bio log iez en tru m at rar y.o rg/ ;w ww ÜBEK DIE AUFLÖSUNG EINES SYSTEMES htt p:/ /w ww bi od ive rsi t ylib VON MEHREREN UNBESTIMMTEN GLEICHUNGEN He rita g eL ibr ary DES ERSTEN GRADES IN GANZEN ZAHLEN Bio IGNAZ HEGER rom ow nlo ad f DEK SITZUNG DEK MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM 24 JULI 1856 ge ,M A) ;O rig ina lD IN Th e Dk VORGELEGT div ers ity Von unbestimmten Analytik haben wohl Anwendung dies nicht bisher im Allgemeinen nur eine sehr Analysis gefunden; von dem pa rat kann in der ive der untergeordnete mehr gesagt werden; dasselbe hat vielmehr Co m ± robleme Zo olo gy ( Ca mb rid Vorbemerkung' vorliegenden Probleme jedoch für die verschiedensten Gebiete Anzahl aufführen Hier mögen einige Beispiele genügen the Fälle in grosser Mu se um of der Analysis eine nicht geringe, nur bisher wenig beachtete Wichtigkeit Es lassen sich solche um die ibr ary of In der Theorie der höheren Buchstabengleichungen handelt es sich sehr häufig tM B z auf die Auflösung eines Systemes von zwei Gleichungen des ersten sich rd lässt rva und diese Un ive rsi ty, Er ns kannten, wie ay rL Auflösung eines Systemes von binomischen Gleichungen höheren Grades mit mehreren Unbe- ed by the Ha Grades: Genüge leistenden wobei und c 3j gezogenen ^nrj |, rj, i,j in = i , 2)^+qyj=j ganzen Zahlen zurückführen In der That kann man Werthe von x und reelle / Dig mit vier Unbekannten: (/?) m^ itis iß) 1/ darstellen, in der die Form: Zahlen bedeuten, die so zu wählen sind, dass die aus den Gleichungen und^ ganze Werthe erlangen Solcher Werthe ^, t^ lassen sich unendlich viele auffinden; allein für die beabsichtigte Auflưsung der Gleichungen («) sind nur jene von Wichtigkeit, die nicht um ganze Zahlen von einander Jienksrhriften der matheni.-naturw Gl XIV Bd Ahhandl v Nichtmitgl differiren , weil nur diesen ^, :y andere und stets «1 Ignaz Heger andere Werthe von x und y entsprechen Um sich diese beschränkte Anzahl von Werthen | yj zu verschaffen, hat man mit der Auflösung des Systemes (/?) in ganzen Zahlen nach den Unbekannten beginnen und findet so drei specielle Auflösungen: erstens: die i,j zu |, ^, unmittelbar ersichtliche: ^o,j = i zweitens: o- sten ganzen, von Null verschiedenen Werth von wennj = o gesetzt wird, j ^o, wo y, wo die i Werthe: 0, 1, 2, 3, /i — 1, ist Ertheilt man nun rar y.o rg/ ;w ww — Unbekannte fähig ist, den numerisch kleinsten ganzen, von y Null verschiedenen Werth bezeichnet, dessen ^ überhaupt fähig nach der Grösse den numerisch klein- /i bedeutet, dessen diese i = und drittens: diej die i^=n bio log iez en tru m at vier der anderen J hingegen die: der Reihe 0, 1, 2, und zwar in allen hier möglichen jiv Combinationen, sucht nun aus den Gleichungen (y9), die sich dadurch in bestimmte verwandeln, die Werthe von und ;y, und substituirt endlich die gefundenen c, fj in die Gleichungen {y) so ergeben sieh alle von einander verschiedenen Werthe für x und ?/, welche das vorliegende System («) erfüllen Mehr als diese /iv Auflösun1, htt p:/ /w ww bi od ive rsi t ylib V ; div ers ity He rita g eL ibr ary gen bestehen nicht Diese Methode, ein System von zwei binomischen Gleichungen aufzulösen, lässt sich auch dann noch anwenden, wenn die Anzahl der Gleichungen und mit ihr jene der Unbekannten vor ow nlo ad f Zahlen rom Th e Bio grösser ausfällt, nur liegt dann statt der zwei Gleichungen [ß) ein System von mehreren unbestimmten Gleichungen mit der doppelten Anzahl von Unbekannten zur Auflösung in ganzen rig ina lD Eine andere Anwendung, die sieh von der Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen des ersten Grades machen Form mit Hülfe des Summenzeichens, das man dem ge ,M A) ;O gliedriger Ausdrücke in symbolischer der Darstellung viel- lässt, findet sich bei Ca mb rid allgemeinen Gliede vorsetzt Eine solche symbolische Darstellung von Polynomen erweist sich und von der einfachsten Form + ' a.,x- die bekannte a^x'Y / -|- -\- = S\ La/ «j/ «2' a^a.'^'a.r- ' a;''.x'" + -'"+ + "'''] J «r/ Mu se um of ' Co m a.x pa rat ive Polynomialformel {a 4\ ist Zo olo gy ( sehr oft als vortheilhaft Ein Beispiel dieser Art Hier bezieht sich die Summirung auf die Buchstaben o., //,, a., «, und ist auf alle jene rL ibr ary of the ganzen und positiven Werthe dieser Grössen auszudehnen, welche die Gleichung: = «-(- «1 «o -j- -|- -|- «^ ns tM ay ;? Im gegenwärtigen wäre auf alle Falle liegt nur eine einzige unbestimmte Gleichung vor, und sie rsi ty, Er erfüllen , in ganzen und positiven Zahlen aufzulösen , wenn man das Un ive möglichen Weisen Ha rva rd symbolisch ausgedrückte Polynom entwickeln wollte So wie hier eine einzige, können the by um die Ausdehnung der Summe Dig itis ed gleichungen auftreten, dieser Polynomialformel der Coefficient von 8\La/ «,.' a^,/ und die Summirung ist anderen Fällen zwei und mehrere Bedingungs- in x-'" Ur.' festzustellen So z B ist in «"«,"'0./= " hier auf alle jene ganzen a/'-l J und positiven Werthe von o., «,, o ,, auszudehnen, welche die zwei folgenden Bedingungsgleichungen gleichzeitig erfüllen: =« m= n -f «1 '/, + a, 4- « eben gegeben durch -j-a., -j- + «3 -|- + o., 4- ra^ «^ über die Auflưsung Formeln mit Almliclio Unzahl in sieh e/'ues Si/s(emes von mehrereu nubentivirnten Gleichungen und mehreren ßedingungsgleidningen lassen zweien einer, man begegnet aulV.ählen; etc den verseliicdenstcn Bereichen in iluien der Analysis das Gesagte dürfte zur Genüge beweisen, sind demnach sehr zahlreich und , dass gerade dieses Problem der unbestimmten Ana- und jedenfalls besitze, öfter viel unbestimmten Probleme höheren Grades in Anwendung rar y.o rg/ ;w ww als die ist Rede stehenden Problemes unbedeutende Wichtigkeit lytik eine nicht komme, Es in bio log iez en tru m at Die Anwendungen des gewiss überraschend, dass gerade dieser Theil der Analytik bisher wenig gepflegt ylib wurde, und keine allgemeine und zweckentsprechende Auflösungsmethode für solche Systeme htt p:/ /w ww bi od ive rsi t von Gleichungen besteht Die allgemeine Auflösung einer einzelnen, unbestimmten Gleichung des ersten Grades schon lange bekannt Die hiezu dienliche Methode wurde zuerst von dieses und eine andere Ableitungsweise für diese Eegel, eL ibr ary Zusammenhang Lagrange Euler zeigte den Problemes mit der Theorie der Kettenbrüche; zuletzt endlich wurde Cauchy eben derselbe Gegenstand noch von auf eine gänzlich verschiedene Art behandelt, von Wichtigkeit ist Hiemit war gewissermassen die Bio die zunächst in theoretischer Hinsieht He rita g ist div ers ity ganzen Zahlen angegeben; später gab in Th e Grundoperation für die unbestimmten Probleme des ersten Grades festgestellt ow nlo ad f rom Die Behandlung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen des ersten Grades mit einer beliebig grossen Anzahl von Unbekannten war aber, einige specielle Fälle aus- ge ,M A) ;O rig ina lD genommen, nicht ei'ledigt; sondern bestand mehr oder weniger nur in blossem Probiren, aber in keinem geregelten analytischen Verfahren Der Weg, den man dabei einschlug, war stets Nun eignet von verschiedenen diesen all' Behandlungsweisen von eines Systemes Zo olo gy ( sieh Ca mb rid den bekannten Auflösungsmethoden für bestimmte Gleichungen des ersten Grades nachgebildet Rang einer analytischen Methode Alle übrigen für bestimmte Systeme bestehenden Co m auf den pa rat ive mehreren bestimmten Gleichungen des ersten Grades nur das Substitutionsverfahren für die Auflösung eines Systemes von unbestimmten Gleichungen Dieses allein hatte einen Anspruch Mu se um of Auflösungsmethoden sind bei unbestimmten nicht anwendbar Wenn the leistet, of Anforderungen Genüge ibr ary nicht allen aber schon bei den Systemen bestimmter Gleichungen die Substitutionsmethode Ein Beispiel dieser Art ist der von um Gramm er oft nämlich handelt es sich gar nicht Ge- die Aufstellung eines allgemeinen gegebene Lehrsatz für die Auflösung Un setzes Sehr numerische Berechnung, sondern Er die wirkliche dar ns tM einem noch weit höheren Grade ive um in rsi ty, chungen ay rL keit als ein Bedürfniss erscheinen; so stellt und andere Methoden von grösserer Durchsichtigsich diese Mangelhaftigkeit bei unbestimmten Glei- von mehreren bestimmten Gleichungen des ersten Gi'ades, überhaupt die so fruchtbringende Lehre von der Determinante Dieser Satz hat für die numerische Berechnung by the Ha rva rd eines Systemes kommt aber in den verschiedensten Gebieten der Analysis itis ed nur eine sehr untergeordnete Rolle, Anwendung und ist von Dig in bei den aus ist unbestreitbarer Wichtigkeit Ein ähnliches Bedürfniss stellt sich auch unbestimmten Problemen des ersten Grades heraus, und von diesem Gesichtspunkte das in Gauss Rede stehende Problem bis jetzt als ungelöst zu betrachten hat in seinem berühmten Werke: Disquisitiones arithmeticae pag 26 — 30 Problem behandelt, nämlich die Auflösung eines Systemes von mehreren Congruenzen des ersten Grades mit einer gleich grossen Anzahl von Unbekannten und einem gemeinschaftlichen Modulus Es gibt allerdings Fälle, in welchen ein System von unbestimmten ein ähnliches Gleichungen sich darauf zurückführen lässt; allein dies ist keineswegs allgemein der Fall Die Ignaz Heger daselbst ausgesprochene Behauptung: „Simili modo^ ut in aequationibus , perspicitur, etiam hie totidem congruentias liaheri dehere, quot sint incognitae determinandae^^ wird nicht erwiesen und That unrichtig Es besteht im Gegentheile gar kein nothwendiger Zusammenhang zwischen der Anzahl der Unbekannten und jener der Congruenzen, ohne dass dadurch das Problem unmöglich würde Eine einzige Congruenz kann genügen, um eine grosse Anzahl in der bio log iez en tru m at ist rar y.o rg/ ;w ww von Unbekannten zu bestimmen, und eine einzige Unbekannte kann mehrere verschiedene Congruenzen gleichzeitig erfüllen Widersprüche, denen man dabei gelegentlich begegnet und die das Problem uumöglich machen, können sowohl bei einer einzigen Congruenz, wie bei mehreren solchen vorkommen, gleichviel, wie gross die Anzahl der darin erscheinenden Unbe- hängen von ganz anderen Umständen ab Trotzdem, dass die erwähnte Behauptung sich als nicht stichhältig erweist, ist dennoch der von Gauss betretene Weg an das Bestehen der Gleichheit in der Anzahl der Congruenzen und der Unbekannten, als einer unerlässliehen Bedingung gebunden, und es dürfte sehr schwer kannten sein mag; eL ibr ary htt p:/ /w ww bi od ive rsi t ylib sie anderen FäUe anzupassen, wo diese beiden Anzahlen ungleich der bekannten Behandlungsweise eines Systemes bestimmter Gleichungen des He rita g halten, sein Verfahren für jene sind, weil es vollkommen nachgebildet ist der vorliegenden Abhandlung niedergelegte Methode eben Bio gut so für die wie einfachen, Th e sich für rom Die in div ers ity ersten Grades ow nlo ad f Leser, welcher über die Hauptergebnisse dieser wir die ist ganz allgemein Sie eignet complicirtesten Fälle Denjenigen Abhandlung einen Überblick gewinnen auf will, stehen mit der Lehre der § ganz zu durchlesen, verweisen gewonnenen Sätze gewähren die grösste Die Zusammenhange Determinante in einem innigen Durchsichtigkeit und erth eilen zugleich der numerischen Berechnung die grösstmögliche rig ina lD sie Sie Ca mb rid ge ,M A) ;O ohne 17 Zo olo gy ( Einfachheit Co m pa rat ive §• System von mehreren solchen vorliegt, welche eine grưssere Anzahl von Unbekannten in sich schliessen, als sie zu bestimmen im Stande sind, und nun unter der Unzahl von Auflösungen, die ihnen entsprechen, jene hervorgehoben werden sollen, bei welchen alle Unbekannten ganze Zahlwerthe besitzen; so zerfällt of eine Gleichung des ersten Grades, oder ein in folgende drei ay Aufgabe Probleme: tM diese rL ibr ary of the Mu se um Wenn ns Erstens: Es angegeben werden , ob der vorgelegten Gleichung oder dem gegebe- rsi ty, Er soll the Ha rva rd Un ive nen Systeme durch ganze Werthe sämmtlicher Unbekannten Genüge geleistet werden könne Diese Frage, deren Beantwortung nur in Ja oder Nein bestehen kann, lässt sich noch in einer allgemeineren Form, auf folgende Weise stellen: Es soll der kleinste mögliche Nenner Dig itis ed by angegeben werden, der einer Gruppe von zusammengehörigen Werthen sämmtlicher Unbekannten eigen ist, wenn man sie in Bruchform auf einerlei Benennung bringt Die Beantwortuno- dieser verallgemeinerten Frage besteht immer in der Angabe einer bestimmten ganzen Zahl Ist dieselbe zufällig Eins, so bestehen ganze Auflösungen, sonst aber nicht von den bestehenden Auflösungen in ganzen Zahlen eine einangeben, z B jene, bei der gewisse Unbekannte die numerisch kleinsten Zweitens: Man und specielle Werthe besitzen Drittens: Es zige dargestellt werden soll sollen alle bestehenden Auflösungen in ganzen Zahlen durch eine Formel ( über die Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen Über die allgemeine Form der Auflösung eines Systemes unbestimmter G in ganzen Zahlen c i cli u n ge 2bio log iez en tru m at § etc rar y.o rg/ ;w ww Ein System von n Gleichungen des ersten Grades mit einer überwiegenden Anzahl w?-]-^* von Unbekannten lässt sich im Allgemeinen auf unendlich viele verschiedene Weisen erfüllen Dies findet nicht nur dann Statt, wenn die Werthe der Unbekannten keiner weiteren Bedin- In beiden Fällen lassen sich menfassen in eine Formel, in der diese unendlich vielen Auflösungen des Systemes zusam- all' m unabhängigen Grössen erscheinen Nimmt man keine Rück- ob die Genüge leistenden Werthe der Unbekannten ganze oder gebrochene m Unbekannte, die meist nach Willkür erwählt werden dürfen, die He rita g Zahlen sind; so können eL ibr ary sicht darauf, htt p:/ /w ww bi od ive rsi t ylib gung unterliegen, als der, das vorgelegte System von Gleichungen zu erfüllen; sondern auch wenn nur durch ganze Zahlwerthe der Unbekannten dem Systeme Genüge geleistet werden soll Rolle der unabhängigen Veränderlichen übernehmen, und die übrigen n Unbekannten sind Th e Bio div ers ity dann vollkommen bestimmte lineare Functionen derselben Hat man aber nur jene Auflösungen im Auge, bei welchen sämmtliche Unbekannte ganze Zahlwerthe besitzen, falls dies überhaupt Grundgrössen, deren Wahl willkürlich man nun Ertheilt einer jeden dieser bleibt, insofern m man sie auf ganze Grundgrössen nach der Reihe A) Zahlen beschränkt rig ina lD m ;O Functionen von ow nlo ad f rom im Bereiche der Möglichkeit liegt, so kann im Allgemeinen keine der Unbekannten die Rolle einer unabhängigen Grösse übernehmen; sie sind im Gegentheile alle bestimmt, als lineare ge ,M ganzen Zahlwerthe und zwar sowohl die positiven, so wie die negativen ; alle so liefern die bespro- Zo olo gy ( Ca mb rid chenen linearen Ausdrücke der Reihe nach und gruppenweise die Werthe der Unbekannten in ganzen Zahlen, welche das System von Gleichungen erfüllen Diese allgemeine Form der ive Auflösungen in ganzen Zahlen bildet den Gegenstand der folgenden Untersuchungen Co m pa rat Wir betrachten das System: + + lm+l^m+1 +•• + Im+a'-^m+n ^=^ -m+1 ^'m+1 +•••+ "m+n'^m + n =^ 3„.x-„, -\- i,„+,x„,^, + + 3„,+„:r,„+„ n„,x„, »,„+iX,„+i + + «,„+„A',„+„ — -^2 -^2 1», -^'m • • • of ^l"*^! Is^S Mu se um 12^2 the + of + •••• + + ^3 ^3 T" "T + -^m^m "T Siar, + S^x, -f 83X3 + + ll^l — ns Er cCj Xo , ive mit den Unbekannten + WgX-ä + -t- rsi ty, «2X3 , Un -\- a;,„_^„ -I- Die Symbole 1, , l, , I3 , , = ^Ic bio log iez en tru m at • • + «,„+„*„,+,,=?*< + o.,.T.j-j— 03CC3 -[- 04X4 -p /ijCC] -|- n.2X.2 -\- n^Xo^ -f- ^i^x^ numerisch kleinste • "r -|- o„, a'„-f- o„_|_i ;^„,.t,„ -|- w„,_|_i a;,„,^j -|- • • "T -j- -j ,„.)_„ 2?,„+„ x^, div ers ity ^m+n^'m+„^ ^i^* • ^=: "J^-^'t -|- 'n,n^n-^m-\->i^^ '^a-^'* ccg, auch zufällig der specielle Bio Xj ^„,+„, x^ erfüllbar x^, ganzen Werthen aufgelöst werden können, im rom Th e (2) in dies eine Unmöglichkeit ist Ja noch mehr, ist überhaupt N der von Null verschiedene Werth, den x^ bei der Auflösung des Systemes , eben diese Zahl so ist , ;O ganzen Zahlen erhalten kann dem Systeme (2) anstatt Ca mb rid in (2) N der kleinste Genüge geleistet (3) mögliche Nenner der werden kann In der der Unbekannten: Zo olo gy ( man ge ,M A) gebrochenen Werthe, durch welche dem Systeme That, substituirt -j- a;,„_|_i He rita g + -)- + ^M+l-^m+l den verschiedenen ganzen Werthen von all' entgegengesetzten Falle aber in • wird auch das System vor, so ^m^m • durch ganze Werthe der Unbekannten ist stets Findet sich nun unter Werth Eins ~r ow nlo ad f denn dieses -'-•l'^'l ylib OjCCi "]~ •'-a'^'a "I htt p:/ /w ww bi od ive rsi t l2*'2 eL ibr ary -f" rig ina lD (3) ll^^l rar y.o rg/ ;w ww von dem es aber in Zweifel steht, ob es durch ganze Werthe sämmtlieher Unbekannten erfüllt werden könne oder nicht Nicht so aber verhält es sich bei dem früher erwähnten Systeme: ive x of Co m pa rat andere Mu se um (^) the of ay Unterschiede, dass tM dem , jCa , ;C3 , ;£.! , Er ^1 rsi ty, nung ns vor, mit N ersetzt ;L',„ Brüchen mit dem nach dem Wegschaffen des Nenners A^gei'adezu das System so geht rL Nenner ^suchen; so viel heisst, als die Auflösungen desselben in ibr ary was mit anderen Worten , ;L',„_,., it'i, x-.j, X3, x^ ^,„+„, die x^, a;„+i, Unbekannte er,, x^_^^ (3) her- durch die andere Bezeich- aber durch den bestimmten Werth itis ed by the Ha rva rd Un ive kommt Die Auflösung des Systemes (3) steht daher mit jener des anderen (2) im innigsten Zusammenhange Der numerisch kleinste und von Null verschiedene Werth von x, entscheidet über die Möglichkeit oder Unmöglichkeit, das System (2) in ganzen Zahlen aufzulösen, je nachdem derselbe gleich Eins, oder davon verschieden ist, und lehrt überhaupt den Nenner der in Bruchform gesuchten Auflösungen kennen Die ganzen Zahl werthe der übrigen Unbekannten Xi, x.,, x« x;„^„ aber, welche dem speciellen Werthe x,=^\ entsprechen, sind zugleich die ganzen Werthe der dem Systeme (2) Genüge leistenden gleichnamigen Unbekannten jene dem kleinsten von Null und Eins verschiedenen Werthe x, zugehörigen aber sind die Zähler der dann nur in Bruchform (4) bestehenden Werthe der" gleichnamigen Unbekannten in (2) Hiedurch ist zur Genüge dargethan, dass mit der Auflösung des Systemes (1) trotz des Dig kleinsten gemeinschaftlichen ^N speciellen Falles: , über die Auflösung eines Systemes 1, mehreren unbestimmten Gleichungen iion = = = = = 3, 2, », () dor vollständigeu Allgemeinheit der Untersuchung keinerlei Eintrag geschieht Gestalt nach bestimmen : 'Vm-\-n - (1) sei Wir werden nun noch die übrigen zu Unbekannte von Null verschiedene ganze Werthe Dass solche wirklich bestehen, ylib ganzen Zahlen des Systemes ermitteln haben, bei welchen einige oder alle lässt sich erweisen, htt p:/ /w ww bi od ive rsi t eine Auflösung in Ifj X'j iCj einen Ausdruck rar y.o rg/ ;w ww Schon früher wurde bemerkt, dass erhalten Wir wollen Form der Auflösungen in ganzen Zahlen ermitteln, ganzen Auflösungen, keine einzige ausgenommen, enthält, seiner allgemeinen die allgemeine der in sich alle d h bio log iez en tru m at nun etc wie alsogleich geschehen soll Um aber den Beweis in der einfachsten Weise führen zu können, ohne uns in die Discussion ver- Ausnahmen Führung des Beweises keineswegs unmög- einlassen zu müssen, die die eL ibr ary schiedener machen, sondern nur seine Gestalt verändern; wollen wir von den Voraussetzungen ausgehen: erstens, dass das System (1) wirklich aus n von einander verschiedenen Gleichungen div ers ity He rita g lich Th e die n Unbekannten: •'^»1+2 ) durch dieselben bestimmt werden kưnnen, wenn • • -^m+n man die übrigen entweder mit beliebigen Zahl;O unabhängige Veränderliche betrachtet Es A) als • ist hinreichend bekannt, dass ge ,M werthen belegt, oder rig ina lD •^m+i ow nlo ad f rom und Addition hervorgehen könne, und zweitens, dass Bio bestehe, d h dass keine derselben aus den übrigen durch Multiplication mit gewissen Zahlen gemachten Voraussetzungen nicht nothwendig immer erfüllt sind, und solche Ausnahmsfälle gar nicht zu den Seltenheiten gehören, wo unter den n Gleichungen eines gegebenen Systemes, zwei oder mehrere von den übrigen nicht wesentlich verschieden sind; ferner, dass gewisse, der darin enthaltenen Unbekannten, in keinerlei Weise die Eolle der abhängigen pa rat ive Zo olo gy ( Ca mb rid diese zwei Form Co m Veränderlichen zu übernehmen im Stande sind; andererseits ist es aber auch einleuchtend, dass Mu se um the stets Genüge of Ordnen der Unbekannten, leisten könne Bei der allgemeineren Form (2) ibr ary des bei der hier vorausgesetzten of der Gleichungen (1) diesen beiden Bedingungen, durch Weglassen der von den übrigen nicht verschiedenen Gleichungen und durch ein entsprechen- man Er ns tM ay rL könnte dies ganz allgemein nicht behauptet werden, weil hier ein Widersprechen der Gleichungen im Bereiche der Möglichkeit liegt; und solchergestalt gewahren wir einen neuen Vorzug Bezug auf die Form der Gleichungen (1) Un ive diesen Voraussetzungen lässt sich der Beweis, dass auch von Null verschiedene rd Nach rsi ty, der hier getroffenen Wahl, in by the Ha rva ganze Auflösungen des Systemes bestehen, ohne Schwierigkeit führen, so wie die allgemeine Form der vollständigen Auflösung in ganzen Zahlen ableiten Dig itis ed Man denke sich das System (1) auf bekannte Weise nach x,^,, ằ;,+.,, ôô+ aufgelửst, x„, als unabhängige Veränderliche betrachindem man die überschüssigen Grössen a-, x, , , Die Werthe dieser Unbekannten lassen sieh nach dem, was über Systeme linearer Gleichungen bekannt ist, darstellen in Bruchform Der gemeinschaftliche Nenner aller dieser Brüche ist eine bestimmte Zahl, die Zähler aber sind Polynome, welche die überschüssigen tet Grössen x,, x.,, x,„ Allgemeinen sind es enthalten in linearer Form, aber kein constantes Glied besitzen Also Brüche von der Form: im Ignaz Heger ilfj, il£, und ^sind bestimmte ganze Zahlen Den früher gemachten Voraus^jedenfalls von Null verschieden, da ein Verschwinden dieser Grösse -Mj, il/,„ setzungen zufolge ist nur in jenen zwei Ausnahmsfällen vorkommen kann, wo entweder nicht von einander verschieden sind, oder doch wenigstens die w Grössen a:;,„^.i, , Gleichungen a?„,+2, , wenn man In der That erfolgt dies sonder Zweifel, bio log iez en tru m at «3 aller dieser es rar y.o rg/ ;w ww Werthe a-j, x.^, m nicht a:,„^„ nun keinem Zweifel mehr, dass man die x^^ von Null verschieden, ganz und dermassen wählen könne, dass die Brüche, oder was dasselbe ist, jene von x,„j^^ x^,^^, x,„_^„ ganz ausfallen durch dieselben bestimmt werden Hier unterliegt Grössen alle für x^, x^-, ajg , a;,„ ganze Zahlen setzt, ylib welche durch A^theilbar sind, und somit ist also erwiesen, dass das System (1) wirklich auch a?^+„, und durch von Null verschiedene ganze Zahlwerthe sämmtlicher Grössen cCj, »2, a^a zwar auf unendlich viele eine allgemeine Formel alle erfüllt werden könne Wir wollen jetzt durch eL ibr ary Werthe dass alle Unbekannten, welche den unendlich vielen einer He rita g lässt sich zeigen, diese unendlich vielen verschiedenen Auflösungen darzustellen versuchen Es , htt p:/ /w ww bi od ive rsi t verschiedene Weisen div ers ity ganzen Auflösungen entsprechen, die Glieder einer arithmetischen Reihe bilden Bezeichnen Th e Bio wir mit x den numerisch kleinsten und von Null verschiedenen Werth von CC], der unter allen möglichen ganzen Auflösungen des vorliegenden Systemes vorkommt Dass ein solcher wirk- kann wohl nicht mehr bezweifelt werden, nachdem gerade früher erwiesen wurde, dass von Null verschiedene Werthe der Unbekannten, also auch von a^j, den Gleichungen genügen Die diesem kleinsten Werthe x-^ entsprechenden ganzen Werthe der Unbekannten, oder, Falls deren wieder mehrere verschiedene bestehen, eine specielle Zusammenstellung solcher, A) ;O rig ina lD ow nlo ad f rom lich existirt, oder davon verschieden sind, seien: Null, gleich sie ge ,M ob Ca mb rid gleichgiltig, Es ist nun eine unmittelbare Folge dass auch dann Werthe mit einer völlig willkürlichen ganzen Zahl ^,, d h a;,„ I „ , die Producte , a^g dieser , a;^ , bestimmten pa rat ive Zo olo gy ( 111 iCg x'2 , Ci I a?3 Ci aj„,^„ CT] Co m X] C] demnach gleichfalls Null, d h diese Werthe erfüllen Es bestehen demnach unzählig viele Werthe von x,,., die alle durch und sind die ibr ary ?i of zuo-etretenen Factor (1) die ay rL Gleichungen the Mu se um of den Gleichungen genügen werden In der That unterscheiden sich die durch Substitution dieser Werthe hervorgehenden Substitutionsresultate von jenen der früheren Werthe nur in dem hin- Er ns tM Formel a?i ive rsi ty, (5) Un werden, unter a;iCi eine völlig willkürliche Zahl verstanden ^1 Allein ausser diesen rva rd vorgestellt = the Ha Werthen sind auch keine andern mehr möglich Gesetzt nämlich, es bestünde noch ein anderer ganzer Werth von x^ dem auch ganze Werthe der übrigen Unbekannten x\ x'j der der sich nicht in der Form (5) darstellen lässt mit andern Worten 'f'm+n entsprechen , , , , , Dig itis ed by , durch £Ci nicht theilbar ist; so könnte x', nicht der kleinste mögliche von Null verschiedene Werth, so liegt derselbe ganze Werth sein, dessen offenbar zwischen zwei zunächst an einander liegenden Werthen der Formel (5) z B, x, fällig ist In der That — — sei — a;,e