Tuyển tập một số nhóm câu hỏi vận dụng cao môn toán ôn thi THPTQG – Nguyễn Minh Tuấn

379 5 0
  • Loading ...
1/379 trang
Tải xuống

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 04/11/2018, 20:05

ÔN THI THPT QUỐC GIA MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI TRONG BÀI VIẾT CHINH PHỤC VẬN DỤNG CAO CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ MŨ VÀ LOGARIT NGUN HÀM TÍCH PHÂN NHỊ THỨC NEWTON ĐẾM - XÁC SUẤT CH INH PH ỤC OLY MP IC T OÁN FAN PAGE T ẠP CH Í VÀ T Ư LIỆU TỐN H ỌC LỜI GIỚI THIỆU Các câu hỏi vận dụng cao đề thi THPT Quốc Gia câu hỏi yêu cầu tư cao, kỹ biến đổi kiến thức đủ sâu để làm Nhằm giúp bạn đọc phần giải số dạng tốn vận dụng cao đề, mạnh dạn viết chuyên đề phần giúp bạn đọc xử lý số nhóm câu hỏi như: Cực trị mũ logarit, nguyên hàm tích phân, tổ hợp xác suất, nhị thức newton Trong chuyên đề có phương pháp ví dụ minh họa cụ thể để bạn hiểu áp dụng Để viết nên chuyên đề tham khảo từ nguồn tài liệu các group, khóa học, tài liệu thầy cô mà tiêu biểu Thầy Lã Duy Tiến Giáo viên trường THPT Bình Minh Website Toán học Bắc Trung Nam: http://toanhocbactrungnam.vn/ Website Toanmath: https://toanmath.com/ Thầy Đặng Thành Nam Giảng viên Vted Thầy Huỳnh Đức Khánh Thầy Nguyễn Hữu Quyết THPQ Bố Trạch tỉnh Quảng Bình Thầy Lê Hồng Thái Vĩnh Yên Trong viết có sưu tầm từ nhiều nguồn nên có câu hỏi chưa hay chưa phù hợp mong bạn đọc bỏ qua Trong trình biên soạn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong bạn đọc góp ý trực tiếp với qua địa sau: Nguyễn Minh Tuấn Sinh viên K14 Khoa học máy tính Đại học FPT Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt Email: tuangenk@gmail.com Blog: https://lovetoan.wordpress.com/ Bản pdf phát hành miễn phí blog CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN, hoạt động sử dụng tài liệu mục đích thương mại không cho phép Xin chân thành cảm ơn bạn đọc TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN I MỞ ĐẦU Như ta biết đề thi mơn tốn kì thi THPT Quốc Gia 2018 vừa qua có xuất câu cực trị logarit khơng phải tốn khỵ lạ gây lòng tòng cho nhiều học sinh, thực chất mấu chốt toán việc sử dụng bất đẳng thức AM GM để đánh giá Trong viết bạn tìm hiểu phát triển tốn đỵ cao cđng ïn lại dạng toán cực trị xuất nhiều trước đây! Bài toán mở đầu Cho số thực a  0, b  thỏa mãn log 4a  5b 1  16a  b    log 8ab 1  4a  5b    Giá trị biểu thức a  2b bằng? 20 A B C D 27 Câu 43 mã đề 105 Đề thi THPT Quốc Gia mơn tốn 2018 Nhận xét Với chưa cỵ kiến thức nhiều bất đẳng thức khả cao bỏ số khác sử dụng CASIO tìm mối liên hệ x,y cách cho Y  1000 , nhiên chắn phương trënh vô nghiệm Nếu tinh ý ta nhận thấy đề yêu cầu tìm giá trị biểu thức a  2b cỵ nghĩa a,b số xác định rồi, đỵ ta phải nghĩ tới phương pháp đánh giá! Chò ó thêm số lớn giả thiết theo bất đẳng thức AM GM ta lại có thêm 16a  b  8ab Đến toán gần coi giải quyết! Lời giải Theo bất đẳng thức AM GM ta có 16a  b  8ab Từ suy ra: VT  log 4a  5b 1  8ab    log 8ab 1  4a  5b    a, b   27  a  2 Dấu “=” xảy 16a  b   a  2b  log b   8ab  4a  5b    Vậy chọn đáp án D Chú ý Ngoài phép đánh giá đầu ta sử dụng thêm đánh giá sau: log a b  log b a  log a b  1  log a b  2 log a b log a b Ta cđng tëm hiểu tốn đề thi THPT Quốc Gia, chuyên đề chủ yếu nhắc tới dạng toán kiểu vậy, nhiên trước tiên ta nhắc lại số dạng toán kiến thức lý thuyết cần phải nắm rõ Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | GIẢI TỐN VẬN DỤNG CAO NGUN HÀM TÍCH PHÂN CỰC TRỊ MŨ LOGARIT II CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ Để làm tốt tốn chuyên đề cần phải nắm kiến thức lý thuyết bất đẳng thức, điều kiện có nghiệm biến đổi logarit sau Đây chình nội dung chun đề mà muốn nhắc tới, dạng tốn lấy ý tưởng từ đề thi THPT Quốc Gia 2018 Trước tiên để làm tốt ta cần có số kiến thức bất đẳng thức nhắc lại kiến thức học sau: Bất đẳng thức AM GM + Cho số thực dương a,b đỵ a  b  ab Dấu “=” a  b + Cho số thực dương a,b,c đỵ a  b  c  3 abc Dấu “=” a  b  c + Tổng quát với số thực dương + Dạng cộng mẫu số n x i 1  i n2 i 1 n i 1 i 1  xi  n n  xi Dấu “=” x1  x2   xn Dấu “=” x1  x   x n n x n i 1 x  x  x  x  2 Khi cho n  2, n  thë ta bất đẳng thức quen thuộc  1     x x x x  x  x Bất đẳng thức Cauchy Schwarz: + Cho số  x , x , , x n   y , y , , y n   n  n   n  đỵ ta cỵ   xi   yi     xi yi   i 1  i 1   i 1  Dấu “=” số lập thành số tỉ lệ Chú ý cho n  2, n  ta bất đẳng thức quen thuộc +  x1  x 2  y  y 2    x1 y  x y  +  x1  x 2  x  y  y 2  y    x1 y  x y  x y  2  n   n a i  i 1  x2 y2  x  y   n + Dạng cộng mẫu Engel tổng quát  Trong đỵ dạng   a b ab i 1 bi  bi i 1 dạng ta hay gặp Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Svacxơ a a a Dấu “=” xảy     n Riêng dạng cộng mẫu thë cần thêm điều kiện b1 b bn b1 , b , , b n  Bất đẳng thức Minkowski Tổng quát: Cho số thực r  số dương a , a , , a n , b , b , , b n ta có: | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN 1 n  n r r  n r r r r a  b     i i         bi   i 1   i 1   i 1  Ở xét trường hợp cho số  a , a , , a n   b1 , b , , b n  Khi đỵ ta cỵ: n   i 1 Dấu “=” xảy n  bi  i 1 n  a i 1 i  bi  a1 a a     n b1 b bn Dạng mà ta hay gặp a2  b2  c2  d2  a  c   b  d 2 Bất đẳng thức cín gọi bất đẳng thức Vector Bất đẳng thức Holder   Cho số dương xi , j i  1, m , j  1, n j m  m   n   Khi đỵ với số 1 , 2 , , n  thỏa mãn  i  ta có:    x i , j      x i , jj  j1  i 1 i 1  j1  i 1  n n Ở ta xét trường hợp đơn giản cho dãy số gồm  a, b, c  ;  m, n, p  ;  x, y, z  Ta có: a  b3  c3  x  y  z  m  n  p3    axm  byn  czp  Dấu “=” xảy dãy tương ứng tỷ lệ  Một bất đẳng thức dạng mà ta hay gặp:   a   b   c    abc  Bất đẳng thức trị tuyệt đối Cho số thực a,b đỵ ta cỵ a  b  a  b  a  b Dấu “=” thứ a,b dấu, dấu “=” thứ a,b trái dấu Điều kiện có nghiệm phương trình bậc Cho phương trënh ax  bx  c   a   Khi đỵ nếu: +   thë phương trënh cỵ nghiệm , đồng nghĩa vế trái ln khơng âm khïng dương +   thë phương trënh cỵ nghiệm phân biệt Ứng dụng kiến thức áp dụng cho tëm điều kiện có nghiệm để suy min, max Ngồi phải ý tới số phép biến đổi logarit mà ta học Tính chất hàm đơn điệu Nếu hàm số f  x  đơn điệu liên tục tập xác định nỵ thë phương trënh f  x   a có tối đa nghiệm Nếu hàm số f  x  đơn điệu không lien tục tập xác định nỵ thë phương trënh f  x   a có tối đa n  nghiệm Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | GIẢI TỐN VẬN DỤNG CAO NGUN HÀM TÍCH PHÂN CỰC TRỊ MŨ LOGARIT III CÁC DƢNG TOÁN CỬC TRỊ MŨ LOGARIT KỸ THUẬT RÚT THẾ - ĐÁNH GIÁ ĐIỀU KIỆN ĐƯA VỀ HÀM BIẾN SỐ Đây kỹ thuật mà gặp toán cực trị mà ta luïn nghĩ tới, hầu hết chúng giải cách biểu thức từ giả thiết xuống u cầu từ đỵ sử dụng cơng cụ đạo hàm, bất đẳng thức để giải Sau ta cđng vào ví dụ minh họa VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho số thực x,y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P   2x  y  2y  x   9xy A 27 B 18 C 27 D 12 THPT Đï Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM GM ta có  x  y  x  y  x  y   y   x    P   2x  x     x   x  9x   x   f  x   f    18 Chọn ý B Ví dụ 2: Cho số thực a, b  thỏa mãn log a  log b  Giá trị lớn biểu thức P  log a  log b bằng? A B log  log log  log C  log  log  D log  log Chuyên KHTN Hà Nội Lần 2017 2018 Lời giải Biến đổi yêu cầu toán ta được: P  log a  log b  Xét hàm số f  t   log a log b log a  log a    log log log log log t  log  t  f '  t     t  log a  log t log  t Ta có f '  t     t  log t   t  t.log 22  t  1  log 22    f t  f    log  log  P  log  log 2   log  Chọn ý A Ví dụ 3: Cho số thực dương a,b thỏa mãn log a  log Giá trị nhỏ biểu b thức P  4a  b  log  4a  b  viết dạng x  y log z với x,y,z số | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN thực dương lớn Khi đỵ tổng x  y  z có giá trị bao nhiêu? A B C D Cris Tuấn Lời giải Từ giả thiết ta có 4 log a  log  log a  log 2  a  b b b Đặt t  4a  b , theo bất đẳng thức AM GM ta có t  4a  b3  256 256 b3 b3 256 b3 b3 3  b      12 b6 b6 2 b6 2 Khi đỵ P  4a  b  log  4a  b   f  t   t  log t Ta có f '  t    4  1  0t  12 Vậy hàm f  t  đồng biến  12;   t ln 12 ln  P  f  t   f  12    log  x  y  4, z   x  y  z  Chọn ý C Ví dụ 4: Cho số thực dương a,b thỏa mãn log  12  a  b   đỵ giá trị nhỏ biểu thức P  số nguyên dương A 62 log  a   b    Khi m a3 b3 45 viết dạng với m,n   n b2 a2 ab m tối giản Hỏi giá trị m  n bao nhiêu? n B 63 C 64 D 65 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có: log  12  a  b   log  a   b     log  12  a  b   log 2  ab2  a   b    a   b    12 Theo bất đẳng thức AM GM ta có  12  a  b    a   b     a  b    a  b  Biến đổi tiếp biểu thức P  a  a    b3  a    a   b   a4  b4   a3  b3  45 45    ab ab  a   b    4 a  b   a  b  Chú ý tới bất đẳng thức quen thuộc  a  b   a  b   1  a  b    a  b  45  a  b 4   a  b 3 45 t  4t 45      Từ đỵ suy P  2 ab a  b  12  t  t  a   b    12  a  b  Xét hàm số Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | GIẢI TỐN VẬN DỤNG CAO NGUN HÀM TÍCH PHÂN CỰC TRỊ MŨ LOGARIT f t  t  4t  12  t    t   t   t   t  45     43      45  45  f ' t   3 2 t  12  t   12  t  t  12    12    P  f t   f  4  61 61  P   m  n  65 4 Chọn ý D Ví dụ 5: Cho số thực dương x,y thỏa mãn log  x  2y   log x  log y , đỵ giá trị nhỏ biểu thức P  e dương x2 1 y e y2 x1 viết dạng m với m,n số nguyên n m tối giản Hỏi giá trị m  n bao nhiêu? n A 62 B 78 C 89 D 91 Sở giáo dục đào tạo tỉnh Hải Phòng Lời giải Biến đổi giả thiết ta có: log  x  2y   log x  log y  log  x  2y   log xy  x  2y  xy  x x  y  y 2 Theo bất đẳng thức AM GM ta có x   y  x x x x  x     y  y     y  4  y    y  2 2  2  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng cộng mẫu số Engel ta có: P e x2 1 y e y2 x1 x x  2     y y y x 2   ln P           2y  x  2y  1  x x    y  1 2  x t2 Đặt t   y  t    ln P   f  t   f  4   P  e 2  t  1 Chọn ý C x y Ví dụ 6: Cho hai số thực x,y thỏa mãn  x, y  đồng thời  2x2  2xy  y 2xy m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x, y   e x y x y  5.2 Gọi M,  xy  x  y2 Khi đỵ giá trị biểu thức T  M  m có giá trị bao nhiêu? A e  B e  1 C e  D Không tồn Lời giải x y Từ giả thiết ta có  | Chinh phục olympic toán 2x  2xy  y 2xy x y x y  5.2   4.2 2x y  y x  5.2 y x Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN x y y x 4a Đặt a  , b   a, b   ta được: a   5b   a  b  4a  5b    a  b  x  y b Khi đỵ f  x, y   e x y 2 x y y2 x2 x x  e   x   g x 2 Ta có g '  x   e x  x  1,g ''  x   e x   đỵ g  x   g    , không tồn giá trị nhỏ Chọn ý D Ví dụ : Gọi S tập hợp cặp số thực  x; y  thỏa mãn x   1; 1 đồng thời ln  x  y   2017x  ln  x  y   2017y  e 2018 Biết giá trị lớn biểu thức x y P  e 2018x  y    2018x với x, y  S đạt  x ; y  Mệnh đề đòng? A x0   1;  B x  1 D x0   0;  C x  THPT Chuyên Quốc Học Huế năm 2017-2018 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có ln  x  y   2017x  ln  x  y   2017y  e 2018 x y   x  y  ln  x  y   2017  x  y   e 2018  ln  x  y   2017  Xét f  t   ln t  2017  e 2018  * xy e 2018 e 2018  f '  t     0, t   f  t  đồng biến  0;   t t t Khi đỵ phương trënh  *   x  y  e 2018  y  x  e 2018  P  e 2018x   x  e 2018   2018x  g  x   g '  x   e 2018x  2019  2018x  2018e 2018   4036x  g ''  x   e 2018x  2018.2020  2018 x  2018 e 2018   4036  e 2018x  2018.2020  2018  2018 e 2018   4036  0, x   1;  Nên g '  x  nghịch biến  1; 1 Mà g '    e 2018  2018  0,g '    2019  2018e 2018 nên tồn x0   1;  cho g '  x0    max g  x   g  x  1;1 Chọn ý A Ví dụ 8: Cho số thực x,y thỏa mãn 3x  y2  log  x  y   biểu thức P   x  y   3xy bao nhiêu? A 13 B 17 C   log   xy   Giá trị lớn D Lời giải Điều kiện x  y;  xy Biến đổi giả thiết ta có Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | GIẢI TỐN VẬN DỤNG CAO NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CỰC TRỊ MŨ LOGARIT 3x  y2   3x log  x  y   log   2xy   y2 2 log  x  y    2xy   log   2xy   Nếu x  y   VT  log   2xy   VP  Nếu x  y   VT  log   2xy   VP Vậy x  y    x  y    2xy  xy  2 2  x  y Khi đỵ ta cỵ: P   x  y   6xy  x  y   3xy  2a  3a  a    3 2 Do xy    x  y    2;   a2    f a  a  x  y   f 1   13 Chọn ý A Ví dụ 9: Cho số thực dương a, x, y, z thỏa mãn 4z  y , a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  log a2  xy   log a  x y  x z   4z  y B  A 4 25 16 D  C 2 21 16 Lời giải Từ giả thiết ta có z  y2 x2 y2 x2 y2  x3 y3  x2 z  x3 y   x3 y3   xy  4 Khi đỵ S  log  xy   log  xy  a 2  25 25    log a xy      16 16  Chọn ý B BÀI TẬP TỬ LUYỆN Câu 1: Cho số thực x,y thỏa mãn log x2  y2 1  2x  4y   Tính P  x biểu thức y S  4x  3y  đạt giá trị lớn A P  B P  C P   13 D P  17 44 Câu 2: Cho số thực dương x,y thỏa mãn xy  4y  Tìm giá trị lớn biểu thức S  x  2y  6y  ln   x  y  A 24  ln C B 12  ln Câu 3: Cho số thực x,y thỏa mãn x biểu thức S  x  y  x  y  y2 1  ln D  ln  log  x  y    Biết giá trị lớn a a với a,b số nguyên dương phân số tối b b giản Tính T  a  2b | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN đầu cạnh điểm) Qua điểm có đường thẳng tương ứng đầu cắt tạo thành hình bình hành thỏa mãn tốn Vì vài trò cạnh nên số hënh bënh hành thu là: C 72 C 25  630 (hình) Ta thấy có      45 giao điểm đường thẳng nên số phần tử không gian mẫu n     C 445 Vậy xác suất cần tính P  A   3C 10  C 45 473 Câu 63 : Gọi A tập hợp tất số tự nhiên cỵ tám chữ số đïi khác Chọn ngẫu nhiên số thuộc A , tình xác suất để số tự nhiên chọn chia hết cho 45 Lời giải Ta có n     A  A 10 Gọi A tập hợp số a có chữ số khác chia hết cho 45 Khi đỵ a chia hết cho (tổng chữ số chia hết cho số hàng đơn vị )  Trường hợp 1: a cỵ hàng đơn vị ; chữ số lại có chữ số số 1; 8 , 2;7 , 3; 6 , 4; 5 , có 4.7 ! số  Trường hợp 2: a cỵ hàng đơn vị ; chữ số lại có chữ số số 0; 9 , 1; 8 , 2;7 , 3; 6 Khơng có 0; 9 , có ! số Có 0; 9 , có C 23  ! 6! số  n  A   4.7 ! C 23  ! 6! số  P  A   4.7! C 23  7! 6! A A 10  53 2268 Câu 64 : Một khối lập phương cỵ độ dài cạnh 2cm chia thành khối lập phương cạnh 1cm Hỏi cỵ tam giác tạo thành từ đỉnh khối lập phương cạnh 1cm Lời giải Có tất 27 điểm Chọn điểm 27 có C 327  2925 Có tất  8.2  6.2  4.2        49 ba điểm thẳng hàng Vậy có 2925  49  2876 tam giác Câu 65: Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vï địch thi cờ tướng Người giành chiến thắng người thắng năm ván cờ Tại thời điểm người chơi thứ thắng ván người chơi thứ hai thắng ván, tình xác suất để người chơi thứ giành chiến thắng Lời giải Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 363 GIẢI TỐN VẬN DỤNG CAO NHỊ THỨC NEWTON XÁC SUẤT, ĐẾM Theo giả thiết hai người ngang tài ngang sức nên xác suất thắng thua ván đấu 0, 5; 0, Xét thời điểm người chơi thứ thắng ván người chơi thứ hai thắng ván Để người thứ chiến thắng thë người thứ cần thắng ván người thứ hai thắng khơng q hai ván Có ba khả năng:  TH1: Đánh ván Người thứ thắng xác suất 0,  TH2: Đánh ván Người thứ thắng ván thứ hai xác suất  0,   TH3: Đánh ván Người thứ thắng ván thứ ba xác suất  0,  Vậy P  0,   0,    0,   Câu 66: Xét bảng ï vuïng gồm  ï vụng Người ta điền vào ï vụng đỵ hai số 1 cho tổng số hàng tổng số cột Hỏi cỵ cách? Lời giải Nhận xét 1: Trên hàng cỵ số số 1 , cột cỵ số số 1 Nhận xét 2: Để tổng số hàng cột đồng thời cỵ khïng q hai số ba hàng xếp số thë ta cỵ cách xếp hàng thứ tự Do ta tëm số cách xếp ba hàng Phương pháp giải xếp theo hàng (Hënh vẽ) Các hàng đánh số sau: Hàng Hàng Hàng Hàng Nếu xếp tự thë hàng cỵ 4!  cách điền số mà tổng số 0, đỵ 2!.2! cách xếp sau (Ta gọi số từ   đến   ): 11     ,   11   , 1  111   , 11  11   ,  11    , 111    Giả sử hàng xếp   Số cách xếp hàng cỵ khả sau  Khả 1: Hàng xếp giống hàng 1: Cỵ cách xếp (   ) Hàng có cách (   ) Hàng có cách Vậy cỵ 1.1.1.1  cách xếp  Khả 2: Hàng xếp đối xứng với hàng 1: Cỵ cách xếp (bộ   ) Hàng có cách ( lấy thoải mái từ vë tổng hai hàng ) Hàng có cách Vậy cỵ 1.1.6.1  cách xếp 364 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN  Khả 3: Hàng xếp trñng với cách xếp hàng vị trì: Cỵ cách xếp ( cín lại) Khi đỵ, với cách xếp hàng thứ , hàng có cách.Hàng có cách Vậy cỵ 1.1.6.1  cách xếp Vë vai trí số nên số cách xếp thỏa mãn ycbt      90 cách Câu 67: Thầy X cỵ 15 sách gồm sách toán, sách lì sách hỵa Các sách đïi khác Thầy X chọn ngẫu nhiên sách để làm phần thưởng cho học sinh Tình xác suất để số sách cín lại thầy X cỵ đủ mơn Lời giải Gọi A biến cố ‚Số sách lại thầy X cỵ đủ mïn‛, suy A biến cố ‚Số sách lại thầy X khïng cỵ đủ mïn‛= ‚Thầy X lấy hết số sách môn học‛ Số phần tử không gian mẫu là: n     C 815  6435     n A  C 44 C 11  C 55 C 10  C 66 C 92  486  P A    54 661  P A    P A  715 715 Câu 68: Một thỏ di chuyển từ địa điểm A đến địa điểm B cách qua điểm nòt (trong lưới cho hình vẽ) di chuyển sang phải lên (mỗi cách di chuyển xem cách đi) Biết thỏ di chuyển đến nút C bị cáo ăn thịt, tính xác suất để thỏ đến vị trí B B C A Lời giải B I C A Vẽ thêm cho em điểm J phìa điểm I Chú ý : Nếu di chuyển lưới theo hướng lên sang ngang thë từ O  0;  đến n A  m; n  có C m m  n  C m  n cách Số cách di chuyển từ A đến I C 25 , số cách di chuyển từ I đến B C 24 Số phần tử không gian mẫu: n     C 25 C 24  60 Gọi X biến cố thỏ đến vị trí B Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 365 GIẢI TOÁN VẬN DỤNG CAO NHỊ THỨC NEWTON XÁC SUẤT, ĐẾM Số cách di chuyển từ A đến I C 25 , số cách di chuyển từ I đến J cách, số cách di chuyển từ J đến B C 13 Ta có n  X   C 25 1.C 13  30 Vây P  X   n X n   Câu 69: Mỗi lượt, ta gieo sòc sắc (loại mặt, cân đối) đồng xu (cân đối) Tình xác suất để lượt gieo vậy, cỵ ìt lượt gieo kết xòc sắc xuất mặt chấm, đồng thời đồng xu xuất mặt sấp Lời giải Trước hết ta tình xác suất để lượt gieo thứ k khïng kết xòc sắc xuất mặt chấm, đồng thời đồng xu xuất mặt sấp Số phần tử không gian mẫu C 12 C 16  12 Số cách gieo để kết xúc sắc xuất mặt chấm, đồng thời đồng xu xuất 12  11 mặt sấp C 11 C 11  Vậy P  A k    12 12 Gọi A biến cố lượt gieo có lượt gieo kết xúc sắc xuất mặt chấm, đồng thời đồng xu xuất mặt sấp 397  11  Khi đỵ P  A    P  A 1A 2A        12  1728 Câu 70: Xếp ngẫu nhiên chữ cụm từ ‘THANH HOA‛ thành hàng ngang Tính xác suất để có hai chữ H đứng cạnh Lời giải Cách Xét trường hợp chữ xếp bất kë, đỵ ta xếp chữ sau  Có C 83 cách chọn vị trí xếp có chữ H  Có C 25 cách chọn vị trí xếp có chữ A  Có ! cách xếp chữ T, O, N Do đỵ số phần tử không gian mẫu n     C 83 C 25 3! Gọi A biến cố ‚cỵ ìt hai chữ H đứng cạnh nhau‛  Nếu có ba chữ H đứng cạnh nhau, có cách xếp chữ H  Nếu đòng hai chữ H đứng cạnh + Khi hai chữ H hai vị trì đầu cuối có cách xếp chữ H lại + Khi hai chữ H đứng vị trí có cách xếp chữ H lại Do đỵ cỵ 2.5  5.4  30 cách xếp chữ H cho cỵ đòng hai chữ H đứng cạnh Như có 30   36 cách xếp chữ H, ứng với cách xếp ta có C 25 cách chọn vị trí xếp chữ A ! cách xếp T, O, N 366 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Suy n  A   36.C 25 3! Vậy xác suất biến cố A P  A   Cách Số phần tử không gian mẫu n     n A  n   14 8!  3360 2!3! Gọi A biến cố ‚cỵ ìt hai chữ H đứng cạnh nhau‛ 5! Đầu tiên ta xếp chữ A ba chữ T, O, N có cách 2! Tiếp theo ta có vị trí (xen hai đầu) để xếp chữ H khơng có chữ H đứng liền nhau, có C 63 cách     5! C  n  A   n     n A  2160 2! n A  Vậy xác suất biến cố A P  A    n    14 Do đỵ n A  Câu 71: Trong thi trắc nghiệm khách quan cỵ 10 câu Mỗi câu cỵ bốn phương án trả lời, đỵ cỵ phương án đòng Mỗi câu trả lời đòng thë điểm, trả lời sai thë bị trừ 0, điểm Một sinh khïng học nên làm cách với câu chọn ngẫu nhiên phương án trả lời Xác suất để sinh đỵ làm số điểm khïng nhỏ bao nhiêu? Lời giải Chọn ngẫu nhiên phương án trả lời cho 10 câu hỏi ta khơng gian mẫu có số phần tử n     10 Gọi A biến cố sinh làm số điểm khơng nhỏ Một sinh làm số điểm không nhỏ thuộc trường hợp sau:  Đòng 10 câu (được 10 điểm) có: cách chọn  Đòng câu sai câu (được 8, điểm) có: C 110  30 cách chọn  32  405 cách chọn Đòng câu sai câu (được điểm) có: C 10 Khi đỵ n  A    30  405  436 Vậy xác suất để sinh làm số điểm không nhỏ Vậy P  A   n A  n   436 109  10 262144 Chú ý: Gọi x số câu đòng (với  x  10 , x  ), 10  x số câu sai thë điểm thí sinh 3x d  x  0,  10  x   5 3x Vì d  nên    x  nên x  8; 9; 10 Do đỵ ta cỵ trường hợp lời giải Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 367 GIẢI TỐN VẬN DỤNG CAO NHỊ THỨC NEWTON XÁC SUẤT, ĐẾM Câu 72: Cho A tập số tự nhiên có chữ số Lấy số tập A Tính xác suất để lấy số lẻ chia hết cho Lời giải Số phần tử không gian mẫu n     9000000  9.106 số Gọi A biến cố thỏa mãn toán Ta đếm số phần tử A Ta có số lẻ chia hết cho dãy 1000017 , 1000035 , 1000053 ,., 9999999 lập thành cấp số cộng có u  1000017 công sai d  18 nên số phần tử dãy 9999999  1000017   500000 Vậy n  A   5.105 18 n  A  5.10 Xác suất cần tìm P  A   Vì A B hai biến cố xung khắc nên hai   n    9.10 18 biến cố khïng đồng thời xảy Câu 73: Từ chữ số lập số tự nhiên cỵ chữ số cho khïng cỵ chữ số đứng cạnh nhau? Lời giải  TH1: Có chữ số số  TH2: Có chữ số , chữ số Có cách xếp chữ số nên có số  TH3: Có chữ số , chữ số Xếp số ta có cách Từ số ta có có chỗ trống để xếp số Nên ta có: C 72  21 số  TH4: Có chữ số , chữ số Tương tự TH3, từ chữ số ta có chỗ trống để xếp chữ số Nên có: C 63  20 số  TH5: Có chữ số , chữ số Từ chữ số ta có chỗ trống để xếp chữ số Nên có: C 54  Vậy có:   21  20   55 số Câu 74: Gọi S tập hợp số tự nhiên nhỏ 10 thành lập từ hai chữ số Lấy ngẫu nhiên hai số S Xác suất để lấy ìt số chia hết cho bao nhiêu? Lời giải Có: a  ; a , , a6  0; 1 Số phần tử S :  1.2  1.2.2  1.2.2.2  1.2.2.2.2  1.2.2.2.2.2  64 Lấy ngẫu nhiên hai số S , có : C 63 (cách lấy) Gọi A biến cố lấy số chia hết cho  A biến cố không lấy số chia hết cho Ta xét xem 63 số tập S có số chia cho :  TH1: Số có chữ số a : có số hai số khïng chia cho 368 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN  TH2: Số có chữ số a 1a với a  : có số số khïng chia cho  TH3: Số có chữ số a 1a a với a  : có số đỵ cỵ số chia cho  TH4: Số có chữ số a 1a a a với a  : có số đỵ cỵ số chia cho  TH5: Số có chữ số a1a a a a với a  : có 16 số đỵ cỵ số chia cho  TH6: Số có chữ số a 1a a a a 5a với a  : có 32 số đỵ cỵ 11 số chia cho Do đỵ cỵ 21 số chia cho có 43 số khïng chia cho   Do đỵ: P A  C 243 43 53 Vậy P  A    P A   96 C 64 96   Câu 75: Trong lễ tổng kết năm học 2017  2018 , lớp 12T nhận 20 sách gồm sách toán, sách vật lý, sách Hóa học, sách mơn học giống Số sách chia cho 10 học sinh lớp, học sinh nhận hai sách khác mơn học Bình Bảo hai số 10 học sinh đỵ Tình xác suất để sách mà Bình nhận giống sách Bảo Lời giải Gọi x , y , z số phần quà gồm sách Tốn Vật lý, Tốn Hóa học, Vật lý x  y  x    Hóa học Khi đỵ theo đề ta có hệ phương trënh x  z    y  z  y  z    C 83 C 55  2520 Số phần tử không gian mẫu n   C 10 Gọi A biến cố sách mà Bình nhận giống sách Bảo Số phần tử A n A  C 22 C 83 C 55  C 82 C 61 C 55  C 82 C 63 C 33  784 Vậy xác suất cần tìm P  A   748 14  2520 45 Câu 76 : Trong không gian cho 2n điểm phân biệt  n  3, n   , đỵ khïng cỵ điểm thẳng hàng 2n điểm đỵ cỵ đòng n điểm nằm mặt phẳng Biết cỵ đòng 505 mặt phẳng phân biệt tạo thành từ 2n điểm cho Tëm n ? Lời giải Xem điểm 2n điểm cho lập nên mặt phẳng, ta có C 32 n mặt phẳng Tuy nhiên 2n điểm đỵ cỵ đòng n điểm nằm mặt phẳng nên n điểm có mặt phẳng Vậy số mặt phẳng cỵ  C 32 n  C n3   Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 369 GIẢI TỐN VẬN DỤNG CAO NHỊ THỨC NEWTON XÁC SUẤT, ĐẾM  2n  !  n!  504 3!  2n   ! 3!  n   !  2n  2n   2n    n  n   n    3024  7n  9n  2n  3024   n  Theo đề ta có: C 32 n  C n3   505  Câu 77: Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số lập từ tập A  0; 1; 2; 3; ; 9 Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để chọn số tự nhiên có tích chữ số 7875 Lời giải Số phần tử không gian mẫu số cách lập số có chữ số từ tập A , đỵ số phần tử khơng gian mẫu n   9.10 Gọi B biến cố chọn số tự nhiên có tích chữ số 7875  32.5 3.7 Số phần tử B C 62 C 34  60 Suy xác suất P  B   60  9.10 15000 Câu 78: Gieo súc sắc cân đối đồng chất ba lần liên tiếp Gọi P tích ba số ba lần tung (mỗi số số chấm mặt xuất lần tung), tính xác suất cho P không chia hết cho Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n      216 Gọi A biến cố ‚tìch số chấm ba lần gieo số không chia hết cho ‛  Trường hợp Số chấm ba lần gieo chữ số thuộc tập 1, 2, 4, 5 + Cả ba lần số chấm khác có A 34 khả + Có hai lần số chấm giống có C 24 3! khả 2! + Cả ba lần số chấm giống có khả  Có 64 khả  Trường hợp Số chấm ba lần gieo chữ số thuộc tập 1, 3, 5 + Cả ba lần số chấm khác có ! khả 3! + Có hai lần số chấm giống có C 23 khả 2! + Cả ba lần số chấm giống có khả  Có 27 khả Tuy nhiên trường hợp bị trùng khả năng: + Ba lần số chấm giống số chấm : Chỉ có khả + Có hai lần số chấm giống : Chỉ có khả Do đỵ n  A   64  27      83 370 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TOÁN Vậy P  A   83 216 Câu 79: Một người viết ngẫu nhiên số có bốn chữ số Tính xác suất để chữ số số viết có thứ tự tăng dần giảm dần ( nghĩa số viết dạng abcd a  b  c  d a  b  c  d ) Lời giải Viết ngẫu nhiên số có chữ số nên số phần tử không gian mẫu n     9.10.10.10  9000 Gọi A biến cố chữ số số viết có thứ tự tăng dần giảm dần Gọi số tự nhiên có chữ số mà chữ số số viết có thứ tự tăng dần giảm dần có dạng abcd  Trường hợp 1: số tự nhiên có chữ số mà chữ số số viết có thứ tự giảm dần Vì a  b  c  d nên chữ số đïi khác chữ số a , b , c , d lấy từ tập X  1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 với chữ số lấy từ X lập số thỏa u cầu tốn Do đỵ số số tự nhiên có chữ số mà chữ số số viết có thứ tự tăng dần C 94  Trường hợp 2: số tự nhiên có chữ số mà chữ số số viết có thứ tự tăng dần Vì a  b  c  d nên chữ số đïi khác chữ số a , b , c , d lấy từ tập Y  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 với chữ số lấy từ Y lập mọt số thỏa yêu cầu tốn Do đỵ số số tự nhiên có chữ số mà chữ số số viết có thứ tự giảm C 10  336 Vậy số phần tử biến cố A n  A   C 94  C 10 Xác suất biến cố A P  A   n A  n  336 14  9000 375  Câu 80 : Chia ngẫu nhiên viên bi gồm viên màu đỏ viên màu xanh có kích thước thành ba phần, phần viên Xác xuất để khơng có phần gồm viên màu Lời giải Cách 1: Vì xác suất khïng thay đổi ta coi ba phần có xếp thứ tự , , Chia ngẫu nhiên viên bi gồm viên màu đỏ viên màu xanh cỵ cđng kìch thước thành ba phần, phần viên sau:  Phần : Chọn viên cho phần có C 93 cách  Phần : Chọn viên cho phần có C 63 cách Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 371 GIẢI TOÁN VẬN DỤNG CAO NHỊ THỨC NEWTON XÁC SUẤT, ĐẾM  Phần : Chọn viên lại cho phần có cách Do đỵ số phần tử không gian mẫu n     C 93 C 63  1680 Gọi A biến cố khơng có phần gồm viên cđng màu, đỵ ta chia viên bi thành sau:  Bộ : đỏ, xanh: Có C 24 C 15 cách chọn  Bộ : đỏ, xanh: Có C 12 C 24 cách chọn  Bộ : gồm viên bi lại( đỏ, xanh) Vì có viên bi giống để khơng phân biệt hai nên có vào phần Do đỵ n  A   Ta P  A   n A  n   3! xếp 2! 3! 1 C C 5C C  1080 2! 1080  1680 14 Cách 2: Mã hóa:  viên bi đỏ giống , , ,  viên bi xanh giống , , , , 9! + Xếp phần tử hàng ngang có    126 (cách) 5!.4! + Một cách xếp thỏa yêu cầu 1, 1, 1, 0, 1, 0, - Hốn vị nhóm có 3!  (do có nhóm giống nhau) 2! - Rồi hốn vị số nhóm có: 3.3.3  27 Do đỵ biến cố A có: A   27  81 Vậy P  A   A   81  126 14 Câu 81: Cho đa giác  P  có 20 đỉnh Lấy tùy ý đỉnh  P  , tính xác suất để đỉnh lấy tạo thành tam giác vuông cho, cạnh cạnh  P  Lời giải Khơng gian mẫu: Chọn đỉnh từ 20 đỉnh để tạo thành tam giác  n     C 320 Biến cố A : đỉnh lấy tạo thành tam giác vng cho, khơng có cạnh cạnh  P  Ta cỵ đa giác  P  nội tiếp đường tròn, nên tam giác vng tạo từ đường chéo (qua tâm) điểm khác (tam giác nội tiếp có cạnh đường kính tam giác vng) Số cách chọn đường chéo qua tâm 10 cách 372 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Một đường chéo qua đỉnh, nên theo yêu cầu, đỉnh thứ ba đỉnh nằm cạnh hai đỉnh chọn  có 20    14 cách chọn (trừ hai đỉnh tạo thành đường chéo nữa) Vậy n  A   10  14  140 tam giác Vậy xác suất để đỉnh lấy tạo thành tam giác vng cho, khơng có cạnh cạnh  P  p  n A  n   140  C 320 57 Câu 82: Một hộp đựng 26 thẻ đánh số từ đến 26 Bạn Hải rút ngẫu nhiên lúc ba thẻ Hỏi có cách rút cho hai ba thẻ lấy đỵ cỵ hai số tương ứng ghi hai thẻ đơn vị? Lời giải Giả sử số ghi ba thẻ xếp theo thứ tự tăng dần a  b  c Vì hai ba thẻ lấy đỵ cỵ hai số tương ứng ghi hai thẻ a  b    a  b   c   24 đơn vị nên ta có:  b  c  Vậy số cách lấy là: C 324  2024 cách Câu 83: Cho A tập số tự nhiên có chữ số Lấy ngẫu nhiên số thuộc tập A Tính xác suất lấy số lẻ chia hết cho Lời giải Số phần tử không gian mẫu n     9.10 Gọi B biến cố thỏa u cầu tốn Ta có số lẻ có chữ số chia hết cho 100000017 , 100000035 , 100000053 ,……, 999999999 lập thành cấp số cộng với u  100000017 công sai d  18 999999999  100000017   50000000 18 n  B  5.107 Vậy n  B   5.10 Xác suất P  B     n    9.10 18 Nên số phần tử dãy Câu 84: Cho đa giác  H  có 15 đỉnh Người ta lập tứ giác có đỉnh đỉnh  H  Tính số tứ giác lập thành mà khơng có cạnh cạnh  H  Lời giải Kí hiệu đa giác A 1A A 15  TH1: Chọn tứ giác có dạng A 1A m A n A p với  m  n  p  15 Gọi x , x , x , x số đỉnh nằm A với A m , A m với A n , A n với A p A p với A x1  x  x  x  11 Khi đỵ ta cỵ hệ  xi  1, i  1, 2, 3,  120 tứ giác Đặt xi  x i  xi  x1  x2  x3  x4  nên có C 10 Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 373 GIẢI TỐN VẬN DỤNG CAO NHỊ THỨC NEWTON XÁC SUẤT, ĐẾM  TH2 : Không chọn đỉnh A Giả sử tứ giác chọn A m A n A pA q với  m  n  p  q  15 Gọi x số đỉnh A A m , x số đỉnh A m A n , x số đỉnh A n A p , x số đỉnh A p A q , x đỉnh A q A x  x  x  x  x  10  330 tứ giác Ta có hệ  Tương tự trường hợp có C 11 x , x , x , x  1, x   Vậy có 450 tứ giác Câu 85: Có số có chữ số tận chia hết cho Lời giải Số tự nhiên có chữ số thỏa mãn đề abcd1 Giả sử abcd1  10.abcd   3.abcd  7.abcd  Ta có chia hết cho 3.abcd  chia hết cho Khi đỵ, 3.abcd   7k  abcd  2k  k 1 ,k  Suy abcd  7l   1000  7l   9999  số nguyên k  3l  998 9997 có 1286 giá trị l l 7 Vậy có 1286 số thỏa mãn toán Câu 86: Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên cỵ năm chữ số Tính xác suất để số chọn có dạng abcde đỵ  a  b  c  d  e  Lời giải Có 9.10 số tự nhiên có chữ số tạo thành Từ  a  b  c  d  e    a  b   c   d   e   13 Đặt a  a , a  b  , a  c  , a  d  , a  e    a  a  a  a  a  13 Mỗi cách chọn số  a1 , a , a , a , a  tương ứng ta số abcde thỏa mãn toán  1287 số Số số có dạng abcde thỏa mãn C 13 Vậy xác suất cần tìm P  1287 143  9.10 10000 Câu 87: Cho số , , , , , , lập số tự nhiên cỵ chữ số đïi khác dạng abcdef Tính xác suất để số lập thỏa mãn a  b  c  d  e  f ? Lời giải Số phần tử khïng gian mẫu n     6.6!  4320 Số lập thỏa mãn a  b  c  d  e  f ta cỵ trường hợp sau:  TH1: xét số 0; 6 , 1; 5 , 2; 4 : Nếu a; b  0; 6 có cách xếp Khi đỵ hai cặp số cín lại cỵ: 2.2.2  cách 374 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Nếu a; b  1; 5 có cách xếp Khi đỵ hai cặp số cín lại cỵ: 2.2.2  cách Nếu a; b  2; 4 có cách xếp Khi đỵ hai cặp số cín lại cỵ: 2.2.2  cách Suy có: 8.5  40 (số)  TH2: xét số 0; 5 , 1; 4 , 2; 3 : tương tự TH1 cỵ 8.5  40 (số)  TH3: xét số 1; 6 , 2; 5 , 3; 4 : có 3.2.8  48 (số) Vậy xác suất P  A   40  40  48  4320 135 Câu 88: Cỵ tất hënh chữ nhật bàn cờ vua 8x8 ? Lời giải Số hình chữ nhật chứa vng 64 Số cách chọn ô vuông phân biệt 64 vng  2016 Trong đỵ số cách chọn ô thuộc C 64 hàng cột 16C 82 Suy có 448 hình chữ nhật mà có chiều rộng 1(các vng thuộc hàng cột) Vậy số cách chọn ô vuông mà không hàng hay cột là: 2016  448  1568 Nhận xét: Với ô vuông không hàng cột ta tạo hình chữ nhật cách chiếu Các đường song song với cạnh bàn cờ qua ï vụng đỵ Cụ thể sau: Với vng C5 F3 ta tạo thành hình chữ nhật cỵ đỉnh là: C5; C3; F3; F5 Như hình chữ nhật tạo cặp ô vuông không hàng cột Do 1568 đỵ số hình chữ nhật trường hợp  784 hình chữ nhật Câu 89: Một hộp đựng 26 thẻ đánh số từ đến 26 Bạn Hải rút ngẫu nhiên lúc ba thẻ Hỏi có cách rút cho hai ba thẻ lấy đỵ cỵ hai số tương ứng ghi hai thẻ ln đơn vị? Lời giải Giả sử số ghi ba thẻ xếp theo thứ tự tăng dần a  b  c Vì hai ba thẻ lấy đỵ cỵ hai số tương ứng ghi hai thẻ ln a  b    a  b   c   24 đơn vị nên ta có:  b  c  Vậy số cách lấy là: C 324  2024 cách Câu 90: Có cặp vợ chồng cần xếp ngồi vào bàn tròn Tính số cách xếp cho có vợ chồng nhà A ngồi cạnh cặp vợ chồng khác thë hai người vợ chồng khơng ngồi cạnh Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 375 GIẢI TỐN VẬN DỤNG CAO NHỊ THỨC NEWTON XÁC SUẤT, ĐẾM Lời giải Có cách xếp cho vợ chồng A ngồi vào bàn tròn (giả sử ơng chồng ngồi cố định, bà vợ có cách xếp)  Ta lại xếp cặp vợ chồng khác vào bàn tròn, cặp vợ chồng đổi chỗ cho nên có ! cách  Bây có tất khe trống (vì cặp vợ chồng A khơng cho ngồi giữa) Ta xếp cặp vợ chồng khác vào khe nên có A 23  cách  Bây có tất khe trống Ta xếp cặp vợ chồng lại vào khe nên có A 25  20 cách Vậy có    20  480 cách 376 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học LỜI KẾT Mặc dù chuyên đề gửi tới cho bạn chưa đầy đủ vấn đề chương trình tốn liên quan tới ơn thi THPT Quốc Gia, mong giúp ích phần cho bạn việc giải nhóm câu mà đề cập tới chuyên đề Rất hy vọng nhận ủng hộ đóng góp từ người Một lần cảm ơn bạn đọc theo dõi, chúc bạn mùa thi tới thành công! ... x2  2 x Câu 13 Chọn ý D Câu 14 Chọn ý B Đề thi HKI – Chuyên Amsterdam – Hà Nội – 2017 – 2018 Câu 15 Chọn ý A Câu 16 Chọn ý B Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh – Lần – 2017 – 2018 Biến đổi giả thi t ta... hoạt động sử dụng tài liệu mục đích thương mại không cho phép Xin chân thành cảm ơn bạn đọc TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN I MỞ ĐẦU Như ta biết đề thi mơn tốn kì thi THPT Quốc...LỜI GIỚI THI U Các câu hỏi vận dụng cao đề thi THPT Quốc Gia câu hỏi yêu cầu tư cao, kỹ biến đổi kiến thức đủ sâu để làm Nhằm giúp bạn đọc phần giải số dạng tốn vận dụng cao đề, mạnh dạn
- Xem thêm -

Xem thêm: Tuyển tập một số nhóm câu hỏi vận dụng cao môn toán ôn thi THPTQG – Nguyễn Minh Tuấn, Tuyển tập một số nhóm câu hỏi vận dụng cao môn toán ôn thi THPTQG – Nguyễn Minh Tuấn

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay