Đang tải... (xem toàn văn)
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số." Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong Triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ". Chuyên gia trong lĩnh vực toán học được gọi là nhà toán học.
PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN I- GIẢI TÍCH TỔ HP Giai thừa : n! = 1.2 n 0! = n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n Nguyên tắc cộng : Trường hợp có m cách chọn, trường hợp có n cách chọn; cách chọn thuộc trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn : m + n Nguyên tắc nhân : Hiện tượng có m cách chọn, cách chọn lại có n cách chọn tượng Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai tượng : m x n Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác Số cách xếp : Pn = n ! n! Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn k vật Số cách chọn : C nk = k!(n − k )! Chỉnh hợp : Có n vật khác Chọn k vật, xếp vào k chỗ khác số n! cách : A nk = , A nk = C nk Pk (n − k)! Chænh hợp = tổ hợp hoán vị Tam giác Pascal : C00 1 1 1 C10 C20 C30 C04 C11 C12 C13 C14 C22 C32 C24 C33 C34 C44 Tính chất : C 0n = C nn = 1, C nk = C nn− k C nk −1 + C nk = C nk+1 Nhị thức Newton : * (a + b)n = C 0n an b + C1n an −1b1 + + C nn a0 b n a = b = : C0n + C1n + + Cnn = n Với a, b ∈ {±1, ±2, }, ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa : C 0n , C1n , , C nn * (a + x )n = C 0n an + C1n an −1x + + C nn x n Ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa C 0n , C1n , , C nn cách : - Đạo hàm lần, lần, cho x = ±1, ±2, a = ±1, ±2, TRANG - Nhân với xk , đạo hàm laàn, laàn, cho x = ±1, ±2, , a = ±1, ±2, - Cho a = ±1, ±2, , ±1 ∫ hay ±2 β α ∫ hay ∫ Chú ý : * (a + b)n : a, b chứa x Tìm số hạng độc lập với x : Ckn a n −k b k = Kx m Giaûi pt : m = 0, ta k * (a + b)n : a, b chứa Tìm số hạng hữu tỷ k n −k n Ca m p b = Kc d k r q ⎧m / p ∈ Z , tìm k Giải hệ pt : ⎨ ⎩r / q ∈ Z * Giải pt , bpt chứa A nk , C nk : đặt điều kiện k, n ∈ N* , k ≤ n Cần biết đơn * * * * * giản giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung Cần phân biệt : qui tắc cộng qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc xếp) Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp thiếu trường hợp Với toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p trường hợp hơn, ta làm sau : số cách chọn thỏa p = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p Cần viết mệnh đề phủ định p thật xác Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số đứng đầu (tính từ trái sang phải) Dấu hiệu chia hết : - Cho : tận 0, 2, 4, 6, - Cho : tận 00 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tận 000 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tổng chữ số chia hết cho - Cho : tổng chữ số chia hết cho - Cho : tận hay - Cho : chia hết cho - Cho 25 : tận 00, 25, 50, 75 II- ĐẠI SỐ Chuyển veá : ⎧ a = bc ; a/b = c ⇔ ⎨ ⎩b≠0 ⎡b = c = a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ ⎢⎧ b ≠ ⎢⎨ ⎣⎩ a = c / b a2 n +1 = b ⇔ a = n +1 b TRANG ⎧ b = a 2n a 2n = b ⇔ a = ± 2n b, a = 2n b ⇔ ⎨ ⎩a ≥0 ⎧ b = ±a a= b ⇔⎨ , a = log α b ⇔ b = α a ⎩a≥ b = 0, c > ⎧b>0 a + b < c ⇔ a < c − b ; ab < c ⇔ ⎨ ⎩ a < c/ b ⎧b c/ b Giao nghieäm : ⎧x >a ⎧x max{a, b} ; ⎨ ⇔ x < min{a, b} ⎨ x > b x < b ⎩ ⎩ ⎧p ⎨ ⎧x>a a < x < b(neáu a < b) ⎧ p ∨ q ⎩Γ ; ⎨ ⇔ ⇔ ⎨ x b < Γ VN(neá u a b) ≥ ⎧q ⎩ ⎩ ⎨ ⎩Γ Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm Công thức cần nhớ : a : bình phương vế không âm Làm phải đặt điều kiện ⎧b ≥ ⎧b ≥ ≤ ⇔ a=b⇔⎨ , a b ⎨ 2 ⎩a = b ⎩0 ≤ a ≤ b ⎧b < ⎧b ≥ ∨⎨ a≥b⇔⎨ ≥ a ⎩ ⎩a ≥ b ab = b a b (neáu a, b ≥ 0) − a − b (neáu a, b < 0) : phá cách bình phương : a = a2 hay định nghóa : a = a (neáu a ≥ 0) − a (neáu a < 0) ⎧b ≥ a =b⇔⎨ ; a = b ⇔ a = ±b ⎩a = ± b a ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b ⎧b ≥ a ≥ b ⇔ b < 0hay ⎨ ⎩a ≤ − b ∨ a ≥ b a ≤ b ⇔ a2 − b ≤ c Muõ : y = ax , x ∈ R, y > 0, y ↑ neáu a > 1, y ↓ neáu < a < TRANG a0 = ; a− m / n = 1/ n am ; am an = am + n am / an = am −n ; (am )n = am.n ; an / b n = (a/ b)n an b n = (ab)n ; am = an ⇔ (m = n,0 < a ≠ 1) ∨ a = am < an ⇔ m < n (neáu a > 1) m > n (neáu < a < 1) , α = a loga α d log : y = logax , x > , < a ≠ 1, y ∈ R y↑ neáu a > 1, y↓ neáu < a < 1, α = logaaα loga(MN) = logaM + logaN ( ⇐ ) loga(M/N) = logaM – logaN ( ⇐ ) log a M = log a M , log a M = log a M (⇒) logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc logbc = logac/logab, log α M = log a M a α loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N log a M < log a N ⇔ < M < N (neáu a > 1) M > N > 0(neáu < a < 1) Khi làm toán log, miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định Mất log phải có điều kiện Đổi biến : a Đơn giản : t = ax + b∈ R , t = x ≥ 0, t = x ≥ 0, t = x ≥ 0, t = a x > , t = log a x ∈ R b c d a b c Nếu đề có điều kiện x, ta chuyển sang điều kiện t cách biến đổi trực tiếp bất đẳng thức Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện t Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định f Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện t Hàm số hợp : bước làm theo cách Xét dấu : Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < hay f(x) > Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm : xét tính liên tục đơn điệu f, nhẩm nghiệm pt f(x) = 0, phác họa đồ thị f , suy dấu f So sánh nghiệm phương trình bậc với α : f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a TRANG Dùng S, P để tính biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức g(x1,x2) = ⎧g = ⎪ không đối xứng, giải hệ pt : ⎨ S = x1 + x ⎪ P = x x ⎩ Bieát S, P thỏa S – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = * Dùng Δ, S, P để so sánh nghiệm với : ⎧Δ >0 ⎪ x1 < < x2 ⇔ P < 0, < x1 < x2 ⇔ ⎨ P > ⎪S> ⎩ ⎧Δ >0 ⎪ x1 < x2 < ⇔ ⎨ P > ⎪S< ⎩ * Dùng Δ, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < ⎧Δ > ⎧Δ > ⎪ ⎪ α < x1 < x2 ⇔ ⎨ a.f (α) > ; x1 < x2 < α ⇔ ⎨ a.f (α) > ⎪ α < S/ ⎪ S/ < α ⎩ ⎩ ⎧ a.f(β) < ⎪ α < x1 < β < x2 ⇔ ⎨ a.f(α) > ; x1 < α < x2 < β ⇔ ⎪α ⎪α nghiệm phân biệt ⇔ ⎨ ⎩f (α ) ≠ ⎧Δ > ⎧Δ = ∨⎨ nghiệm phân biệt ⇔ ⎨ ⎩f (α ) = ⎩f ( α ) ≠ nghieäm ⎧Δ = ⎩f ( α ) = ⇔ Δ < hay ⎨ • Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao (C) : y = f(x) vaø (d) : y = m • Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = f(x, m) (Ox) : y = TRANG ⎧Δ > nghiệm ⇔ ⎨ y ' ⎩y CĐ y CT < ⎧Δ > nghieäm ⇔ ⎨ y ' ⎩y CÑ y CT = ⎧Δ > nghieäm ⇔ Δy' ≤ ∨ ⎨ y ' ⎩y CĐ y CT > c Phương trình bậc có nghiệm lập thành CSC : ⎧Δ > ⇔ ⎨ y' ⎩y uoán = d So sánh nghiệm với α : • x = xo ∨ f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc f(x) với α • Không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao f(x) = y: (C) y = m: (d) , đưa α vào BBT • Không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (coù m) ,(a > 0) (Ox) ⎧ Δy' > ⎪ ⎪ y CĐ y CT < α < x1 < x2 < x3 ⇔ ⎨ ⎪ y(α) < ⎪α< x ⎩ CÑ ⎧ Δ y' > ⎪ y y < ⎪ x1 < α < x2 < x3 ⇔ ⎨ CÑ CT ⎪ y(α ) > ⎪⎩ α < x CT ⎧ Δ y' > ⎪ y y < ⎪ x1 < x2 < α < x3 ⇔ ⎨ CÑ CT ⎪ y(α ) < ⎪⎩ x CÑ < α ⎧ Δy' > ⎪ ⎪ y CÑ y CT < x1 < x2 < x3 < α ⇔ ⎨ ⎪ y(α) > ⎪x ⎧Δ > ⎨ ⎩ f (α ) = ⎧Δ = ⎨ ⎩ f (α ) ≠ ⎧Δ = Vô nghiệm ⇔ Δ < ∨ ⎨ ⎩ f (α ) = Neáu a có tham số, xét thêm a = với trường hợp nghiệm, VN Phương trình bậc : ⎧ t = x2 ≥ a Trùng phương : ax + bx + c = (a ≠ 0) ⇔ ⎨ ⎩ f (t ) = t = x2 ⇔ x = ± t ⎧Δ >0 ⎪ nghieäm ⇔ ⎨ P > ; ⎪S> ⎩ ⎧P = nghieäm ⇔ ⎨ ⎩S> P ⎧P = ⎨ ⎩S< ⎧Δ =0 ⎨ ⎩ S/ = ⎧Δ ≥ ⎧ ⎪ ⎪ VN ⇔ Δ < ∨ ⎨ P > ⇔ Δ < ∨ ⎨ P > ⎪S * f baäc (hay baäc / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ CT ⇔ Δ f / > * f baäc (hay bậc / bậc 1) có cực trị : • Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = có nghiệm α < x1 < x2 • Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = có nghiệm x1 < x2 < α ⎧⎪ Δ f / > • beân (Ox) ⇔ ⎨ ⎪⎩ yCD yCT > ⎧⎪ Δ f / > • bên (Ox) ⇔ ⎨ ⎪⎩ yCD yCT < * Với hàm bậc / bậc 1, điều kiện yCĐ.yCT < (>0) thay y = VN (có nghiệm.) TRANG 19 * Tính yCĐ.yCT : • Hàm baäc : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) yCÑ.yCT = (CxCÑ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = u • Hàm baäc 2/ baäc : y = v / u (x ).u / (x ) yCÑ.yCT = / CÑ / CT , dùng Viète với pt y/ = v (x CĐ ).v (x CT ) * Đường thẳng qua CĐ, CT : • Hàm bậc : y = Cx + D • Hàm bậc / bậc : y = u/ / v/ * y = ax4 + bx2 + c có cực trị ⇔ ab ≥ 0, cực trị ⇔ ab < 10 ĐƠN ĐIỆU : a Biện luận biến thiên hàm bậc : i) a > y’ = vô nghiệm ⇒ hàm số tăng R (luôn tăng) ii) a < y’ = vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) R (luôn giảm) iii) a > y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm số đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 Ngoài ta có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 hoành độ điểm uốn + hàm số tăng (−∞, x1) + hàm số tăng (x2, +∞) + hàm số giảm (x1, x2) iv) a < y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực đại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 hoành độ điểm uốn) Ta có : + hàm số giảm (−∞, x1) + hàm số giảm (x2, +∞) + hàm số tăng (x1, x2) b Biện luận biến thiên y = bậc bậc1 i) Nếu a.m > y/ = vô nghiệm hàm tăng ( đồng biến) khỏang xác định ii) Nếu a.m < y/ = vô nghiệm hàm giảm ( nghịch biến) khỏang xác định iii) Nếu a.m > y/ = có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 thỏa x1 < x2 x1 + x p =− m iv) Neáu a.m < y/ = có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực đại x2 thỏa x1 < x2 vaø x1 + x p =− m c Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc đồng biến (nghịch biến) miền x ∈ I : đặt đk để I nằm miền đồng biến (nghịch biến) BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc y/ = với α 11 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : TRANG 20 ... biến : Nếu không đưa phương trình dạng tích, thử đặt : * t = cosx : phương trình không đổi thay x – x * t = sinx : phương trình không đổi thay x π – x * t = tgx : phương trình không đổi thay... Thay m vào hệ, giải xem có nghiệm không 12 Hệ phương trình đối xứng loại : Phương trình đối xứng với phương trình Trừ phương trình, dùng đẳng thức đưa phương trình tích A.B = Nghiệm làm hệ đối... (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu π) * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ π * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu) Công thức : a Cơ : đổi hàm, không đổi góc
