at bio log iez en tru m ZUR rar y.o rg/ ;w ww THEORIE DER LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN D r G ww bi od ive rsi t ylib VON ESCHERICH, v VORGELEGT DER SITZUNG AM 15 MAI 1885 Appell ad fro m Th eB iod ive rsi ty IN He rita ge Lib rar yh ttp ://w CORRESPONDIRENPEM MITGLIEDS DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN ohne Beweis einen Satz über ganze Func- Tast zur selben Zeit als Herr tionen, gebildet aus den particulären Integralen einer homogenen linearen Differentialgleichung veröffent- nlo ina lD ow ' Bedeutung haben, wie Potenzsummen ;O in der Theorie der symmetrischen Functionen der Wurzeln einer in Appell geführt, der sich als die einer selbstverständ- gy Unkehrung lineare Gleichungen beschränkt darstellt Von den grössere Aufmerksamkeit zugewandt: die der Satz zulässt, habe ich nur einer vielen Den Deter- mp a rat Anwendungen, homogene nicht allein auf den folgenden Blättern zeige, Zo Bemerkung und ive lichen in (C geradezu von selbst auf den Satz des Herrn ich am bri Von diesen Determinanten wird man, wie olo algebraischen Gleichung dg e, die der Theorie der linearen Differentialgleichung dieselbe rig erwähnte ich gewisse Determinanten, welche MA ) lichte, den Coinptes reudus iu Co minanten, welche die nothwendige und hinreichende Bedingung ausdrücken, damit eine nach den Elementen homogenen linearen Differentialgleichung ganze Function se u m of eines Fundamentalsystems particulärer Integrale einer Mu mit constanten Coefficieuten Null oder einer ganzen Function der Unabhängigen gleich ist Die Wichtigkeit ist von selbst klar of the derselben für die Frage nach den algebraisch integrirbaren linearen Differentialgleichungen ary bei den linearen Differentialgleichungen der dritten Ordnung in volles Licht gesetzt ay rL ibr und wurde von Fuchs Formen weiter Er ns tM Einer späteren Gelegenheit behalte ich es vor, die hier gegebeuen Grundlinien der Theorie dieser ive rsi t y, auszuführen rva rd Un I als the Ha Die nachfolgenden Entwickelungen beruhen auf einer Bemerkung, die sich in zwei früheren Arbeiten Dig zeigte sich, dass: itis ed by unmittelbare Consequenz der Formeln für die Resultante zweier linearen Differentialgleichungen ergab wenn yi; yt - yK linear unabhängige particuläre Integrale der Differentialgleichung yW + a, yC»— XC Comptes rendus, Bd - Denkschriften dieser Akademie, Bd Acta mathematica, Bd + und XCI II Denkschriften der mathem.-naturw *) Cl LI Bd XLVI und XLVII + a„y = U Es G .sind, Esclt j? i/r '; i y, • f) -y- ; i angehưrige Determinante (« Grades, wenn -f l)ten iod ive rsi ty He ri y^i;yS+i tag eL ibr ary htt p:/ ; /w ww bi od ive rsi tyl ibr a "'''"' Product aus e~J als ein deren Differentialquotienten ganze Function sich yn bio wten u /; w ww entnommenen Determinante // en tru y^; u'r ] log iez yP; y'r' y2 //,, !.'/ Cằ-0 rom cô ô// linearunabhängige Integrale der linearen i + ff nlo a df y f //, Th eB Differentialgleichung: Bemerkung und die auch etwas verborgenere Bildung der der Determinante ganzen Function sollen zunächst unabhängig vom Begriffe der Resultante zweier linearen MA ); O äquivalenten rig ina Diese, übrigens naheliegende lD ow sind dg e, Differentialgleichungen hergeleitet werden Beide ergeben sich aus der Betrachtung gewisser allgemeinerer y( Ca mb ri Determinanten, die durch Specialisirung der in ihnen enthalteneu Grössen eine sehr weitgehende Verwendung eZ oo log gestatten Functionen der Variablen seien bs b„ y, ij" y', und mit diesen Grössen sollen of , durch das folgende System von Gleichungen zusammenhängen: c„ m x2 us eu as,, • + cii„x„ + b = x a,,x,+a '21 22'x,+ M +ô!ằôằ + &, = a*iz, +ff„ '', + -"„,.'„ +b — n Un ive rsi ty, Er ns tM ay r Lib rar yo f th eM n andere: Co mp ara tiv Die Grössen b t II der Variabein y, Ha >/,, soll y'l y', ij" gehe by über the y,, Es in (b k) t und nun zunächst der Werth der Determinante Dig i tis ed by systems rva rd dessen Determinante -=fcff u a M a„„ nicht verschwinde Durch die Substitution eines bestimmten Werth- 2>.= (•'^Jmj (^'2 )"' bestimmt werden • • \ X ',J'' infolge dessen xk in (#*), Zur Theorie der Setzt in A man lniLl,.,., der Kürze halber = S±tf u «M A linearen Diffeventialglächungen und bezeichnet die Subdeterrninante des Elementes a iik «„„ so folgt aus (1) « — Ax =b A u +b i l i A + 2i =y +(>„A ni b^A {ji =i D von x{ in Substitution dieses Wertlies man: erhält IH p= p=l 0=) r,= y,(6 P)iA, (— 1)'" p=( He rita ge Lib rar yh ttp ://w Dm = ww bi od ive rsi t ylib p ;w Y(b \A^ rar y.o rg/ Yib^A^ ww bio log iez Durch en tru m at P ty p=l die b , zuvörderst der ( m Th man unterwerfen: +a || „2 y"'- 21 r + +a ina ,,2/('"- p, m_ r y' rig p ;O =a + a^ m y + a p =2 j x=i ar ,xfH -x +a f bri am a, = für jedes p, geht durch die Einsetzung des Werthes Determinante D„, über in u (m— X) i',i/i ) Mu V \ a ,, A (m X) p.i.-a.p,ôjifi ' \ X=l X=1 p=i the n m V a~ , A p, X-» af" Ut p= n of 7» m i , a p,X^p, X=l p=l se u ZV» of Co mp a rat ive für b die obige (C behandelnden Falle hier zunächst zu gy dem sind Zo In unabhängig olo die a von den y 11 ; ay rL ibr ary ^vA.'jr 2Z X=i p=l m-X) ap ' Up '^ X=i p=l - • 22 ( "''"< y! m -X) X=i p=l Un ive rsi t y, Er ns tM (-1)" Ha rva rd ,(«—X) X=l p=l itis ed by the X=l p= Diese Determinante nun Dig wo dg e, MA ) 6p lD ow nlo ad Annahme von dieser Formel aus zu dem hier gesteckten Ziele zu gelangen, muss fro Um eB iod ive rsi l stellt sich als Product der beiden //,"-' (-1)" Ausdrücke dar: ' G Escherich v n n " p=i p=i (-=1 n n n \=i A- h a p, ' ^_, ; A :- a '.• p • • ^ 2_, p> * ap ' =i P p=( p=l /; w ww bio log iez en tru m at P ibr a ry org p=l t -"Mi ; A- yi, • • A n> it A„ ti 3i iod ive rsi ty He ri A Ai,>„,\ tag eL ibr ary htt Ai^ ) ist: p:/ A\,i /w ww bi od ive rsi tyl von denen die letztere Determinante wieder das Product der beiden Matrices i , «n, ! lD ow nlo a df rom Th eB «n «„,, «2, MA ); O rig ina «i, Jede Determinante aus der ersten dieser beiden Matrices aber eine Determinante der Adjunctcn der ist niultiplicirt mit A'" _l Abgesehen von mb ri dg e, Elemente von A und daher gleich ihrer adjungirten Determinante in A eZ oo log y( Ca diesem Factor ist also das Product der beiden Matrices gleich einer Determinante »ten Grades, die aus '• dem Ausdrucke gleich ist ifctPifctP ; rar y.o rg/ entnommenen Determinante (w-|-l)ten Grades (Om+i ylib rsi t (xt ) m+l ; ww bi od ive foVf, en tru m (•»-Ol ' erledigt sich unmittelbar der in I gestellte Vorwurf fro dieser Sätze lD ow nlo ad Vermöge m Th zu machen Es wurde nun angenommen yit Fundamentalsystem particulärer Integrale der linearen ein sei ym i e, ij MA ) ;O rig ina III + Om-iy' + a„,y — (C + a y(m-V + olo t gy y'"'' am bri dg homogenen Differentialgleichung etwa ;x k, hängen die Derivirten des y nach so x von höherer ')+ +u +a - v of -+-« _, '/" // n ,,,)i?« und ganze positive Zahl (m — l)ten ive Ist die als der " a,„y +«i Er ns tM '/ rsi t y, wo hierin (X) einen Differentiationsindex bedeutet the wurde und Von ihren Dig itis ed by gesetzt Ha rva rd Un ive ô +o- ibr a ry org ôô=cTyi+ô?+ /; w ww bio \ log iez c en tru m at eines anderen durch die Gleichungen .u,„; u' ,u' .u'„ it^, z u.^' .it]' l du ilu htt du{ de" dF *"£° tfwW dclh Dimension, tag eL de) dF —+ de* p:/ ist dF duk dF(u) s ibr ary welche kurz mit F(u) bezeichnet werde, so ganze Function der (wr) teu /w ww bi od ive rsi tyl nun /'eine nach u^ u Ist Th eB iod ive rsi ty He ri und daher wegen rom h=i _y df ) lD ow ii nlo a (1F( ' — dF i dwT'Jl i MA ); O ist e, Somit rig ina dc\ man nun mb ri y( Ca ,/,•„, (l\F _ ' ///;'v//;' dnWduW ;/,> • • dulW Gleichung die hv hz h m und belässt bei jeder geraden Anzahl von Verman dasselbe bei jeder ungeraden in dieser Co mp ara tiv Permutirt X eZ oo log (lr]'' de':' dg d-'F(u) tauschungen den sämmtlichen Gliedern ihr ursprüngliches Zeichen, während Anzahl von Vertauschungen das entgegengesetzte verwandelt, so gibt die Addition aller auf diese Weise m of in f th eM us eu erhaltenen Gleichuna-en: i&v rar Lib dr^clc;: .d&im ay r - M /', = — = /' dn M = dll'l'dH'l-l *• ' F ô/ô('/J ' / *i Jk " > " ' ''>,„ ,„ Damit nun Summe links nicht verschwinde, rsi ty, die ive angenommen werden; in der Summe Un schieden Er ns tM V yo dm F(u) rechts sind bloss die Glieder von Null verschieden, in welchen rva rd einander gleich sind: somit müssen sowohl die h, als auch die Ä; und l eine Folge der Zahlen the m bilden fest, tis mau dass in der Summe Dig i Setzt ed by 1, l die h als auch die k unter einander ver- Ha keine zwei müssen sowohl die obige Formen links das Glied j-, , t ' * das positive Zeichen haben soll, so erhält m Formel die Gestalt Appell, Comptes rendus, t XC und XCI Mau kann die ganze Function auch auffassen, woraus die Eiehtigkeit des Satzes sofort einleuchtet als eine Invariante eines Systems linearer Der nachfolgende, durch die obigeu Bemerkungen von selbst sich darbietende Beweis hat mit dem Clebsch's über die sj'mbolische Darstellung der Invarianten (Journal für Mathematik, Bd 59) den Grundgedanken gemein Zur Theorie der V = = /', wo e//,i' =0 /' du[ \:f v , Permutationen alle Glieder für wten Classe ohne Wiederholung der Zahlen zusammen, deren p / k[, K Ä', aus 1, in links .« zu setzen Fasst 1, ",,, durch eine erstreckt sich hierbei werden können und rechts hat man in gebildet 1, y mau für l[, in dieser /£ /'„ Summe nur verschiedene Permutationen derselben Complexion darstellen, so erhält l den Coefficienten von y'y • rar y.o rg/ S±yptfV> ;w ww man die aus r k'„„ //,, k' ;',) bio log iez alle alle Variationen zur ±y ", Summe gerade oder ungerade Anzahl von Vertauschuugen gewonnen wird Die über du nachdem die positive oder negative Einheit bezeichnet je /,-„ F ! at dc #" k en tru m d">F(u) 'rfcf dF dufm)> ;O rig ina dF duVJ dg e, MA ) dll^'v darstellen kann (C am (/{, Vi- !',,) gy erhält so für die rechte Seite der obigen Gleichung Zo olo Man bri oder kürzer nach Cayley's Bezeichnungsweise mit V -t- //Ci) »/'''•' y'y, Summe dem angeschriebenen aus man Gliede erhalten wird, indem of die für /',, /'- Vm alle Combinationen se u m wo jetzt Co mp a ive rat Y,(l'l' Mu ohne Wiederholung zur wten Classe der Zahlen k" 1, eine zweite Folge der Zahlen the Ti[, setzt k", ?«, so erhält 1, man durch Wiederholung dieser of Bezeichnet n ay rL ibr ary Überlegungen l.' d? m Er ns tM m e/;", );" F >.' f/r'l'' '"« f/(''''«(/c'"i de ive rsi t y, A«4',i's Ha rva rd Un £""' k' dieselben Werthe anzunehmen, als nach der vorhergehenden und V und das Product der beiden Symbole Weise zu berechnen In der Summe demselben unteren Index vertauscht gleich sind, l" itis ed die Dig Angabe bezüglich und by the In diesem Ausdrucke haben die &" zusammen, so erhält ; links ändert sich fasst man als (/',, f l t man nun alle die deren Summe l"-.-l") .l'm) (l", nun der Differentialquotient nicht, Differentialquotienten, die *'„**»,*",• : *Oi de: de^„dc\"< bekannter dem oben angeschriebeneu ,/•'- /•' {S(ee lVt ist in wenn man zwei k mit de '• : 12 G Der aus des Differentialquotieuten Coe'fficient die ist Summe der von einander verschiedenen Ternie, die wenn man darin die k mit demselben unteren Iudex auf Die obige Gleichung nimmt nunmehr die Gestalt an, dem angeschriebenen Arten vertauscht Escherich, r v>_ dc\ de; ££ " _,,„ de '/c mder mdc\ > d& mau möglichen J ' m alle "* //,, £ und U'v /." nur die Prodncte der Permutationen von bio und für die 1/ /; w ww .k'„ k' Summe Differentialquotienten der linken beizubehalten sind, die sich uicht etwa bloss durch Vertauschungen von & mit dem- /,'/ /.'' org wo im log iez en tru m at I Gliede erhält, /.,', v 2\S(e# ebenfalls Permutationen der Zahlen ], k;, ibr a //'' ek r /w ww bi od ive rsi tyl V" /.'/' d "" l " jOl ' dc-j'i ] dc\> m, so ergibt sich 1, di rechts haben die einzelnen Gruppen der Bedeutung und die Invariante (Vt l' l' m) % (l"l%-.-l'Ê) symbolischen Darstellung gewonnen; fỹr die y^ô mit demselben oberen Index die früher angegebene l iod ive rsi ty Summe -±.'//'' tag eL i (7j/£ l r ) wird in bekannter Weise aus dieser ihrer sind alle von einander verschiedenen Producte aus je r C'oinTh eB In der Sdby'f' ••//;" i^zb///'' v„'> z\(l[ li, M/i' /fi i/- / He ri = ibr ary htt aej ' p:/ Bezeichnen nun ry selben unteren Index von einander unterscheiden l n zu setzen Links bezeichnet jede Gruppe 1, df rom binationen ohne Wiederholung zur j«ten C'lassc der Zahlen Summiruug aller von einander verschiedenen Terme erhalten, die sich aus MA ); O rig ina quotienten wird durch lD ow nlo a der k mit demselben oberen Iudex eine Permutation von 1,2 »/; der Coe'fficient des obigen Differential- S±yl'» > s^L Form, gebracht werden kann, wenn — mit / , und daher auch der so ergibt sich , I in welche jede nach sie bei //, y,„; .y["K i/"'> > } ganze Function der («r) teu Dimension Vertauschung eines Fundamentalsystems mit einem anderen sieh bloss um Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen «inen constanten Factor ändert Der Wertli des letzteren ergibt sich gleichfalls aus dieser Gleichung: er wo C= 2-4- eleu c " ist C' } die Substitutionsdeterminante bezeichnet m Es hat nunmehr auch keine Schwierigkeit, den Wcrth von der obigen Formel zu bestimmen Es in ist nämlich ' die hier auftretende .i/r'' Summe r/r,'' „ .(/(•'".» (/(•'' dc^mde;"' :s '" -ô*,' (/ô( /(;"' Somit ergibt sich ist bio log iez wo ww • df = ( + "; ur^--'^± SA' = &„-»-&, + + V-« ferner ist; rar y.o rg/ ;w ww bio log iez wo en tru m at S* 4*> =p°F( ) , a, n ttp Am yh a« ) rar F(A V A t ://w ww bi od ive rsi t ylib Somit erhält man, da rita ge Lib wo + Äv-i — j m (m — 1) • iod ive rsi ty He K + />',+ '+ ! -P'"a (j) x a[')) ] ad *t fro i( P nlo > = p°F(a v a a,„ a« ) eine willkürliche Grösse so ist, F(a v ist Entwickelung links gleich, deren jedes mit^ J a i a m a\ i> jenem Aggregat von Gliedern ) MA ) mmp Da ;O rig ina t ow i lD F[P a m Th eB gesetzt wurde Es ist also in der ganze Function a ajjO ) x : p at : • in jedem Zo Factor ihrer Glieder heraustritt, ive a$ pff^ ô^ als Nennt man daher, wie setzt in III, i +1 wenn man derselben für das Gewicht von oM und die der Gewichte der einzelnen Factoren eines Productes dessen Gewicht, so hat Co in man den Satz: of Summe p rat a :pa v a % a mp a hat also die Eigenschaft, dass olo gy (C F(a lf at am bri dg e, multiplicirt erscheint Die l a2 , aj^ ) haben das nämliche Gewicht, und zwar Mu se u m Die Glieder der obigen ganzen Function F(a of the beträgt dasselbe ibr ary =k + + = k +k + = — so Ä:, &, Er ns tM = y, = 0, /1(J _i rsi t k 1, p ll>0 ist l \ixn(in 1) 1) das Gewicht — !)— pi{m — 1)] by the Ha rva rd Un ive Ist speciell t —^m{m — — + kp-i — + kv,_ ay rL a Dig itis ed TU Ich will nun die vorangehenden allgemeinen Auseinandersetzungen auf einige specielle Fälle an- wenden 1) Es sei zunächst m = und n eine beliebige ganze positive sii/i'Q/r ^)'zunächst die Formel IV angewandt werden • Zahl Es soll nun auf die Determinante j a vj, ij, die Elemente eines Fundamentalsystems der Gleichung y»i + «y + dar, so lassen sich a v a v a durch die Coefficienten der n" = h y' + o3