Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 49-1-0037-0080

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Ngày đăng: 04/11/2018, 17:13

: : : 45 Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie in eine ganze Zalil eiceu positiven ecLten Buicli, so liegen bei sehr grossem n im Intervalle iiiicl -^ {2»-2(2'-'-i;)C(ff)|« tru m at von diesen Brüchen, während ausserhalb des genannten Intervalles sich: 3'-"'' ganze Zahl und einen positiven echten Bruch, so in eine n Y ylib rar y V ' für sehr grosse ist rsi t n die ive Y In In In ' derjenigen Nenner gleich: liegt, ~ 2r(2a+l) eL C"' wachsendem w der übrigen Nenner mit sich dem Ausdrucke: ty Summe rsi die eB iod ive während He ri tag ^ ibr ary htt p von n, für welche der betreffende Bruch im Intervalle — 8umme bio d n ' org /; w ww bio lo jede der Grössen ://w ww man Zerlegt gie ze n befinden Th " 2' nlo ad f rom 2r(2(T+l) der Grưssen: lD man jede In ^ In In ••'V Ca m bri dg e, ^ MA ); O In ^ rig ina Zerlegt ow nähert ganze Zahl und einen positiven echten Bruch, so ist für sehr grosse n die Summe der dritten Potenzen oo log y( in eine Co mp ara tiv eZ jener Nenner, für welche der betreffende echte Bruch im Intervalle -^ Hegt, gleich: (2;r)*'£,,^2*-'-l)^^_, 4r(4ff+i) i" Summe dem Ausdrucke der Guben der übrigen Nenner mit the die ry of während Mu se um of ^ \ o,,,,.!! " 4f(4^+T) 41 rns tM ay rL ibr a K2;r)*VB ,(2^-'-l) ity jede der Grössen: ers man ganze Zahl und einen positiven echten Bruch, so valles ist tis Dig i in eine ed by the Ha rva rd Un iv Zerlegt ,E übereinstimmt — liegenden echten Brüche das ^ — fache der die Anzahl der innerhalb (ausserhalb) des Inter- Summe derjenigen Nenner, für welche die bei der H analogen Zerlegung der Glieder der Reihe In In VT' V2' In In v-^''""'V' n auftretenden echten Brüche innerhalb (^ausserhalbj des Intervalles — liegen : : ) Leopold Gegenhauer -16 Es ist ferner a"W = '[^iK«) x=i,y=l tru gie ze n man bio lo hat org /; w ww Nun m at =1:^5 (ZK#1-^ iCfl-n das Product über alle Primzahlen p zu erstrecken oder: ist, pi^-'JV p^' p^ «=oo , +1 hat, wenn durch eine rte Potenz (ausser 1) theilbar ii rom den Werth ist, und in allen anderen Fällen nlo ad f gleich («) ist man diese Formel mit so erhält C(rs"), man: Z [>-, MA ); O rig ina Multiplicirt ow ju., lD WO Th eB iod ive rsi ty 56) ibr \\ eL I tag ~ He ri C(rs) ary htt p wo ://w ww bio d ive rsi t ylib rar y PI (n _ ~ L-i _ n"' 'sn y( ist: oo log und daher Ca m bri dg e, {nm')' (nni')' 2^.(rf,.)=l die Gleichung 56) in folgender Weise: of man Mu se um Schreibt Co mp ara tiv eZ 57) c(s) n ity ,E rns tM ay rL ibr a ry of the V MÜL - rva rd Un iv ers so ergibt sich sofort die Relation: i;k(/j)='^'W- ed by the Ha 58) die oben aufgestellte Gleichung auch in folgender Form schreiben: Dig i tis Man kann demnach 59) [^j!x{x)z=ViJ.Ax) = a.(w), wo £l,.(n) die theilbar sind Anzahl derjenigen Zahlen ist, welche nicht grösser als n und durch keine rte Potenz (ausser 1) : : : Asymptotische Gesetze Den = dieser Formel habe ich unlängst mitgetheilt speciellen Fall r Aus der Gleichung 59) Dividirt man 47 Zahlentheorie det' folgt der arithmetische Satz: eine Zahl ?i durch grösseren rten Potenzen ganzer Zahlen und versieht die bei alle nicht dem diesen Divisionen auftretenden Quotienten mit positiven oder negativen Vorzeichen, je nachdem die rte ist, so ist die Summe der so entstehenden Zahlen gleich der Anzahl derjenigen Zahlen, weiche nicht gie ze n tru gesetzt m at Wurzel des Divisors aus einer geraden oder ungeraden Anzahl von verschiedeneu Primzahlen zusammen- Aus der Gleichung 59) bio lo grösser als n und durch keine rte Potenz (ausser 1) theilbar sind =,V1^_A,, ylib rar y ,,.(,) I; x=l ive x=i rsi t 60) org /; w ww ergibt sich ferner: ibr ary htt p ://w ww bio d wo He ri tag eL '=' ==[;'-]+' eB iod ive nun: =oo v"Ä Th ^.g lim «=00 Dig i tis ed by the Ha 67) ya(f^l)p.+., (,) lim„i;3'+-' 69) ) ganzen Zahlen besitzen keinen biquadratischen Factor aller ) m at aller -t^-) tru Ungefähr drei Fünftel (genauer Da *" yibt es // gie ze n Unter den ganzen 2(2x+2)r(2x+3) : 49 Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie 70) y ^^ ,t^ ^' lim„=co (2ff)-'+^^,4., _ - 2r(2x+3) n, so erhält man für n: [— mit z^-itAz] multiplicirt isodaun ], und siimmirt von z — bis : 2=1 i = eL ibr » aber: ive ist nlo ad f rom Th eB iod Nun rsi ty He ri tag Va.(e(v,«,„.-K,.(J)) = ary htt p V, z-=- ://w ww bio d ive rsi t z =: Formel 65) in der ylib rar y mau Schreibt org /; w ww bio lo gie ze n tru m at -^ '">"=' jl=0O Z_j iW"' MA ); O rig ina lD ow =V Ca m '^^'^''^'^'•'(7)'=^' Potenz hingegen: ist, tiv ;-te Co mp ara wenn n keine eZ oo log y( 72) bri dg e, und daher: of y ^(c?)d'p.„.(^) = l, eine rte Potenz ist ry of wenn n the Mu se um 73) Bugajef abgeleitete Relation ay Wege folgende, schon früher von H rd Un iv ers ity ,E rns tM auf anderem in die rL ibr a Die zuletzt entwickelte Formel verwandelt sich daher die Summe by man der reciproken 1) theilbar sind, Dig i kein Quadrat (ausser tis ed Bezeichnet the Ha rva x=l mit y.ten -j^-, (r), Potenzen derjenigen Divisoren einer Zahl I ©])f=Z*-(^> y=l Nun ist: Denkschriftea der matliem.-aaturw Gl XLIX Bd r, welche so besteht, wie ich gezeigt habe, die Relation: dureli — Leopold G egenhauer 50 dalier hat man: m at und org /; w ww bio lo gie ze n tru oder: 1=1 ylib rar y wo: '=[v/"1 ://w ww bio d ive rsi t "=[n/"] "=[n/"] ^'^J ^ (o^=-,„s,/, ;;!) ß.x Relationen enthaltenen Theoremen rL in diesen mögen die folgenden besonders erwähnt werden: ,E der reciproken xten Potenzen derjenigen Divisoren einer ganzen Zahl, welche durch kein ity Summe (^ausser 1) theilbar sind, beträgt im Mittel: rd Un iv ers Die Quadrat rns tM ay Von den ibr a ry of n , Ha rva 2r(2x+3) Cu+l) der reciproken (2x.— tis Summe Dig i Die ed by the (^2-T)-^'+-ß,+, quadratischen Factor besitzen, ist im )teu Potenzen derjenigen Divisoren einer ganzen Zahl, welche keinen Mittel gleich dem Ausdrucke: l'(4x + l)^, !2/Tp-]V2x+l)5,,; Die Summe der reciproken enthalten, beträgt im Mittel Guben derjenigen Divisoren 105 K einer Zahl, welche keinen quadratischen Factor : Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie Samme Die theilbar sind, ist der recipiokeii fünften Potenzen derjenigen Divisoren einer im Mittel 51 Zalil, welciie durcli kein Quadrat dem Ausdrucke gleicli 075775 ' 601 Formeln ergeben zuletzt entwickelten aucb sicli sofort die Relationen: org /; w ww bio lo gie ze n tru m at Aus den 71« V ylib rar y lim„= Summe bio d htt p ^_, (/) die ("^i) der reciproken xten Potenzen derjenigen Divisoren von r ist, welche mindestens einen ary wo = IP^TT^ r - T2^Ö^^S n ://w ww ^"^"=~ ive rsi t 4,_,j,_,) (x) hat daher die Sätze Summe He ri Man Die tag eL ibr quadratischen Theiler (ausser 1) besitzen ive rsi ty der reciproken x.teu Potenzen derjenigen Divisoren einer ganzen Zahl, welche mindestens besitzen, beträgt im Mittel: eB iod einen quadratischen Theiler (ausser Th ) — lUen Potenzen derjenigen Divisoren einer ganzen Zahl, welche minde lD (2y {:>TcrB., im ist Mittel gleich _ 2r(4x+i) bri dg e, , ina der reciproken rig Summe stens einen quadratischen Theiler (ausser 1) besitzen, MA ); O Die ow nlo ad f rom 21\2y.+3) Ca m 2r(2x+l)' log oo eZ -l'%; mS "= [n/ «] " = [x/ ''] "= [,/V] " Z_ the - y* of //« /^ZLl^ ,^ ( _ ^' f l^ >/ y= [\/^] „) Mu se , -' a^/^J/ ^ L^ iß ibr a ry ^ (0^£, l',^A i -•, , x=l, u-lii ,— 21 j;=X, VI = _V(-:) x=l c=l ist rK^-) ^ —7= arctang 1— ^2 *'^ -5 ^ ^" + *' tt + TT 11 •'' t' bio lo man ^^ sofort: [—1 bio d ive rsi t ylib rar y = org /; w ww so erhält + =x' " a-^ m at Formel die bekannte tru man gie ze n Beriicksiclitigt (X;Z^ ibr ary htt p l^il'(«' und summirt bezüglich // von ;/ = bis // = n, so erhält Ha rva rd Un iv ers ity ,E rns tM fi,((/) ay für«: [—1, multiplicirt mit rL ibr a ry of the Mu se um of Schreibt -[7l,r»| by the X=7l Dig i tis ed ?' (y) =Z*-([7])^'w Aus Form 4.s+l der reciproken sechsten Potenzen der übrigen ungeraden Divisoren im Mittel oo besitzen, übertriff't die 61 • 1536 der reciproken seclisten Potenzen derjenigen Divisoren einer Zahl, welche die y( Summe log Die bri dg übertrifft die +l Form der reciproken Quadrate der übrigen ungeraden Divisoren im Mittel ina Die Summe rig übertriift die der reciproken Quadrate derjenigen Divisoren einer Zahl, welche die MA ); O Summe e, Die rom Th eB iod 22r+2p(-2r+l) dieser Gleichung folgt: Zj KlyiF^^' (x+ijC(2)c+2) ^ ^« man: um : Leopold Gegenbauer 78 wo ^.=|^'v>jie]^(^)[r-(l)[r-(o)ọ[7]""-im at +f(-.r-(-')-r-ô'ff^ 200) ^ [log >' gie ze n V (/; \),-^:p^^ «' + + c'+ -) + bio lo J < ^:^ + 2- p;;^ + (2 ) ^1 ' 7^) ylib rar y I folgt: org /; w ww aus welcher Gleicbung tru j:=l,|j.=0 ist, +ư^^-«^ rsi t (.ungerade) < A +" |l'>g + C+ iW " y + M,-4!^ "^^ = + ? ^ 2'^x-l C(2x-2) tag eL c f" htt p A,, ary ' ibr 207) ://w ww bio d ive Cl2^)-'^V^o'' '^t^)^ V^S''-^' •• +^| 1*^*1^°^'*+ He ri 4^x-3 C(2x-ö)^V6^x-5'' ;r^ ^^ j^ bat daher die Relationen: ^m '-''^^^ £t MA ); O rig ina lD ow Man nlo ad f rom Th eB iod ive rsi ty C(2x-10)^ _ 2C(x^i:) 1X2x^3) lim«=oo Co mp ara tiv eZ oo log y( Ca m bri dg e, • — ~(27r)2^xr(2x)i?v Mu se um of «-' _= , lim„=oo _ 15 — 2^2 tM ay rL ibr a ry of -^ the 210) rns ^L^-J^ ZKa)^3 £^ 0^) , J? 105 =4^ the Ha rva rd Un iv ers '^"^''=°°-" ity ,E 211) ed by 212) Dig i tis "=°° Es l'^^f^^^'^^^^ «« _ - 225225 1382;r« ist: «=00 _ y
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