ww w bio lo gie ze ntr um at 77 ive rs ity l ibr a ry o rg/ ; DIRECTE BESTIMMUNG SONl BEWEGENDER WELTKÖRPER KEGELSCIIMTTE^ SRil DI DIE He rita g eL LN ibr a ZWEIER ry htt p:/ /w ww bi od DER DUßCHSCHNITTSPüNKTE DER BAHNEN iod ive rsi ty VON Th eB JOHANN AUGUST GRUNERT, ); O rig i na lD ow nlo ad fro m CORRESPONniRF.NIIEM jmGI.lEDF, DKU KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAI'TBN bri dg e, MA ERSTES CAPITEL olo gy (C am Allgemeine Gleiclmiigeii eines Kegelschnittes im Räume 1- Ebene Punkt und eine Gerade gegeben ein Co in einer sind, so iieisst der geometrische of Wenn mp a rat ive Zo § dem gegebenen Punkte se um Ort aller derjenigen Punkte in dieser Ebene, deren Entfernungen von ry of Kegelschnitt ibr a stehen, ein the Mu und von der gegebenen Geraden in einem gegebenen eonstanten Verhältnisse zu einander rL Der gegebene Punkt heisst der Brennpunkt des Kegelschnittes und die gegebene Gerade wird dessen Lirectrix genannt Die constante Zahl, mit welcher man die Entfernung eines jeden Punktes des Kegelschnittes von der Directrix multipliciren muss, um die ive rsi ty, Er ns tM ay , the des Kegelschnittes §• Um finden, die allgemeine nehmen wir die Gleichung der Kegelschnitte Axe und in der § natürlich in der CK XIX Bd (^xy) in Axe welcher ein beliebiger sie liegen, der x und die und bezeichnen Axe der x liegenden Brennpunktes, dinate verschwindet, durch/", U Ist dann Denkschriftn der mathem.-naturw Ebene, die Directrix respective als die eines rechtwinkeligen Coordinatensystems der x?/ an, y nach heisst itis Axe Brennpunkt gehende, auf der Directrix senkrecht stehende Gerade Dig die immer durch n bezeichnet wer- ed den Die durcli den Ha des Ke2:elschnittes, und soll im Folg-enden by Charakteristik rva rd Un Entfernung dieses Punktes des Kegelschnittes von dem Brennjjunkte zu erhalten, heisst die Axe zu der die Coordinaten des so dass also dessen zweite Coor- Punkt des Kegelschnittes, so ist 11 78 / offenbar {x x^ ist das A Grunert —-ff+y' Bestimmung der Durchschnittspmikte der Bahnen Directe Quadrat seiner Entfernung von der Directrix + {x—fy- 1) Gleichung des Kegelschnittes also ist ; nach § i/^n'x'' dem angenommenen Systeme in w bio lo gie ze ntr um at die dem Brennpunkte, und das Quadrat der Entfernung dieses Punktes von ry o Bestimmung nach 1) offenbar die ibr a der X im Allgemeinen durch u, r; so haben wir zu deren rg/ ; ww Bezeichnen wir die Coordinaten der Durchsclinitts2:)unkte des Kegelsclmittes mit der Axe = 0; od n- ir t' bi = v'- /w ww ('?«—;/)- -f ive rs ity l Gleichungen: —f= ±nu erhält; also ist: ive unmittelbar u rsi ty man welcher ergibt, aus He rita g eL ibr a ry htt p:/ woraus sich zur Bestimmung von u die Gleichung iod = u^T-~.v + eB 2)' w nur die unteren Zeichen für Wenn dao-cfien n ^ ?( einen endlichen völlig bestimmten sowohl die oberen so liefern ist, als auch die unteren Zeichen für rig i na /' ow Werth, nämlich den Werth - nlo ad liefern ist, lD Wenn ?2=1 fro m Th Wir sehen also hieraus, zwei Punkten geschnitten endliche völlig bestimmte Werthe MA ); O ti Axe von dem Kegelschnitte nur in einem Punkte, oder in oder ?? ^ ist wird, je nachdem 7^ in denen die Axe von dem Kegelschnitte geschnitten wird, heissen die Die Punkte, Scheitel desselben, und es gibt also nach dem Vorhergehenden nur einen Scheitel oder zwei Scheitel, je nachdem n=l oder w ^ ist Wenn ?i ist, so ist die Entfernung des einen Scheitels, den es in diesem Falle nur e, dass die mp a rat ive Zo olo gy (C am bri dg = Mu der Directi'ix nach the gibt, von se um of Co = und der absolute Werth Entfernung kleiner als der absolute ist gleiches Vorzeichen, y Werth vony": also liegt ibr a ry of dieser - /, hat also mit rL diesem Falle der Scheitel zwischen der Directrix und dem Brennpunkte in ay in dem Vorhergehenden tM Wenn ty, Er ns punkte der Entfernung des letzteren von der ersteren am näclisten ^ ist, so ist die von der Directrix ist, Mittel- Entfernung f , hat also mit/ Un ive rsi des Scheitels, welcher der Directrix n dem und der absolute Werth dieser Entfernung ist kleiner als der absolute rva rd gleiches Vorzeichen, itis ed by the Ha Werth von _/; also liegt der Scheitel, welcher der Directrix am nächsten ist, zwischen der Directrix und dem Brennpunkte Die I'-]ntferiiiing der Scheitel vom Brennpunkte ist offenbar Dig _ _j_ 71+1 woraus sich ergibt, dass unteren Zeichen ist, man je welche mit y oder — ist ti ' dem Brennpunkte am nächsten ist, die Scheitel, welcher der Directrix am nächsten so dass also der immer auch zugleich am nächsten nachdem n i3 — 1) folglich: a 23) Nach 22) ist = -^— , b = —^— für die Ellipse: - 4(1 ô2) 2(1 ằ-) 17 p ; "^^^^ (t o — nm zweier in Keqehclniitteii sich und nach 23) also ist Hyperbel; für die ist 83 Sonne bewegender We/tkiirper die Curven: für beide —= P — = p 24) = ^ «V^ 1-«(1— und daher « = = er wird nach 7): setzt, so b'- rg/ ; oder h ry o = bei der Ellipse a ww w bio lo s § Wenn man gie ze ntr um at ive rs bi Man hat aber diesen n sich der Null nähern und gleichzeitig den so ins Unendliche wachsen, dass, wenn ?• eine gewisse endliche völlig- Man lasse htt ry ibr a von/ folgen würde Fall auf folgende Art aufzufassen absoluten Werth od = 0, 1, also » /w ww ?i- p:/ — = ' eL ^v,,,-aus ity l «-)'i ibr a »-/^ aha = nf '' val eib.s ^—- = b Th — —— m = eal iibs der Grösse r immer mehr und b offenbar beide lD Grössen a und mehr und bis zu jedem na die rig i ist ow nlo ei eB sich, weil fro Pann nähern ad ist iod ive rsi ty val He rita g bestimmte reelle positive Grösse bezeichnet, immer (C am bri dg e, MA ); O beliebigen Grade; die Gleichung Zo olo gy der p]llipse nähert sich also der Gleichung rat ^^ = '' mp a + Mittelpunkte der Ellipse beschriebenen Kreises Co dem of aus r ^' '^'^^'^ ^ Nach se die Entfernung des Mittelpunktes der Ellipse von der Directrix the Mu § ist dem Halbmesser (-7^)" um eines mit = ive + (-T-J of / ry ' u-^ Entfernung des Brennpunktes von der Directrix bekanntlich /'; und da nun ay ist Er ns tM die - rL ibr a ty, r / rsi 1 n'^ ôy n- " ("/) 1— n- man, dass diese Differenz, weil n sich der Null, der absolute rd so sieht Werth von nf sich rva ist, Un ive •^ the Ha der endlichen Grưsse r nähert, sich unter den gemachten Voraussetzungen der Null nähert, Dig itis ed by so dass also der Mittelpunkt des durch die Gleichung charakterisirten Kreises Wenn man bei der immer genauer und genauer mit dem Brennpuidcte zusammenfällt = Hyperbel a b oder a" h- n-f(it- woraus ;r — 1^1, also n = V2 (V-2 abs val n- Ij- Daher folgt \ral — fV2, als = ist , f; b- setzt, so wird nach 10) /'- — ' nach 10) in diesem Falle: _ y-al aös fVi; (^-2 ral ahs ,f (?/ — ^0) cos ßo + (z — cj cos Yo]"'}, ; , 100 J ; : A Grunert Directe Bestimmung der Durchschnittspiinkte der Bahnen nachdem der in Rede stehende Punkt in der von der Sonne nach dem Perihelium gehenden Geraden oder in der direct entgegengesetzten Geraden liegt; also ist: je = A'' ± = Y' 7? cos \[, E ± cos = Z' [j.,/, R ± cos v^' Formeln die oberen oder unteren Zeichen nimmt, je nachdem der Punkt [X' Z') in der von der Sonne nach dem Perihelium gehenden Geraden, oder in der direct entgegengesetzten Geraden liegt Betrachten wir aber R nicht, wie bisher, stets als positiv, sondern als positiv oder als negativ, je nachdem der Punkt [X' Y' Z') in der von der Sonne nach dem Perihelium gehenden Geraden oder in der direct entgegengesetzten Geraden liegt,- wenn man in diesen ibr a = E cos ity l X' y= Xo', = E cos ive rs 2) Z' i? cos (V, od können wir allgemein v,' /w ww bi so ry o rg/ ; ww w bio lo gie ze ntr um at y htt p:/ setzen Bezeichnen wir die im Sinne der Längen in der Ekliptik von ibr a ry bis 360° gezählte Ent- eL vom aufsteigenden Knoten durch und den 90° nicht übersteigenden Neigungswinkel der von der Sonne nach dem Perihelium gezogenen Geraden gegen die Ebene der x' y' oder die Ebene der Ekliptik, indem wir diesen Neigungswinkel als positiv oder als negativ betrachten, je nachdem das Perihelium auf der positiven oder negativen Seite der Ebene der x' y' liegt, durch Jq,- so ist offenbar in völliger Allgemeinheit He rita g P,,, = ow = cos P„ cos Jd, cos [jLy' P^ cos sin Jo; tros v^' = sin /„: nach 2) MA also ); O rig i na Xo' lD cos 3) nlo ad fro m Th eB iod ive rsi ty fernung des Periheliums e, = E cos Po cos /„, Y ^E cos /„ (C am bri dg X' olo gy sin Zo Z' E rat ive ^=^ Y' Z' Ebene der Bahn in der ) sin Jq liegt, müssen seine Coordinaten so Co (A'' mp a Weil der Punkt P(, und wir erhalten of 1) befriedigen, Mu the sin P^ cos sin J^ — cos i^ 1) sin Jj, und = 4) die Gleichung: , ibr a sich = ay rL woraus ry of 2o nach also um Gleichung se die tang fang /„ sin P^ ist: ty, Also Un ive rsi ergibt J,, Er ns tM 5) cos J' " = —-, + tang !(,2 — , sin sin p^i = J,," " —— i _,_ tang iq^ —— sin Pq- the Ha rva rd o)' ed by und aus der ersten dieser beiden Gleichungen ist, J,^ zwischen — 90° und -j-90° liegt, allgemein: Dig itis also cos Jo stets positiv folgt, weil ' cos 7) Jr ^ ° Verbindet man nun aber V^l + tang ^'- , /o'- sin P^a J^, = cos -/o tang J^ ferner in völliger Allgemeinheit: _ 8) , mit dieser Gleichung die Gleichung sin ist, = Sin J, = tang yi+ !„ tang sin /'„ iQ- sin /"„- 5), so erhält man, weil um zweier in Kccjclsrluiiftcn sich Sonne beioegender Weltkörper die ohne besondere Cautelen nicht zulässig, die Richtigkeit der Vorzeichen alterirt werden könnte Eine weitere Verwaiuilung dieser Ausdrücke weil dadurcli leiclit 101 Nach den Formeln ist o), 4), 7), 8) ist cos ry o rg/ ; ww w bio lo gie ze ntr um at Xu' Dig itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr a ry of the Mu se um of Co mp a rat ive Zo olo gy (C am bri dg e, MA ); O rig i na lD ow nlo ad fro m Th eB iod ive rsi ty He rita g eL ibr a ry htt p:/ /w ww bi od ive rs ity l ibr a und i^J — : 102 J ; A Grunert Directe Bestimmung der Durchschnittspunkte der Bahnen so dass also die Gleichung der Ebene — {y dargestellt : sin ^o') werden kann Weil nun Bahn auch unter der Form dei' — — Co) cos (s' ganz die Directrix = /o in der Ebene der Bahn liegt, so ist nach 12): — cos cos Zq = y^' Axe der Bahn senkrecht cos + «o' cos cos [j.,,' j3g' w bio lo cos -f- cos Vu' Yu' = cos od ive rs cos bi (Xq'), /w ww (?; cos cos cos -)- Vo' X,;, cos G-^ sin Xo'; ^ He rita g eL Yo' cos (sin p:/ ßo' Gö htt cos = =— ^ ry ao' einen gewissen Factor bezeichnet: ibr a cos wenn G^ folgt, ity l Aus den beiden vorstehenden Gleichungen ibr a ry o Xq' ww cos steht, so ist: rg/ ; Weil ferner die Directrix auf der 14) gie ze òa' at cos ôu ntr um sin 13) X;- -|- cos -f- + ßo'" = Yu'^ cos /„ fro (sin Vo' + cos cos ^; fA^y-j = 1, cos na lD weil auch + cos cos = Vu'" — cos cos am — (sin /y cos |j.o' ^^o')'"! = aber offenbar 9) ist Zo Nach ive erhält olo gy (C |1 (xo'^ bri dg e, nach leichter Rechnung ist, + (Xq'" MA X^'" rig i folglicli, ); O und ow nlo ad Gf- {cos m Th eB sogleich ist, COS ive Gt(,'- iod cos rsi ty woraus man, weil ji^' — cos /„ (?o''' = (to' ^ + (sin + cos ros X(,', + sin cos X^,'; rat cos mp a sin cos = v^' 0, Co ia , ± of the Mu se um of also ibr a ry nach dem Yorhergelienden = = = ay rL folglich cos Er ns tM ô(,' ò,/ cos Yu' cos + V,,' cos cos jjLu'), Ha in diese Formeln fiir cos X/, cos [x,/, cos v,/ ihre Werthe aus ed by the und wenn man rva rd Un ive rsi ty, cos /„ Dig itis cos a„ !"') cos \ ^ ò^,' sec = = T rw Vi + + sin tang COS ?'q /q /„- cos tang , ?„- Pq sin P^,Pfl sin „., Pq- sin ''°' V ^" = /(, cos Po • + fl + tang//si,rip Die Gleichungen der Directrix sind also nach 12): -, p\ ^ "' See — Jq iq' sin Py • y' cos — ig i>o cos Pg ^' — gp' sin /q cos 1'^ 9) einführt: : , um twet'er ni Kegelschnitten sich Sonne bewegender Wclilcnrper die lOl? oder X — = a„ Sonne AVir legen luiu diireh die r // z Die Ebene der Ekliptilc ocis (,| sin /|) i, cos l'J Jn Anfang ein nenes rechtwinkeliges Coordinatensystem die Ebene der xy; der positive Theil der Axe der x sei als sei ntr um at der cos dem Anfangspunkte der Längen, der positive Theil der Axe der y nach dem neunzigsten Grade der Längen, der positive Theil der Axe der z nach dem Nordpole der Ekliptik gerichtet ww rg/ ; ry o ity l ive rs cos od x' sin L>,, ISj bi sin ö„ [ ibr a ry htt Z x' p:/ ij nach der Lehre von /w ww = cos ßß — y = Q„ + y = Z] X vfir ibr a Bezeichnet dann Qo die Länge des aufsteigenden Knotens, so haben der Verwandlung der Coordinaten die Gleichungen: w bio lo gie ze nacli + y cos iod ive rsi ty sin Q,, 19) L>,, \ Th nlo dem Systeme der xyz die Coordinaten des DurchAxe der Bahn durch ß„, h^, c^; so ist nach 18): Bezeichnen wir nun ow in lD erhalten wird ad fro 2' y m y -\- eB = X cos Qß = — X sin Q„ = z x' He rita g eL aus denen leicht ); O rig i na schnittspunktes der Directrix mit der MA = cos Qq — = < sin Q, ßg' ig' sin Q„, 60' cos ß„, bri dg e, «0 -[- rat für Werthe aus 11) ihre «„', i^', c„' mp a wenn man man einführt, wie leicht Jindet: of Co also, ive Zo olo gy (C am b,, se V^ 4- tang ry of "L'/i,, ^^^ + tang V'l • — + sin CP,, p^ sin P^- ß,| ^^ ''Ol " \ ;„2 sin Po'' sin Pp iQ^ sin Pg'- tM ay rL ibr a fc " S2„ fo^ the Mu + cos (Po um = 1: = ^^ "• tang Er ns Po /q ' ty, '^ Vi + tang Un ive rsi 2«o %, so ist oflenbar: the Ha rva rd Bezeichnen wir die Länge des Perilieliums durch itis ed by Po Dig Po Qo + = = So = So j ) So — Öo So — Po oder ( ) + Po= Po So = So = - + 360» So — Po + 360»; = sin (Po So So + 360° Qo also in vollio-er Allofemeinheit: cos 2o cos = cos (Po Po= cos (§0 = "-'OS (So cos 2o + — — + Qo), sin So So)) sin J\ = sin (So — Po)) sin Q^ := sin (So — Qo); ^o); "V [ Po)14 by the rd rva Ha ty, rsi ive Un rL ay tM Er ns ry ibr a of the um se Mu of rat mp a Co ive gy olo Zo e, bri dg am (C ow lD na rig i ); O MA ad nlo m fro rsi ty ive iod eB Th ry ibr a eL He rita g htt p:/ bi /w ww ive rs od ity l rg/ ; ry o ibr a kann man auch Directe 22) \ a^, =— t>n -'0 = c -^ at G rnneri ntr um ze gie w bio lo ww ed Folglicli itis 104: Dig - Bestimmwtg der Durchschnittspunkte der Bahnen setzen: : zweier in Kcgel.scluiitfoi um sivli Sonne beioegender Weltkörper die 105 oder Pq sin ?o tang Uq sin cos sin Pq^ «q"^ cos i^^ + tang sin Pq^ ?q- ^r>\ 26) V ^ ' at 4- i cos Pj ;'(, - VI + = cos «„ tang sin Pq^ ?;,- ze + VI ('o Pq cos ß^ ntr um sin ^ ' — Sq sin cos Y„ VI + gie COS Po : cos = ß„ ' -f cos »q^ cos JJq + w bio lo COS Pq cos sin = COS «„ Weil nach 21) ww ry o rg/ ; sin ?„ 7q '" = od sin ig' cos to + 1/1 bi sin «o2 , ' P^i Pg cos ßg : cos ive rs ity l ibr a —— cos Sq + ^ tang /w ww ^1 _,_ p:/ = cos Pq sin Sg sin ?q2 ,~ htt 8„ 10 — sin 8o ^^^ cos z„ + - tang i^i sin , ' Po^ \ / sin cos Pq /q = „ + 1^1 tangjQä sinPo2 rsi ty + Th COS na i>Q «Q |3q 4» cos 8q J5q bri dg olo gy (C am cos 7q rat ive Zo oder: itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr a ry of the Mu se um of Co mp a cos Dig sin if^ cos lD ^0 cos — sin Sq nf^ Pq ow nlo cos «Q ad fro m auch: ist — rig i und 27) ); O 22) MA Nach eB werden kann e, gesetzt iod ive COS He rita g eL COS = «,, u = Q„) auch so erhellet auf der Stelle, dass COS + sin (P^ , ry ist S,) ibr a + cos {P, sin cos ôQ ằ'q^ ?'q sin òg cos Sg cos Pq cos ßg sin 8q V ^T") : 106 J oder nach 21 A Grunert Directe Bestimmung der Dwrclischnittnjjunkte der Bahnen ) : fos A, Vi tang -\- P„^ ' /q'-^ sin Pq- ' sin Pg «"„ä sin Pq^ !(,- sin sin S„ «-OS ^1-1- tang COS = v„ tang y ?'„ tang ' wovon und nach dem Obigen sind 6o' cos ô(, -f 6(1 cos òo —