P x Trục pha M N O a 2 a 1 a Tổng hợp dao động cùng phơng khác tần số góc Hiện tợng phách. A. Lí thuyết 1. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng ph ơng, khác chu kì Giả sử có hai dao động điều hoà cùng phơng, khác tần số góc: ( ) 1111 cos += tax ( ) 2222 cos += tax (giả sử 12 > ) a. Phơng pháp vectơ quay - Biểu diễn: dao động x 1 bằng vectơ 1 a có độ dài a 1 quay theo chiều dơng với tần số góc 1 ; dao động x 2 bằng vectơ 2 a có độ dài a 2 quay theo chiều dơng với tần số góc 2 . - Dao động tổng hợp đợc biểu diễn bằng vectơ a . Trong đó: 21 aaa += Tại thời điểm t: ( ) ( ) tMOP 1212 += Sử dụng định lí hàm số Côsin trong tam giác OMN, ta có: ( ) ( ) [ ] taaaaa 121221 2 2 2 1 cos2 +++= Phơng trình dao động điều hoà có dạng: + + = tax 2 cos 21 Tuy nhiên phơng pháp trên không xác định đợc pha ban đầu. Vì vậy để đơn giản hơn ta có thể sử dụng phơng pháp đồ thị. b. Phơng pháp đồ thị Đồ thị của các dao động điều hoà x 1 , x 2 , x đợc biểu diễn nh hình vẽ. t x ng gch chm v ng chm chm biu din cỏc dao ng thnh phn, ng nột lin m biu din dao ng tng hp. 1 Tổng hợp dao động cùng phơng khác tần số góc Hiện tợng phách. Ta thấy chuyển động tổng hợp không còn là một dao động điều hoà mà là một dao động tuần hoàn phức tạp. 2. Chuyển động phách Xét tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phơng, tần số góc khác nhau rất ít. ( ) 1111 cos += tax ( ) 2222 cos += tax ( 12 > ) Trong đó = 12 Để đơn giản ta giả sử 2 dao động thành phần có cùng biên độ a 1 =a 2 =a và pha ban đầu bằng không: 0 21 == . Dao động tổng hợp có dạng: ( ) ( ) [ ] ttaxxx 2121 coscos +=+= + = tta 2 cos 2 cos2 2112 đặt = taA 2 cos2 12 là biên độ của dao động tổng hợp. Tần số góc của dao động + 2 21 ( = 12 ). Vậy dao động tổng hợp thu đợc có tần số góc gần bằng , biên độ = taA 2 cos2 12 biến đổi điều hoà chậm với chu kì 12 2 = T . Hiện tợng trên đợc gọi là hiện tợng phách. Chu kì T đợc gọi là chu kì phách. Tần số phách: 12 12 2 1 ff T f = == . Trong đó f 1 , f 2 là tần số góc của dao động thành phần. Đồ thị phách có thể biểu diễn nh sau: t X B. Bài tập 2 Tổng hợp dao động cùng phơng khác tần số góc Hiện tợng phách. Bài 1: Một vật thực hiện dao động tổng hợp với tần số góc riêng của các dao động thành phần xấp xỉ nhau. 1. Trong 5 giây, ngời ta đếm đợc đúng 11 lần vật đạt biên độ dao động cực đại. Giải thích hiện tợng. Tìm chu kì phách. 2. Ngời ta thấy biên độ cực đại vật đạt đợc là 2cm. Tìm biên độ của các dao động thành phần, biết rằng chúng bằng nhau. 3. Bằng máy đo chính xác, ngời ta đếm đợc vật thực hiện 50 dao động toàn phần trong một chu kì phách. Viết phơng trình dao động, biết các pha ban đầu bằng 0. Giải: 1. Vật thực hiện dao động tổng hợp có các tần số góc riêng của các dao động thành phần xấp xỉ nhau, do đó xuất hiện hiện tợng phách. Ngời ta đếm đợc vật đạt biên độ cực đại đúng 11 lần trong vòng 5 giây. Suy ra vật đã trải qua 11 - 1 = 10 chu kì phách. Vậy chu kì phách là: ( ) sT p 5,0 10 5 == . 2. Vì phơng trình dao động có dạng: ( ) ( ) 21 cos.cos2 ++= ttAx , với A là biên độ của các dao động thành phần. )(1 )(22 cmA cmA = = 3. Trong một chu kì phách, T p = 0,5(s); vật thực hiện 50 dao động toàn phần. Suy ra: )(01,0 50 5,0 sT == Ta có: )(2 1 === s T T P P ( ) 1 200 2 == s T Vì 0 0201 == nên phơng trình dao động có dạng nh sau: ttx 2cos.200cos2 = Bài 2: Một vật đồng thời chịu tác dụng của hai nguyên nhân tạo ra hai dao động điều hoà cùng phơng có phơng trình lần lợt là: 1 sin80x t = (cm) 2 sin 72x t = (cm) a) Xác định chuyển động do sự tổng hợp của hai dao động này. b) Xác định tần số của phách. Giải: a) Chuyển động tổng hợp của hai dao động có biểu thức: 2 .sin 2 2 t y Acos t = + ữ với 2 + 2 .sin 2 t y Acos t = Biên độ của dao động biến đổi theo hàm sin: 3 Tổng hợp dao động cùng phơng khác tần số góc Hiện tợng phách. 2 2 4 2 t B Acos cos t = = (cm) Với 2 1 4 2 T = = (s) Thay số ta đợc 2 4 .sin 72y cos t t = (cm) b) 1 40f Hz= , 2 36f Hz= 1 2 40 36 4f f f Hz= = = Bài 3: Một vật thực hiện một dao động tổng hợp trong đó các dao động thành phần có dạng nh sau: )(26cos5 )(24cos5 2 1 cmtx cmtx = = 1. Tổng hợp hai dao động trên. Nêu nhận xét. 2.Vẽ đồ thị của dao động tổng hợp. Giải: 1. Phơng trình dao động tổng hợp của vật là: ( ) ttttxxx 25cos.cos1026cos24cos5 21 =+=+= Nhận xét: - Vật dao động nhanh với tần số góc 25 (rad/s). -Biên độ biến đổi chậm với tần số góc (rad/s). Nh vậy, xuất hiện hiện tợng phách với tần số phách f P = 1 (Hz). Đồ thị của dao động tổng hợp có thể vẽ nh sau: t X Bài 4: Khi trình bày các dao động thành phần tổng hợp với nhau, ngời ta thờng dùng đồ thị dạng phổ diễn tả biên độ và tần số của mỗi dao động. Theo cách trình bày đó, một dao động do sự tổng hợp của ba dao động cùng phơng có phổ nh hình vẽ. a) Lập phơng trình của mỗi dao động thành phần. 4 A(m) 0,03 0,02 0,01 O 0,2 0,5 1 f(s -1 ) Tổng hợp dao động cùng phơng khác tần số góc Hiện tợng phách. b) Vẽ đồ thị của các dao động thành phần, giả sử độ lệch pha giữa chúng là không ở thời điểm gốc. Suy ra đồ thị của dao động tổng hợp. Giải: 1. Phơng trình Theo phổ đã cho: A 1 = 0,03 m = 3cm; f 1 = 0,2 s -1 A 2 = 0,02 m = 2cm; f 2 = 0,5 s -1 A 3 = 0,01 m = 1cm; f 3 = 1,0 s -1 Các phơng trình có dạng: ( ) . 2 i i i i x A cos f t = + Do đó: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 3 0,4 2 2 x cos t x cos t x cos t = + = + = + 2. Đồ thị: Chọn 1 2 3 2 = = = t X Bài 5: Hai thanh đồng chất giống nhau, có momen quán tính I đối với đờng trung trực, đợc gắn chặt vào một dây kim loại căng thẳng đứng giữa hai điểm cố định D, E. Hằng số xoắn của hai đoạn dây trên và dới là C, của đoạn giữa là C (hằng số xoắn bằng 5 D E C C C 1 2 Tổng hợp dao động cùng phơng khác tần số góc Hiện tợng phách. momen lực mà dây sinh ra khi xoắn một góc 1 rad). ở vị trí cân bằng, hai thanh song song với nhau và dây không bị xoắn. Chứng minh nếu 'C C= thì có hiện tợng phách đối với mỗi thanh. Tính tần số phách . Giải: Nếu thanh 1 quay góc 1 , thanh 2 không quay thì thanh 1 chịu tác dụng của momen xoắn 1 1 'C C + . Nếu cả thanh 2 cũng quay góc 2 thì thanh 1 chịu tác dụng của momen lực ( ) 1 1 2 'C C + , thanh 2 chịu tác dụng của momen ( ) 2 1 2 'C C . Phơng trình động lực học cho vật rắn: ( ) 1 1 2 . '' ' ' 0I C C C + + = ( ) 2 2 1 . '' ' ' 0I C C C + + = Đặt 1 2 = + 1 2 = '' . 0 2 ' '' . 0 C I C C I + = + + = Hai phơng trình trên có nghiệm: ( ) 1 2 1 1 A cos t = + = + với C I = ( ) 1 2 2 2 'A cos t = = + với 2 'C C I + = ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 ' ' ' . . 2 2 2 A cos t A cos t A cos t cos t + = + + + = ữ ữ ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 ' ' ' .sin .sin 2 2 2 A cos t A cos t A t t + = + + = ữ ữ Nếu 'C C= ' ' 2 = 1 ' . . 2 A cos t cos t + = ữ 2 ' .sin .sin 2 A t t + = ữ Chứng tỏ có hiện tợng phách với tần số phách ' 2 = . Bài 6: Hai thanh mảnh A và B đồng chất, cùng khối lợng m, chiều dài mỗi thanh là l đ- ợc treo vào hai điểm O và O trên một giá đỡ nằm ngang. Một lò xo nhẹ khối lợng không đáng kể đợc gắn vào trung điểm mỗi thanh. Ban đầu lò xo không co giãn. Kéo nhanh thanh A ra khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ 0 rồi buông ra. Tìm quy luật chuyển động của mỗi thanh sau đó. Có nhận xét gì nếu tỉ số l g m k << . Vẽ đồ thị diễn tả sự phụ thuộc của góc lệch của mỗi thanh so với phơng thẳng đứng trong trờng hợp này. 6 Tổng hợp dao động cùng phơng khác tần số góc Hiện tợng phách. Giải: dh F Gọi L 0 là độ dài tự nhiên của lò xo. Tại một thời điểm t nào đó, góc lệch của thanh A là 1 , góc lệch của thanh B là 2 . Chiều dài của lò xo là: ( ) 210 2 += l LL Độ giãn của lò xo là: ( ) 210 2 == l LLL Lực đàn hồi của lò xo là: ( ) 21 2 . == kl LkF dh Coi 1 , 2 rất bé. Do đó 1sin 1 , 0cos 1 . Mô-men lực tác dụng lên thanh A đối với trục quay đi qua O là: ( ) 2111 2 .sin 2 . += l F l PM dh ( ) 21 2 11 42 + kll mgM Phơng trình động lực học cho chuyển động quay của thanh A qua trục quay đi qua O: 11 . O IM = ( ) 1 2 21 2 1 3 1 42 =+ ml kll mg (1) Tơng tự với thanh B: Mô-men lực tác dụng lên thanh B đối với trục quay đi qua O là: ( ) 2122 2 .sin 2 . = l F l PM dh ( ) 21 2 22 42 kll mgM Phơng trình động lực học cho chuyển động quay của thanh B qua trục quay đi qua O: 22 . O IM = O O A B l m l m P P dh F 2 1 7 Tổng hợp dao động cùng phơng khác tần số góc Hiện tợng phách. ( ) 2 2 21 2 2 3 1 42 = ml kll mg (2) Đặt: )3( 21 21 = += v u . Suy ra )4( 21 21 = + = v u Lấy (1) cộng (2) rồi thay (3) và (4) vào, ta đợc: 0 2 3 =+ u l g u Nghiệm của phơng trình trên có dạng: ( ) 11 cos += tAu (5) Với . 2 3 1 l g = Lấy (1) trừ (2) rồi thay (3) và (4) vào, ta đợc: 0 2 3 = ++ v m k l g v Nghiệm của phơng trình trên có dạng: ( ) 22 cos += tBv (6) Với . 2 3 2 += m k l g Từ (3), (5), (6): ( ) ( ) ( ) ( ) ++= +++= )8(cos 2 2cos 2 )7(cos 2 cos 2 22112 22111 t B t A t B t A Ban đầu: = = 0 2 01 = = 0 0 2 1 = += 21 210 cos 2 cos 2 0 cos 2 cos 2 BA BA Lấy đạo hàm hai vế của (7) và (8) rồi thay thế các điều kiện ban đầu vào: 8 Tổng hợp dao động cùng phơng khác tần số góc Hiện tợng phách. = = = = += = 0 0 0sin 0sin sin 2 sin 2 0 sin 2 sin 2 0 2 1 22 11 2211 2211 B A BA BA Do đó: 0 0 22 0 22 == = += BA BA BA Sau khi buông thanh A ra, các thanh chuyển động theo quy luật: Thanh A: ( ) tt 21 0 1 coscos 2 += Thanh B: ( ) tt 21 0 2 coscos 2 = Với . 2 3 1 l g = và . 2 3 2 += m k l g Đặt 2 , 2 2121 = + = , ta viết lại biểu thức của 1 và 2 nh sau: tt tt sin.sin cos.cos 02 01 = = Nếu l g m k << thì 21 , xảy ra liên kết yếu. Khi đó >> , xuất hiện hiện tợng phách (biên độ biến đổi chậm với tần số góc và vật thực hiện dao động nhanh với tần số góc ). Đồ thị dao động của các thanh khi xuất hiện hiện tợng phách nh sau: 9 Tæng hîp dao ®éng cïng ph¬ng kh¸c tÇn sè gãc – HiÖn tîng ph¸ch. t alpha1 Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của góc lệch của thanh A theo thời gian khi xuất hiện hiện tượng phách t alpha1 Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của góc lệch của thanh B theo thời gian khi xuất hiện hiện tượng phách 10 . gian khi xuất hiện hiện tượng phách t alpha1 Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của góc lệch của thanh B theo thời gian khi xuất hiện hiện tượng phách 10 Tæng. hiện hiện tợng phách (biên độ biến đổi chậm với tần số góc và vật thực hiện dao động nhanh với tần số góc ). Đồ thị dao động của các thanh khi xuất hiện