Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương trình tích là phương trình có dạng : . ... 0 1 A x B x C x Để giải phương trình (1) ta giải các phương trình 0; 0...; 0 A x B x C x , rồi lấy tập hợp tất cả các nghiệm của chúng. Trong chuyên đề này ta thường vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích.
Chun đề PHƯƠNG TRÌNH TÍCH A KIẾN THỨC CƠ BẢN - Phương trình tích phương trình có dạng : A x B x C x - Để giải phương trình (1) ta giải phương trình 1 A x 0; B x ; C x , lấy tập hợp tất nghiệm chúng Trong chuyên đề ta thường vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi phương trình cho phương trình tích B.MỘT SỐ VÍ DỤ Dạng Giải phương trình tích Ví dụ Giải phương trình sau : a) x x b)8 x 3x x 5 Giải x 2x a ) x x x x 7 4 Vậy phương trình có tập nghiệm : S ; 2 5 x 3x 3x 5 x x 5 3x x 3 x 3x 5 x 8 x x 5 Vậy phương trình có tập nghiệm : S ; 3 b) Lưu ý : Khơng chia hai vế phương trình cho 3x – , nghiệm x phương trình.Nếu muốn chia t phải xét trường hợp 3x trước Ví dụ 10 Giải phương trình sau a) x x 49 b) x x x x Giải 2 a ) x x x 3 x 3 x x x 10 x x 10 x 10 x x 4 Vậy phương trình có tập nghiệm : S 10; 4 2 2 x x x 3x x x x x x x x 3x x x b) x x 2 2 2 2 x x x x x x 1 x 1 Vậy phương trình có tập nghiệm : S 0; 1 Nhận xét : Có thể giải phương trình theo cách biến đổi sau : a b a b Dạng 2.Giải phương trình đa thức bậc cao quy phương trình tích Ví dụ 11 Giải phương trình sau : a) 12 x x 3 x x x 3 b) x x x Giải a) Ta có phương rình tương đương : x 1 x 1 x 3 x 1 x 3 x 3 x 1 x 3 3 x 1 x 3 x x 1 x 3 x x 3 x 6 Vậy phương trình có tập nghiệm : S ; 3; 7 b) x x x x x x x x x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x x 1 x x x 2 x Vậy phương trình có tập nghiệm : S 1; 2; 4 Ví dụ 12 Giải phương trình 64 x x x Giải Phương trình (1) tương đương với (1) 4x 2 x 3x x x 3x 3 3x x x x 12 x 12 x x x 12 x 12 x 2 x x 12 x 12 12 x 3x x x x Vậy phương trình có tập nghiệm : S 0; ; Dạng Giải phương trình phương pháp đặt ẩn phụ Đặt ẩn phụ phương pháp dùng ẩn ( sau gọi ẩn phụ) thay cho biểu thức ẩn cũ Giải toán phương pháp đặt ẩn phụ thường có bước sau : - Biến đổi phương trình để làm xuất nhóm hạng tử chứa ẩn giống - Đặt nhóm hạng tử giống ẩn Thay vào phương trình cho ta phương trình theo ẩn ( đơn giản phương trình ban đầu đx biết cách giải) - Giải phương trình theo ẩn - Với giá trị tìm ẩn mới, thay vào biểu thức dặt ẩn ta tìm giá trị tương ứng ẩn ban đầu Ví dụ 13 Giải phương trình x 1 x x x 34 ( Đề thi vào 10 chuyên ngữ, ĐHNN-ĐHQG HN, 2000) Giải Ta có phương trình x 1 x 3 x x 34 x x 3 x x 12 34 Đặt t x x 3, ta có t t 15 34 t 15t 34 t t 17 t 2 t 17 +) Với t = - , ta có x x 2 x x 1 x 1 ( vô nghiệm ) +) Với t = 17, ta có x x 17 x x 18 x 18 x 18 Vậy phương trình có tập nghiệm : S 18; 18 Ví dụ 14 Giải phương trình x 3x x x x ( Đề thi vào 10 chuyên ngữ, ĐHNN-ĐHQG HN, 2005) Giải Nhận thấy x = nghiệm phương trình, nên chia hai vế cho x ta : x 3x x x x x x x x x Đặt t x ta có : x t t t 1 t t t 1 t t 2 x - Với t = 1, ta có x x x x 1 x 3 x x 11 - Với t = - 2, ta có x 2 x x x vô nghiệm x Vậy phương trình có tập nghiệm : S 1;3 Nhận xét Có thể áp dụng phương pháp để giải phương trình tổng quát sau : x ax c x bx c dx với a, b, c, d số cho 4 Ví dụ 15 Giải phương trình x x 16 1 Giải 4 4 Phương trình (1) x x 16 x 1 x 1 16 4 Đặt t x 7, ta có t 1 t 1 16 t 4t 6t 4t t 4t 6t 4t 16 2t 12t 16 t 6t t 1 t t t 1 - Với t = 1, ta có x x - Với t = - 1, ta có x 1 x Vậy phương trình có tập nghiệm : S 6;8 C.BÀI TẬP 3.15 Giải phương trình sau: a ) x x x b)2 x x 3 x 3 c) x x x 3.16 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 7 2m x 2m 43 3.17 Giải phương trình sau: a ) x 1 x 1 1 3 x 3 x 27 125 3.18 Giải phương trình sau: 3 a )125 x x 1 3x 1 b) 3 b) x 3 x 1 x 1 3.19 Giải phương trình sau: a) x3 x x b) x x 12 x 3.20 Giải phương trình sau: a) x 1 x x 3 x 24 3.21 Giải phương trình sau: x b) x 3x x 15 x 56 3x x x x 3.22 Giải phương trình sau: 4 a) x x 272 4 b) x x 17 3.23 Giải phương trình sau: x5 x x3 x x 3.24 Giải phương trình sau: x3 x 12 x (Đề thi vào 10 chuyên ngữ, ĐHNN-ĐHQG HN,2005) 3.25 Giải phương trình x 11x 12 x x 20 x 13x 42 36 x 11x 30 x 11x 31 ... 1 Vậy phương trình có tập nghiệm : S 0; 1 Nhận xét : Có thể giải phương trình theo cách biến đổi sau : a b a b Dạng 2.Giải phương trình đa thức bậc cao quy phương trình tích Ví... đổi phương trình để làm xuất nhóm hạng tử chứa ẩn giống - Đặt nhóm hạng tử giống ẩn Thay vào phương trình cho ta phương trình theo ẩn ( đơn giản phương trình ban đầu đx biết cách giải) - Giải phương. .. Với t = 17, ta có x x 17 x x 18 x 18 x 18 Vậy phương trình có tập nghiệm : S 18; 18 Ví dụ 14 Giải phương trình x 3x x x x ( Đề thi vào