CHUYÊN ĐỀ - TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định lý Lagrange: Cho f hàm liên tục để:  a; b , có đạo hàm  a; b  Lúc tồn c � a; b  f  b  f  a   f ' c  f  b  f  a    b  a  f ' c  ba hay  a; b , có đạo hàm  a; b  Định lý Rolle: Cho f hàm liên tục c � a; b  để f ' c  f  a  f  b Lúc tồn  a; b , có đạo hàm  a; b  Định lý Cauchy: Cho f g hai hàm liên tục x � a; b  và g '  x  �0 Lúc tồn c � a; b  để f  b  f  a  f ' c  g  b  g  a  g ' c  Tính đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng - Nếu f đồng biến  a; b  - Nếu f nghịch biến - Nếu f '  x  �0 biến khoảng - Nếu f '  x  �0  a; b  với f '  x  �0 x � a; b  với f '  x  �0 x � a; b  đó: với f ' x   x � a; b  số hữu hạn điểm  a; b  hàm số đồng  a; b  với nghịch biến khoảng x � a; b  f ' x   số hữu hạn điểm  a; b  hàm số  a; b  - Nếu f đồng biến khoảng đồng biến  a; b   a; b  liên tục  a; b  ; liên tục  a; b  www.LuyenThiThuKhoa.vn  a; b  đồng biến đồng biến  a; b  ; liên tục  a; b  a; b Phone: 094 757 2201 - Nếu f nghịch biến nghịch biến - Nếu f ' x   a; b   a; b  liên tục  a; b  ; liên tục  a; b  nghịch biến nghịch biến  a; b  ; liên tục  a; b  a; b với x �D hàm số f không đổi D Cực trị hàm số Cho hàm số f xác định tập hợp D x0 �D x0 gọi điểm cực đại f tồn khoảng  a; b  chứa điểm x0 cho  a; b  �D f  x   f  x0  x � a; b  \  x0  , x0 gọi điểm cực tiểu f tồn khoảng  a; b  chứa điểm x0 cho  a; b  �D f  x   f  x0  , x � a; b  \  x0  Bổ đề Fermat: Giả sử hàm số có đạo hàm - Cho y  f  x liên tục khoảng  a; b   a; b  Nếu f đạt cực trị điểm f ' x  đổi dấu từ âm sang dương f đạt cực tiểu x0 Nếu f ' x  đổi dấu từ dương sang âm f đạt cực đại x0 y  f  x f '  x0    a; x0   x0 ; b  : chứa x0 có đạo hàm khoảng Nếu - Cho x0 � a; b  có đạo hàm cấp hai khoảng  a; b  chứa x0 Nếu f '  x0   f ''  x0   f đạt cực tiểu x0 Nếu f '  x0   f ''  x0   f đạt cực đại x0 Ứng dụng vào phương trình - Nếu hàm số f đơn điệu K phương trình f  x  có tối đa nghiệm Nếu f  a  , a thuộc K f  x  x  a nghiệm phương trình f  x  - Nếu f có đạo hàm cấp khơng đổi dấu K f ' hàm đơn điệu nên phương trình có tối đa nghiệm K Nếu f  a  f  b  f  x  với a �b phương trình có nghiệm x  a x  b www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 - Nếu f hàm liên tục c � a; b  nghiệm Đặc biệt,  a; b , có đạo hàm  a; b  phương trình f ' x  f  b  f  a  ba có f  a  f  b  phương trình f ' x  có nghiệm c � a; b  hay hai nghiệm f có nghiệm đạo hàm f ' Chú ý: 1) Tung độ cực trị Hàm đa thức: y  f  x x  x0 : y  q  x  y ' r  x  � y0  r  x0  y  f  x  Hàm hữu tỉ: u  x0  u '  x0  u  x � y0   v  x v  x0  v '  x0  Đặc biệt: Với hàm y  f  x thẳng qua CĐ, CT y  r  x bậc có CĐ, CT y  q  x  y ' r  x  phương trình đường 2) Số nghiệm phương trình bậc 3: ax  bx  cx  d  0, a �0 Nếu f '  x  �0, x Nếu f ' x  hay f '  x  �0, x f  x  có nghiệm có nghiệm phân biệt và: f  x  Với yC Ð yCT  : phương trình có nghiệm f  x  Với yC Ð yCT  : phương trình có nghiệm (1 đơn, kép) f  x  Với yC Ð yCT  : phương trình có nghiệm phân biệt CÁC BÀI TỐN Bài tốn 1.1: Chứng minh hàm số sau hàm không đổi � � � � f  x   cos x  cos �x  � cos x cos �x  � � 3� � 3� a) b) f  x    sin x  sin  a  x   2cos a.cos x.cos  a  x  Hướng dẫn giải � � � � � � � � f '  x   2cos x sin x  2cos �x  � sin �x  � sin x cos �x  � cos x.sin �x  � � 3� � 3� � 3� � 3� a) 2 �   sin x  sin � 2x  � � � � 2x  � � sin � 3� � � www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 � �    sin x  2cos � 2x  � sin 2� � � �   sin x  cos � x  � � , với x � Do f R nên f  x   f  0   1   4 b) Đạo hàm theo biến x (a số) f '  x   2sin x cos x  cos  a  x  sin  a  x   2cos a � sin x cos  a  x   cos x sin  a  x  � � �  2sin x  sin  x  2a   2cos a.sin  x  a   Do f R nên Bài tốn 1.2: Cho đa thức minh: P  x  �Q  x  f  x   f     sin a  2cos a  sin a P  x Q  x thỏa mãn: P ' x   Q ' x với x P  0  Q  0 Chứng Hướng dẫn giải f  x  P  x  Q  x , D  � Xét hàm số Ta có f ' x   P ' x   Q ' x   f  x   f  0  P  0  Q  0   f  x P  x 0 Q  x theo giả thiết, f  x hàm nên với x Bài toán 1.3: Chứng minh rằng: a) b) arcsin x  arccos x  2arctan x  arcsin  , x �1 2x   , x �1  x2 Hướng dẫn giải a) Nếu x  1, x  1 f  x   arcsin x  arccos x Nếu 1  x  xét hàm số � f ' x   1  x2 b) Với x �1 , xét  �1 �   � f  x   C  f � � �2 �  x2 1 f  x   2arctan x  arcsin www.LuyenThiThuKhoa.vn 2x  x2 Phone: 094 757 2201  x2  x2   2 f ' x      0 2 1 x  x  x 2 � 1 x � � 2� 1 x � � Ta có Suy f  x   C  f  1   Bài tốn 1.4: Tính gọn (vì x �1 )      4 arctan x  arctan x với x �0 Hướng dẫn giải Xét Với f  x   arctan x  arctan x � 0; � x D   �;0  � 0; � f liên tục có đạo hàm 1 x2    f ' x     x2  x2  x2  x2  0; � x2 nên f Do Với f  x   f  1  x � �;0  Do      4 f liên tục có đạo hàm f  x   f  1   f ' x  nên f  �;0       4 �  x  � �2 arctan x  arctan  � x � x  � Vậy Bài toán 1.5: Tìm số c định lý Lagrange: a) y  f  x   2x2  x  b) y  f  x   arcsin x trên  1;2  0;1 Hướng dẫn giải a) Hàm số y  f  x   2x2  x  Lagrange tồn số c � 1;2 www.LuyenThiThuKhoa.vn liên tục  1;2 có đạo hàm f ' x   4x  , theo định lý cho: Phone: 094 757 2201 f    f  1 63  f ' c  �  4c  � 4c  � c    1 b) Hàm số y  f  x   arcsin x Lagrange tồn số liên tục c � 0;1  0;1 f ' x  có đạo hàm 1  x , theo định lý cho:  0 f  1  f    f ' c  �  1 1  c2 �  c2    c  1 � c2   2    Chọn Bài toán 1.6: Xét chiều biến thiên hàm số: y a) y  x  x  b)  x  4 Hướng dẫn giải a) D  � Ta có Cho y '  x3  x  x  x  1 y '  � x  x  1  � x  x  � BBT x � y' −1 − 0 + � − + y Vậy hàm số nghịch biến khoảng  �; 1  0;1 , đồng biến khoảng  1;0  1; � b) D  �\  4 y'  Ta có 2  x  4 y '  khoảng  4;� nên y nghịch biến khoảng  4;� y '  khoảng  �;4  nên y đồng biến khoảng  �;4  Bài tốn 1.7: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y a) x3 y x 6 www.LuyenThiThuKhoa.vn b) x 1 1 x Phone: 094 757 2201 Hướng dẫn giải a) Tập xác định y'  Ta có:     D  �;  � 6; � 2x2  x2  9  x2  6 x2  , y '  � x  �3 BBT: x �  −3 y' + � − − + y  �; 3 ,  3; � , Vậy hàm số đồng biến khoảng  3;   ;  b) D   �;1 6;3 nghịch biến khoảng  y'  Ta có 3 x  1 x  0, x  0; 2  b) y  x  sin x  a) y  x  cos x Hướng dẫn giải a) D  � Ta có y '   2cos x sin x   sin x y '  � sin x  � x    k , k �� Hàm số liên tục đoạn   � �  k  ,  k     � � �4 � y'  khoảng    � � � �  k ;   k  1  � , k �� �  k ;   k  1  � � 4 �4 �nên đồng biến đoạn �4 � Vậy hàm số đồng biến �  x  0;2 b) y '   cos x Ta có Vì hàm số liên tục đoạn y'  0;2  y '  � x  x  2 nên hàm số đồng biến đoạn  0; 2  Bài toán 1.9: Chứng minh hàm số a) y  cos x  x  nghịch biến � y b) sin  x  a  sin  x  b   a �b  k ; k �� www.LuyenThiThuKhoa.vn đơn điệu khoảng xác định Phone: 094 757 2201 Hướng dẫn giải a) x1 , x2 ��, x1  x2 Lấy hai số a, b cho a  x1  x2  b Ta có: Vì f '  x   2  sin x  1 �0 f ' x   a; b  số hữu hạn điểm khoảng  a; b  nên hàm số f nghịch biến khoảng � đpcm b) Điều kiện y'  x � a; b  với x �b  k  k �� sin  x  b  cos  x  a   sin  x  a  cos  x  b  sin  b  a   sin  x  b  sin  x  b  Vì y ' liên tục điểm x �b  k , a  b �k nên y ' giữ nguyên dấu khoảng xác định � đpcm Bài tốn 1.10: Tìm giá trị tham số để hàm số: a) y   m  3 x   2m  1 cos x nghịch biến � b) y  x  3x  mx  m nghịch biến đoạn có độ dài Hướng dẫn giải a) y '  m    2m  3 sin x Hàm số y không hàm nên y nghịch biến �: y ' �0, x � m    2m  1 sin x �0, x m    2m  1 sin x  m    2m  1 t  f  t  Đặt t  sin x, 1 �t �1 Điều kiện tương đương: f  t  �0, t � 1;1 � m  �0 � �f  1 �0 �� �� � 4 �m � 3m  �0 � �f  1 �0 b) D  �, y '  x  x  m,  '   3m Xét  ' �0 y ' �0, x : Hàm ln đồng biến (loại) Xét  '  � m  y '  có nghiệm x1 , x2 nên www.LuyenThiThuKhoa.vn x1  x2  2, x1 x2  m Phone: 094 757 2201 BBT: � x x1 y' + � x2 − + y x2  x1  �  x2  x1   � x12  x22  x1 x2  Theo đề bài: 15 �  x2  x1   x1 x2  �  m  � m   (thỏa) Bài tốn 1.11: Tìm cực trị hàm số sau: a) y   x  2  x  3 b) y  x  x  2 Hướng dẫn giải y '   x    x  3   x   a)  x  3  x  x    x  3 Ta có y '  � x  2 x  x  BBT � x −2 y' + y 0 − b) Hàm số y  f  x + 0 � Vậy điểm cực đại � + � −108  2;0  cực tiểu  0; 108 liên tục � Ta có: � x  x   � f  x  � �x  x   x  x �0 Với x  0, f '  x   2 x  2; f '  x   � x  1 Với x  0, f '  x   x   www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 BBT x � −1 y' + y � − + Vậy điểm CĐ  1;1 , CT  0;0  Bài tốn 1.12: Tìm cực trị hàm số x 1 y x 8 a) x3 y x2  b) Hướng dẫn giải y'  a) D  � Ta có x   x  x  1  x2  8   x2  2x  x  8 y '  � x  4 x  BBT � x y' −4 − y 0 + b) Tập xác định 3x y'   yC Ð    1 x  4; yCT   , đạt CT  D  �;  � 6; � x 6  − 1/4 −1/8 Hàm số đạt CĐ x  , � x4 2 2 x   3x  x    x  x  x   3 x2   x2  6  x2  6 y '  � x  x  �3 www.LuyenThiThuKhoa.vn 10 Phone: 094 757 2201 �2 x  3x  x  16 �0 � 2 �x �4 �  x � � a) ĐK f  x   x  x  x  16   x Xét:  x  x  1 f ' x   2 x3  3x  x  f  x Suy Do BPT: 0 4x hàm số đồng biến f  x   f  1 � x  Vậy S   1;  �x  �0 �1 x ۣ �  x �0 � b) Điều kiện: x  x   x   x  x  11   x BPT: �   x  1 Xét hàm số Đạo hàm: 2   3 x y  f  t   t   t , D   0; � t f ' x   Do BPT  x  3   x 1  t2   t 0 nên f đồng biến  1;3 � f  x  1  f   x  � x    x � x  Vậy nghiệm bất phương trình S   2;3 Bài toán 1.24: Giải bất phương trình  x  x2   x  x2  a) b)  x �5 �  �  x �  x  �2 � Hướng dẫn giải a) Đặt t  x  x , BPT: Xét hàm số f  t    t   t , 3 �t �2 Với 3  t  Ta có  t   t  1, 3 �t �2 f ' t   f  1    1  0  3;2  3t 2t nên f đồng biến nên bất phương trình: f  t   f  1 � t  � x  x   � www.LuyenThiThuKhoa.vn 1 1 x 2 21 Phone: 094 757 2201 �5 � � x  �  x �  x  �x � �2 � PT b) ĐK: Với x  BPT khơng thỏa mãn Với BPT thỏa mãn x �5 � g  x   x  �  x �  x 0 x �2 � Xét hàm số Với 4 �5 � g '  x   x  x �  x �  x  x  3  0  4x �2 �  4x � 3� �1 � �1 � 0; � g � � g  x   g � �� x  � g  x Vậy �2 � nên nghịch biến � � , mà �2 � nên bất phương trình �1 � S �; � �2 � tập nghiệm Bài toán 1.25: Chứng minh phương trình: x13  x  3x  3x   có nghiệm Hướng dẫn giải Đặt f  x   x13  x  3x  x  1, D  � f  x   x  x  1  x  x  1   x � Xét : vơ nghiệm f  x   x13    x   Xét �x  : vơ nghiệm f '  x   13 x12  x  12 x  x Xét x   13 x12  x  x  1  www.LuyenThiThuKhoa.vn nên f đồng biến 22 Phone: 094 757 2201 Bảng biến thiên: � x y' + y � f  x  Nên có nghiệm x  Vậy phương trình cho có nghiệm Bài tốn 1.26: Chứng minh hệ phương trình có nghiệm nhất: �x  y  y  y  a �2 �y  z  z  z  a �z  x  x  x  a � Hướng dẫn giải Xét hàm f  t   t3  t2  t  a f '  t   3t  2t   có f  t hàm đồng biến Hệ PT: �x  f  y  � �2 �y  f  z  �2 �z  f  x  Không giảm tổng quát giả sử x lớn số f  x x �� y � z - Xét �z x2 f  y f  z y Nếu z �0 x �y �z �0 y2 z2 f  x x y z Nếu x 0�0���� x2 y2 � x 2� y 2�� z  x2 f  y z2 x f  z y x y z z y2  f  z   f  0  a � a  Nếu x   z Khi Lại có z  f  x   f  0  a � z   a   � y2  f  z   f  a   a z � y - Xét x �� z2 y2   a  �0 : vơ lí x2 Tương tự y �0 hay x �0 ta suy x  y  z Nếu x   y � x2  f  y   f  0  a z  f  x   f  0  a www.LuyenThiThuKhoa.vn Nếu z  a 23 Phone: 094 757 2201 � x z� a x2 z2 z2 y2 z2 � x  y  z trái với x   y Nếu z   a lí luận ta dẫn đến mâu thuẫn Vậy hệ có nghiệm x  y  z  t0 t0 nghiệm phương trình: t3  t2  t  a  �x  y  � �2 y  x  có nghiệm phân biệt Bài tốn 1.27: Chứng minh hệ � Hướng dẫn giải Trừ phương trình vế theo vế thay ta được: x2   x   y   y   �   y    x     x3    y   � 1 x  1 y �  y  y    x  x2  � � � �  1 x 1 y  y  x 1 x  y   1;0  Xét y  hệ có nghiệm  0;1 Xét x  hệ có nghiệm 3 Xét x  y x  y  � x  x   f  x   x3  x  1, D  � Đặt Ta có f  1  �0 f '  x   x  x, f '  x   � x   x  BBT x � −2/3 y' + y − f  x  0 + � −23/27 � Do � −1  x ;y  có nghiệm x0  , x0 �1 nên hệ có nghiệm 0 3 Xét  x  y  � y   x  nên y  x  � x  x  x  � x  x2  x  2  � x  Do hệ có nghiệm  0;1 Vậy hệ có nghiệm phân biệt Bài tốn 1.28: Tìm tham số để phương trình a)  x   x  a có nghiệm www.LuyenThiThuKhoa.vn 24 Phone: 094 757 2201 x  mx   x  có nghiệm phân biệt b) Hướng dẫn giải a) Xét f  x  1 x   x , D  � f ' x       x  1 x  1 x   1 x 2 33   x   x lim f  x   lim x �� x �� Tương tự   x ��1  x ��  lim , f ' x  � x    x   x  lim 1 x  2  lim f  x   x �� x  1   x ��  1 x  1 x  x  1   0 Lập BBT PT có nghiệm �  a �2 � �2 x  �0 � �2 � x  x   mx, x � �x  mx    x  1 b) PT 3x  x  1  m, x � x Vì x  khơng thỏa mãn nên: Xét f  x  3x  x  1 3x  , x � , x �0 f ' x   x x2 BBT: x  f' � + + � f � � Điều kiện phương trình cho có nghiệm phân biệt x �  �۳ ,x � f  x  m có nghiệm phân biệt m Bài tốn 1.29: Tìm m để phương trình a)   �2 x  x2 � m x  34 x  x  2 x  � www.LuyenThiThuKhoa.vn 25 � � � có nghiệm Phone: 094 757 2201 �� 0; � � tan x   sin x  2cos x   m  sin x  3cos x  � � b) có nghiệm thuộc khoảng Hướng dẫn giải a) Điều kiện: x  2 � � � �m x   x  x   � x2 � � PT  x  x2 � m2 x   x  x  2  x  x  x2 � x2   x  x  2    m2  x x2 � x x2  34   m2 x x2 Đặt Xét t  x2 ,0  t   3t   m ,  t  x PT: t f  t   3t , t � 0;1 � f '  t      0, t � 0;1 t t Bảng biến thiên t f ' t  f  t − � 2 Vậy phương trình cho có nghiệm  m  2 �   m  b) Điều kiện: cos x �0 tan x �1 Đặt t  tan x  �0 , phương trình: tan x  sin x  2cos x sin x  3cos x m cos x cos x � tan x   tan x    m  tan x  3 � tan x   tan x   1  m  tan x    � 3t  t  1  m  t   � m  www.LuyenThiThuKhoa.vn 3t  3t t2  26 Phone: 094 757 2201 y Xét hàm số y'  3t  3t t  với t � 1; � , 3t  15t  t  2 0 m  y  1 � m  Vậy phương trình có nghiệm Bài tốn 1.30: Tìm tham số để phương trình a)  4m   x    3m    x  m   b) x  x    a  x    2a  x    a  x  3x   có nghiệm vơ nghiệm Hướng dẫn giải a) Điều kiện: 3 �x �1 đó: �m PT  Ta có: x   1 x 1 x   1 x 1 x3   x   2sin   1 x  2 nên đặt: 2t 1 t2 ;  x  2cos   1 t2 1 t2 7t  12t    m t  tan � � , �t �1 2, 5t  16t  Với nên: 7t  12t  f  t  , t � 0;1 5t  16t  Xét f ' t   52t  8t  60  5t  16t    0, t � 0;1 Vậy điều kiện phương trình có nghiệm f   ��� m �f  1 m b) Xét x  �  : loại Xét x �0 Chia vế cho x phương trình: x3  x    a  x    2a     a     x x x �3 � � � � 1� �x  � �x  �   a  �x  �  2a  � x � � x � � x� 1 t  x  , t �2 � t  x   x x Đặt www.LuyenThiThuKhoa.vn 27 Phone: 094 757 2201 t  x3  � 1�  �x  � x3  13  t  3t x � x �nên x Do phương trình: t  3t   t      a  t   2a   t   a  t  3t  3t  Khi t  2 phương trình khơng thỏa t  3t  3t   t  1 a  t2 t2 Khi t �2 phương trình: Đặt f  t   t  1 t2 , t  2 hay t �2  2t  5  t  1 f ' t   2  t  2 27 27 f  t  � t �D a 4 Lập BBT nên PT vơ nghiệm Bài tốn 1.31: Tìm tham số để bất phương trình có nghiệm 3 a) sin x  cos x �m cos 2 x   sin x  cos x   3sin x  m �0 b) Hướng dẫn giải a) Xét Đặt f  x   sin x  cos3 x   sin x  cos x    sin x.cos x  t  sin x  cos x; t � � t   2sin x cos x � sin x cos x  t 1 �  t  1 � �  t  t h t   t � 1 � 2 � t � � � Ta có với 3 h '  t    t   � t  �1 2 Lập BBT bất phương trình có nghiệm m �1 2 t � b) Đặt t  sin x  cos x , t   2sin x cos x � sin x  t  cos 2 x   sin 2 x  t  2t BPT: Xét t  2t  t  m  �0;  t � 2 f  t   t  2t  t  m  www.LuyenThiThuKhoa.vn 28 Phone: 094 757 2201 f '  t   2t  2t  3t  1 ; f '  t   � t  0; ;1 0 Lập BBT suy điều kiện có nghiệm là: m �۳ m Bài tốn 1.32: Tìm điều kiện m để hệ bất phương trình có nghiệm � x  x  �0 (1) �3 �x  3x x  m  15m �0 (2) Hướng dẫn giải Xét  1 : x  3x  �0 � 1 �x �4 Ta tìm điều kiện ngược lai, tức tìm m để: f  x   x3  3x x  m  15m  0; x � 1;4  �x  x  m2  15m; 1 �x �0 � f  x   �3 2 �x  3x  m  15m;0  x �4 Vì � 3x  x; 1 �x �0 � � f ' x  � 3x  x;0  x �4 � 1 �x  � �x �2 � f '  x   x  x   �0  x �4 Khi � f '  x   3x  x    f '  x   3x  x    Do  m  15m  16  � m  16 �m  Vậy điều kiện có nghiệm 16 �m �1 a b c   0 Bài toán 1.33: Cho số a, b, c thỏa mãn abc �0 Chứng minh phương trình: ax  bx  c  có nghiệm Hướng dẫn giải Xét hàm số F  x  a b c x  x  x , F '  x   x  ax  bx  c   x f  x  F  x liên nên theo dụng định lí Lagrange tục,  0;1 có đạo tồn hàm c � 0;1 F  1  F    F ' c  1 Mà Vì F    0, F  1  c � 0;1 a b c   0 F ' c  c2 f  c   nên hay f  c  � nên c �0 đpcm www.LuyenThiThuKhoa.vn 29 Phone: 094 757 2201 : Bài tốn 1.34: Cho hàm số f có đạo hàm số phân biệt a; b thuộc  0;1 cho  0;1 thỏa mãn f '  a  f ' b   f    0; f  1  Chứng minh tồn Hướng dẫn giải Xét hàm số g  x  f  x  x 1 Ta có: g    1  Do f  c  c 1  , g  1   hay g  x nên tồn số c thuộc tồn  0;1 cho  0;1 g  c  f  c   c Áp dụng định lý Lagrange cho f đoạn a � 0; c  liên tục có đạo hàm  0;c   c;1 thì: f  c   f  0  f ' a  c0 cho: f  1  f  c   f ' b b � c;1 1 c tồn cho: f ' a  f ' b  nên: f  c 1 f  c 1 c c  1 c 1 c c 1 c Vậy tồn số phân biệt a; b thuộc Bài toán 1.35: Cho hàm số f  x  0;1 cho có đạo hàm f ' a  f ' b   0;1 nhận giá trị dương Chứng minh bất phương f '  x   f  x  �  f  1  f     trình: có nghiệm Hướng dẫn giải Xét hàm số: g  x   arctan x; h  x   g ' x   Ta có: f  x  x  0;1 , g  x  , h  x  có đạo hàm  0;1 2x ; h ' x    f  x  f ' x  2 1 x  x2   x2  Theo định lý Cauchy tồn c � 0;1 cho: f  1  f  0 2c  f ' c   f  c h  1  h   h '  c    c  0 g  1  g   g '  c  hay 2c f  1  f     f '  c   f  c   c2 nên  www.LuyenThiThuKhoa.vn 30 Phone: 094 757 2201 Vì  c  nên  c �2c f  c  f '  cc   nên 2c f  c  �f '  c   f  c   c2 � đpcm Bài toán 1.36: Giả sử f hàm xác định x0 � a; b   a; b  , có đạo hàm đến cấp n   a; b  Chứng minh tồn c nằm x x0 để có: n 1 f '  x0  f ''  x0  f    x0  f    c n n 1 f  x   f  x0    x  x0    x  x0     x  x0    x  x0  1! 2! n!  n  1 ! n Ta tìm đa thức Pn  x  có bậc khơng vượt n cho f  x0   Pn  x0  , f '  x0   Pn/  x0  , , f  n  x   Pn n  x0  Pn  x   A0  A1  x  x0   A2  x  x0    An  x  x0  với: n Lúc đó: Pn/  x   A1  A2  x  x0    nAn  x  x0  n 1 Pn/ /  x   A2  3.2 A3  x  x0    n  n  1 An  x  x0  n2 …… Pn  x   n! An n Do thay x  x0 vào đẳng thức ta được: Pn  x0   A0 , Pn/  x0   A1 , Pn//  x0   A2 , , Pn Như vậy: n  x0   n! An f  x0   A0 , A1  f '  x0  , A2  f '  x0  , , f  n  x0   n! An nên: f '  x0  f ''  x0  f    x0  n Pn  x   f  x0    x  x0    x  x0     x  x0  1! 2! n! n Đặt Rn  x   f  x   Pn  x  nên: Rn  x0   Rn/  x0    Rn Đặt F  x    x  x0  Với x � a; b  n 1 thì: ta viết Theo định lý Cauchy ta có www.LuyenThiThuKhoa.vn ta suy n Rn n  x  f n  x  Pn n n  x  x0   F  x0   F '  x0    Fn n  x0   Rn  x  Rn  x   Rn  x0   F  x F  x   F  x0  Rn  x  Rn/  1   F  x  F '  1  với 1 nằm x x0 31 Phone: 094 757 2201 Ta lại có Rn/  1  Rn/  1   Rn/  x0   F '  1  F '  1   F '  x0  Rn/  1  Rn//     F '  1  F ''    theo định lý Cauchy ta được: với  nằm 1 x0 Rn  x  Rn   c   F  x  F  n1  c  n 1 Sau n  lần áp dụng định lý Cauchy ta với c nằm  n x0 , c nằm x x0 Rn  x  f    c   F  x  n  1 ! n 1 Nhưng Rn  x  n 1 f n 1  x F n 1  x    n  1 ! nên Vậy: n 1 f '  x0  f ''  x0  f ( n )  x0  f    c 2 n 1 f  x   f  x0    x  x0    x  x0     x  x0    x  x0  1! 2! n!  n  1 ! c điểm nằm x x0 Công thức gọi công thức khai triển Taylor hàm f điểm x  x0 BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 1.1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a) y 2x x 9 y b) x 1 x2  x  Hướng dẫn y'  a) Kết 2  x   x  9 0 nên hàm số cho nghịch biến khoảng  �; 3 ,  3;3 ,  3; � b) Kết đồng biến  �;1 , nghịch biến  1; � Bài toán 1.2: Tìm m để hàm số: a) b) y x2   m  2 x  m  x 1 đồng biến khoảng xác định y m x  x  2x   1;� đồng biến Hướng dẫn a) Tập xác định D   �; 1 � 1; � www.LuyenThiThuKhoa.vn 32 Phone: 094 757 2201 Tính đạo hàm y ' lập luận y ' �0 D Kết m �1 b) Kết m �1 Bài tốn 1.3: Tìm cực trị hàm số: y a) x3 x2  b) y  x  x  5 Hướng dẫn a) Hàm số lẻ Tính đạo hàm lập BBT Kết CĐ x  3; yC Ð  9 3, CT x  3; yCT  b) Kết CĐ x  0, yC Ð  CT x  2; yCT  3 Bài tốn 1.4: Tìm cực trị hàm số: a) y  x  sin x  b) y  sin x  cos x Hướng dẫn a) Tập xác định D  �, y '   2cos x, y ''  4sin x Dùng dấu đạo hàm cấp Kết quả: CĐ yCT  x     k , k ��, yC Ð    k  2 x   k 6 ; đạt CT , k ��;   k  2 b) Kết điểm cực đại x  5  k x  k 8 , điểm cực tiểu Bài toán 1.5: y  x   3m  1 x  12  m2  m  x  a) Tìm m để hàm số đường thẳng qua CĐ, CT có cực đại cực tiểu Viết phương trình x  2mx   3m y xm b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục Oy Hướng dẫn a) Tập xác định D  � Lấy y chia y ' y    m  1 x   m  m   3m  1  m � Kết b) Kết 1  m  Bài toán 1.6: Chứng minh hàm số a) y  x3  ax    b  x  a  4b  ab www.LuyenThiThuKhoa.vn ln ln có cực đại cực tiểu với tham số a, b 33 Phone: 094 757 2201 b) x2  3x  x ba điểm cực trị phân biệt A, B, C Tính diện tích tam giác ABC y Hướng dẫn    '  a  a  b  0, a, b y ' a) có b) Kết S 27 Bài toán 1.7: Giải phương trình: 3x  18 x  24  a) 1  2x  x 1  x  x2   x  x2  b) Hướng dẫn  x  5   x  1  a) PT: � 2x   1  2x  x 1 1  x 1  2x  x 1 Kết x  x  b) Kết x 1� Bài tốn 1.8: Giải phương trình: a) x   x3   x x2  3x   x2  3x   b) Hướng dẫn a) Điều kiện: x � Ta có: x 2� x x2 Chia vế cho x x3 x 3 x3 phương trình: 1    1 0 x x x x x x x Kết nghiệm x  b) Hàm đơn điệu Kết x  Bài tốn 1.9: Giải hệ phương trình: www.LuyenThiThuKhoa.vn 34 Phone: 094 757 2201 �  x  1 x   y  3   y   � � 4x  y2   4x  � � b) � � x 1  y  1 x � x  1  y  � � a) Hướng dẫn giải a) Điều kiện x �1, y �0 Hệ phương trình tương đương với: � � x    x  1  x   (1) � y   x  1 (2) � f  t   t    t  1  t  8, Xét hàm số với t �1 Kết x  3, y  x  ;y 2 b) Kết Bài toán 1.10: Giải bất phương trình: a) x   x   20  x  13 b) x  x   x  x  11   x  x  Hướng dẫn a) Điều kiện: x �1 BPT viết lại: Xét f  x x   x   x  13 �20 hàm số vế trái, x �1 thì: f ' x   1   0 x 1 x  x  13 Kết x �3 b) Kết �x  Bài tốn 1.11: Chứng minh phương trình có nghiệm nhất: x  x  15 x  x  x   Hướng dẫn Chứng minh hàm VT đồng biến khoảng www.LuyenThiThuKhoa.vn  0; � , 35 x �0 vơ nghiệm Phone: 094 757 2201