Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 45-2-0373-0385

13 0 0
  • Loading ...
1/13 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 04/11/2018, 17:20

en tru m at 373 olo gie z ÜBER ylib rar y.o rg/ ;w ww bi EINE CLASSE VON ABEL'SCHEN GLEICHUNGEN ww bi od iv ers it VON WIEN DER SITZUNG DER MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM IN 16 MÄRZ 1S82 ow nlo ad f rom Th eB iod VORGELEGT ive rsi ty He rita ge L ibr ary htt IN p:/ TECHNISCHEN HOCHSCHULE K K /w D« B IGEL, DOCENT AN DER Wurzeln mit und z^ s^ bezeichnet ij = ii.m ist, unter diesen folgender A) ,23 (a,) =0(ä„+i) Zusammenhang statt- =0 , (sj) • :=0(s„ + v) 2„+3 • • s« .« „ =0 (s«_i = («.„_,) ) man das Kriterium, vermittelst dessen Man of C vermisst om pa rat ive Zo olo gy (C Zn+2 rid =0 Sjj ge ,M : am b findet z^, ;O ihre rig ina lD Studium der Abel 'sehen Gleieliuugeu, welche durch die Eigenschaft charakterisirt sind, dass, wenn JJeini •mau ist einer gegebenen Gleichung beurtheilen könnte, ob daher geneigt anzunehmen, dass es ausser den von sie Abel eu m die genannte Eigenschaft hat oder nicht man an dies umsomchr, als mau solche Gleichungen nicht bilden the und kann und auf sie nirgends geführt wird of gibt, Mu s behandelten und den mit den binomischen Gleichungen zusaninienliängenden keine solchen Gleichungen mehr Lib r ary In noch viel höherem Grade scheint dies der Fall zu sein bei einer anderen Classe von Gleichungen, deren ns tM ay r sämmtliche Wurzeln rational durch eine von ihnen ausgedrückt werden und 0, und zwar so, dass, wenn {z) ive rsi ty, Er {z) sollen, ard Un zwei Wurzeln derselben sind, die Beziehung bestehen Ha rv 00,(^) Interesse, genannten Eigenschaften auftreten, und in welchem die Fall geführt wird, in Dig i lung eines solchen Falles ist welchem Gleichungen mit den wahre Natur der Gleichungen tis ed = 0,0(.) wenn man auf einen by the Es gewinnt daher an solle nun der Gegenstand des folgenden Aufsatzes hervortritt Die Beiiaud- 374 B Igel ohne gemeiuschaftlicben Theiler gegeben Wir setzen für die Folge fest, dass die Wurzeln der Gleichungen bezüglich durch folgende Buchstaben bezeichnet werden 6, c, i «, (3, 7, en tru m n, at ^ z nun die Aufgabe, diejenigen Werthe von Stellen wir uns olo gie z zu bestimmen, für welclie die beiden Gleirg/ ;w ww bi a, b , c, Ä ww bi od iv ers it ylib rar y.o chungen x aus diesen Gleichungen eliminiren, eine Gleichung in X ibr ary htt p:/ /w zugleich bestehen, so finden wir, indem wir wo Werthe von Da die Gleichung 2) oifeubar vom und demgemäss die n Gleichungen Ä He rita so erhalten wir n Th eB iod ive rsi ty ist, ge L wir unter diesem Symbole die Resultante der Gleichungen 1) vorstellen wten Grade in Ä ferner die Wurzeln der Gleichung 2), rom den folgenden Verhältnissen gleich sind resp (C am b rid ge ,M A) Da hat rig ina lD denen jede eine gemeinschaftliche Wurzel mit /',^0 ;O A'on + A,,/3(.r)==0, ow nlo ad f (/,(«;) kann die Gleichung 2) als diejenige Gleichung aufgefasst Wurzchi der Gleichung Setzt mau werden, deren Wurzeln rationale Functionen der den Gleichungen 3) die X-Werthe aus 4) in ein, so dass sie eu m sind Form annehmen: l./2H./3K)-/2i«)./3(-^-) =^ ary of the Mu s die /', =" of C so om pa rat ive Zo olo gy \ Er ns tM ay r Lib r 5) nebst der mit ive rsi ty, SO hat jede dieser Gleichungen Es entsprechen ard ist gemeinschaftlichen Wurzel noch u die mit ihr durch eine Gleichung verknüpft sind Ha rv — Werthe, Un denen eine jede eine Function jener Wurzel n =0 /', Dass the by ed erörtert f^ = Wurzel rational durch jede der ist klar, und ich werde nachher werden, welche algebraische Bedingungen erfüllt Dig i tis Frage Wurzeln, von demnach jeder Wurzel von sich jene mit ihr durch eine Gleichung verknüpften Wurzeln ausdrücken lassen müsse, zeigen, wie dies geschieht Vorerst soll die —1 werden müssen, wenn die Relation /»(«) statt haben soll Es ist offenbar die nothwendige zusammenfallende Wurzeln denen eine Gleichung y= hat /3(*) und hinreichende Bedingung, dass die Gleichung 2) zwei Die Anzahl der Gleichungen 3) redueirt ein rationales Ä enthält Diese ist also sicli in diesem Falle auf «—1, von eine rationale ganze Function zwei gemeinschaftliche Wurzeln In diesem Falle muss f\ (x) nothwendig reducibel sein und hat mit Wenn man über eine Classe von Abel '^chen Gleichungen aber/j(x) cliung 2) als irreducibel voraussetzt, so 37 muss man im Falle zweier zusaramenfalleuden Wurzeln der Glei nothweudig schliessen, dass diese mindestens noch ein Paar zusammenfallender Wurzeln haben Jzip) en tru m at müsse, dass also die Relationen stattfinden: olo gie z fzV)- vom Grade — ers it darstellen Sei diese Function bezeichnet, so wird unter der erwähnten Voraussetzung die Gleicliung bestehen — («) = ih) man so erhält statt a, eine Gleichung, die eine Wurzel mit der Gleichung ibr ary Gleichung x in diese ge L man Setzt htt p:/ /w (6) ed die tis demnach "ZA.R, Dig i hat ^ 0, d h Cime jede mit ~ ^^ ' Bekanntlich Doppcl- und Rückkehr- = als Ä, 1, /j., v und fx /w Da nun ist die eindeutige Transformation das Geschlecht der Curve nicht ^^ = ^'2/2 -f- ^if-i = vom Geschlechte aus dem Systeme p Die Gleichung der Curve ) man erhält Diese Kesultante culhält die Grửssen ô, v nur den Verbindungen eine Form man ge ,M ist wten Grades der letztern Ersetzt dieselben durch /', , /j, /!j, so entsteht die Gleichung rid und A) ;O rig ina lD ow nlo ad f in *' Th eB iod -^ rom «'i./'i ive rsi ty He rita Ä, ist ge L ändert, so folgt daraus, dass die Curve 1) bekanntlich durcli Elimination von x Functionen von es ist also dieses die Gleichung der transformirten Curve, d h dieselbe ist; p^O Dass umgekehrt die p:/ eine Gerade, bei welcher = sind htt ist v ibr ary betrachten, bei welchen ww bi od iv als Coordinaten eines Punktes der trausformirten Curve an, so können wir die V /; einsehen Sehen wir nämlich ers it 1) und X rar y.o Curve wo f\, f-i, f-^ ganze homogene Functionen ?(ter Ordnung von vom Geschlechte p ist, kann man folgendermassen leicht ylib bringen, rg/ ;w ww bi olo gie z en tru m at punkten durch eindeutige Transformation auf die Form welche die Gleichung der Cur\e Zo olo gy (C am b wten Grades — Die Resultante 2) in § wird offenbar auch aus den Gleichungen daraus folgt, dass sie auch aus der Resultante ^(/i./j/s) = erhalten \\ird, wenn man Der Ausdruck, den man wenn man tM ns in ive rsi der restliche Ausdruck von Un mau = in der Resultante 2) in § § , wenn man ist, folglich stellt jede dieser X tis Dig i Man vergl Salmou, f\) = Dcnksciu'iriuii der maüiutii.-iialurw Cl setzt, so stellt sie den Producten der /;w = ¥.(>') /; (Ä) = kf, (X') Nun ist , Clebsch, Über diejeuigcn ebenen (Kur- Crelle'.s Journal, Bd G3 und Tlieorie der Abel'sclien p 07 XLV.Ud eben die Gleichungen bestehen: Geoinvtiii' clor hölieren eliencn f'iuven, p 3.5; ferner Gordau, = :f^, so besteht sie offenbar aus ==/2 ven, (leren Coordinaten nitionalo Fiiuetionen eines Taranicters sind Functionen von Cleliscii um) /', Gleichungen eine solche Verbindungslinie dar bekannt, dass für einen Doppelpunkt der Curve F(f\f^ ' in dieser mit den Punkten, in welchen F(/\f^f^)=^0 die Seite /',^0 ed in the Setzt Gleichungen 3) by schneidet Pifyf^f^ yj^O,yjj Ha rv ard die Verbindungslinien des Punktes Ecke des denen diese Coordinate die Curve schneidet, dar; und da die Resul- ty, Er Fundamentaldreiecks mit den Punkten, § ihr der Gleichung einer Curve eine trimetrische Coordinate in ay r Lib r erhält, gleich Null setzt, stellt bekanntlich die Verbindungslinien der dieser Coordinate gegenüberliegenden tante 2) in in of setzt ary /, =0 the erhalten, Mu s eu m of C om pa rat ive ist Al>h;uidUingeri von Niclitiiiilirlievlürn vv 378 B Igel folglich bedeuteu die Glcicliungcn ic, = Der Satz liegt in § kann en tru m gesprochen werden rg/ ;w ww bi olo gie z Satz Wenn und ein Doppelpunkt der Curve auf der Seite /j (A) irreducibel ist = liegt, so sind alle ylib die Resultante ww bi od iv ers it man u^, rar y.o Durchsehnittspunkte dieser Seite mit der Curve Doppelpunkte Bildet folgendermassen aus- jetzt at dass ein Doppelpunkt der Curve auf der Seite es p:/ htt ibr ary ge L möglich dass sie ebenfalls ein vollständiges Quadrat sei, wenn ist, -^^ !/i > /2 "•" {/s Ordnung nur im Allgemeinen unmưglich Doppelpunkte haben kann, es nicht möglich drei noch zwei Doppelpunkte liegen Wir wollen wären vollständige Quadrate, =4 , da die dass auf der Seite x^^O iod wenigstens für n führt, dass es ive rsi ty algebraischen Standpunkte betrachtet, könnte es mưglich scheinen, während die geome- Anschauung darauf Curve vierter «', Th eB Vom = ist, ist, weil rom trische ist ,/i(^)-t-\/3(^-) He rita kann man fragen, ob =U nun auch algebraisch zeigen Gesetzt, die beiden Resultanten es ow nlo ad f SO ein solches f^{x) /w von den Gleichungen würden folgende Gleichungen bestehen rid ge ,M A) ;O rig ina lD so = gy (C am b A(«)/3(/)-/2(/),/3(«) Zo olo /,(«)/3a')-/,(t)/3W==o = /;(8)/3G))-/,Gi)/3(9) = o wenn man nach den Coefficienten von die Gleichungen the oder, Mu s eu m of C om pa rat ive ^.(c)/3(b)-/i(b)/3(c) entwickelt, die iblgenden: /], of =ư + («) —A * {d) = ^0 \fi (0 -A (d) c + [f, {c)d"-' -f, {d)c>-' + + c„ {/, (c) -./, ^oly;(0/"-/a(/)^1 + cj./, (e)/"-' -/•(/>"-' K + c„ j/^(,)_/;(/)S =0 ^" "\ -^ ary -Ai^ ) "1 ^1 Lib r " f> ay r \A («) \A («) 6"-' —A (b) «"- I ' -^ '^'^ !,/2 ( ) c, ! j S ard Un ive rsi ty, Er ns tM c« the Ha rv ^ol/,(Ob''-/,(b)c"S+cj/;(c)b«-'-/;(t))c''-'S-t f-c„!/,(c)-/,(b)|=o, by man würde dann im Allgemeinen eine hinreichende Anzahl von Gleichungen haben, um die Cocfticientcn tis ed d h Dig i von/, zu bestimmen, durch die Wurzeln von/j und/^, so dass /j eine ganz bestimmte, im Allgemeinen nicht rationale Function sein wird § Der soeben gegebene Beweis wird unabhängig ist wenn das System von Gleichungen illusorisch, In einem solchen Falle könnten möglicherweise alle drei Resultanten ^ {A , /« + Vs i^ ' \A > A+ '^A, \ , ülAs, A + ¥z nicht von einander über eine Classe vollständige Quiidrate nicht verschiedene In der That sein ein soleher Fall tritt = Punkte der Curve F{f\f^f^ Werthe jenes Verhältnisses gehören rere AheV sehen Gleichungen ^,'o?^ ein, 37^ wenn verschiedenen Werthen von /:^ entsprechen, sondern zu jedem Punkte der Curve meh- Dieser Fall wird bekanntlich dadurch charakterisirt, dass die ' den grösstcn gemeinschaftlichen Divisor : so herstellen lasse, dass deren \x Nehmen chen en tru m rar y.o Werthe und die Puukte der Curve wir nun au, dass diese Function der Quotient u:v sei, 'k:\) Xfjt, 'i' \i! bestehen, die durch aber bekannt, dass sich stets eine rationale Function sich gegenseitig eindeutig entspre- wo u und zum Werthpaare bedeuten, so lassen sich die Coordinaten des \:\) v zwei Functionen Trten gehörigen Curvenpunktes htt Grades von ist sagt in diesem ylib -f-IÄij., verknüpft sind Xuii § ers it Ä = /w von eine Folge dieser drei Gleichungen, welche für alle ist X'|ui.') p:/ die Gleichung ww bi od iv Falle nichts Neues und = = haben Das Gleichungssystem in '''\>^) ^'C''!^; (^>')./3 Q'V) /• (X' /a')./3 (A ,''A /; (>''/^-')./2 -./; Q' !^').fs Q^v-) == (^ = f^) d h es ist Bemerkenswerth ist Erinnert ^^'){xt, ") (.r Q (x {x- Q {x — Q [Q) — (x - iO) /w )) {x- (^, iL)) p:/ — — (t, (-) (-) c, ( ')) " htt (x (.r tr;:) dieser Fall noch dadurch, dass die rationale Function ()(£) ist mau sich an die Bildung von 0(^), so i'ür alle drei Gleichungen folgt leicht folgende Relation: rig ina lD ow nlo ad f rom Th eB dieselbe ) He rita i\ f, ibr ary = (x ix) = {x — {x) = (x - /j (x) f\ ers it Abel'sche, /!j ive rsi ty /2 ge L = 0, = 0, = zweiten Grade haben, so sind die Gleichungen iod /, vom ä',u.') •P(aij.] ww bi od iv den grössten gemeinschaftlichen Divisor ylib rar y.o /; (>' [>).f-, (^' 1^') stehen, dass die Gleichungen olo gie z die Functionen f^j\f-,^ in rg/ ;w ww bi Wenn en tru m at Satz '"l/i-i-f'if" ;O k) ge ,M A) eine unbestimmte Grösse bedeutet bewiesen werden gy sollen jetzt folgende Sätze Satz om pa rat ive Zo olo Es (C am b rid §4 = o, of C Sind die drei Gleichungen /, = o, f, =Q of durch die Wurzel einer jeden anderen ausdrücken Lib r ary ilinen rational auseinandergesetzten Beschaffenheit, so lassen sich die Wurzeln einer jeden von § the von der im Satze Mu s eu m y; ns tM ay r Satz ive rsi Functionen ausdrücken, und zwar in der Weise, dass, wenn Un als rationale ty, Er Unter derselben Voraussetzung lassen sich die Wurzeln jeder Gleichung durch irgend eine derselben und (-1, mau irgend zwei solche ratio- bezeichnet, die Relation besteht Ha rv ard nale Functionen mit the (-J Hj = Wj y by ed Es bestehen nämlich tis A = = = = diesem Falle folgende Gleichungen: in Dig i wo X ^0 \A & -A ^"' ''o lU («) ^-0 \A i/o ^0 l/t ('1 ) * " * " ^ " -A —A -A (^0 4" i^ (/ ) + I "" ) (.^ ) ^'1 '^ " S -^ ^ ^- c, ^'i ^'i i^t) r«-' -f, \A (» * "-' -A \f, 1/2 ^1 Ifi (^^1 «,^1 ('' —A CO ""' —A (.^' ^«-' ) -fI ) «"'"' ''"^' ^' ) {t') K+ ^'""' j n "^' -H I ++ -^ + c, \j\ (t) -f, (t') ^" \A -A ^^> (") ) I c„ {/, (Ä) -/, (Ol ^« l/i —A (n (^' ) ) S von AheVsche7i Gleichungen C/6er eine Classe abhängig sind und schon aus der ersten folgen Es verschwindet also folgende Deter- wclclic von ein.'uider : A («) ^" -A l*) «" A (") ^'"^' —/2 (M «"-' ; so l)eliebig, zusammenhängen; die ;;^-l Ilnterdetenninanten -/; ) 1)" "-' (t,) /; , at ••/aW-./.CO /; (^) n"-' -/, (i ) ••/.(") [)"-' en tru m — -/IG') olo gie z , i") t'"^' i (i es auch ist müssen es " i A
- Xem thêm -

Xem thêm: Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 45-2-0373-0385, Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 45-2-0373-0385

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay