến Vì B ( x B ; y B ) ∈ AB ⇒ 5x B − 2y B + = ⇔ y B = uuur uuur 5x + = ⇔ x B = −4 ⇒ B ( −4; −7 ) AC Suy ra: HB.u AC = ⇔ 7x B − B uuur Tương tự, HA vectơ pháp tuyến BC Vậy phương trình cạnh BC là: ( x + ) + 3( y + ) = ⇔ y + = 35  y + = x =  35  ⇔ ⇒ C  ; −7 ÷ Tọa độ đỉnh C nghiệm hệ:    4x + 7y − 21 =  y = −7  BTTT: Tam giác ABC biết phương trình cạnh AB: 3x − 2y − = cạnh AC: x + y − = H ( −2;4 ) trực tâm tam giác Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh BC Dạng 6: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC I tâm đường tròng ngoại tiếp tam giác Xác định tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh BC Phương pháp: B1: Tìm toạ độ điểm A giao AB AC Gọi M trung điểm cạnh AB Vì I trực tâm nên IM ⊥ AB ⇒ M Tìm toạ độ B nhờ M trung điểm AB B2: Gọi N trung điểm AC Vì I trực tâm nên IN ⊥ AC ⇒ N Tìm toạ độ C nhờ N trung điểm AC B3: Lập phương trình cạnh BC Ví dụ: Tam giác ABc biết phương trình cạnh AB: x + y − = ; cạnh AC: 2x − y − = I ( 1;1) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Xác định tọa độ đỉnh Bài giải: x + y − = x = ⇔ ⇒ A ( 1;0 ) Tọa độ điểm A nghiệm hệ  2x − y − = y =   Gọi M ( x M ; y M ) trung điểm AB Ta có x M + y M − = ⇔ y M = − x M ⇒ M ( x M ;1 − x M ) uuu r uuur 1 1 IM.u ⇒ M ; ÷ Vì IM ⊥ AB nên AB = ⇔ −1( x M − 1) + ( − x M ) = ⇔ x M = 2 2 Tương tự N ( x N ;2x N − ) trung điểm AC uur uuur 7 4 IN.u ⇒ N ; ÷ Ta có: AC = ⇔ 1( x N − 1) + ( 2x N − ) = ⇔ x N = 5 5 Mặt khác M trung điểm AB nên suy B ( 0;1) 9 8 Tương N trung điểm AC nên suy B  ; ÷ 5 5 Dạng 7: Tam giác ABC biết đỉnh A, hai đường phân giác góc B góc C Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh tam giác Phương pháp: B1: Tìm điểm A1 điểm đối xứng A qua đường phân giác góc B Suy A1 thuộc đường thẳng BC B2: Tìm điểm A2 điểm đối xứng A qua đường phân giác góc C Suy A2 thuộc BC B3: Lập phương trình đường thẳng BC qua A1;A B4: Tìm tọa độ B; C giao điểm BC với AB; AC Chú ý: Bài tốn: Tìm điểm đối xứng M’ M qua đường thẳng ∆ Phương pháp: B1: Lập phương trình d qua M d vng góc với ∆ B2: Gọi I giao điểm d với ∆ Tìm I B3: Gọi M’ điểm đối xứng với M qua ∆ Khi I trung điểm MM’ xM + xM '  x = I  Vậy tìm M’ nhờ:   y = yM + yM '  I Ví dụ:Cho ∆ : x + 3y + = M ( −1;3) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua ∆ Bài giải: uu r uur Gọi d đường thẳng qua M vng góc với ∆ Ta có n d = u ∆ = (3; −1) phương trình tổng quát d: ( x + 1) − 1( y − 3) = ⇔ 3x − y + = gọi I giao điểm d với ∆ , toạ độ I nghiệm hệ:  x + 3y + =  x = −2 ⇔ ⇒ I ( −2;0 )  3x − y + = y = Giả sử M ' ( x M ' ; y M ' ) điểm đối xứng với M qua ∆ Ta có: xM + xM' −1 + x M '   x = − = I    x = −3 2 ⇔ ⇔  M' ⇒ M ' ( −3; −3)  y + y + y y = − M M ' M '  M ' y = 0 = I   ví dụ : Tam giác ABC biết A ( 2; −1) phương trình hai đường phân giác góc B ( d B ) : x − 2y + = góc C ( d C ) : 2x − 3y + = Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh tam giác Bài giải: Gọi A1 điểm đối xứng A qua ( d B ) : x − 2y + = Vì AA1 qua A vng góc với d B nên AA1 có phương trình: ( x − ) + 1( y + 1) = ⇔ 2x + y − = Khi tọa độ giao điểm I d B AA1 nghiệm hệ: 2x + y − =  x = ⇔ ⇒ I ( 1;1) I trung điểm A A1   x − 2y + = y = Từ suy A1(0;3) Gọi A2 điểm đối xứng A qua ( d C ) : 2x − 3y + = Phương trình đường thẳng AA2 qua A vng góc với dC có dạng: ( x − ) + ( y + 1) = ⇔ 3x + 2y − = Khi tọa độ giao điểm J d C AA2 nghiệm hệ: 3x + 2y − =  x = ⇔ ⇒ J ( 0;2 )  2x − 3y + = y = Toạ độ A ( −2;5 ) Khi A1và A2 thuộc BC Vậy phương trình cạnh BC: (A1A2) là: 1( x − ) − 1( y − 3) = ⇔ x − y + = x − y + =  x = −5 ⇔ ⇒ B ( −5; −2 ) Suy toạ độ B nghiệm hệ  x − 2y + = y = −   x − y + =  x = −3 ⇔ ⇒ C ( −3;0 ) toạ độ C nghiệm hệ  2x − 3y + = y =   BTTT: Tam giác ABC biết A ( 2; −1) phương trình hai đường phân giác góc B ( d B ) : x − 2y + = góc C ( d C ) : x + y + = Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh tam giác Dạng 8: Tam giác ABC biết A, đường cao BH, đường phân giác góc C Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh tam giác Phương pháp: B1: Lập phương trình cạnh AC vng góc với BH qua A Suy toạ độ điểm C B2: Tìm điểm đối xứng A’ A qua đường phân giác góc C Suy A’ thuộc BC B3: Lập phương trình cạnh BC qua điểm C, A’ B4: Lập phương trình cạnh AB Tìm B ví dụ: 1> Cho tam giác ABC biết A ( −1;3) , đường cao BH: x − y = Đường phân giác góc C nằm đường thẳng ∆ : x + 3y + = Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh tam giác Bài giải: Theo AC vng góc với BH Vậy phương trình cạnh AC: 1( x + 1) + 1( y − 3) = ⇔ x + y − =  x + 3y + =  x = ⇔ ⇒ C ( 4; −2 ) Toạ độ C nghiệm hệ:  x + y − = y = −   Gọi A’ điểm đối xứng A qua đường phân giác ∆ : x + 3y + = Phương trình đường thẳng AA’: ( x + 1) − 1( y − 3) = ⇔ 3x − y + = Ta có trung điểm I AA’ giao AA’ với ∆ 3x − y + =  x = −2 ⇔ ⇒ I ( −2;0 ) Tọa độ trung điểm I nghiệm hệ:   x + 3y + = y = Vậy I ( −2;0 ) nên A ' ( −3; −3) A’ thuộc BC Vậy phương trình BC phương trình CA’: 1( x + 3) − ( y + 3) = ⇔ x − 7y − 18 = x − y = x = −3 ⇔ ⇒ B ( −3; −3) ≡ A '  x − 7y − 18 =  y = −3 Suy toạ độ B nghiệm hệ  Phương trình cạnh AB: 3x − y + = 2> Cho tam giác ABC biết B ( 2; −1) , đường cao AH: 3x − 4y + 27 = Đường phân giác góc C nằm đường thẳng ∆ : 2x − y + = Tìm tọa độ đỉnh C lập phương trình cạnh BC, AC tam giác Bài giải: Theo BC vng góc với AH Vậy phương trình cạnh BC: ( x − ) + ( y − 1) = ⇔ 4x + 3y − = 4x + 3y − =  x = −1 ⇔ ⇒ C ( −1;3) Toạ độ C nghiệm hệ:  2x − y + = y =   Gọi K điểm đối xứng B qua đường phân giác ∆ : 2x − y + = Phương trình đường thẳng BK: 1( x − ) + ( y + 1) = ⇔ x + 2y = Ta có trung điểm I BK giao BK với ∆  x + 2y =  x = −2 ⇔ ⇒ I ( −2;1) Tọa độ điểm I nghiệm hệ  2x − y + =  y = Vậy I ( −2;1) nên K ( −6;3) K thuộc AC Vậy phương trình AC phương trình CK: ( x + ) − ( y − 3) = ⇔ y − = BTTT: Lập phương trình cạnh tam giác MNP biết N ( 2; −1) ; đường cao hạ từ M xuống NP có phương trình là: 3x − 4y + 27 = ; đường phân giác hạ từ đỉnh P có phương trình là: x + 2y − = Dạng 9: Tam giác ABC biết đỉnh A, đường trung tuyến hạ từ đỉnh B, đường phân giác góc C Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh tam giác Phương pháp: B1:Tìm toạ độ A’ điểm đối xứng A qua đường phân giác góc C B2: Tham số hoá toạ độ C ( x C ; y C ) theo đường phân giác góc C ( ) Tham số hoá toạ độ B1 x B1 ; y B1 theo đường trung tuyến hạ từ B B3: Tìm toạ độ C nhờ B trung điểm AC ví dụ:1> Tam giác ABC biết A ( 4;4 ) ; trung tuyến BB1: x − 3y − = , đường phân giác góc C có phương trình: ∆ : x − 2y − = Tìm tọa độ đỉnh tam giác Bài giải: Gọi A’ điểm đối xứng A qua ∆ : x − 2y − = Phương trình đường thẳng AA' ( x − ) + 1( y − ) = ⇔ 2x + y − 12 = Trung điểm I AA' nghiệm hệ: 2x + y − 12 =  x = ⇔ ⇒ I ( 5;2 ) Ta có A ' ( 6;0 )  x − 2y − = y =   Giả sử C ( x C ; y C ) C∈ ∆ nên: x C − 2y C − = ⇒ C ( 2y C + 1; y C ) ( ) ( Tương tự điểm B1 x B1 ; y B1 thuộc BB1: x − 3y − = nên B1 3y B1 + 2; y B1 Mà B1 trung điểm AC nên: ) xA + xC + 2y C +   x = 3y + =  B B   6y B1 − 2yC =  y B1 = − 2 ⇔ ⇔ ⇔  y + y + y 2y − y = C C C y = A y =  yC = −11  B1 B1  B1    17  Vậy B1  − ; − ÷ C ( −21; −11)  2 Phương trình cạnh BC qua C A1 có dạng: ( x + 21) − ( y + 11) = ⇔ 3x − 5y + = 17  x=−   x − 3y − =  ⇒ B  − 17 ; −  ⇔ Tọa độ đỉnh B nghiệm hệ:   ÷  2 3x − 5y + =  y = −  2> Tam giác ABC biết C ( 4;3) ; đường phân giác đường trung tuyến góc A có phương trình x + 2y − = 4x + 13y − 10 = Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh tam giác Bài giải: Ta có AD ∩ AM = { A} nên tọa độ điểm A nghiệm hệ:  x + 2y − = x = ⇔ ⇒ A ( 9; −2 )  4x + 13y − 10 = y = −   Phương trình cạnh AC là: 1( x − ) + 1( y − 3) = ⇔ x + y − = Gọi N ( x1; y1 ) điểm đối xứng với C qua phân giác AD Suy N ∈ AB Phương trình đường thẳng CN là: 2x − y − = CN ∩ AD = { I} nên tọa độ điểm I nghiệm hệ: 2x − y − = x = ⇔ ⇒ I ( 3;1)   x + 2y − =  y = Vì I trung điểm CN nên N ( 2; −1) Phương trình cạnh AB qua A N nên có phương trình là: 1( x − ) + ( y + ) = ⇔ x + 7y + = xB + xC xB +  x = = M  2 M trung điểm BC nên   y = y B + yC = yB +  M 2 B ( x B ; y B ) ∈ AB M thuộc đường trung tuyến nên ta có hệ phương trình:  x B + 7yB + =  x + 7y B = −5  x = −12  ⇔ B ⇔ B ⇒ B ( −12;1)   xB +   yB +  + 13 − 10 = 4x + 13y = − 35 y =  ÷  B B  B   ÷      Phương trình cạnh BC là: 1( x − ) − ( y − 3) = ⇔ x − 8y + 20 = BTTT: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết C ( −1;3) ; đường trung tuyến hạ từ A có phương trình là: x + 2y − = ; đường phân giác hạ từ đỉnh A có phương trình là: 4x + 13y − 10 = Dạng 10: Tam giác ABC biết đỉnh B, đường cao AH, đường phân giác ngồi góc C Xác định tọa độ đỉnh viết phương trình cạnh tam giác Phương pháp: B1: Viết phương trình cạnh BC qua B vng góc với AH Suy C giao điểm BC với phân giác ngồi góc C B2: Gọi k hệ số góc cạnh AC, k1 hệ số góc phân giác ngoại góc C, k hệ số góc BC áp dụng k1 − k k − k1 = ⇒k + k1k + kk1 B3: Viết phương trình cạnh AC qua C có hệ số góc k Suy A giao điểm AH AC B5: Viết phương trình cạnh AB qua A B Ví dụ: Cho tam giác ABC biết B ( 2; −1) , phương trình đường cao AH: 3x − 4y + 27 = , phương trình đường phân giác ngồi góc C: x + 2y − = Tìm tọa độ đỉnh viết phương trình cạnh tam giác Bài giải: Phương trình cạnh BC qua B vng góc với AH là: 4x + 3y − = Suy C giao điểm BC với phân giác ngồi góc C Tọa độ điểm C 4x + 3y − =  x = −1 ⇔ ⇒ C ( −1;3) nghiệm hệ  x + 2y − = x =   Gọi k hệ số góc cạnh AC, k1 = − C, k = − hệ số góc phân giác ngoại góc k1 − k k − k1 = ⇒k=0 hệ số góc BC áp dụng + k1k + kk1 Phương trình cạnh AC qua C có hệ số góc k = là: y − = Suy A giao điểm AH AC Tọa độ điểm A nghiệm hệ: y − =  x = −5 ⇔ ⇒ A ( −5;3)   3x − 4y + 27 = x =   Phương trình cạnh AB qua A B là: 4x + 7y − = Kết thực Giúp học sinh tỏ say mê, hứng thú học tập coi thành công người giáo viên Kết đa số em nắm vững phương pháp giải dạng tập nhiều em có lời giải xác Như chắn phương pháp cụ thể mà nêu đề tài giúp em phân loại tập nắm vững phương pháp làm trình bầy bài; giúp em tự tin học tập thi Kiến nghị sau trình thực đề tài - Mở rộng khuyến khích việc mở lớp chun đề, ơn luyện, kiểm tra đánh giá việc ôn luyện học sinh - Mong muốn lớn thực đề tài học hỏi, đồng thời giúp em học sinh trước hết bớt khó khăn gặp tốn tìm tọa độ đỉnh viết phương trình cạnh tam giác, đồng thời ôn luyện lại cho học sinh mối quan hệ đường thẳng, từ em say mê học tốn Đề tài tơi hẳn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong q thầy cơ, đồng nghiệp đọc đóng góp ý kiến cho tơi để đề tài tơi hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! Chiêm Hóa, ngày 30 tháng 04 năm 2017 Người viết Đoàn Ngọc Hải ... chọn SKKN: "Phân loại tốn tìm toạ độ đỉnh, viết phương trình cạnh tam giác giúp học sinh lớp 10A3 năm học 2016-2017 giải tốt tập" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số loại tốn tìm tọa độ đỉnh, viết phương. .. − = Lập phương trình cạnh tam giác ABC Dạng 2: Tam giác ABC biết đỉnh A đường cao BH, CK Tìm tọa độ đỉnh B; C, lập phương trình cạnh tam giác ABC Phương pháp: B1: Lập phương trình cạnh AB qua... lập phương trình cạnh tam giác Dạng 8: Tam giác ABC biết A, đường cao BH, đường phân giác góc C Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh tam giác Phương pháp: B1: Lập phương trình cạnh AC vng góc