Toán 8 Chuyên đề 3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

7 5 0
  • Loading ...
1/7 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 04/11/2018, 18:42

Chuyên đề 3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một  tích của những đa thức khác. 2. Các phương pháp thường dùng :  Đặt nhân tử chung  Dùng hằng đẳng thức  Nhóm các hạng tử  Phối hợp nhiều phương pháp. Có khi ta phải dùng những phương pháp đặc  biệt khác (xem chuyên đề nâng cao 1). KIẾN THỨC BỔ SUNG 1. Dạng tổng quát của các hằng đẳng thức          2 2 3 3 2 2 n n n1 n2 n2 n1 a   b  =  a  b a + b a   b  =  a  b a  + ab + b  là : A   B  =  A  B A  + A B + ... +    AB  + ... +B .            2. Dạng tổng quát của hằng đẳng thức    3 3 2 2 a  + b  =  a + b a   ab + b  là :     n n n1 n2 n3 2 n2 n1 A  + B  =  A + B A   A B + A B   ...  AB  + B Chuyên đề PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một  tích của những đa thức khác.  2. Các phương pháp thường dùng :  - Đặt nhân tử chung  - Dùng hằng đẳng thức  - Nhóm các hạng tử  - Phối hợp nhiều phương pháp. Có khi ta phải dùng những phương pháp đặc  biệt khác (xem chuyên đề nâng cao 1).  KIẾN THỨC BỔ SUNG Dạng tổng quát đẳng thức a  - b  =   a - b  a + b  a  - b3  =   a - b   a  + ab + b   là : A n  - Bn  =   A - B   A n-1  + A n-2 B +   +    ABn-2  +   +Bn-1              Dạng tổng quát đẳng thức a  + b3  =   a + b   a  - ab + b   là :   A n  + Bn  =   A + B   A n-1  - A n-2 B + A n-3 B2  -   - ABn-2  + Bn-1  với n lẻ.  Áp dụng vào tính chất chia hết A n  - Bn  A - B  với n  N và A    B.  A n  + Bn  A - B với n lẻ và A    -B.  A 2k  - B2k  A  - B2  với k  N và A    ±B.  B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 14. Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách hợp lí:  A =   x - 3   -   8x + 3  3 - x   + x  x - 3   tại x = 103  Giải. Ta có  A =   x - 3  -   8x + 3  3 - x   + x  x - 3                                   =   x - 3   +   8x + 3 x - 3  + x  x - 3                                    =   x - 3 x - 3 + 8x + 3 + x   = 10x  x - 3   Với x = 103 thì A = 10.103.(103 - 3) = 103000.  Nhận xét : Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều ứng dụng. Một trong các ứng  dụng đó là tính giá trị của biểu thức. Phương pháp phân tích trong ví dụ này là  phương pháp đặt nhân tử chung.  Ví dụ 15. Phân tích đa thức thành nhân tử  B =   x  + 9  2 - 36x   Giải 2 2 Ta có  B =   x  + 9  2 - 36x  =   x  + 9  2 -   6x    2 =   x  + 9 - 6x  x  + 9 + 6x   =   x - 3  x + 3   Ví dụ 16. Tìm các cặp số ngun tố (x ; y) sao cho  x  - 1 = 2y2   Giải.   2 Ta có  x  - 1 = 2y   2 Suy ra  x  - 1 là số chẵn, do đó  x  là số lẻ và x là số lẻ.  Từ đề bài, suy ra   x - 1 x + 1  = 2y2   Vì x là số lẻ nên x - 1 và x + 1 là hai số chẵn liên tiếp. Do đó tích (x - 1)(x + 1)  4,  suy ra  y      Vậy  y     2 và y là số chẩn, suy ra y = 2.  Thay y = 2 vào đề bài ta được  x  - 1 = 8  x  = 9  mà x là số ngun tố nên x =  3. Vậy cặp số ngun tố cần tìm là x = 3 ; y = 2.  Nhận xét: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong ví dụ 15 và 16 là  phương pháp dùng hằng đẳng thức. Phân tích đa thức thành nhân tử còn giúp ta  vận dụng được các tính chất chia hết từ đó tìm được các số thoả mãn điều kiện cho  trước.  Ví dụ 17. Phân tích đa thức thành nhân tử  C = ax - ay - bx + by +   y - x    Giải.   Ta có  C = ax - ay - bx + by +   y - x                       = a  x - y   - b  x - y   +   x - y   =   x - y  a - b + x - y    2 2 Cảnh báo : Viết   y - x   = -  x - y   là sai vì   y - x   =   x - y    Ví dụ 18. Cho x, y, z là các số hữu tỉ thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Chứng  minh rằng số m = (x + 1)(y + 1)(z + 1) là bình phương của một số hữu tỉ.  Giải Ta có  x  + 1 = x  + xy + yz + zx = x  x + y   + z  x + y   =   x + y  x + z                 y  + 1 = y  + xy + yz + zx = y  y + x   + z  y + x   =   y + z  y + x                 z  + 1 = z  + xy + yz + zx = y  x + z   + z  z + x   =   z + x  z + y    Do đó  m =   x + y  x + z  y + z  y + x  z + x  z + y   =   x + y  y + z  z + x     Vì x, y, z là các số hữu tỉ nên x + y, y + z và z + x là những số hữu tỉ, tích của  chúng là số hữu tỉ. Do đó m là bình phương của một số hữu tỉ.  Ví dụ 19. Phân tích đa thức thành nhân tử  M =   5x - 10   x  - 1  -   3x - 6   x  - 2x + 1   Giải.   M =   5x - 10   x  - 1  -   3x - 6   x  - 2x + 1                       = 5  x - 2  x - l  x + 1  - 3  x - 2  x - l                        =   x - 2  x - l  5  x + 1  - 3  x - 1   =   x - 2  x - l  2x + 8                        = 2  x - 2  x - l  x + 4    Ví dụ 20. Phân tích đa thức thành nhân tử     N = 5x  + 3x y - 20x y  - 12xy   Giải.    N = 5x  + 3x y - 20x y2  - 12xy3  = x  5x + 3y   - 4xy2  5x + 3y                         = x  5x + 3y   x  - 4y   = x  5x + 3y  x - 2y  x + 2y    2  Ví dụ 21. Phân tích đa thức thành nhân tử  P = 6x  - 150y + 60y – 6   2 Giải.  P = 6x  - 150y  + 60y - 6       2 2               = 6 x  - 25y  + l0y - 1  = 6[x  -  25y  - l0y + 1                 = 6  x  -   5y - l    = 6  x - 5y + l  x + 5y - 1   Nhận xét: Khi phải phối hợp nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân  tử được triệt để ta thường dùng phương pháp đặt nhân tử chung trước (nếu có thể),  các phương pháp khác sau. Mỗi phương pháp có thể dùng nhiều lần.  C BÀI TẬP • Phương pháp đặt nhân tử chung Phân tích đa thức thành nhân tử  a) 8x n  + y - 12x n y5  ;  b)   a - b   -   b - a  a - 3b  ;   c) a  a - b     a + b   -   b - a   a  - 5ab + b  2 Chứng minh rằng :  a) 792 - 79.29    50 ;                    b) 2165  + 4.613  40   Tìm một số biết rằng bình phương của nó bằng 4 lần lập phương của số ấy.  4. Phân tích đa thức thành nhân tử  a)   x - 9  x - 7   + 1 ;             b) x  - y6 ;             c)   x  + x - l   + 4x  + 4x   Phân tích đa thức thành nhân tử  a)   x + 2y - 3  - 4  x + 2y - 3  + 4 ;          b)   x - y   - 1 - 3  x - y  x - y - 1   2 Tìm các cặp số nguyên (x ; y) sao cho  x  + 102 = y   Phân tích đa thức thành nhân tử  a) x  + 2x  - 3x - 6 ;                          b) 2a c2  - 2abc + bd - acd ;         c) 12x  - 3xy - 8xz + 2yz   2 8. Cho x + y + z = 0, chứng minh rằng :  x  + x z + y z - xyz + y  = 0   Phân tích đa thức thành nhân tử :    a) x  x  + l  2 - 49x ;           b)  x  - 9  + 12x  x - 3             c)   x - z  x +  z   - y  2x - y    10 Phân tích đa thức thành nhân tử :  a)   a + b + c   - a  - b3  - c3 b) 4ab  a  - b   - 6  a3 + a b - ab  - b3   + 9  a  - b    ... x - 3   +   8x + 3  x - 3  + x  x - 3                                    =   x - 3  x - 3 + 8x + 3 + x   = 10x  x - 3   Với x = 1 03 thì A = 10.1 03. (1 03 - 3)  = 1 030 00.  Nhận xét : Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều ứng dụng. Một trong các ứng ... phương pháp dùng hằng đẳng thức. Phân tích đa thức thành nhân tử còn giúp ta  vận dụng được các tính chất chia hết từ đó tìm được các số thoả mãn điều kiện cho  trước.  Ví dụ 17. Phân tích đa thức thành nhân tử C = ax - ay - bx + by + ...   Phân tích đa thức thành nhân tử :    a) x  x  + l  2 - 49x ;           b)  x  - 9  + 12x  x - 3             c)   x - z  x +  z   - y  2x - y    10 Phân tích đa thức thành nhân tử : 
- Xem thêm -

Xem thêm: Toán 8 Chuyên đề 3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ, Toán 8 Chuyên đề 3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay