Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 72-0309-0473

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Ngày đăng: 04/11/2018, 17:37

olo gie z en tru m at UNTERSUCHUNG rar y.o PROBLEM DER DREI KÖRPER UND DER „HILDA-LUCKE" IM ers it ylib IM ww bi od iv BEWEGUNG VOM TYPUS rg/ ;w ww bi DER htt p:/ /w SYSTEM DER KLEINEN PLANETEN AUF GRUND DER GYLDEN'SCHEN STÖRUNGSTHEORIE He rita ge L ibr ary VON HUGO BUCHHOLZ, ive rsi ty DR A S rom Th eB iod PRIVATDOCENT AN DER UNIVERSITÄT HALLE DER SITZUNG VOM 13 JUNI 1901 Zo olo gy (C am b rid ge ,M A) IN ;O VORGELEGT rig ina lD ow nlo ad f ERSTER THEIL eu m of C om pa rat ive Inhaltsverzeichnis Seite Mu s » [311j ary of the Vorwort Lib r Capitel I tM ay r Ableitung der Gyl den' sehen Form der allgemeinen Ditferentialgleichungen der Planetenbewegung Hansen' sehen Form der Bewegungsgleichungen des Planeten in seiner instantanen Er ns A Ableitung der ive rsi ty, Bahnebene Gylden'schen Form aus der Hansen' sehen 10 [318] Ha rv ard Un B Ableitung der [31-i] II the Capitel der Brendcl'schen by Die Gylden'sche Darstellung der S töru ngsl'unc tion und ihrer Derivierten in Dig i tis ed Form und A Der allgemeine Erster Gang die numerische Entwickelung für Hilda der analytischen Entwickelung Weg: Successive Berechnung Zweiter Weg: der ß, f, Successive Berechnung der B Ausführung der numerischen Rechnung für ß, • £i, y, den Planeten Capitel P und O, A und B S-, A und B fl53i 23 [331] 23 [331] -13 Hilda [351] 49 [357] III Die Bestimmung der elementaren und der charakteristischen Glieder für den Hilda-Typus 58 [3661 H 310 Bnchhol: Seite Capitel IV Die Integrati on der Di l'f ereil tialgl eichungen des Hilda-Tj'pus mittelst des Gylden'schen Verfahrens der partiellen Integration in der Brendel' sc lienModification durch die ß für den und Grad l'en 83 |391] 90 [39SJ Ausführung der Integration S Die Integration der Differentialgleichung für o Die Integration der Differentialgleichung für T Über ww bi od iv 99 [407] /w die in der Zeitreduction auftretende Constanle 95 [403] 97 [405] 102 [410] bis incl Glieder 109 [417] 114 [422] iod ow nlo ad f Die Integration der Differentialgleichung für 2b Die Integration der Differentialgleichung für Die Integration der Differentialgleichung für Ä 121 r [429] 125 [433] Die strenge Integration bei variablem vj, tj', jt, ic, ge ,M A) b) 118 [420] (p) ;O rig ina lD Y)', ji, Jt^ Th eB Die Integration der Differentialgleichung für p rom Die Integration der Differentialgleichung für Ordnung = (p)+Ä S -rj, II ive rsi ty Die genäherte Integration bei constantem a) 2fl ge L Grad He rita B Die Integration für den l'cn ibr ary htt ' ylib Die Integration der Differentialgleichung für Ordnung III ers it incl Glieder rar y.o Die Integration für den Oten Grad bis ,1 p:/ IL rg/ ;w ww bi olo gie z B Genäherle Darstellung der a und O'en en tru m da-Typus A Übergang auf die zu integrierenden Differentialgleichungen des Hil -( at Vorbereitung der Integration l (C am b rid Das allgemeine Verfahren Die Integration der Differentialgleichung für S Die Integration der Differentialgleichung für p 134 [442] = (p)+if ive Zo olo gy 141 [449] 1b, Die Integration der Differentialgleichung für fi 144 [452] of C om pa rat (p) Die Integration der Differentialgleichung für T 148 [456] Mu s eu m 136 [444] Za Die Integration der Differentialgleichung für Die Integrationsconstanten 149 [457] Lib r ary of the C tM ay r Capitel V ive rsi ty, Er ns Die vorläufigen numerischen Ergebnisse der ersten Näherung für die Grenzen der>Hilda-Lücke« im System der kleinen Planeten tis ed by the Ha rv Die numerische Rechnung für Dig i ß ard Un A Über die Giltigkeit des Verfahrens in der ersten Näherung Hilda 151 [459] 158 [466] Betvegmig vom Typus 2/3 im Dreikörperproblem VORWORT er die Resultate zur Anwendung Verfahrens auf diesen Planeten benutzen wollte Meine damaligen seines »horistischen« Integrations- Rechnungen sind nach Gylden's Tode unter seinem Nachlass verblieben, so dass ich jetzt zu ihrer Ausführung von Gylden ers it vom »Typus« , etc Der Wert der neuen, iod in Gylden durch die Be- sie näherem oder entfernterem nur die rom aufgestellten Integrationsverfahren bis jetzt die Arbeiten der —2 / ow nlo ad f — und — durch ive rsi ty auf Grund der Gylden'schen Principien sind |j, Li _ —O Th eB Typen —, Herren Backlund,i Brendel,- Harzer^ und Ludendorff-' \ rig ina lD diesen Anschluss an die verschiedenen, Typen — geschaffenen Stcirungstheorie zeigt sich unter anderem gerade darin, dass handlung solcher Commensurabilitätstj'pen ermöglicht Von ww bi od iv htt — ^ durch \i.^ He rita durch vom »Typus« nennt diese Planeten solche z B mittlere also dies Ver- ge L Gylden ist, p:/ durch einen ganzzahligen rationalen Bruch ausgedrückt [j gebräuchlichen wo derjenigen // des Jupiter in einem commensurabeln Verhältnis steht, 11 etc analytischen Störungstheorie der /w n' in Bahn eines kleinen Planeten zu berechnen, dessen handelt, die ibr ary —= hältnis zu Gylden bis die darum es sich rar y.o Methoden, wenn Bewegung u zu neuem genöthigt war ylib versagen Bekanntlich dessen Bearbeitung den Gegenstand der folgenden Untersuchungen / bildet, bietet nicht nur theoretische Schwierigkeiten, sondern verursacht auch in rechnerischer Beziehung behandelt worden Der Hildatypus f , meisten übrigen kleinen Planeten, da dieser Typus nicht mehr im Gyl denam b als die rid mehr Arbeitsaufwand ge ,M A) ;O ^ gy ist, , wie fast alle kleinen Planeten, in demselben ent- Zo olo halten — während der Typus (C schen Tafelwerk tabuliert om pa rat ive ist Als Integrationsverfahren habe ich das Gylden' sehe Verfahren der partiellen Integration in sich durch seine systematische Ausarbeitung der welchem der Verfasser die Behandlung der kleinen Planeten große Verdienste um die ° in der benutzt, Gylden'schen neue Störungstheorie Bewegung Tome XXXVIII, ning p& planeten 46 ; tM Gruppe der kleinen Planeten« Memoires de l'Academie imperiale des No U ns Bewegung der kleinen Planeten Er »Ijber die ty, Backlund, M Brendel einer gewissen ay r die Petersbourg, VII Serie, »Om användningen ive rsi St vom Hecubatypus« af den absoluta Stưringstheorien Cf ibidem Vlll Serie, Volume VI, No pa en grupp af smä planeterna med numerisk Hestia< Astronomiska laktagelser och undersökningar anstälda pä Stockholms Observatorium IV, Un - Backlund, »Über M Brendel, »Über ard O Anwendung die Ha rv Sciences de Lib r ary of Principien für Mu s Werk, the ein eu m of C Modification von Herrn Brendel, sowie auch sonst dessen »Theorie der kleinen Planeten« 10 tillamp- der Gylden'schen absoluten Störungstheorie auf die Breitenstörungen einer gewissen by the Classe kleiner Planeten nebst numerischem Beispiel für den Planeten ^46^ Hestia« Gưttingen, Druck der Dietrich'schen Universitätstis ed buchhandlung P Harzer, »Untersuchungen über einen Dig i Grundlagen durchzuführen, da den Planeten Hilda olo gie z in ihren für en tru m Stockholm veranlasste, die numerische Entvvickelung der Störungsfunction in rg/ ;w ww bi 1896 at Die erste Anregung zu den folgenden Untersuchungen erhielt ich durch Gylden, der mich im Jahre des Sciences de St Petersbourg, VII Serie, H Ludendorff, »Die Jupiterstörungen H Gylden, »Hilfstafeln zur speciellen Fall des Problems der drei Körper< Tome XXXIV, No der kleinen Planeten vom Hecubatypus Berechnung der Hauptunglcichheiten Publicationen der Astr Gesellschaft, XXI In Commission bei Memoires de l'Academie imperiale 12 in Berlin, Mayer und Müller den absoluten Bewcgungstheorien der kleinen Planeten« W Engelmann, Leipzig Einige Druckfehler des Gylden'schen Tafelwerkes sind im Folgenden auf Seite 49 M Brendel, »Theorie der kleinen Planeten« Gưttingen Math, physik Classe Neue Folge, Bd I, Denkschriften der mathem.-naturw Cl LXXII Bd I Theil Abhandlungen der königl Gesellsch [357] angegeben der Wissenschaften Nr 41 zu H Bii 312 erworben hat; Wunsch von Gylden auch der Nachlass seinem Tode auf Grund seiner Nouvelles recherches' ausgebildete ebenso wie Herr Backkind, des letzteren gelegt worden in dessen Hände auf ist Gylden kurz Die von holz, c-h \'or »horistische Integrationsmethode« übrigens Capitel V, (cf 157 [465] des Folgenden) konnte im S folgenden leider noch nicht zur Anwendung kommen Denn Integration in einigen kurz vor Gylden's Tode erschienenen kleinen Aufsätzen,^ sowie dem Herr Backlund ist bezüglich der eigentlichen der Vorrede zu in nur angedeutet Erst nachat Anwendung, hinsichtlich ihrer wirklichen Ausarbeitung und Herausgabe des Gylden'schen Nachlasses olo gie z die schwierige Methode en tru m Gylden's erwähntem Tafelwerke, diese endet und, wie zu hoffen, detailliertere Vorschriften bezüglich der wirklichen Anwendung voll- der hori- rg/ ;w ww bi — die Gylden als einen entscheidenden Fortschritt gegenüber allen seinen zuvor gebrauchten Verfahren bezeichnet — kann dieselbe zugleich in der analytischen Störungstheorie angewandten Integrationsmethoden fasst in Hansen angewandte dahin zusammen, »dass sowohl das von Integrationsverfahren, als auch /w Gylden ers it Seine Kritik der zuvor ylib ganzen Tragweite übersehen werden ww bi od iv ihrer rar y.o stischen Methode gegeben haben wird genommen streng sind, der letzten Jahrzehnte seines Lebens zielten eben auf nichts Geringeres He rita ge L großen Arbeiten gesammte bisherige Anschauung der Kepler'schen neuen Integrationsmethoden«, sagt Herr Backlund, Th eB Mängel der >^Die rom Und in er weist darauf ow nlo ad f rig ina lD sie ;O Dass epochemachender Natur am b rid sind, sei leisten Ihm direct oder indirect, fiel es nicht schwer, auf die erfüllte Anerken- gy (C es mathematischen Begabung Bei seiner eminenten Wahrheit zu ergründen« verzichten, strebte er doch vor allen Dingen, die Zo olo ive Neubehandlung des Störungsproblems dem allgemeinen seiner schöpferischen om pa rat in of C Verständnis zunächst vorausgeeilt, und »verlangen seine Methoden«, wie Herr gemäß eu m einen gewissen Zeitraum, um die Backlund sagt, »der Natur astronomischen Anschauungen zu beeinflussen, resp Mu s ihnen das Bürgerrecht zu erwerben«, so übersteigen doch jene wegwerfenden Urtheile, die über die the in alten anhaften zu dem Zwecke schuf, und zwar ge ,M Vorbedingungen, Epochemachendes zu auch Gylden der Sache für die planetarische »hat mit diesen Arbeiten eine neue Richtung eingeleitet fort, Zweifel zu unterliegen nung der Zeitgenossen zu Ist Backlund Herr fährt und neue Methoden geschaffen scheint mir keinem die Gylden A) »Gylden«, als nach dessen eigener Meinung das Hauptresultat seiner Forschung reprä- schaftlicher Lebensarbeit bilden, Gylden »die die welche den Kernpunkt der zweiten Periode von Gylden's wissen- dass die Untersuchungen, sentieren die principiellen sogenannte horistische, gehưren zu seinen genialsten Leistungen«' erster Linie die hin, Ausgangspunkt ive rsi ty Bewegung Ellipse als zu ersetzen, welcher nicht durch eine neue iod die Und hinaus, Berechtigung entbehren« der wissenschaftlichen ibr ary Grunde identisch htt p:/ das Leverrier'sche, welche beide ebenso wie die Mehrzahl der übrigen angewandten Methoden im man vergebens nach einer sachlichen Lib r fragt ary of großen Arbeiten Gylden's laut werden, noch die Grenzen bloßen NichtVerständnisses — Begründung gerade in in der dieser absprechenden Urtheile, die Schweden — That über die so leichthin gefällt werden ns tM ay r Theorie Gylden's von Diesem und Jenem Und Stelle Herrn Brendel aussprechen für die Un Belehrung und reiche wissenschaftliche Förderung, die er mir in ard hat zutheil werden lassen, wie er ja auch der Einzige Ha rv fortgesetzt ive rsi ty, Er Besonders warmen Dank möchte ich noch an dieser vielseitige the gewesen, den Ideen seines großen Lehrers bei uns gefördert hat der unermüdet bisher bestrebt in Deutschland allmählich Eingang zu schaffen und der Und das im folgenden auf Hilda angewandte Integrations- ed by Gylden's Richtung ist, Bezug auf Gylden's Theorie Dig i tis verfahren beruht ja auch auf der von Herrn Brendel in seiner Theorie der kleinen Planeten gegebenen ' H Gj'lden, »Nouvelles recherches sur les series employees dans les theories des planetes« .^cta Mathematica, - Om bestämningen af ojemnheter med mycket läng period Vetenskaps-Academiens Förhandlingar 1895, Nr Olika methoder en planets longitud I att Cf bestämma de 7, Tome 15 et 17 theorien lor planeters och satelhters rưrelser Ưversigt af Kongl Stockholm horistiska termerna ibidem 189Ư Nr i i den differentialeqvation, som fưrmedlar härledningen af ojemnheterna Beivegitng Typus 2/3 im Dreikörperprobleui iviii 313 Modification der Gylden' sehen Methode der partiellen Integration, die dieser seine letzte, die horistische Methode, noch in ihren allgemeinen Zügen schuf selbst benützte, ehe er nehme Formeln Gylden's Als Einleitung schicke ich eine kurze Analyse der Gj'l den" sehen Grundprincipien voraus und bei Entwickelung der Störungsfunction Gelegenheit, einige noch nicht veröffentlichte anzuführen, die ich bereits den Versuch gemacht, Stockholm bei meinen Rechnungen für Gylden verwandte Zugleich habe ich Hilda so zu geben, dass sie ein leicht verständGylden's Principien bildet Auch sind in die folgende Darstellung für Anwendung von der wirklichen Untersuchungen gezogen einem extremen P"alle, berücksichtigt worden, die und hat, es ist bei Gylden Berechnung der Lücke nicht näher in den Bereich gezeigt, dass diese Glieder in wie Hilda, einen bedeutenden Einfluss auf das Resultat ausüben Entsprechend den folgenden Untersuchungen im ganzen treten dabei in rar y.o der neuen Gylden'schen Anschauungsweise rg/ ;w ww bi seiner olo gie z Ordnung derselben Glieder dritter en tru m at liches Beispiel in für die partiellen Derivierten der Störungsfunction für jeden Planetentj'pus, gesondert zu bestimmen sind, während die coordinierten /w will, ihn und o auf der rechten Seite der Differentialibr ary Glieder nach Integration der Differentialgleichungen für p:/ nach den Gylden'schen Principien behandeln wenn man htt Entwickelungen ww bi od iv ers it ylib sechs verschiedene Gliedertypen auf: Die von Gylden sobenannten »elementaren«, die »charakteristischen« und die »coordinierten« Glieder, von denen die beiden ersteren Gliederarten in den kommenden gewöhnlichen sich die rechten Seiten der zu integrierenden Störungsglieder He rita Betracht Aus allen diesen Gliedern setzen Gylden'schen Differentialgleichungen ive rsi ty in ge L gleichung für die Zeitreduction auftreten; ferner die bei der numerischen Rechnung mitzuberücksichtigenden, noch in S, p, J zusammen mentalen« ^, t/, TT, Zj Glieder, während rom den Winkelargumenten der auftretenden trigonometrischen Functionen die sogenannten >exarguBerücksichtigung der Variabilität der langperiodischen Functionen die ow nlo ad f in um (insofern es sich nicht die elementaren Glieder der schen handelt), die sogenannten »Zusatzglieder« liefert Auch ;O ersten Grades in den Derivierten der Störungsfunction Form ist B, sondern um die charakteristi- im Folgenden den Gliedern zweiter von vorneherein Rechnung getragen und dritten Grade wie der zweite Theil zeigen wird, sind, auch die exargumentalen Glieder noch rid beim ge ,M A) Ordnung rig ina lD Ti Th eB iod Bei der Integration dieser Differentialgleichungen ergibt dann die Variabilität des langperiodischen Theiles Hilda nothwendig war, während beim nullten Grad die Glieder dritter Ordnung in P und Q mitgenommen sind — Die Weiterführung der numerischen Rechnung und die analytische Darstellung der Störungen höheren Grades für den Radius vector sammt der von der Neigung herrührenden Glieder, sowie der Breitenstörungen, Entwickelungen, die ich zum Theil bereits durchgeführt habe, werden in bald of C om pa rat ive Zo olo gy (C am b berücksichtigt worden, da dies für the Mu s eu m erscheinender Fortsetzung dieser Studien folgen, Der Verfasser Dig i tis ed by the Ha rv ard Un ive rsi ty, Er ns tM ay r Lib r ary of Halle, im Februar 1902 41* 314 H li lieh hol' en tru m at Erstes Capitel olo gie z Ableitung der Gylden'sehen Form der allgemeinen Differentialgleichungen rg/ ;w ww bi der Planetenbewegung rar y.o .Denn die sinnliciic lirfalirung in Überein- ylib stimmung mit dem Denken zu bringen, Ziel der Form da.s Problem der gestörten Bewegung der Differentialgleichungen des Problems ibr ary Bewegung eines gestörten Planeten um die Sonne charakterisiert wird: ow nlo ad f rom Th eB iod ive rsi ty He rita ge L der drei Körper,! durch welche die ww bi od iv /w denen Gylden p:/ darzulegen, nach die Grundprincipien Gylden htt Um behandelt, gehen wir aus von der bekannten allgemeinen z ;O durch die beiden Formen: ge ,M ist A) Q bestimmt die Störungsfunction tis ed by the Ha rv ard Un ive rsi ty, Er ns tM ay r Lib r ary of the Mu s eu m of C om pa rat ive Zo olo gy (C am b rid m' Dig i wo rig ina lD d'^" j bleibt Wissenschaft ers it doch das höchste 8Q \ tis Dig i ed by the Ha rv ard ive rsi Un ty, ay r tM ns Er ary Lib r of the eu m Mu s ive om pa rat of C gy Zo olo rom ow nlo ad f rig ina lD ;O A) ge ,M rid am b (C ive rsi ty iod Th eB ibr ary ge L He rita ww bi od iv /w p:/ htt ers it ylib rar y.o ^1 olo gie z rg/ ;w ww bi at en tru m 316 Bnchholz, H Diese drei Bedingungen (5) bestimmen aber mit den sechs Bedingungen (-i) die neun Grưßen a,ß .7, und damit das neue Coordinatensystem x,,y^,z^ nicht vollständig, weil sie nicht unabhängig voneinander sind Denn die Gleichungen drei stellen (5) nur zwei von einander unabhängige Bedingungen Übergang von x,y,z auf das System x^,y\,Zj ist zur Bestimmung des Coordinatensystems x^,y^,z, Hansen die, dass = also auf unendlich viele Arten möglich eine Bedingung zur freien Es dar Der bleibt somit Verfügung Als solche wählt so dass der Radius vector stets in die x^y^-Kb&ne fällt Damit ist aber offenEbene der Bahn von derjenigen der Bewegung dieser Ebene im Raum getrennt und das rj,j)'j,c:j- System ist vollständig charakterisiert, nämlich als beweglich im Raum, und zwar so, dass seine v-jj-^- Ebene stetig durch den Radius vector des gestörten Körpers geht Cj sei, Bewegung i n der olo gie z en tru m at bar die Betrachtung der Diese Trennung der Bewegung legt Gylden seinen Betrachtungen nun gleichfalls zugrunde Bewegung der Bahnebene im Raum in durchaus anderer Weise als Hansen, rg/ ;w ww bi definiert er die rar y.o Hingegen formation der allgemeinen Störungsgleichungen Hansen- aber die Trans- auf das ideale Coordinatensystem x^,y^,z^ (1) Bewegung für die d h nicht ein, führen für die des gestưrten Kưrpers in seiner »momentanen« oder Form die der allgemeinen Bewegungsgieichungen htt Kürze durch, da wir so in Gylden zum Ausgangspunkte ibr ary -instantanen« Bahnebene wählt Da nach Voraussetzung = ist, werden die Gleichungen = a.t-i4-aiJ'j - = dx rig ina lD 7-1^1 ;O differentiert: ~ ge ,M tis ed by the Ha rv ard Un ive rsi ty, Er ns tM ay r Lib r ary of the Mu s eu m of C om pa rat ive Zo olo gy (C am b rid (Tt Dig i oder ow nlo ad f rom Th eB iod x A) ive rsi ty 2^ He rita ge L erhalten, die p:/ /w beiden ersten Gleichungen, Raum zunächst der Bahnebene im ers it Bewegung ww bi od iv sche Behandlung der ylib wie wir später bei Betrachtung der Breitenstörungen sehen werden Deshalb gehen wir auf die +T1JV1 (3): tis ed by the Ha rv ard ive rsi Un ty, ay r tM ns Er ary Lib r of the eu m Mu s ive om pa rat of C gy Zo olo rom ow nlo ad f rig ina lD ;O A) ge ,M rid am b (C ive rsi ty iod Th eB ibr ary ge L He rita ww bi od iv /w p:/ htt ers it ylib rar y.o olo gie z rg/ ;w ww bi at en tru m Schließlich Dig i Bewegung vom Typus 2/3 im Dreikörperprobleni werden 317 die Derivierten der Störungsfunction: 3fi " H Bnchliolz, 318 Die Relationen: _ 8Q "bx^ _ 3Q S,^^ ' 8Q dr 8v dx^ Zr dx^ 9ß dv 8ß dr dr dy^ dy^ 8i' 8Q 8fi + ^ dr -^— sin i' cos V r dv 8Q 8Q oy^ r 3Q — cos + ," sin öv ör in die rechten Seiten von ^—=-^ en tru m —=—— öx^ olo gie z &o - at in: rg/ ;w ww bi gehen daher über 3Q dv v rund u die multipiiciert Hansen'schen Formen addiert, so folgen die wahre Radius vector und (6), ers it Formen die so erlialtenen wahre Länge ist: in passend mit sin Polarcoordinaten, v und wo r dr dv a t d ,„ ,, t 80 ö V \d r tj dr Th eB iod dt^ ive rsi ty He rita fl/'' ge L ,J-'t, ibr ary htt p:/ der man respective noch mit ww bi od iv y, /w Setzt cos ylib rar y.o ;; rom oder: dv] ,,.^, , rig ina lD \ 8ß ow nlo ad f d Gylden diese Gleichungen substituiert am b in seine neuen Variabein S, Tj und p Anstatt die Gleichungen der Bewegungsgleichungen aus der Hansen'schen eu m solche Mu s Gleichung the die erste aber als (7) als in r- — in r , und v aufzufassen, können wir die zweite als der Flächengeschwindigkeit, auffassen Integriert Gleichung man diese dt ary of in r, Form of C B Ableitung der Gylden'schen om pa rat ive Zo olo gy (C und rid ge ,M A) ;O (7) setzt, so ergibt die Integration ay r Lib r Gleichungen für das Zweikörperproblem, indem man die rechten Seiten Null ty, Er ns tM der zweiten bekanntlich die elliptische Bahncurve: ive rsi a{\—e^) cos (v — 11) Ha rv ard Un \+e Flächengeschwindigkeit als eine Constante: Dig i tis ed by the die Integration der ersten ergibt die indem wir In der die Masse des kleinen Planeten, elliptischen Bewegung in, hinfort bleibt also der Radius vector a{\—e) eingeschlossen gegenüber der Sonnenmasse < r < immer zwischen a (1+f) vernachlässigt denken den endlichen Grenzen: Bewegung vom Typus 2I?> im Dreikörperproblem 459 en tru m olo gie z numerischen Ergebnisse der ersten Näherung vorläuflg-en rg/ ;w ww bi Die at Fünftes Capitcl für die ers it ylib rar y.o Grenzen der »Hilda-Lücke« im System der kleinen Planeten die selbst Herren Brendel p:/ haben außer Gylden und Callandreau wertvolle htt Bekanntlich /w ww bi od iv A Über die Giltigkeit des Verfahrens in der ersten Näherung Untersuchungen über das Auftreten hat bereits erste genäherte numerische Planeten angestellt Constante ive rsi ty iod Im Sinne des Brendel'schen Verfahrens^ a^, — dT pars const durch Berücksichtigung der Glieder dritter Ordnung, Herr die Grenzen der Lücke die ich mitgenommen habe, rom für kritische Planeten werden wir dabei ow nlo ad f verificieren j ja seiner Theorie der kleinen Th eB f— Typus für Hilda in von Interesse, zu sehen, wie sich im folgenden ist über die wir noch willkürlich verfügen konnten, für Hilda so bestimmen, dass der rig ina lD im Es Rechnungen He rita Brendel ge L ibr ary der Lücken im System der kleinen Planeten gemacht, auftretende Theil rein erster oder höherer in Ordnung verschwindet Wert der Constanten hatten wir im vierten Capitel gefunden: rid b^ (C am b Als ge ,M A) ;O dv die gy om pa rat ive wo: = 2a, + h, + h,[i,+h,f^, Zo olo b, Dig i tis ed by the Ha rv ard Un ive rsi ty, Er ns tM ay r Lib r ary of the Mu s eu m of C K^ (1) H Blich holz, 460 wobei: = 2Bo.oj 51-" — "s.o.o ' 6[x ^3.0,0— «, + g^ B3.O.O— + 8,) (1 i (3) 21 ^2 = /3 = 3BII,- ^1^53.0.0-3(1 +S,)A3.o.« '4 — + 65o.o.o-y«o olo gie z ^o'.o.o at / en tru m If, rg/ ;w ww bi -'-Do.U.U /„, /,, rein erster Ordnung sind, so bestimmen wir a^ /, 1^, /;,, so, dass: ylib also ww bi od iv ers it Da rar y.o ist ibr ary htt p:/ /w also: He rita < so müssen, da ß ist, Ordnung die Producte ist, Und sein /^ß,, / ,ß^, wenn etc alle kleiner /gß'J z als /., B l.^ selbst rein und weiter wird: ow nlo ad f rom somit erst recht rein erster ive rsi ty Ordnung iod erster rein erster Ordnung, wie wir voraussetzten; denn a,, Th eB auch wird Hiermit wird (4) ge L R' folgende Gleichung gefunden: A) ß, am b rid ge ,M Schließlich hatten wir für ;O rig ina lD (4 a) die p si m' und gegeben waren durch: 2^3.0.0 ^3.0.0- + 5j , /ILO ^+^1^ ^'^""~ 6.0.0 ô"" Rl ' ZJl "0" 1^8, the = // 5i:o.o+ ^i 12|J.^6.0.0 Qy-B&.O.Ü , "TTsT (1+5,)^ Lib r ary of /'" Mu s eu m l of C = p' om pa rat ive wo Zo olo gy (C (5) ^3.0.0-*^ 1.0 _! tM -°3.o.o^^ i + 5^^2(l + Si) 2(1+8,) Er ns ^9.0.0 42.0 ^9.0.0 42.0 ^3.0.0 ^-0 1 ay r p i±Ä "^3.0.0 31^5^:^.0 /11.0 ^^9-o.o ^(l 3ii.>l.^;°„ Qj^-^älo + S,) 2(1 + 8,) (l + 8,)2 |i.2 53.0.0 + (1 + [J.^3.0.0+ -^!J-Ä).o.o 8,)'^ ^s!," + {\ + \f /, 9|J.'53.o.o 2(l + 8,)2 Dig i tis ed by the Ha rv ard Un ive rsi ty, (6) 'i 2(1 aus der wir nun ß, 18[j.M3.o.o Slii^^g.ü.o + 8,)^"^ (l + 8,)3 wirklich zu bestimmen haben b^ berechenbar, sobald man über a^ verfügt _^ 9|xM3.o.o + "^"(l + 8,)3 Ist ß, gefunden, so = 2a,+ h, + h^f.,+h^ Er 111 nämlich: ive rsi ty, wenn ist tM ay r trigonometrische Substitution Äqui\'alent der F"urmel (30) numerische Rechnung erhält man durch eine (30) für die Lib r Eine Controle der of the Mu s eu m ^3 2/1 by the Ha rv ard Un 3/, — V Dig i tis ed lim 2,W wenn iu < / (34) 44 8.774813 8.453219 8.771739 8.453590 8.764091 8.249488 452.7140 455-1533 7-721474 8.253173 452.7478 455-1544 7-707372 S 261793 452.8300 455 1600 8.734760 7-647111 8.298547 453-1990 455.2290 8.71S284 18689 453-4150 455-2970 8.689010 7.555204 8.354365 453-8233 455 4700 8.666502 7-510171 8.381627 454 l6on 455.6467 8.495447 8.647368 7.471361 8.404852 454-4644 455.8240 8.506412 8.629959 7-436938 8.425700 454-7522 456.0100 8.538897 8.585006 7-346887 8.4794O1 455-5633 456.5889 Un ive rsi ty, Er ns tM ay r 7-727503 Ha rv ard 8.458139 by ed 140 14 8.484601 Dig i tis 8-473633 the 8.462593 (41) Bewegung vmn Tvpus Aus 'Jj.'i 473 Dre/körperprol>/eiii —2 Typus erkennt man, dass für den dieser Tafel im Maximalwerte, welche die [3; jemals erreichen kann, bezüglich: =-0.135 ß, = +0,060 entsprechend diesen Werten stets sein niuss: en tru m at sind, uni.1 dass ß, rg/ ;w ww bi wahre tägliche Bewegung 452 '.'68, Lücke im System Lücke ohne Mitnahme von Gliedern ei'ster der keine Planeten p:/ Berücksichtigung der Glieder dritter allein beträgt die ive rsi ty und zweiter Ordnung He rita und 451 "9 Bei Bewegung überhaupt Ordnung sind 44'.'38 ge L Grenzen Die mittleren der kleinen Planeten auftreten muss htt eine (44) /w wumit bewiesen, dass zwischen diesen beiden Werten der vorkommen können, sondern ylib w, rar y.o eines Planeten der Hilda-Gruppe stets sein: ers it die ww bi od iv Damit muss also +0.018 ibr ary > 8j olo gie z S,< -0.027 Lücke also S'.'l, bei Mit- ow nlo ad f rom Th eB iod nahme von Gliedern erster, zweiter und dritter Ordnung aber beträgt die Lücke lO'.'O Man sieht also, dass sich infolge der Mitnahme der Glieder dritter Ordnung die Lücke nicht allein wesentlich verschiebt, nämlich von 443'.'8 bis 451'.'9 nach 442'.'7 bis 452'.'?, sondern dass sie sich auch um 1'.'9, also nahezu um zwei ganze Secunden erweitert Indes ist diese so höheren Grades noch nicht berücksichtigt haben Und und der Glieder erster, zweiter völlig exact bestimmt, ge ,M Ordnung dritter A) ;O identisch, da wir die Störungen den nullten Grad numerisch noch nicht in am b für rid Hilda-Typus auch rig ina lD bestimmte Lücke noch nicht mit der wirklich im System der kleinen Planeten auftretenden Lücke des den Gleichungen da wir vorläufig (6) dieses Capitels 3^ bei sie ist Berechnung Null gesetzt und sein, Zo olo gy (C auch noch den Einfluss der Glieder vierter Ordnung zu untersuchen haben Es wird von Interesse ive zu sehen, wie sich die Grenzen der im Vorstehenden bestimmten Lücke bei Mitnahme der zu berücksich- Bahn sowie der Glieder vierter Ordnung verändern, was neben von Hilda zu zeigen der Fortsetzung dieser Untersuchungen Mu s neuen, der es \'on Gylden geschaffenen Störungstheorie zu danken, dass die the ist eu m bleibt Jedenfalls selbst 3^, of C der numerischen Berechnung der vorbehalten om pa rat tigenden Störungen höheren Grades und von nun waren, zugänglich Lib r Fragen geworden und sicher und verhältnismäßig ay r unlưsbare ary of wichtigsten mechanischen Probleme des Planetensystems, welche für die theoretische Astronomie vorher ive rsi ty, Er ns tM eiledigen sind Dig i tis ed by the Ha rv ard Un Jena, im März 1901 Hugo Buchholz einfach zu ... Bd I, Denkschriften der mathem.-naturw Cl LXXII Bd I Theil Abhandlungen der königl Gesellsch [357] angegeben der Wissenschaften Nr 41 zu H Bii 312 erworben hat; Wunsch von Gylden auch der Nachlass... Convergenz der alle Reilicn, Grenzen von der Ellipse entfernt, durch eine der welche zur Darstellung der Coordinatcn der Planeten angewendet (1887) G-Iden, Nouvelles recherches sur DcnUschriftcn der. .. bi Die zur Berechnung der Störungen der folgenden Grade erforderlichen dieselben bei der numerischen olo gie z en tru m at fii.o.o='?,V' sondern vielmehr diejenige ihrer Derivierten; Q 3Q a{l—ff)
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