Đang tải... (xem toàn văn)
Ôn thi Cao học môn Toán kinh tế - Phần II: Xác suất Tài liệu Ôn thi Cao học - Môn Toán kinh tế - Phần II: Xác suất - Các công thức cơ bản: Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có thứ tự gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho.
ÔN THI CAO HỌC MÔN TOÁN KINH TẾ (Biên soạn: Trần Ngọc Hội - 2007) PHẦN II: XÁC SUẤT A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN §1 ÔN VỀ TỔ HP 1.1 Định nghóa: Một tổ hợp chập k n phần tử nhóm thứ tự gồm k phần tử phân biệt rút từ n phần tử cho Ví dụ: Các tổ hợp chập phần tử x, y, z là: {x,y}; {x,z}; {y,z} 1.2 Công thức tính tổ hợp: Gọi k Cn số tổ hợp chập k n phần tử Ta có công thức: k Cn = Ví dụ: C20 = n! k !( n − k )! 20! = 38760 6!14! Chú ý: Trên máy tính có phím chức nCr, ta tính C20 cách bấm 20 nCr = 1.3 Bài tóan lựa chọn: Một lô hàng chứa N sản phẩm, có NA sản phẩm loại A N- NA sản phẩm lọai B Chọn ngẫu nhiên n sản phẩm (0 < n < N) Với số nguyên k thỏa ≤ k ≤ NA, ≤ n-k ≤ N-NA Tìm số cách chọn n sản phẩm, có k sản phẩm loại A Lời giải Để chọn n sản phẩm, có k sản phẩmloại A ta tiến hành bước: Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ NA sản phẩm loại A Số cách chọn k CN A Bước 2: Chọn n-k sản phẩm loại B từ N-NA sản phẩm loại B Số cách chọn n C N−kN A − Theo nguyên lý nhân ta có số cách n sản phẩm, có k sản phẩm loại A là: k n CN A CN−kN A − §2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 2.1 Phép thử biến cố 1) Phép thử thí nghiệm thực điều kiện xác định Một phép thử cho nhiều kết khác nhau, kết gọi biến cố Ví dụ: Thực phép thử tung xúc xắc đồng chất mặt Các biến cố xảy là: Xuất mặt chấm; Xuất mặt có chấm chẵn,… 2) Biến cố tất yếu, kí hiệu Ω (Ômêga), biến cố thiết phải xảy thực phép thử Ví dụ: Khi tung xúc xắc mặt, biến cố “Xuất mặt có số chấm không 6” biến cố tất yếu 3) Biến cố bất khả, kí hiệu Φ, biến cố không xảy thực phép thử Ví dụ: Khi tung xúc xắc mặt, biến cố “Xuất mặt có số chấm lớn 6” biến cố bất khả 4) Biến cố ngẫu nhiên biến cố xảy không xảy thực phép thử Ta thường dùng kí tự A, A1, A2, B, C,… để biến cố ngẫu nhiên Ví dụ: Khi tung xúc xắc mặt, biến cố “Xuất mặt chấm” biến cố ngẫu nhiên Trong ví dụ minh họa sau, tung xúc xắc mặt, ta gọi Aj (j = 1,2,…,6) biến cố “Xuất mặt j chấm” 5) Biến cố tổng hai biến cố A B, kí hiệu A + B (hay A∪ B) biến cố định bởi: A + B xảy ⇔ A xảy B xảy ⇔ Có hai biến cố Minh họa: A B xảy Ta mở rộng khái niệm tổng n biến cố A1, A2,…, An sau: A1 + A2 +…+ An xảy ⇔ Có n biến cố A1, A2,…, An xảy Ví dụ: Tung xúc xắc mặt, gọi A biến cố “Xuất mặt có số chấm không 2” B biến cố “Xuất mặt có số chấm chẵn”, ta có: A = A1 + A2 B = A2 + A4 + A6 6) Biến cố tích hai biến cố A B, kí hiệu AB (hay A∩B) biến cố định bởi: AB xảy ⇔ A xảy B xảy Như vậy, biến cố tích AB xảy hai biến cố A B đồng thời xảy Minh họa: Ta mở rộng khái niệm tích n biến cố A1, A2,…, An sau: A1A2…An xảy ⇔ Tất n biến cố A1, A2,…, An đồng thời xảy Ví dụ: Tung xúc xắc mặt, xét biến cố sau: A : Xuất mặt có số chấm chẵn B : Xuất mặt có số chấm lớn hay C: Xuất mặt có số chấm nhỏ hay Ta có: AB = A6 ABC = Φ 7) Biến cố sơ cấp biến cố khác biến cố bất khả phân tích dạng tổng hai biến cố khác Ta xem biến cố sơ cấp nguyên tử nhỏ phân chia đươc Một biến cố A tổng số biến cố sơ cấp đó, ta gọi biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A Như vậy, biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố tất yếu, biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố bất khả Ví dụ: Khi tung xúc xắc mặt, ta có tất biến cố sơ cấp Aj (j = 1,2,…,6) Gọi A biến cố xuất mặt có số chấm lẻ Khi đó: A = A1 + A3 + A5 Do dó có biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A A1, A3, A5 8) Hai biến cố A B gọi xung khắc AB = Φ, nghóa A B không đồng thời xảy phép thử Ví dụ: Tung xúc xắc mặt, xét biến cố : A : Xuất mặt có số chấm chẵn B : Xuất mặt chấm C : Xuất mặt có số không Ta có A B xung khắc A C không (AC = A2) 9) Biến cố đối lập biến cố A, kí hiệu A Minh họa: Như vậy, A A A , biến cố định xảy ⇔ A không xảy xung khắc, A + có hai biến cố A A = Ω, nghóa thiết phải A xảy thực phép thử Ví dụ: Tung xúc xắc mặt, xét biến cố A : Xuất mặt có số chấm chẵn B : Xuất mặt có số chấm lẻ Ta thấy B biến cố đối lập A 10) Các biến cố đồng khả biến cố có khả xảy thực phép thử Ví dụ: Khi tung ngẫu nhiên xúc xắc đồng chất mặt, biến cố sơ cấp Aj (j = 1,2,…,6) đồng khả 2.2 Định nghóa xác suất Giả sử tiến hành phép thử ø, có tất n biến cố sơ cấp đồng khả xảy ra, có mA biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A Tỉ số mA n gọi xác suất biến cố A, kí hiệu P(A) Như vậy, P(A) = Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A Tổng số biến cố sơ cấp xảy 2.3 Công thức tính xác suất lựa chọn Xét lô hàng chứa N sản phẩm, dó có NA sản phẩm loại A, lại loại B Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng n sản phẩm (0< n < N) Khi đó, với ≤ k ≤ NA thoûa ≤ n-k ≤ N-NA, xác suất để n sản phẩm chọn có k sản phẩm loại A là: C C p n(k) = N nN − N CN k n−k A A §3 CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT 3.1 Công thức cộng xác suất 1) Công thức cộng xác suất thứ Với A B hai biến cố xung khắc, ta có P(A+B) = P(A) + P(B) Mở rộng: Với A1, A2, …, An n biến cố xung khắc đôi, ta có: P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An) 2) Heä quả: Với A biến cố bất kỳ, ta có P(A) = − P(A) 3) Công thức cộng xác suất thứ hai: Với A B hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) Ví dụ 1: Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm chọn có: a) Số sản phẩm tốt không số sản phẩm xấu b) Ít sản phẩm xấu Lời giải Gọi Aj (j = 0,1,…,4) biến cố có j sản phẩm tốt (4-j) sản phẩm xấu có sản phẩm chọn Khi A0, A1,…,A4 xung khắc đôi theo Công thức tính xác suất lựa chọn với N = 15, NA = 10, n = (ở loại A loại tốt), ta có: j 4− j P( A j ) = C10 C C15 Từ ta tính được: 100 450 ; P ( A1 ) = ; P( A2 ) = 1365 1365 1365 600 210 P( A3 ) = ; P ( A4 ) = 1365 1365 P( A0 ) = a) Gọi A biến cố số sản phẩm tốt không số sản phẩm xấu Ta có: A = A4 + A3 + A2 Từ tính xung khắc đôi A2, A3, A4, Công thức cộng thứ cho ta: P( A) = P( A4 ) + P( A3 ) + P( A2 ) 210 600 450 + + 1365 1365 1365 = 0,9231 = b) Gọi B biến cố có sản phẩm xấu sản phẩm chọn Khi đó, biến cố đối lập B biến cố sản phẩm xấu sản phẩm chọn nên B = A4 Suy xác suất B P( B) = − P ( B ) = − P ( A4 ) = − 210 = 0,8462 1365 Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên, có 60 sinh viên giỏi Toán, 70 sinh viên giỏi Anh văn 40 sinh viên giỏi hai môn Toán Anh văn Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp Tìm xác suất để chọn sinh viên giỏi hai môn Toán Anh văn Lời giải Gọi - A biến cố sinh viên chọn giỏi môn Toán - B biến cố sinh viên chọn giỏi môn Anh văn Khi - AB biến cố sinh viên chọn giỏi hai môn Toán Anh văn - A + B biến cố sinh viên chọn giỏi hai môn Toán Anh văn Do P( A + B) = P( A) + P( B) − P( AB) = 60 70 40 + − = 0,9 100 100 100 §4 CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT 4.1 Xác suất có điều kiện 1) Định nghóa: Xác suất có điều kiện biến cố A biết biến cố B xảy ra, kí kiệu P(A/B), xác suất biến cố A tính trường hợp biến cố B xảy Ví dụ: Thảy xúc xắc đồng chất mặt Xét biến cố sau: - A biến cố xuất mặt có số chấm chẵn - B biến cố xuất mặt có số chấm lẻ - C biến cố xuất mặt có số chấm nhỏ hay - D biến cố xuất mặt có số chấm lớn hay Khi - P(A/B) = - P(A/C) = 2/4 = 0,5 - P(A/D) = 2/3 Nhận xét: Trong ví dụ ta có xác suất biến cố A P(A) = 3/6 = 0,5 Do P(A/B) < P(A); P(A/C) = P(A); P(A/D) > P(A) Điều cho thấy xác suất có điều kiện biến cố A nhỏ hơn, lớn xác suất thông thường P(A) Đặc biệt, ta thấy xác suất để biến cố A xảy 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C xảy Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo định nghóa sau: 2) Tính độc lập: Nếu P(A/B) = P(A), nghóa xuất biến cố B không ảnh hưởng đến xác suất biến cố A, ta nói A độc lập với B 4.2 Công thức nhân xác suất thứ Nếu biến cố A độc lập với biến cố B B độc lập với A ta có P(AB) = P(A) P(B) Mở rộng: Với A1, A2, …, An n biến cố độc lập đôi, nghóa với ≤ i ≠ j ≤ n , Ai Aj độc lập, ta có: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An) 4.3 Công thức nhân xác suất thứ hai Với A, B hai biến cố bất kỳ, ta có P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B) Mở rộng: Với A1, A2, …, An n biến cố , ta có: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/ A1)… P(An/ A1 A2 …An-1) Chẳng hạn: P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB) Ví dụ: Có hai lô hàng, lô chứa 15 sản phẩm, lô I gồm 10 sản phẩm tốt, sản phẩm xấu; lô II gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô sản phẩm a) Tính xác suất để sản phẩm chọn có sản phẩm tốt sản phẩm xấu b) Giả sử chọn sản phẩm tốt sản phẩm xấu Tính xác suất chọn sản phẩm tốt sản phẩm xấu từ lô I Lời giải Gọi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) biến cố có i sản phẩm tốt (2 - i) sản phẩm xấu có sản phẩm chọn từ lô I, lô II Khi A0, A1, A2 xung khắc đôi ta có: - B0, B1, B2 xung khắc đôi ta có: - 10 P( A0 ) = C10 C = ; 105 C15 1 C10 C = 50 ; P( A1 ) = C15 105 45 P( A2 ) = C10 C = 105 C15 21 P( B0 ) = C C = ; 105 C15 1 C8 C = 56 ; P( B1 ) = C15 105 C8 C = 28 P( B2 ) = C15 105 Ai a) Gọi A biến cố Bj độc lập chọn sản phẩm tốt sản phảm xấu Ta có: A = A0 B2 + A1B1 + A2 B0 Do tính xung khắc đôi, Công thức cộng xác suất cho ta: P(A) = P(A0 B2) + P(A1B1) + P(A2 B0) Từ đây, tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ cho ta: P(A) = P(A )P(B2 ) + P(A1 )P(B1 ) + P(A )P(B0 ) 10 28 50 56 45 21 + + 105 105 105 105 105 105 = 0,3651 = b) Giả sử chọn sản phẩm tốt sản phẩm xấu Khi biến cố A xảy Do xác suất để chọn sản phẩm tốt sản phẩm xấu từ lô I trường hợp xác suất có điều kiện P(A1/A) Theo Công thức nhân xác suất thứ hai, ta có P(A1A) = P(A)P(A1/A) Suy P(A1/A) = Mặt khác P(A1A) P(A) A1A = A1B1 Vì hai biến cố A1 B1 độc lập nên theo Công thức nhân thứ ta coù: P( A1 A) = P( A1 B1 ) = P( A1 ) P( B1 ) = Do xác suất cần tìm là: P(A1/A) = 50 56 = 0,2540 105 105 P(A1A) 0,2540 = = 0,6957 P(A) 0,3651 §5 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES 5.1 Hệ biến cố đầy đủ xung khắc đôi Các biến cố A1, A2,…, An gọi hệ biến cố đầy đủ xung khắc đôi hai tính chất sau thỏa: - A1 + A2 +… + An = Ω; - ∀ ≤ i ≠ j ≤ n, AiAj = Φ, nghóa biến cố A1, A2,…, An xung khắc đôi thiết phải có biến cố Aj xảy thực phép thử Nhận xét: Với A1, A2,…, An hệ đầy đủ xung khắc đôi ta có P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 10 D(kX) = k2(D(X) Tính chất 3: Với X, Y hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập ta có: D(X + Y) = D(X) + D(Y) Chú ý: Ta sử dụng phần mềm thống kê máy tính bỏ túi CASIO 500MS, 570MS, ) để tính kỳ vọng , phương sai độ lệch chuẩn đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ: Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối sau: X P 2/15 8/15 1/3 1) Vào MODE SD: Bấm MODE… bấm số ứng với SD, hình lên chữ SD 2) Xóa nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1(Scl) = AC Kiểm tra lại: Bấm REPLAY Up Down thấy n = góc số xóa 3) Nhập số liệu: xi; pi M+ (DATA) ; (baám SHIFT ,) ab/c 15 M+ ; ab/c 15 M+ ; ab/c M+ 4) Kiểm tra sửa số liệu sai: Bấm REPLAY Down để kiểm tra việc nhập số liệu Thấy số liệu sai để hình số liệu đó, nhập số liệu bấm = số liệu thay cho số liệu cũ Ví dụ: Nhập sai ; ab/c M+ (DATA) Khi kiểm tra ta thấy: - x1 = (đúng) - Freq1 = 2/5 (sai) Sửa sau: Để hình Freq1 = 2/5, bấm ab/c 15 = nhận số liệu Freq1 = 2/15 Số liệu bị nhập dư để hình số liệu bấm SHIFT M tòan số liệu (gồm giá trị X tần số tương ứng) bị xóa Chẳng hạn, nhập dư ; ab/c M+ (DATA) Khi kiểm tra ta thấy x4 = (dư) Ta để hình số liệu bấm SHIFT M+ tòan số liệu dư (gồm giá trị X = xác suất tương ứng 1/3) bị xóa + Chú ý: Sau kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xóa hình thóat khỏi chế độ chỉnh sửa 5) Đọc kết quả: Bấm SHIFT ( X ) = ta kỳ vọng M(X) = 1,2 18 Bấm SHIFT 2 (xσn) = ta độ lệch chuẩn σ(X) = 0, 6532 - Suy phương sai D(X) = [σ(X)]2= (0,6532)2= 0,4267 Chú ý: Đối với máy CASIO 500A, có số thay đổi sau: • Bấm MODE để vào MODE SD • Xóa nhớ thống kê cách bấm SHIFT AC = Kiểm tra lại cách bấm SHIFT thấy xóa • Khi nhaọp soỏ lieọu, ta thay ; baống ì Đ3 PHÂN PHỐI SIÊU BỘI 3.1 Định nghóa: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối siêu bội, kí hiệu X ∼ H(N, NA, n), N, NA, n số nguyên dương , < n, NA < N, X rời rạc nhận giá trị k nguyên từ max{0; n + NA - N} đến min{n; NA} theo Công thức tính xác suất lựa chọn: n−k k P( X = k ) = C N C N −N n CN A A 3.2 Các đặc số phân phối siêu bội Giả sử X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n) Khi X có đặc số sau: a) Kỳ vọng: M ( X ) = np với b) Phương sai D( X ) = npq p= N −n N −1 NA N với q = − p Ví dụ Một hộp chứa 12 bi gồm bi đỏ bi xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp bi Gọi X số bi đỏ có bi chọn Hãy tìm luật phân phối X xác định kỳ vọng, phương sai X Lời giải Ta thấy X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n) với N = 12; NA = 8, n = Do X nhận giá trị k nguyên từ max {0; 4+8-12} = đến min{4; 8} = với xác suất định bởi: k 4− k P( X = k ) = C C 4 C12 Từ ta tính P(X = 0) = 1/495; P(X = 1) = 32/495; P(X = 2) = 168/495; 19 P(X = 3) = 224/495; P(X = 4) = 70/495 Vậy luật phân phối X là: X P 1/495 Kỳ vọng X M(X) = np = 32/495 168/495 224/495 70/495 = 2, 667 12 Phương sai X N-n 8 12 - D(X) = npq = (1 − ) = 0, 6465 N -1 12 12 12 - §4 PHÂN PHỐI NHỊ THỨC 4.1 Định nghóa: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối nhị thức, kí hiệu X∼ B(n,p), n số nguyên dương , < p < 1, X rời rạc nhận n + giá trị nguyên 0,1,…, n với xác suất tính theo theo Công thức Bernoulli: P ( X = k ) = C n p k q n−k k Trường hợp n = 1, ta nói X có phân phối Bernoulli, kí hiệu X ∼ B(p) 4.2 Các đặc số phân phối nhị thức Giả sử X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) Khi X có đặc số sau: a) Mode: Mod(X) = k, k số nguyên thỏa np – q ≤ k ≤ np – q + b) Kỳ vọng: M(X) = np c) Phương sai: D(X) = npq Ví dụ: Một lô hàng chứa nhiều sản phẩm, tỉ lệ sản phẩm loại tốt 60% Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Gọi X số sản phẩm tốt có sản phẩm chọn Hãy tìm luật phân phối X Xác định kỳ vọng phương sai X Hỏi giá trị tin X bao nhiêu? Lời giải Ta thấy X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 5, p = 0,6 Suy X nhận giá trị nguyên 0,1,…, với xác suất tính theo theo Công thức Bernoulli: P ( X = k ) = C n p k q n−k = C (0,6) k (0,4) 5−k k k Từ ta tính P(X = 0) = 0,01024; P(X = 1) = 0,0768; P(X = 2) = 0,2304; 20 P(X = 3) = 0,3456; P(X = 4) = 0,2592; P(X = 5) = 0,07776 Vậy luật phân phối X là: X P 0,01024 0,0768 - Kỳ vọng X M(X) = - Phương sai X 0,2304 0,3456 0,2592 0,07776 np = 5.0,6 = D(X) = npq = 5.0,6 0,4 = 1,2 - Giá trị tin X Mod(X): Mod(X) = k với số nguyên thỏa np – q ≤ k ≤ np – q + ⇔ 0,6 – 0,4 ≤ k ≤ 0,6 – 0,4 + ⇔ 2,6 ≤ k ≤ 3,6 ⇔ k = Vậy giá trị tin X k = k 4.3 Định lý: Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n) Giả sử n nhỏ so với N Khi xấp xỉ X đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối nhị thức X ≈ Y, Y ∼ N B(n,p) với p = A , nghóa là: N P (X = k) = C np k q n − k k (k = 0, 1, …) Ví dụ: Một lô hàng chứa 10000 sản phẩm, có 8000 sản phẩm tốt 2000 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng 10 sản phẩm Tính xác suất chọn sản phẩm tốt Lời giải Gọi X số sản phẩm tốt có 10 sản phẩm chọn Khi X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n) với N = 10000; NA= 8000; n =10 Vì n = 10 nhỏ so với N = 10000 nên ta xem X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 10; p = NA/N = 8000/10000 = 0,8 Do xác suất chọn sản phẩm tốt là: P (X = 7) = C (0,8)7(0,2)3 ≈ 0,2013 10 21 §5 PHÂN PHỐI POISSON 5.1 Định nghóa: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối Poisson, kí hiệu X ∼ P(a), số a > 0, X rời rạc nhận vô hạn đếm giá trị nguyên k = 0,1,…, với xác suất định bởi: e−a a k P (X = k) = k! sau: 5.2 Các đặc số phân phối Poisson Giả sử X có phân phối Poisson X ∼ P(a) Khi X có đặc số a) Kỳ vọng: b) Phương sai M(X) = a D(X) = a 5.3 Tính chất: Giả sử X1, X2 độc lập, có phân phối Poisson X1 ∼ P(a1), X2 ∼ P(a2) Khi X1 + X2 có phân phối Poisson: X1 + X2 ∼ P(a1+ a2) 5.4 Định lý Poisson: Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) Giả sử n lớn p bé (thông thường p < 0,1) Khi xấp xỉ X đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson: X ≈ Y, Y ∼ P(a) với a = np, nghóa laø: e−a a k P (X = k) ≈ k! (k = 0, 1, …) Ví dụ: Một máy dệt có 1000 ống sợi Xác suất để máy hoạt động có ống sợi bị đứt 0,2% Tìm xác suất để có không ống sợi bị đứt Lời giải Gọi X tổng số ống sợi bị đứt hoạt động máy X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 1000, p = 0,002 Vì n = 1000 lớn p = 0,002 bé nên ta xem X có phân phối Poisson: X ∼ P(a) với a = np = 1000.0,002 = Xác suất để có không ống sợi bị đứt hoạt động máy là: P (0 ≤ X ≤ 2) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) e −2 20 e −2 21 e −2 2 ≈ + + 0! 1! 2! ≈ 0,6767 22 §6 PHÂN 6.1 chuẩn, kí liên tục PHỐI CHUẨN Định nghóa: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối hiệu X ∼ N(μ, σ2), μ, σ số σ > 0, X có hàm mật độ xác định R định bởi: f μ ,σ ( x) = e σ 2π − ( x− μ )2 2σ 6.2 Các đặc số phân phối chuẩn Giả sử X có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ2) Khi X có đặc số sau: a) Mode: Mod (X) = μ M(X) = μ b) Kỳ vọng: D(X) = σ2 c) Phương sai: 6.3 Hàm Gauss: Hàm Gauss f(x) hàm mật độ đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn taéc X ∼ N(0,1): − x2 f ( x) = e 2π Hàm Gauss hàm số chẵn (nghóa f(-x) = f(x)), liên tục R Người ta lập bảng giá trị hàm Gauss, ghi giá trị f(x) đoạn [0;3,99] Khi x > 3,99, hàm Gauss giảm chậm, ta xấp xỉ: ∀x > 3,99, f(x) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001 Ví dụ: Tra bảng giá trị hàm Gauss ta coù: f(1,14) ≈ 0,2083; f(-2,15) = f(2,15) ≈ 0,0396 f(-6,12) = f(6,12) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001 6.4 Haøm Laplace Hàm laplace ϕ(x) hàm số xác định R định bởi: x − t2 e dt ϕ ( x) = 2π ∫ Haøm Laplace y = ϕ(x) hàm số lẻ (nghóa ϕ (-x) = - ϕ (x)), liên tục R Người ta lập bảng giá trị hàm Laplace, ghi giá trị ϕ(x) đoạn [0; 5] Khi x > 5, hàm Laplace tăng chậm, ta xấp xỉ: ∀x > 5, ϕ(x) ≈ ϕ(5) ≈ 0,5 23 Ví dụ: Tra bảng giá trị hàm Laplace ta coù: ϕ (1,14) ≈ 0,3729; ϕ (-2,15) = - ϕ(2,15) ≈ - 0,4842 ϕ (-6,12) = - ϕ (6,12) ≈ - ϕ (5) ≈ -0,5 6.5 Công thức tính xác suất phân phối chuẩn Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ2) Khi đó, xác suất để X lấy giá trị thuộc [a;b] là: P(a ≤ X ≤ b) = ϕ( b−μ a−μ ) − ϕ( ) σ σ (1) ϕ(x) hàm Laplace Đặc biệt, với k > 0, ta có: Ví dụ: Trọng lượng loại sản phẩm đại lương ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình 50kg phương sai 100kg2 Một sản phẩm xếp vào loại A có trọng lượng từ 45kg đến 55kg Tính tỉ lệ sản phẩm loại A loại sản phẩm Lời giải Gọi X trọng lượng loại sản phẩm cho Từ giả thiết ta suy X có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ2) với μ = 50, σ2 = 100 (σ = 10) Vì sản phẩm xếp vào loại A có trọng lượng từ 45kg đến 55kg nên tỉ lệ sản phẩm loại A xác suất P(45 ≤ X ≤ 55) p dụng công thức ta có 55 − 50 45 − 50 ) −ϕ( ) 10 10 = ϕ (0,5) − ϕ (−0,5) = 2ϕ (0,5) = 2.0,1915 = 0,383 P(45 ≤ X ≤ 55) = ϕ ( (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta ϕ (0,5) = 0,1915) Vậy tỉ lệ sản phẩm loại A 38,3% 6.6 Định lý Moivre-Laplace: Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) Giả sử n lớn p không gần không gần (thông thường 0,1 ≤ p ≤ 0,9) Khi xấp xỉ X 24 đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối chuẩn: X ≈ Y, Y ∼ N(μ, σ2) với μ = np, σ = npq (q = 1-p) nghóa là: k−μ a) P (X = k) ≈ b) P (k 1≤ X ≤ k ) ≈ ϕ ( σ f( σ ) k2 − μ σ (k = 0,1,2,…) ) − ϕ( k1 − μ f(x) hàm Gauss; ϕ(x) hàm Laplace σ ) ( k1 < k2) Ví dụ Sản phẩm nhà máy sản xuất đóng thành kiện, kiện gồm 10 sản phẩm, có sản phẩm tốt sản phẩm xấu Khách hàng chọn cách kiểm tra sau: Từ kiện chọn ngẫu nhiên sản phẩm; thấy có sản phẩm tốt nhận kiện đó, ngược lại loại kiện Kiểm tra 140 kiện nhiều kiện Tính xác suất để có: a) 93 kiện nhận b) Từ 90 đến 110 kiện nhận Lời giải Trước hết ta tìm xác suất để kiện nhận khách hàng kiểm tra kiện Theo giả thiết kiện chứa 10 sản phẩm gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu, khách hàng chọn ngẫu nhiên sản phẩm; thấy có sản phẩm tốt chọn kiện.Do theo Công thức tính xác suất lựa chọn ta có xác suất để kiện nhận là: p = P3 ( ≤ k ≤ 3) = P3 ( ) + P3 (3) = C C + C C = 3 C 10 C 10 Gọi X tổng số kiện hàng nhận 140 kiện kiểm tra, X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 140, p = 2/3 Vì n = 140 lớn p = 2/3 không gần không gần nên ta xem X có phân phối chuẩn sau: X ∼ N(μ, σ2) với μ = np = 140.2/3 = 93,3333, a) σ = npq = 140.2 / 3.1 / = 5,5777 Xác suất để có 93 kiện nhận là: P (X = 93) = 93 − μ 93 − 93, 33 f( )= f( ) σ σ 5, 5777 5, 5777 1 0, 3982 f (−0, 06) = f (0, 06) = = = 0, 0714 5, 5777 5, 5777 5, 5777 (Tra bảng giá trị hàm Gauss ta f(0,06) = 0,3982) b) Xác suất để có từ 90 đến 110 kiện nhận là: 25 110 − μ 90 − μ ) − ϕ( ) σ σ 110 − 93, 3333 90 − 93, 3333 = ϕ( ) − ϕ( ) 5, 5777 5, 5777 = ϕ(2, 99) − ϕ(−0, 6) = ϕ(2, 99) + ϕ(0, 6) P (90 ≤ X ≤ 110) = ϕ( = 0, 498625 + 0, 2257 = 0,724325 (Tra baûng 0,2257) giá trị hàm Laplace ta ϕ (2,99) = 0,498625; ϕ(0,6) = BÀI TẬP Bài 1: Có ba súng I, II III bắn độc lập vào mục tiêu Mỗi bắn viên Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba I, II III 0,7; 0,8 0,5 Tính xác suất để a) có bắn trúng b) có bắn trúng c) có bắn trúng d) bắn trúng e) thứ ba bắn trúng biết có trúng Bài 2: Có hai hộp I II hộp chứa 10 bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi a) Tính xác suất để bi đỏ b) Tính xác suất để bi đỏ bi trắng c) Tính xác suất để bi đỏ bi trắng d) Giả sử lấy bi đỏ bi trắng Hãy tìm xác suất để bi trắng có hộp I Bài 3: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu Khách hàng kiểm tra cách lấy sản phẩm sản phẩm tốt dừng lại a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ b) Giả sử khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Tính xác suất để lần kiểm tra thứ khách hàng gặp sản phẩm xấu Bài 4: Một hộp bi gồm bi đỏ, bi trắng bi xanh có cỡ Từ hộp ta rút ngẫu nhiên không hòan lại bi bi đỏ dừng lại Tính xác suất để 26 a) bi trắng, bi xanh bi đỏ b) bi trắng rút Bài 5: Sản phẩm X bán thị trường nhà máy gồm ba phân xưởng I, II III sản xuất, phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% phân xưởng III chiếm 25% Tỉ lệ sản phẩm loại A ba phân xưởng I, II III sản xuất 70%, 50% 90% a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung nhà máy sản xuất b) Chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm X thị trường Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm có khả phân xưởng sản xuất nhiều nhất? c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong nhiều sản phẩm X) thị trường 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A Bài 6: Có ba cửa hàng I, II III kinh doanh sản phẩm phẩm loại A ba cửa hàng I, II III 70%, 75% khách hàng chọn nhẫu nhiên cửa hàng từ mua sản a) Tính xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A b) Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, khả hàng chọn cửa hàng nhiều nhất? Y Tỉ lệ sản 50% Một phẩm người khách Bài 7: Có hai hộp I II hộp chứa 12 bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ba bi bỏ sang hộp II; sau lấy ngẫu nhiên từ hộp II bốn bi a) Tính xác suất để lấy ba bi đỏ bi trắng từ hộp II b) Giả sử lấy ba bi đỏ bi trắng từ hộp II Tìm xác suất để ba bi lấy từ hộp I có hai bi đỏ bi trắng Bài 8: Có ba hộp hộp đựng viên bi hộp thứ có bi trắng, bi đen; hộp thứ hai có bi trắng, bi đen; hộp thứ ba có bi trắng, bi đen a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi 1) Tính xác suất để bi trắng 2) Tính xác suất bi đen, bi trắng 3) Giả sử viên lấy có bi trắng.Tính xác suất để bi trắng hộp thứ b) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất bi đen Bài 9: Có 20 hộp sản phẩm lọai, hộp chứa nhiều sản phẩm, có 10 hộp xí nghiệp I, hộp xí nghiệp II hộp xí nghiệp III 27 Tỉ lệ phế phẩm xí nghiệp 2%, 4% 5% Lấy ngẫu nhiên hộp chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp a) Tính xác suất để sản phẩm chọn có phế phẩm b) Giả sử sản phẩm chọn có phế phẩåm Tính xác suất để phế phẩm xí nghiệp I Bài 10: Có 10 sinh viên thi, có thuộc lọai giỏi, trung bình Trong số 20 câu hỏi thi qui định sinh viên lọai giỏi trả lời tất cả, sinh viên trả lời 16 câu sinh viên trung bình 10 câu Gọi ngẫu nhiên sinh viên phát phiếu thi gồm câu hỏi trả lời câu hỏi Tính xác suất để sinh viên thuộc lọai Bài 11: Có hai hộp I II, hộp I chứa 10 bi trắng bi đen; hộp II chứa bi trắng bi đen Từ hộp rút ngẫu nhiên bi bỏ đi, sau bỏ tất bi lại hai hộp vào hộp III (rỗng) Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp III Tính xác suất để bi lấy hộp III có trắng, đen Bài 12: Có hai hộp cỡ Hộp thứ chứa bi trắng bi xanh, hộp thứ hai chứa bi trắng bi xanh Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy bi bi trắng Tính xác suất để viên bi lấy từ hộp lại bi trắng Bài 13 : Một lô hàng gồm a sản phẩm loại I b sản phẩm loại II đóng gới để gửi cho khách hàng Nơi nhận kiểm tra lại thấy thất lạc sản phẩm Chọn ngẫu nhiên sản phẩm thấy sản phẩm loại I Tính xác suất để sản phẩm thất lạc thuộc loại I Bài 14: Có hộp phấn, hộp I chứa 15 viên tốt viên xấu, hộp II chứa 10 viên tốt viên xấu, hộp III chứa 20 viên tốt 10 viên xấu Ta gieo xúc xắc cân đối Nếu thấy xuất mặt chấm ta chọn hộp I; xuất mặt chấm chọn hộp II, xuất mặt lại chọn hộp III Từ hộp chọn lấy ngẫu nhiên viên phấn Tìm xác suất để lấy viên tốt Bài 15: Có hai kiện hàng I II Kiện thứ chứa 10 sản phẩm, có sản phẩm loại A Kiện thứ hai chứa 20 sản phẩm, có sản phẩm loại A Lấy từ kiện sản phẩm Sau đó, sản phẩm thu chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm chọn sau có sản phẩm loại A Bài 16: Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào mục tiêu Xác suất để viên đạn bắn trúng mục tiêu 0,8 Biết rằng: Nếu có 10 viên trúng mục tiêu chắn bị diệt Nếu có từ đến viên trúng mục tiêu bị diệt vơiù xác suất 80% Nếu có viên trúng mục tiêu bị diệt với xác suất 20% 28 a) Tính xác suất để mục tiêu bị diệt b) Giả sử mục tiêu bị diệt Tính xác suất có 10 viên trúng Bài 17: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A 60% Một lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A 60% Cho máy sản xuất sản phẩm từ lô hàng lấy sản phẩm a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A có sản phẩm máy sản xuất số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy từ lô hàng b) Giả sử sản phẩm thu có sản phẩm loại A Tính xác suất để sản phẩm loại A máy sản xuất Bài 18: Nước giải khát chở từ Sài Gòn Vũng Tàu Mỗi xe chở 1000 chai bia Sài Gòn, 2000 chai coca 800 chai nước trái Xác suất để chai loại bị bể đường tương ứng 0,2%; 0,11% 0,3% Nếu không chai bị bể lái xe thưởng a) Tính xác suất có chai bia Sài Gòn bị bể b) Tính xác suất để lái xe thưởng c) Lái xe phải chở chuyến để xác suất có chuyến thưởng không nhỏ 0,9? Bài 19: Một máy tính gồm 1000 linh kiện A, 800 linh kiện B 2000 linh kiện C Xácsuất hỏng ba linh kiện 0,02%; 0,0125% 0,005% Máy tính ngưng hoạt động số linh kiện hỏng nhiều Các linh kiện hỏng độc lập với a) Tính xácsuất để có linh kiện B bị hỏng b) Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động c) Giả sử máy có linh kiện hỏng Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động Bài 20: Trọng lượng loại sản phẩm quan sát đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 50kg phương sai 100kg2 Những sản phẩm có trọng lượng từ 45kg đến 70kg xếp vào loại A Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm (trong nhiều sản phẩm) Tính xác suất để a) có 70 sản phẩm loại A b) có không 60 sản phẩm loại A c) có 65 sản phẩm loại A Bài 21: Sản phẩm nhà máy đóng thành kiện, kiện gồm 14 sản phẩm có sản phẩm loại A sản phẩm loại B Khách hàng chọn cách kiểm tra sau: từ kiện lấy sản phẩm; thấy số sản phẩm thuộc loại A nhiều số sản phẩm thuộc loại B nhận kiện đó; ngược lại loại kiện Kiểm tra 100 kiện (trong nhiều kiện) Tính xác suất để a) có 42 kiện nhận 29 b) có từ 40 đến 45 kiện nhận c) có 42 kiện nhận Bài 22: Sản phẩm nhà máy đóng thành kiện, kiện gồm 10 sản phẩm Số sản phẩm loại A hộp X có phân phối sau: X P 0.9 0.1 Khách hàng chọn cách kiểm tra sau: từ kiện lấy sản phẩm; thấy sản phẩm loại A nhận kiện đó; ngược lại loại kiện Kiểm tra 144 kiện (trong nhiều kiện) a) Tính xác suất để có 53 kiện nhận b) Tính xác suất để có từ 52 đến 56 kiện nhận c) Phải kiểm tra kiện để xác suất có kiện nhận không nhỏ 95%? Bài 23: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn 80% máy khác sản xuất loại sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn 60% Chọn ngẫu nhiên máy cho sản xuất 100 sản phẩm Tính xác suất để a) có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn b) có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn c) có không 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn Bài 24: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 1% máy khác sản xuất loại sản phẩm nầy với tỉ lệ phế phẩm 2% Chọn ngẫu nhiên máy cho sản xuất 1000 sản phẩm Tính xác suất để a) có 14 phế phẩm b) có từ 14 đến 20 phế phẩm Bài 25: Một xí nghiệp có hai máy I II Trong ngày hội thi, công nhân dự thi phân máy với máy sản xuất 100 sản phẩm Nếu số sản phẩm loại A không 70 công nhân thưởng Giả sử công nhân X, xác suất sản xuất sản phẩm loại A với máy I II 0.6 0,7 a) Tính xác suất để công nhân X thưởng b) Giả sử công nhân X dự thi 50 lần Số lần thưởng tin bao nhiêu? Bài 26: Trong ngày hội thi, chiến só chọn ngẫu nhiên hai loại súng với súng chọn bắn 100viên đạn Nếu có từ 65 viên trở 30 lên trúng bia thưởng Giả sử chiến só A, xác suất bắn viên trúng bia súng loại I 60% súng loại II 50% a) Tính xác suất để chiến só A thưởng b) Giả sử chiến só A dự thi 10 lần Hỏi số lần thưởng tin bao nhiêu? c) Chiến só A phải tham gia hội thi lần để xác suất có lần thưởng không nhỏ 98%? Bài 27: Một người thợ săn bắn viên đạn Biết xác suất trúng đích viên đạn bắn 0,8 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số viên đạn trúng đích a) Tìm luật phân phối X b) Tìm kỳ vọng phương sai X Bài 28: Có hai lô hàng I II, lô chứa nhiều sản phẩm Tỉ lệ sản phẩm loại A có hai lô I II 70% 80% Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn số sản phẩm loại A lấy từ lô II b) Gọi X số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy Tìm kỳ vọng phương sai X Bài 29: Cho hai hộp I II, hộp có 10 bi; hộp I gồm bi đỏ, bi trắng hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Rút ngẫu nhiên từ hộp hai bi a) Tính xác suất để hai bi đỏ hai bi trắng b) Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số bi đỏ có bi rút Tìm luật phân phối X Bài 30: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 10% Một lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 30% Cho máy sản xuất sản phẩm từ lô hàng lấy sản phẩm Gọi X số sản phẩm tốt có sản phẩm a) Tìm luật phân phối X b) Không dùng luật phân phối X, tính M(X), D(X) Bài 31: Cho hai hộp I II, hộp có 10 bi; hộp I gồm bi đỏ, bi trắng hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Rút ngẫu nhiên từ hộp I hai bi bỏ sang hộp II, sau rút ngẫu nhiên từ hộp II ba bi a) Tính xác suất để ba bi trắng b) Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số bi trắng có ba bi rút từ hộp II Tìm luật phân phối X Xác định kỳ vọng phương sai X Bài 32: Có ba lô sản phẩm, lô có 20 sản phẩm Lô thứ i có i+4 sản phẩm loại A (i = 1, 2, 3) 31 a) Chọn ngẫu nhiên lô từ lô lấy sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy có sản phẩm loại A b) Từ lô lấy sản phẩm Gọi X tổng số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy Tìm luật phân phối X tính Mod(X), M(X), D(X) Bài 33: Một người thợ săn có viên đạn Người săn với nguyên tắc: bắn trúng mục tiêu ngay, không săn Biết xác suất trúng đích viên đạn bắn 0,8 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số viên đạn người sử dụng săn a) Tìm luật phân phối X b) Tìm kỳ vọng phương sai X - 32 ... giỏi hai môn Toán Anh văn - A + B biến cố sinh viên chọn giỏi hai môn Toán Anh văn Do P( A + B) = P( A) + P( B) − P( AB) = 60 70 40 + − = 0,9 100 100 100 §4 CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT 4.1 Xác suất có... trường 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A Bài 6: Có ba cửa hàng I, II III kinh doanh sản phẩm phẩm loại A ba cửa hàng I, II III 70%, 75%... phẩm loại A không 70 công nhân thưởng Giả sử công nhân X, xác suất sản xuất sản phẩm loại A với máy I II 0.6 0,7 a) Tính xác suất để công nhân X thưởng b) Giả sử công nhân X dự thi 50 lần Số