Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 78-0645-0684

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Ngày đăng: 04/11/2018, 17:32

4 ;w ww bi olo gie ze ntr um at EINE EINFACHE METHODE ZUR BESTIMMUNG ELLIPTISCHER BAHNEN AUS ylib rar y.o rg/ DREI BEOBACHTUNGEN ww bi od ive rsi t VON EBERT, Mit p:/ /w D«- V^ DER SITZUNG AM OKTOBER 26 1905 ad fro m Th e Bio div ers IN ity VORGELEGT He rita ge Lib rar y htt Textfigiiren MA ); O rig ina lD ow nlo Inhaltsverzeichnis Seite , 1—2 rid g e, Vorbemerkungen Eine einfache Ableitung des OIbers'.schen Grundprinzips § I § Eine naheliegende Methode zur Bestimmung elliptischer Bahnen § Über und dritten \nerten Differentialquotienten einer ICnordinate log Zusammensetzung des — 647 —6 649 — 650 — 652 — 652 — 12 654—656 i=' und der Gleichung (26) seine geometrische Bedeutung 10 ^ Co mp Das Restglied ara gegebenen Methode S Verbesserung der in § § tiv eZ oo die y( Ca mb , § Die zu erwartende Darstellung des mittleren Ortes of Formelzusammenstellungen Đ II Beispiele für die beiden m Planeten the • erforderlichen Hilfsformeln für Ekliptik und Äquator als Fundamentalebenen rL § 10 am of Rechnung /_ se u Bestimmung des Parameters § Ableitung der zur ibr ary § Die Bestimmung des Winkels Mu Đ Ableitung der Gleichung zur tM ay Fundamentalebenen Bildung einer zweiten Hypothese Er ns 12 — 648 — 650 — 653 12—15 656 — 659 15—16 659 — 660 17—20 661—664 20—25 664 26—31 670—675 — 669 — 6/9 31 — 35 675 35 — 40 679—684 Vorbemerkungen ed Bestimmung einer elliptischen vorgezeichnet, der mit der Berechnung des Winkels Dig Weg hat für die Methoden zur itis Gauss by the Ha rva rd Un ive rsi ty, § 645-646 am Bahn aus drei Beobachtungen einen Planeten (im Dreiecke Sonne, Planet, Erde) zur Zeit der zweiten Beobachtung beginnt Schon in der Tatsache, daß das Problem so auf die Ermittlung einer einzigen Unbekannten zurück- (auch ganz abgesehen von der Bequemlichkeit der Form der transzendenten Grundgleichung) ein großer Vorteil liegen Seine Methode hat nun im Laufe der Zeit eine Reihe von Abän- geführt wird, dürfte derungen erfahren, die indessen doch nicht recht den Bedürfnissen der praktischen Denkscliriften der mathem.-naturw KI Bd LXW'III Anwendung zu 85 ge- ^ W Ebcri, 646 nügen scheinen Daher hat man neuerer Zeit mehr und mehr\^erfahren ausgebildet, bei denen zwei oder in gar drei Unbekannte bestimmt werden müssen Je unübersichtlicher und unbrauchbarer die Rechnungs- hat man wann sich gefragt, Aber auch die die Berücksichtigung derselben Gauss'sche Methode und die überhaupt nötig ;w ww bi olo gie ze ntr um Richtung hat bisher nur Prof in dieser etwa 2'5mal grưßer also in einer da der heliozentrische Radius-Vektor B ein Glied als z Weiss von der vierten Ordnung der Zwischenwinkel) bezeichnet, so ist es sehr wesentlich, ob rar y ganze Bahn- nach der Zeit zu stützen Aber auch Ordnung der Zwischenzeiten nur mangelhaft gekennzeichnet Die rita ge die Potenzreihen der Koordinaten des Planeten wieder ein ity He Glied durch die ers welche mit der Bahnexzentrizität verschwinden, sind nämlich im allgemeinen weniger einfluß- Man nur die Ordnung der Zwischenzeit (immer bloß auf sollte also stets nicht Th e reich als die anderen Grundlagen der Rechnung bedenkliche Vernachlässigungen gestattet ow sich in den man das Versäumte ina glaubt man nlo ad anderer Hinsicht leiden die Methoden zur Bestimmung elliptischer Bahnen an prinzipiellen lD in Mängeln Nachdem teilweise dadurch wieder einholen MA ); O rig Auch die der Exzentrizität fro m Planetenbewegung bezogen) angeben, sondern auch hat, die div Glieder, Form zu machen und Bio ist unter irgend welcher Lib bestimmung nur auf dann Annahme der Erde keinerlei htt p:/ /w aus der Bewegung des Planeten oder der Erde entspringt Es empfiehlt sich also jedenfalls, über die Bewegung die Wenn man ist richtiger sagen: der sollte Ord- entwickelt, so sind diese Entwicklungen als für die Erde, ww bi od ive rsi t hier im Mittel Konvergenz stärkerer viel Begriff, Koordinaten des Planeten und der Erde von Epoche an nach Potenzen der Zwischenzeiten Zwischenzeit (man es die rechtwinkeligen heliozentrischen den Planeten von für doch der Einwirkung ylib rar y.o rg/ Denkt man sich Ist ja die Grưße einer Vernachlässigung bemessen wird, ein die sehr inreressanten und inhaltsreichen Abhandlung angestellt einer bestimmten man at der begangenen Vernachlässigungen auf das Resultat nicht überblicken kann Eingehende Untersuchungen so weniger ist nachgebildeten leiden daran, d ihr nung der Zwischenzeiten, nach dem gewưhnlich recht unbestimmter um Dutzenden zählenden Glieder höherer Ordnung wurden, vorschriften infolge der bis zu zu kưnnen, d man die beiden äeren Orte mit einem nicht zu unterschätzenden Arbeitsaufwande strenge darstellt In keinem anderen Teile der Rechnung gewisse Grưßen, um Astronomie vernachlässiget man der zweiten Hälfte derselben Rechnung zu berücksichtigen So e, rid g mb y( Ca den Parameter, B in einfacher ist es auch sie dann in hier leicht, eines der phoro- Weise so zu bestimmen, daß die -drei Orte oo z log nomischen Bahnelemente, der ersten Hälfte einer in tiv eZ hierunter weniger leiden, als unter den schon vorhergegangenen Vernachlässigungen Grundlage für Co mp als unsere Methode an, daß für jede beliebige heliozentrische Koor- ara Wir nehmen of dinatenrichtung X die Gleichung: Mu se u m xJ^-\-x^T^ =x., Tg möglichst geeignete Funktionen zweiten heliozentrischen Radius- Vektors und der Zwischenzeiten wählen und führen dann diese ibr ary des und of the besteht Hierbei wollen wir für die Dreiecksflächen-Verhältnisse T^ tM Er ns heliozentrischen Orte zu erwartenden Fehler, welcher durch die leren und hieraus auf die zu erwartende Darstellung der mittleren Beobachtung schließen rsi ty, wird, voraussagen Man kann so den im mittAnnahmen über Jj und T^ bedingt irgend welche weitere Vernachlässigueg durch ay rL Annahme konsequent und ohne ive man für grưßere Radien, wie r =: etwa bis zu Monaten Gesamtintervall Hypothese auskommen kann (Siehe das Loreleybeispiel, § 1.) Umsomehr lassen sich die allerrva Ha mit einer rd Un Die Diskussion ergibt, daß by the meisten heutzutage vorkommenden Fälle innerhalb der Genauigkeitsgrenzen sechsstelliger Rechnung aber doch einmal ausnahmsweise die Bildung einer zweiten Hypothese erforderlich werden, Dig Sollte itis ed durch eine Annäherung lösen so kann der Übergang auf dieselbe mit wenigen Zeilen Rechnung bewerkstelligt werden (Siehe das Beispiel des § 12.) Prof E Weiss: Über die Bestimmung der Bahn Wissensch., mathem.-natuiw KL, LX Bd., p 345 ff eines Himmelskörpers aus drei Beobachtungen Denkschr d k.iis .Akaci d : Bestimmung § Um eUiptisdier Büluieu 647 Eine einfache Ableitung" des Olbers'sclien Grundprinzips geeignete Gesichtspunkte für die Aufstellung einer Methode zur Bestimmung elliptischer Bahnen t., und = kv^ Ö-j Wir betrachten nun richtung Man z Wir setzen die drei Beobachtungszeiten ig = a-3 Bewegung des Kometen die und bezeichnen mit z^, und z,, ö-i Kometen zu den hat dann kann der Maximalbetrag des Terms , in r', denjenigen des andern Terms in wenn dies auch nur dann möglich, t'„ = 90° oder 270° — d^z, Term empfiehlt es sich, den ersten in in für jede r' -^ beliebige Koordinatenrichtung Null Darum zu berücksichtigen, auch wenn man den zweiten mit r[^ ver- ow nlo d^^ will ^ z]^' Man hat nach (2') p 3: aJ.J Q « io ~ + ^2 _^ 3v^ _ 12^^_ ^2 A A ^ ,11 li .,12 ^20) ist von der zweiten Ordnung der Exzentrizität und wir lassen es daher log letzte Glied tiv eZ oo Das y( Ca mb ^iv MA ); O rig auch von dem vierten Differentialquotienten e, gilt rid g Ähnliches ina lD nachlässigen Bio Term der ist Th e oder 180° m = fro t'j ad Für div ers ity ist He rita ge o —^übersteigen; indessen rar y wenn Lib Also nur, htt p:/ ii ylib rar y.o rg/ hat also ww bi od ive rsi t Man (wiederum bis auf GUeder von der Grưßenordnung der ist /w Exzentrizität) erreichen kann, z.^ ;w ww bi olo gie ze ntr um at d^ = '^Z- folgt aus n T' Dig itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se u m of aar ara -4!" mp daß Co Mit Rücksicht darauf, (18 Z^): beiseite : 652 Ebcrl, TT' Für man: die folgenden Glieder hat ?>a'e { {A'+ i'„) + cos sin u," cos ' sin {A'+'v.^) ' v., ' ] Klammer nimmt Da Ordnung Maximum ^: —3 Form: die v., sin (2v.j zwei an kann, so nicht übersteigen anderseits a' die Einheit m 2v., statt also ist das — dem das zweite Glied in im allgemeinen weniger wichtig z]}' das als der Glieder erster erste, solange e < — gegebenen Methode htt § Lib Iti rar y Verbesserung" der § p:/ /w ww bi od ive rsi t ist sin^l' mit Maximum ylib rar y.o rg/ rl Demnach + A') at offenbaren Einführung von bei ;w ww bi olo gie ze ntr um Die (2) c' schon mit Rücksicht auf div den Reihen in ers ity Methode anzustreben Man kann zunächst die Terme Ordnung der dritter Bio § dargelegten in He rita ge Die im vorigen Paragraphen erhaltenen Resultate legen es nahe, eine weitere Verbesserung der wieder als Ausgangspunkt einer Bahnbestimmungsmethode verwendet kann Gleichung Diese MA ); O rig ina lD ow nlo ad fro m Th e Zwischenzeiten eliminieren und findet so: bei gleichen Zwischenzeiten, schließlich verschwindet in c'" Man kann für e i= also trotz der Berücksichtigung des von der Exzentrizität unabhängigen tiv eZ Erwägung und Aphel und in c'" die r', ziehen ara in z}^ in wieder die Form (16) an und derTerm mit log für Perihel Vernachlässigung des zweiten Termes Termes •/ mb in y( Ca nimmt dieGleichung oo hier r'„ r" etc lassen sich die Reihen (2) bis auf sechste Potenzen der of Co Bei Unterdrückung der Glieder in mp Auch rid g e, werden of the Mu se u m Zwischenzeiten schreiben ^i , n ^ f 24r«/ Qrl \ ^+ -^)+z'.,\ 2rl 24r'J/ ' - V ^t \20riJ (23) ) ^ + ^-^ 120^ ßr^ rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary 2rl *n c' ergibt sich hieraus, indem wir gleich durch Đ = l^^^-\>3 dividieren: itis ed by the Ha rva rd Un ive Durch Elimination von Dig Diese Gleichung hätte auch direkt durch Betrachtung einer Kreisbahn mit werden können, was ja auf die Vernachlässigung (22) durch die Terme vierter Potenz in von r'.„ r" u (22) unter Wir betrachten n abgeleitet w hinausläuft Sie unterscheidet sich von würden wir durch Beibehalten derselben die verlieren, welche für (22) noch besteht Wir der Klammer Indessen zur Bestimmung von / so günstige Gleichungsform (16) können aber s dem Radius Beibehaltung seiner Form wesentlich verschärfen die Gleichung (24) für gleiche Zwischenzeiten Dann ist: ^^ = 8-j und d' ^^ 2^^ Bestimmung Die Terme vierter Ordnung den Klammern sind dann: in dt -1 — —— *t1 , 120^8 Wären 2dt^ und 15 r| \20rl — cd* Terme diese 653 Bahnen elliptischer unter sich gleich, alle B gleich z könnte so -, man diesem Falle die in Nun während ist und würde so eine dividieren -' durch die Elimination der Terme (22) (24) die in H Terme (22) analoge gleichen Zwischenreihen durch iH teilen eliminiert sind man so würde ließe, erhalten Ordnung aus den Reihen dritter Ordnung der Zwischenzeiten fünfter Form erhalten worden, Wenn sich also (24) bei hieraus schlien kưnnen, ww bi od ive rsi t diesem Falle (22) die Terme vierter und fünfter Ordnung aus (2) ylib rar y.o rg/ ganze Gleichung durch ;w ww bi olo gie ze ntr um at rl (2) eliminiert Nun hat, in wie gesagt, (22) + —^, wo htt dem Faktor aber (24) mit X eine später zu Lib rl V ^ , 6r^ 120r« rl Bio Th e ^ s 1 V J Qrl (25) m f 3 Qrl \20rl rl Qrl- wieder: ina man nun = d- »j, = 2d„ vierter Ordnung den beiden ersten Klammern: in mb Terme y( Ca so ergeben sich als rid g e, dg MA ); O rig Setzt lD ow * 3_ 6r^ r^ fro 3_3 120 r\ Qrl ad V nlo * div ers ity He rita ge man: erhält bestimmende Zahl bedeutet, so rar y man Multipliziert p:/ /w diese Eigenschaft nicht daß oo log d* der letzten Klammer: mp in 16** 16X&I 120 rl Qrl ibr ary of the Mu se u m of Co und Qrl ara tiv eZ 120r?, 4Xdt rL Durch Gleichsetzung beider Ausdrücke ergibt sich X =— die Glei- ay ty, Er ns tM chung: und wir schließen daraus, daß 16 ^n'Vl6 QJ r\\ df\} fr- i ^^^g^ *- hat, in Weglassung von dem itis F F Dig ein Restglied ed by the Ha rva rd Un ive rsi "^^ nimmt der Hauptterm die in z}^' und cY Bestimmungsgleichung für gleiche für Zwischenzeiten verschwindet Bei den Winkel am Planeten wieder die (16) an Denkschriften der mathem.-naturw Kl Bd LXXVIII 86 Form W Ebert, 654 Das Restg-lied F der Gleichung (26) der Ausdrücke für gleiche Bahnbestimmung zu Grunde F F^, legen, wollen wir untersuchen, dem Hauptterm ab, vierter aus denen sich i^ zusammensetzt Ordnung der Zwischenzeiten, Zwischenzeiten wegheben muß (24) von (26) abzieht, ergibt sich zunächst: Dig itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se u m of Co mp ara tiv eZ oo log y( Ca mb rid g e, MA ); O rig ina lD ow nlo ad fro m Th e Bio div ers ity He rita ge Lib rar y htt p:/ /w ww bi od ive rsi t ylib rar y.o rg/ Indem man welchen auf das Resultat haben kann Hierzu leiten wir zunächst analytische für die hauptsächlichsten Glieder Wir beginnen mit seine geometrische Bedeutung at Bevor wir Gleichung Einfluß die Vernachlässigung von und (26) der sich nach ;w ww bi olo gie ze ntr um § dem vorigen : 670 Ebcrf, TT: und Äquator §10 FormelzLisammenstellimgen für Ekliptik als Fundamental- ebenen Wir beginnen erhaltenen Formeln für die beiden Fundamentalebenen in übersichtlicher damit, die sich, um r 'i 1" sin er, sin Sonnenparallaxe (nach Gill die 'i ylib rar y.o rg/ 1" cos i> die Korrektionen sogleich in Einheiten der letzten 8''80) (86)> Uner Annahme dieses Dezimale zu erhalten: :t sin 1" in Dezimale [2.63005] ge sin 1" in Einheiten der siebenten rita 7i Lib rar y Wertes ergibt und die Ortssternzeit Breite, '£ /w die cos 1" cos p:/ 'f tl htt wo — sin §y ^ — n sin 8Z 3= — z sin §X ^ ww bi od ive rsi t anbringt: ;w ww bi olo gie ze ntr um at Weise zusammenzustellen Wir nehmen an, daß Parallaxe (und Sonnenbreiten, wenn man dieselben überhaupt berücksichtigen will) in den Grundlagen der Rechnung angebracht sind Für den Äquator kann dies geschehen, indem man an A', Y und Z die folgenden Korrektionen [1 63005] die geographische Breite verwenden, da für Planetenbahnen die Erde bei Anbringung Bio kann man Th e Statt f div ers ity He Einheiten der sechsten Dezimale fro m der Parallaxe als Kugel betrachtet werden kann ow nlo ad Für die eigentliche Bahnbestimmung ergeben sich auf Grund des Vorhergehenden folgende Formel- MA ); O rig ina lD zusammenstellungen: rid g e, Ekliptik y( Ca mb Grundlagen f^ \ ßj lg 7?, L, /, K ßo \gR, L., = = t, \, ò3 lg/?3 L3 =180+03 tiv eZ oo log 180+â! Dig itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se u m of Co mp ara 180+0, ed itis Dig by the rd rva Ha ty, rsi ive Un Er ns ibr ary rL ay tM of the se u Mu m of ara mp Co e, rid g mb y( Ca log oo tiv eZ ad nlo ow lD ina MA ); O rig m fro Th e ity ers div Bio ge rita He rar y Lib p:/ htt ww bi od ive rsi t /w ylib rar y.o rg/ ;w ww bi olo gie ze ntr um at Bc'sfiiiiiiiiiii^ elliptischer Hiiliiieii Cü W Ebcrt, 672 6) E =: — 3-2 -^2 sin //, cos '\i a" cos A" = E+G ^ a" sin A" =: Ä^ sin h^ sin cos C" //' Ha" = C" sin c"(R, sin = £— ^ A'g sin h.^ sin (P)3 ^ aus der Gleichung: — sin ^' /?" sin3(y+C'") -^2 s'" 8) _ ^ + (.V' />"') sinCx+tp) J?2 sin •/ F= -/ p:/ /w sm l' sin ylib rar y.o rg/ i>" ww bi od ive rsi t Bestimmung von ;w ww bi olo gie ze ntr um at 5" =1 C"-A" y htt X, = rar y 7i l-F Lib + V0„ He rita ge Probe: div ers ity 7) Bio =3i^i+33^3 + p2sin//, fro m Th e äs Dig itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se u m of Co mp ara tiv eZ oo log y( Ca mb rid g e, MA ); O rig ina lD ow nlo ad Ekliptik (jj i^ "3^3 i—V' n -]; rd rva Ha ty, rsi ive Un Er ns ibr ary rL ay tM of the se u Mu m of ara mp Co e, rid g mb y( Ca log oo tiv eZ ad nlo ow lD ina MA ); O rig m fro Th e ity ers div Bio ge rita He rar y Lib p:/ htt ww bi od ive rsi t /w ylib rar y.o rg/ ;w ww bi olo gie ze ntr um at l\ the cos by i\ ed 1) itis Dig Bcstitnmnug cUiptiscIur Biiliiicii 673 Ekliptik Äquator cos (!^—Lj) — W Ebcrt, 674 11.^ sin 7/., / cos l\ sin (/^ / cos b.^ sin (/^ / cos b., sin (/g cos ftj cos 7^2 cos /fg — ß) =: sin ^^ cosec — ß) = sin cosec — =i sin b^ cosec fcg il) / ^j (/j Sl) (/j == cos cos Z'g (/g ft) Äquator cos 14 a) cos ßg cos 0, 8., ge = 76128] [7 p li" k" {tl-~i\) = [3 ad = 550 0066], Ti- ow t" nlo 15)^' fro m Th e Bio div ers ity 6-p rita = He A(' 14) alle drei Indices: Lib Für rar y htt p:/ /w ßi ww bi od ive rsi t [P3] [P,] cos Kontrollen i ^ cos cos = cos b^ cos — ß) Ekliptik 14a) / at sin = sec = sec = sec ;w ww bi olo gie ze ntr um sin »j ' ylib rar y.o rg/ 13) — , , _ sin(M3-nJ (^i^3)* sin T^F mb rid g e, \/P MA ); O rig ina lD (n^s) mp ara tiv eZ oo log y( Ca o,=i^-i, e cos f j = Oj, Oj cos (»3 e sin V, sin («g Jlj) Og — u^) ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se u m of Co ''s Ha rva rd Un Kontrolle: cos fg = Og, Dig itis ed by the e Da iij, », und Hg sin 'f = 4> e, ^ ÜO — !f a =z p sec- 'f, ^2 die Grundlage für das ganze Folgende bilden, so empfiehlt es sieh, als Kontrolle ihre Sinus und Kosinus getrennt zu berechnen W" wird zunächst in Bogensekunden gefunden und muß in ganz grober Annäherung mit (»3 könnte übrigens ohne Nachteil die Formel für \/p auf die beiden Teilintervalle anwenden Der Winkel Man 11 1) übereinstimmen — Bestiuuunng elliptischer Bahnen 675 16) ^iw alle drei Orte; sin —-= —E l — := sin v/r S/r ^ V2i/ cos— cos E 2 \/2a sin 2 ;w ww bi olo gie ze ntr um at 7l/=£— e"sin£i — M+n" {Ep—f') M{E,) Schlußkontrolle Die Darstellung des mittleren Ortes wird einerseits durch die Übereinstimmung der drei auf dieselbe reduzierten, mittleren Anomalien garantiert Ferner durch die Kontrolle tg muß der in (16) gefundeneWert von nahezu mit denen aus(8) und r.^ man Bei Benutzung des Äquators als Fundamentalebene kann aus folgenden Foimeln berechnen: Ix + i\) cos 4'+ iV - {v., + sec He ity + ers (.4' {^~ !'.,) div sin t:^ den anderen Koordinatenrichtungen ) Th e (Siehe Klinkerfues, Theoretische Astronomie, m in /w htt rar y rj -r^ (87) Bio = a' x.y Ann., Gauss'schen Konstanten mit Vor- cosec (i;.,-i ww bi od ive rsi t und und z.^ Klammern in (90) vollständig bei und beschränken uns mit den Verhältnissen der Zwischenzeiten in der Kepler'schen Verbindung zu setzen Diese aber sind gegeben durch der ersten Hypothese gefunden werden Wir setzen die mittleren Anomalien, die Bewegung am Schluß rar y P^P'!,F.^ in /w (Cj) (88) p:/ von in htt man Führt V, A^ — -^ [A3 Ml i (91) 71/3-^1 ers , He ? 71/3- ity -^ [J-, [j-i und man bestimmt, so setzt [j.j in zweiter Hypothese: ad fro m Sind so Th e Bio div = Vi A^ rita ge Lib also: = — u,, =- rli ' ' ^^2^ v' , f—f = - [j rid g e, v; f—f - r:; i MA ); O rig ina - = nA^3und won' lD ow nlo n' '1 — '•i ' ^1 und In der /" die reduzierten Beobachtungszeiten log /!] zweiten Hypothese treten also einfach die Grưßen oo /", Vj, v^ und II' an die Stelle von v^ Vg und FI, tiv eZ WO y( Ca mb ':i Formel \Jp bedarf für Verbesserung, einer Co die die aus der ersten Hypothese abgeleitet of Auch mp ara alles übrige bleibt erhalten Mu se u m werden kann in erster ty, P Hypothese gleich Eins rsi also ist ive wo Er ns tM ay rL ibr ary of the Wir setzen veiallgemeinernd: nun aber P leicht zu bestimmen rva P'!^ Ha von Pj über nach zu gelangen, braucht der Planet die P.^ Zeit: Dig itis ed by the Um ist rd Un Auf Grund der am Schluß der Rechnung erhaltenen Resultate P multipliziert, in obige P'ormel eingesetzt werden müssen man P = gesetzt und statt — /" die Differenz der reduzierten Diese Grưße hätte, mit Statt zeiten dessen hat genommen Hieraus /jj resultiert für die zweite ^ ' P =/"-/? *3 Beobachtungs- Hypothese: oder: (tf-/?) P= (/o^/») 1^^^J_ ^ ' : : (94) Bestiniiunug elliptischer Baluicii Formeln zur Vorbereitung der zweiten Hypothese: (Schlußrechnung) r^ N: (Regula (r^) \ o i [h 1/j, M., und 1/3 M,-M, aus der Schlußrechnung der ersten Hypothese zu entnehmen sind: H t" —f 1^1 '2 t"—t" /!,', und /" die reduzierten = UN\ ylib rar y.o rg/ /',', '1 Ih ' n' WO V M.—M, ;w ww bi olo gie ze ntr um wo falsi) at hat also folgende Beobachtungszeiten der ersten Hypothese sind ww bi od ive rsi t Man GSl M.^^^-^^A -0 ,0 Bei Berechnung des Parameters u s w an Stelle von dritter \\, Vg und IT Beobachtung mit rita ge ist T^^ die Zwischenzeit zwischen erster und Bahnbestimmung zwei Hypothesen wähle ich das von Tietjcn im Berliner in div Als Beispiel für die ity He zu multiplizieren ers P in F, G, T,, rar y VgUndll' treten also bei der zweiten Hypothese Lib Vj, htt p:/ /w (fl ad fro m Th e Bio Jahrbuche 1887 gegebene Vanadisbeispiel Die Grundlagen der Rechnung sind: Dig itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se u m of Co mp ara tiv eZ oo log y( Ca mb rid g e, MA ); O rig ina lD ow nlo 1S84 August 682 Ii: Ebevt, Erste Hypothese 13 X • • 0.611 9708 33'.'54 44.90 36 11.36 31 54.99 33 39.89 13 0.374 9802 0.167 8961 p:/ ?2 • • • • 8.145 6587 V 9.999 9658 V -'s 0.612 4925 ;w ww bi olo gie ze ntr um 3° 25' 0.002 2000 • 2056,, at r., ^1 8.156 • V 8.156 3968,, ylib rar y.o rg/ 8) 8.733 0583,, /w 7) {V 8.733 0365,, htt B" 0.036 174 276 rar y C 0.036 167 796 Lib A" 0.050 133 723 ge h" 0.003 852 309 rita c" Zweite Hypothese 0.003 849 593 He a" — — — ww bi od ive rsi t num G num E num E ity 6) 32'.'92 13 5.92 36 33.00 32 2.04 34 7.96 13 0.374 7354 0.167 4902 8.146 7018 9.999 9657 0.002 2053 9.795 1259 Bio div ers 9.795 1282 3° 25' Th e 9.593 5041 0.167 4627 m fro [p,] ad — 15° 54' ^sh MA ); O rig 0.374 9803 0.374 7354 8.758 8174 8.757 1393 tg^ rid g 8.678 0306 8.380 9476,, 8.380 2513,, 8.514 4305,, 8.514 6508,, mb 8.676 8550 ''1 • • /, /^ 0.386 1752 358 2825 0.385 1953 0.358 9230 tM ay Sl ty, Er ns 7^1 • • »3 • • • p, P3 • rsi »2 38'.'08 335° 55' 32'/94 358 30.46 358 58.24 19.31 114 56 54.51 115 52.89 220 59 52.14 220 46 48.92 229 52.58 228 57 22-73 243 31.84 242 51 11.21 Ha the ed by • A/j itis 14) num num num num num num Dig 14cO rva rd Un ive 13) 335° 55' of ibr ary i rL 12) the Mu se u m of Co mp • r., ara tiv eZ oo log 11) 7652,, y( Ca G3 8.442 53'.'34 e, G, 9263,, 15° 53' ina lD 8.442 0.167 0568 • ''2 10) 21'.'32 ow l-i nlo 9) 9.593 8191 A/j A/g 0.153 5886 0.151 9128 0.273 2273 0.274 0879 0.00822 0.00819 0.00850 0.00849 0.01083 0.01085 t\ 27.51859 27.51862 ^2 57.44381 57.44382 /g 105.29345 105.29343 55 Bestimmung s/-p O, 0, 5.4408116 21° 21° 12' 11' 36'.'14 0.203 6387 0.202 6308 8.697 1369 8.674 7546 9.077 0942 9.051 5334 9.303 1847 67 29 27.15 i'3 53 32 47.89 11 35 42.49 4> 78 24 17.51 « 0.425 1868 u" 2.912 2264 26 23.97 10 53 46.34 79 13.66 p:/ htt rar y Lib 0.165 0343 ers div * — Bio cos 53 ge 0.163 8682 0.252 3639 0.248 1285 Th e /- 12.45 2.9184106 rita — V^ a 20 0.421 0640 He sin 67 ity \/2a /w ^2 'P 75° 30' 46'^26 27'.'59 ylib rar y.o rg/ 75° 39' i'i 9.276 5317 ww bi od ive rsi t c 14'.'86 at W Zweite Hypothese 5.440 8458 ;w ww bi olo gie ze ntr um t" 683 Hypothese Erste 15) Bahnen elliptischer fro m ad 296° 19'.'73 17' nlo 296° 39' CO ow 16) 35" 18 r., 0.375 0832 0.374 7280 ^3 0.358 2826 0.358 9230 ^> 64° 41' 4-3'f94 E, 57 10 21.04 57 37 56.16 44 44 17.10 45 51.88 54 17 3.74 55 22 24.23 47 29 43.49 48 29 3.78 36 37 56.09 37 28 10.56 54 17 18.93 55 22 39-66 54 17 27.82 55 22 38.98 54 17 13.97 55 22 39.94 Co 65° 12' 2Q"38 se u Mu ibr ary of M, the M, m of M, mp ara tiv eZ oo y( Ca mb rid g e, MA ); O rig ina lD 0.386 1754 log 0.385 1952 Tj tM ay rL M hat rva Ha Hypothese auf the ersten die zweite in extenso ich noch (r.j) (Schlußrechnung) 0.375 0832 (r,) (Regula 0.374 9803 falsi) die kurze Nach Abschluß der by man: zu vervollständigen, gebe ed nung von der Zusammenstellung itis diese Dig Um rd Un ive rsi ty, Er ns Auoust 27.5 N 0.000 1029 \g{M^—Mj' 4.803 0995 n" 2.912 2264 Übergangsrech- ersten Hypothese W 684 Ell er t 789 0460 il—t1 1.476 0374 4.592 2589 [i^-.iil-i'l) 8.109 4452 \g{M^—MJ' 9.585 1877 Vg 9.789 0290 lg 4.388 1057 (Afg— M,)" 5.196 7871 N {M.^—MJ' 4.803 2024 A'3 5.197 0820 n 9.999 9895 n' (M,,— Mj)" ti,, tl—t1 /!;-/'; 0.000 2844 (JL3 1.679 8787 [jii:(/«-0 8.109 1503 1.890 8392 (Mg— Ml)":«" 1.890 8731 P 9.999 9661 vom Logarithmus hat also bei Berechnung von y/;» rita lg r^ aus der Regula ers ity die Differenz div und der Schlußrechnung zirka 1000 Einheiten der siebenten Dezimale, auf dieselbe Epoche reduziert, beträgt in m M^ und Th e mit entgegengesetztem Vorzeichen zweiten 74 Einheiten fro M.^, der ersten Hypothese ad Die Differenz von in der Bio falsi zwischen den beiden Werten von He Hypothese beträgt Ein- ge heiten der siebenten Dezimale abzuziehen In der ersten der reduzierten Zwischenzeit 339 Lib Man rar y htt p:/ /»— /« 9.270 9080 ylib rar y.o rg/ 1.890 8392 ww bi od ive rsi t : 9.270 5993 /w Vg 0.000 3087 ;w ww bi olo gie ze ntr um Vi:(7li3-M,)" at 9.585 4826 ow nlo zirka 14", in der zweiten zirka 1"0 mit entgegengesetztem Vorzeichen MA ); O rig Betrages herabgesunken Rechnung könnten die rid g e, Bei sechstelliger Da wir aber siebenstellig gerechnet haben, so wäre, streng y( Ca erforderlich log Hypothese eine dritte Residua der zweiten Hypothese zur Not auf das Konto der mb Unsicherheit der Rechnung 'gesetzt werden genommen, noch 14 Teil ihres ina lD Die Fehler sind also infolge der Rechnung der zweiten Hypothese zirka auf den schwierige und durchaus ungünstige Beispiel, daß bei Anwendung tiv eZ oo Jedenfalls zeigt aber dieses zwei Monate erstrecken mp als zirka Co mehr ara meiner Methode zwei Annäherungen stets genügen dürften, wenn sich die Beobachtungen nicht über ich dieselbe überhaupt kaum anwenden, dann nach § jede weil se u m of Über diese Grenze hinaus würde Mu Hoffnung aufhört, mit einer Näherung auszukommen vonTietjen im the nun noch die Berliner Jahrbuch 1887 gefundenen Elemente den Resultaten of Ich stelle ibr ary zum Vergleich gegenüber ay rL unserer beiden Hypothesen August 1884, 27.5 Erste Hypothese Zweite Hypothese Tietjen rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM Epoche 296 18 32.0 52.89 115 q 7.7 19-31 18.2 53 46-34 10 56 II o"47 296 39 19.73 296 17 114 5Ö 54-51 "5 58.24 35 42-49 10 ed by 35-'S 37 Dig itis 24'.' 304 817.00S1 ]ga 304° 41 305° 42' 39''7Ö the Ha M 0.425 i8(>8 S28.7253 0.421 0640 I 828.0021 0.421 317 ... angeben, sondern auch hat, die div Glieder, Form zu machen und Bio ist unter irgend welcher Lib bestimmung nur auf dann Annahme der Erde keinerlei htt p:/ /w aus der Bewegung des Planeten oder der Erde... entsprechen dürfte Der Einfluß eines Gliedes ändert sich Umstand, auf den wohl zuerst Herr Prof sehr, je Weiss in nach der Entfernung des Planetoiden von der Sonne, ein der in der Einleitung zitierten... in z'., Bestimmung In der Tat, nung der das äußerste ellipUscher Bahnen Maximum, das erreichen kann, c^ 651 bis auf Glieder ist von der Grưßenord- Exzentrizität: ->-.-• Anderseits (18.) ist:
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