Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 48-2-0293-0316

24 0 0
  • Loading ...
1/24 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 04/11/2018, 17:12

— — — ;w ww bi olo gie ze ntr um at 293 C>) ww bi od ive rsi t ylib rar y.o rg/ ZUR THEORIE DER FUNCTIONEN /w VON DER SITZUNG AM 10 div IN JÄNNER 1884 werde von neuen Sätzen Über die Functionen Cl(x), welche ich eine Reihe MA ); O rig In den folgenden Zeilen ina lD ow nlo ad fro m Th e Bio VORGELEGT ers ity He rita ge Lib rar y htt p:/ LEOPOLD GEGENBAUER rid g e, bekanntlich durch die Gleichung: (1—2^0; -Ha;*) ' = 00 = _^C;(a;>" log y( Ca mb 1) 7i tiv eZ oo definirt sind, mittheilen mp ^ (1 Co 2z cos x-hz^ ara Aus der Gleichung: cos X — z cos x-+- iz sin 2:)(1 sin x) i: =2^ se u the (l-2^cos x^z') =; 00 JA Mu X, [n(v-l)]Ml(/)110.) ^ '^''^ (X-a)x + « sin {Ä~p.)x\ ibr ist: (cos = 2^ [n(v-i)fn(Ä)ii(.a) '''*^' ^^"'"•^•'^ ^ ^'° (^-i^>} ' ty, Er ns :r) tM G„ 2) ay rL und daher ary of -' m of folgt: rj = 0, 1, ,«; X-l-,a = w) Un ive rsi (/, man leicht erkennt, rva rd oder auch, weil der imaginäre Bestandtheil auf der rechten Seite dieser Gleicbimg, wie the Ha verschwindet: by oN /iv, V ^" ^''' V ")=z n(v-HX— l)n(v-l-,a— 1) [n(v-i)]*ii(Aji;(;.) ^ ''"^ (^'-''^> Dig itis ed ^^ (X, |:jl = und: o„(cos^j_^ C" fcos x) - y 4)^ n(v+Ä-i)ri(v-x+»-i) [n(v-i)]Mi(A)ii(«-Ä) Berücksichtigt man die '"''^" Formel: ifcM=i)._/-L -,,eo ->., -^^''- 0, , .,«; Ä -H ,a = h) 294 kann man Form die Gleichung 2) auch in folgender schreiben: oder auch, wenn man x und für cos x: ^ für 2y: ^^^^ , ^ ^ sehreibt: c:w - 6) „ gj|jj,,_, ^^ Oj 1, , n ; A -h- ^a = '/i ylib rar y.o rg/ r = ww bi od ive rsi t n(w^2v— 1) iJ2v[n(v_i)]ni(M)J«^ /jL ;w ww bi olo gie ze ntr um (A, at so Leopold Gegenhauer ± - f /»?=i)- - '- w (» p:/ /w , -",|;'|ff7,',;(,.)/ Wege htt al)geleitct habe („Über einige bestimmte Integrale" rar y welche Formel ich schon früher auf einem anderen ge Lib Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, matliematisch-uaturwissensehaftliche Classe, Integralzeichen auftretende He dem die unter ?jte ity man Potenz, und beachtet, dass der imaginäre ers Entwickelt rita n Abtheilung, 70 Band.) fro m Th e Bio div Bestandtheil auf der rechten Seite dieser Gleichung verschwinden muss, so erhält man: r ad V nlo x^-^-'jx^-if ,., ,, ow n(n-f-2v-i) ^"W^F^^^W^=i)F-^„n(2x)n(,»-2X)j'o MA ); O rig ina lD , ^^ ^ oder: r /2v— lM^>.=m ^-J n(.H-2v-l)[n(-^-)J e, ^»-n(,._iy rid g mb C„(x)— ii(v_l)n(2v— 1) tiv eZ oo log und: 2''>n(X)lI(v^Ä)Il(M— 2A) 2j y( Ca ^) ara n( H-2v-l)[ll(-^ -)] mp c„(cosx)= n(v— i)n(2v— 1) ^V ^ Zj*- eos ' > sin -^ .^ 2^>-n{x)n(v^i)n(>i—2X) -* in der Gleichung 5) für x: cos Mu man a; of the Schreibt se u m of Co '^) i|/ setzt: = tang x cos y rL ibr ary lang und tM ay so verwandelt sich dieselbe in: n(wH-2v — 1) cos"+'a; Er ns ^) P (sin *a;— sin ^4/)"" ty, ^"(''^^^''~22'-41(H)[n(v-l)]''sin^'-'a;7o n^d^ tf* ive rsi cos cos rd Un oder auch: Il(wH-2v-l)cos"+'a; rva ^ '^'' ~ ^j'(cos 2a;— cos 2:|;)'~ cos n^d^ 2=''-'lI(w)L»(>'-l)J' sin'^-'^Jo itis ed by " Ha ^''^'^ the ^-^ man Dig Multiplicirt ^ die Gleichung 5) mit „, ^ ' j:^^ _, und summirt von n II(m-)-2v— 1) = bis w ~ og, so erhält man: oder: "•) "f' |i(,.Ü-'2ll) '^(-)- ä in(v-»)f i^'''"" * °" ^'''"^^ "°"' '"'• ' 295 Zrtr Theorie der Functionen G\{x) Aus dieser Gleichung folgt die Formel: 11) + n(2v-i) = f^'%y) 2v-l (1— a;*) (wH-v)n(w) C''n{x)dxif{y-\-x-^(iOSf][x^—l)sin^''-'^fdf * I Aus der Gleichung folgt: 1) 2«v-in(«-H2v-l) ! y^v Cl{x){\-x^) 2v-l dx ^ ~{y-2zx^z')" ylib rar y.o rg/ man + ww bi od ive rsi t Multiplicirt /> n(2v-i) («-+-v)n(«) 12) ;w ww bi olo gie ze ntr um at ^2-'n(v-i)n(-^) diese Gleichung mit: /w y^"^(y) Lib bis oo, so ergibt sich die Eelation: ity He rita ge und summiit bezüglich n von U rar y htt p:/ n(w)(«-t-v) ers 'W div " Bio («-+-v)Il(w) fro m Th e ^ ow ^ CO («-l/a;*— l)sm''-* I fd(j) by the rd rva Ha Un ty, rsi ive Er ns ary ibr rL ay tM of the se u Mu m of ara mp Co e, rid g mb y( Ca log oo tiv eZ ad nlo ow lD ina MA ); O rig m fro Th e ity ers div Bio ge rita He rar y Lib p:/ htt ww bi od ive rsi t /w ylib rar y.o rg/ J^+«^lA2/) ed 17) 2^-'[n(v-i)]V„ y U = (-2)"y ^- (« ^ at > +n + v)II(w) ;w ww bi olo gie ze ntr um Lj^ itis > Dig 296 Leopold Gegenbauer 2Ml(M-)-2v-] l(«/-)-x (-cosy^^a;*— 1) ^ Ji^([/«/4-a;-t-coS5>|/a;*— 1) gini" ~' yrff> —— — : Zur Setzt man den Gleichungen in ^ Theorie der Functionen und 23) 16), 17), 18), 19) [«-pjp(«)], = „ = «/ 297 C^^(a;) und beachtet, dass: = 2P11^P) man so erhält die Formeln: ;w ww bi olo gie ze ntr um at ist, Glix) Z(-l)"2^ ll(w-i-2v l)ll(ô-i-^)" 1) -(-cos ylAa;*l) - (x-t-cos 2b) (—1)" ^^Aa;^ Jv- {y n(2v-i) = 2^ (« -+- v) 1I(«) 1I(« -)- ;j^) 2^-'-".+"C;(a;)C;;(^) = ^^-^ 1-^ (ô = ^ ' rar y htt p:/ /w m, ww bi od ive rsi t 7», =(l—zx) ity He rita ge Lib 2^s-Cr''^'(a;) ers zx v) nlo i ad fro m Th e i- Bio div ^2^1^''t.'(^)]' 2(^ + = V Mr >^+;' {[cs::;:,'(x)]'-x[crX:r)]' ina lD ow 2(^-^v)^A MA ); O rig oder, weil: 2.a+ 2v) C|f+X^) mb rid g e, [C!t^,'(.r^]'— a;[Ci^+Xa;)]'= (r-t- y( Ca ist: log m,n = 00 Cl (x) oo -4- 2v)^"'+" C:,(a;) ^ 27-^ ^^ + + ('• 2f 2v)^'- Aus dieser Gleichung se u m of Co folgt die Relation: mp ara (« tiv eZ ^ y r^ oo r+2,.+2v ^,+ Mu _ J_ y^, _^ gv-X) of the 53) ary = ibr v und beachtet, dass: rL dieser Gleichung ay man in Er ns tM Setzt Cr(a;) C;_x(x) X=0 r -'v=o rsi ty, V = r—l cos \(r »^ — '^) cos x\ Jirc ^ man: Un so erhält V the Ha rva rd ist, — C'r-i,(x) ive ^ -'-^^ ^''''W '^ 55) ^^'"^ ''^^ ""5 x=.- ^—^—— Cr Ein specieller Fall der Gleichung 53) 56) ^^*'~'^^ itis Dig oder: = ^^^''^ ^°^ x=o ed by 54) ).=r (cos x) ist = (/• l)x die Relation: ii(r-fT/^-f-v)n(M.— i)n(v) fTTTTTTT::^:^ r) ri( ^^) n( fj 2_ ^^- (^'os «) cos _ v n(k-h-iJ.—i)n{r-\-v—X) =/ ~ Zj n(A)n(/— ;>) ;,=0 C S^+X^)- 3f'2 Leopold man Setzt Gleichung in der Gcijeiihtiiicr 1): man: ;w ww bi olo gie ze ntr um at so erhält n= n,,n >ij n,, Jij, C;',(a;)C:4(a;) C„>" + "3+-+"r = , 7jj , »_ ylib rar y.o rg/ = 57) y = c';;'+^'+-+"-(:.) c-;;,(x) ciix) Gliix) Summation über alle ganzzahligen, nicht negativen Wcrtsysteme htt die n^, n^, , «, auszudehnen ist, welche rar y WO p:/ /w n,, n ww bi od ive rsi t und daher: Lib Lösungen der Gleichung: ge =n rita -)-»«r ity He n^ -+- «2 -t- n(/j)n(2v, div Bio Th e n(2vi— 1) n(2vg — 1) +2v,-f- -H2v,— 1) -f-2v,— 1) m + 2v,-h2v2-k ' in: fro II(w verwandelt sich diese Formel ri(2v,— 1) ~ ad x=l _ ow V nlo Für ers sind 2v, -•*- — IIK -f- 2v 3— 1) 1) ll(/t,-i-2v,.— 1) MA ); O rig ina lD H(w, («j -I- ?^g -I- «r = ») e, in dieser Relation: rid g man mb Setzt tiv eZ oo log y( Ca «,, n^, Summe gleich und dalicr die Summe gleich der , ttr Co mp Anzahl der Lösungssysteme ara so wird jedes Glied der auf der rechten Seite auftretenden se u m of Ist V eine rationale Zahl, also of the Mu P rL ibr ary und nimmt man: = ^ Vj ^ = Vr V ive eine ganze Zahl sein soll, Un a so erhält man aus der obigen Formel die Kelation: Ha rva rd wo rsi ty, Er ns tM ay V, C: + -(x) = C\{x)ClS:x) 0\^^, (X) (w, -+- Hj -f- in folgender Dig welche man auch itis ed by the 59) Form [C: + ,(a;)](-) 60) Den = ?^^P=^ speeiellen Fall: hat schon Herr Catalan schreiben kann: mitgetlieilt V f;;„(x) Clix) C;,,^^ (X) +«c.,+i = n) : : Zur Es mm soll riieorie der 203 Fumtionen C'/x) der Weith des Integrals: /•+' 2,-1 \{[Cl{^)\+[C"n+i{x)\\.ri>{\-x^) dx ^ ^-' at v'^-^,1) ganzzalilig und ;w ww bi olo gie ze ntr um (h 5>0, werden Durch partielle Integration erhält man: /*+' 2v-l 2v-£ /•+' ' 2.,_^ Unter den gemachten Voraussetzungen aber: rar y htt p:/ ist 2V-3 ww bi od ive rsi t + /w /- ylib rar y.o rg/ ermittelt ^ n) Lib + C;+,|f/.r = {CX.r) He rita ' ge \x'-'{\-x'') 61) + fPn+.Oi-)l'U''''.J^ =2 /'+' lD -^[C:+i{x)]]x"{l-x') dx=(2^-l) ' /•+' 2v-3 xP+>{C:(j^-^C:+>{.f)\{l-x') -' r/^' MA ); O rig \\C:(x)]' ow 3v-l ina 03) l nlo ad fro \lP>.i^)]' m G2) Th e Bio div ers ity und daher hat man rid g e, (-4) Aus der Gleichung 61) y( Ca mb Die Relation 62) hat schon Herr C atalau abgeleitet tiv eZ oo log folgt: /•+' /*+' ara 2v-S 2,-3 (}x=jxP-'{C:{x)-^C:,+iUi)\(l-x^) ' dx für ein ungerades se u ist jd: Mu und daher m of Co mp jx''+'{Cl(x)^Cl+r{x)\{l-x^) ' the /•+' /•+' 2,-3 of 2v-3 ary lxP+*{C:ix)^Cl+i{x)\{l-x') dx=j{C:ix)-^-C:+i{x)\{l-x^) dx ^ Er ns gerades^ hingegen: ty, für ein tM ay rL ibr ' rsi /"+' /"+' Un ive 2v-3^ 2v_3 rZ.r=nc;(.r) + C:,+,(.r)|.r(l-a;^) '^ rf.r aber: by ist ed Nun the Ha rva rd lxi>+'{C:,(x)-^Cl+i(:x)\{l-x') ä ^=m itis Dig r-^+7r-^ (U- - "^^~^^ V n(X + r-l)n(;;+r+;x-X-l) und daher: +* lc;;(.r)(l-a;^) -i wenn w« Ungerade ist, hingegen 2,-3 =* da: = , 304 Leopold Gegen bau er +1 2v— C'L{x)(\-x^) gerade (v-l)ll(2v-3) während: ist; ist für gerade vi, für ungerade at r+' 2V-S \xCl(x)(l-x^) " ;w ww bi olo gie ze ntr um m = = (fo; aber durch die Gleichung: >» +1 22v H"^)] ww bi od ive rsi t \xCl{x){\-x'') '— dx = ' ylib rar y.o rg/ falls dx - (v-l)lI(2v-3) also schliesslich: htt ist {[C;(x)]'H-[C;:+,(x)]'|a:?(l-A'^) ^ r/.r = rita I II(2v-l) He 65) ge Lib rar y Es p:/ /w bestimmt wird Bio Th e unabhängig Für ist = ^ verwandelt sich diese Relation v m j} in die Gleichung 62) ow ganze Function von x von nicht höherem als dem wten Grade, so ist nach 65): ina lD Ist/(a;) eine nlo ad und hat daher das interessante Resultat, dass das Integral auf der linken Seite dieser Gleichung von n fro Man div ers ity '— MA ); O rig >+i 2v- \[c:(x)]'^[c:+^(x)]']f(x){i-x') ^ dx: ll(2v-l) yu)- y( Ca mb rid g e, 66) tiv eZ oo log Specielle Fälle dieser allgemeinen Relation sind die Formeln: 67) ara \\{C;^i^]'-^[C:+,{x)]'\{[Cl{x)]'-i-\Ci+,(x)]'](l-x') dx = of Co mp ^ se u m ~ 2,u(2m--n [^"(¥)] 11(ot-+-2/j.-1) tM 68) /J (w^w) rL +f ll(^2v-l) the Mu li( ' Er ns {(c;',(x)i'+[c:+,(:r)]'|c;;(;r)(i-x«) dx- ri(2v-l) ive rsi ty, II(2|JL-1)1I(/») um die Coeffieicnten zu bestimmen, welche bei der rva rd Un Die Gleichung 64) kann man auch benützen, _ r g the Entwicklung von Ha _ nach den Functionen Cl{x) auftreten Da , ^ eine gerade Function by ^ Dig itis ed man: =f= y Ä2nC''2„{x) l/l-iC' wo: Ä,„ «(^) (2n-h-v)n(2n) = 2-'-'ll(2«-)-2v-l) ll(2v-l) ist Berücksichtigt man die Formel 64), so erhält man sofort: r Ul-xy-'Ci„(x)dx ist, so hat Zur (2 n 30^ Theorie der Functionen C'Jx) n(?^) n{n -+-V - i)-n(v - 1) n(?^) n(2«) -+- v) [ ^"^^^"^'^ /;^n(2.^2v-i)n(n)n(^^i±^) die Entwickhino-; =— von Herrn G in die - n(2« ,:^o 70) |/1 Baner abgeleitete Relation: ^ ^v ) 2.4.6 2w, / ^ p:/ /w J.2 + 2v - 1) n(M) ii( """y' ylib rar y.o rg/ v n(2v— 1) /- n(^^) n(«+v-i) (2«-^v) n(2M) ww bi od ive rsi t /1- welche für n(%^)Y »=- _n(v— ]) 69) ;w ww bi olo gie ze ntr um at und hat daher mau 0, so erhält die bemerkenswerte Formel: Lib man x ^= rita ge Setzt rar y htt übergeht He n(^) (2«-Hv)[n(2M)]* ity n(?e-i-v— 11 ers y (_iv L^ /2«— div ^^'+'^'— iH2;.,+2v-i) n^ ) ^n(,0]-i2='"n(- fro = ^ die interessante Gleichung ad Bauer's: nlo v ow aus welcher für m Th e ri(2v— i)J Bio 71) lD 1.3.5 MA ); O rig —1 bis X = multiplicirt man, wenn man so erhält -+- 1, ^_, sodann mit rid g z^=x^ der Gleichung 1) (1— r^) ' dx und oo tiv eZ ^ c:_ (ô).' "*'> Bezug auf x 2v— "('-' W-^'-^^'-') 2^+' FK/-) II(A-H-v— /•) n(i'— 2r) n(^2" IM^ II(2v— 1) +1 of Co mp ara [J('i-.=)"^ integrirt in die Relationen: log von x^=- in mb man y( Ca Setzt (4i 4.6 e, folgt >' ina T Ki)"-HiJ) 72) se u m 2v— I |j;*(l— X«) ^ = ary of the Mu C4_2,_,(a;)rfx Er ns tM ay rL ibr berỹcksichtigt: 2;r = n(v 1) -(Ơ) Yô n(w-i-2v— 1) ll(2v— 1) Zj 2''ri(M-i-v) rva ^ in die _- Ha v bekannte Relation: ed by the welche Formel für rd Un ive rsi ty, 73) itis K= y Dig 74) 1.2.3 « ,:re„1.3.5 (2« + l) übergeht Man findet ferner leicht, dass: /2v— l^T* ^' 75) (\-x^y^ G\{x)dx (1-«)^ _ ii(v— 1) n(]UL-)-M— 1) n(M-t-2v— 1) 2"+' n(H-)-v)n(«)ii(,a— 1) DeuLscIiriUcii dar maUieui.-ualuiw Gl XLVIII BJ ALliuinUuugeu voa Nichtmitgliedern II(2v-l) J 00 — — '''ß ist Leoj)old Von den 1' (l-x^) (1—3-)!^ H- II( /A ) die folgenden besonders hervorgehoben werden: n~l) 2"+' n(,o.-i) n(«) II(2v n ("'^f^''" n—1) ri[v— y.— i-) H- ^-) «-i-2v n 2' — /i.— ll(- n(2v-i) n(''-i)»('*-2v_i)n(^) -(V) —l n(2v— 1) c;;(.y.^,_i^„ 77) ?«+' n(- +1 _ F„(x)x 78) 2\f2 /w p:/ Formel man Herrn Catalan verdankt Aus der Gleichung 77) man ferner ab: rita ge Lib leitet rar y htt letztere /n-h2v — \ lAr '- weiche n-i-2v ylib rar y.o rg/ (1-.-)= ww bi od ive rsi t 2v— I +1 ;w ww bi olo gie ze ntr um at 7G) n(v— C:(x)dx ' (r('(j('iih(t itcv mögen speciellen Fällen dieser Formel ( r ) C:,( ilx xVl — r^) ^ = - ity -H (-1)"- ers log 79) 2v— 2'n He '+1 L {n^O) ll(2v— 1) Th e Bio div n(n-^-2-v) ad fro m ans welcher Formel sich mit Hilfe der bekannten Kelation: nlo n Cl{x)—2{n^v—\)x ow -h2v- )(?:_,( jO= MA ); O rig ina die Gleichung: -H ( r) 6' (1 ;,( 1-) — r*) (Ix - = rid g log 2v— Im V («— !)(«-+- v—1) ll(^2v — (//>1 1) y( Ca mb r 2' rif (-1)" e, +< 81) -h (« 6':',_,(.r) lD 80) oo log ergibt ara tiv eZ Specielle Fälle dieser Gleichung sind die bekannten Formeln: Co mp +1 (log (1 -4-x)P„(a;)rfa;= (-])"-'—Irr Mu se u m of 82) ary of the ,-+1 r log (1 -t- a;) Pnix) dx = {—\)"- «— 1)(«.-4-2)' Er ns Gleichung 7il) folgt auch die Formel: ive rsi ty, \us der tM ay rL ibr 8.3) Un 1^X = rifv- 1) n(-^^) V / Wi2n^^-^D y i n Ha rd log rva 84) S I =« /2«-t-2v-+-lA „, 2-"+' , -r , ' ^ n(»-+-v) by the itis ed Neumann hat in seinen „Beiträgen zur Theorie der Kugelfunctionen" (pag 70 Dig Herr F von merkwürdigen Beziehungen zwischen den Kugelfunctionen erster und zweiter Art sind specielle Fälle von Relationen, welche zwischen den Functionen C'„(x) und Z)I(a;) ff.) eine Reihe aufgestellt Dieselben bestehen Ich werde nun zwei Classcn von Beziehungen zwischen den eben erwähnten Functionen ableiten, welche aus zwei verschie- denen Quellen entspringen Die eine Classc von Relationen verdankt die Functionen C'Jx) und I),^'2.,^i{x) bruehcntwicklung der Function sicii t~' 1'^-'') X— ww bi od ive rsi t 2(v-Kl) •1 p:/ /w 2(v-h1)(v-(-2) (tt -4- Lib V— ) He rita ge (»j -H rar y htt fw— 2)(>.-t-2v— 3) —2 V (m-1)(«-i-2v-2) — 2)(«-i-v — /'„(,e), so ist: m und '^„(.'•) mb rid g e, MA ); O rig ina lD ow nlo ad fro mit Th e Bio div ers ity 4(m-i-v y( Ca Nach einem bekannten ist: oo log Satze aus den Elementen der Theorie der Kettenbrüche ii(v) r 1^ ara tiv eZ Il(«— 1) ll(«-t-2v— 2) of Co mp 2)J 2-''-ä(tt-t-v— l)II(2v) lll(w-l-v— Ul(i ll(-v) of — G\^i(x) , />i+a, _ ) i ix), A1 +2 - 2^v-i :; (.-t-') n(v— !) diese Relation mit der Gleichung 80) und der ihr entsprechenden Formel tM man ii,',+;,_3(x) — 2(/«-t-v— l)x- A!+-lv-'i(j;) -f-(«-f-2v— 1) 2> ',+;,_,(.() = rva man sofort: the Ha so erhält rd Un (>*— 1) ive 8H) rsi ty, Er ns Verbindet ay rL ibr ( « -H 2v the C'',',(x) 85) ary « Mu se u m und daher by nC\{x^ , (w-i-2v-2)C;:_,(.-c) 2v— )Z>'~:,_,t^,r), ^^ n ay rL ibr 93) ty, Er ns tM die Formel: 4v* Clll(x)IJl(x) -h Cn{x)l>ll,\x) rsi 94) = ive Un rd rva man the itis ed by Cl{x), ül-i{x) Dlix), Dl_i{x) Dig so findet man Iciclit unter Benützung der Gleichungen 80) A„ so dass man ——17+7 ll(«)(a;«— 1)~^ Ha Setzt "'' = und 86): w-t-2v— ^ A„_, hat: n(w4-2v— 2) ii(H)n(2v— 1) ^ ' man: : Zur 309 der Finictionen C]J(X} aber: \ C\{x), Cl(x) = D\{x), Dl(x) ri(2v— 1) ^^ X"-' - 2v-+-l 2v-t- ^ - F(v-Hl,-^-,v+2,x-0| at ist 2x\v-\-l) ' oder nMcli ciucr bekannten Formel aus der Theorie der hypergeometrischen Reihen: 2v-l ^^ X' _ ylib rar y.o rg/ n(2v— 1) ' ww bi od ive rsi t n(2v— 1) {x^—l)~^ p:/ /w ist also ci{x), c:,_,{x) htt Es ) ;w ww bi olo gie ze ntr um Nun T/iciirii' — : : rar y ri(-/»-H-2v-2) Lib 95) Dl(x), Dl-i(x) II(w)(a;*-l) man man ity diese Relation mit der Formel 92), so erhält [c:{x)]', c;',_,(.c) Bio div ers Verbindet He rita ge - il('«.-)-2v— 2) D:_i{x) ' c;_,( ) , „^_2v-i, (1— x'')[o;,(.B)j' fro Cl{x)n{n){x'-1) nlo ad [Dl{x)]', m Th e 96) lD ow Berücksichtigt man, dass: so kann man diese Gleichung auch ina Form in folgender schreiben: rid g e, ist, = (« + 2v-l) C;;_,(x)— «x'C;(^) MA ); O rig (l-rc*)[C;(a;)]' C'nUx) [Dl{:x)^, Dl^,(x) y( Ca log •- tiv eZ oo n(«— i)(**-i) findet ferner leicht die Relation: Co mp ara Man Il(«-t-2v— 2)a; mb [GI{X)], 97) [Glix]], CI_;(X) of 2(« -H V— 1) Il(w -4- 2v—d)x Dl_ix) ri(«— l)(,c^— 1) - of the Mu [Z):(.r)]', se u m 98) Aus den Relationen 95) und 98) ibr ary folgen die Gleichungen ll(2v i»„(_x) rL ay ^ (^' ^2~' V + 1, X ) 1) C'„(,x) i-Xv, ^^^^,.^ Glix) =- Er ns rsi — / 2v ^- = »— -„ (x I) 2v^-l — — ^ , V -H 1, ' ! n(«-i-2v X — 2) n(»»— X)CU(a;)C;_x_,(a;) X-') == the Ha rva 100) "O^') T1/ ty, 2—^ ^ X tM 1) ^,v/ ive l):(.v) ll(2v Un 99) I,- rd ,.,^^ itis ed by 2xCl{x) Dig (x^-1) ^ y x^^ü (>t -i- V— 2A— 1) ll(w -\- 2v— 2X— lKM-2X)C:_2x(a;)6';_.x_-.(x) [« 101) D:Ix)^ n(2v— 1) 4v(v + 1)x^^+^ ^"^-^^ ^^^' ^^' gerade] ^2~' ^ + 2, x-^) = 2*C ;(a;) "-" ix^-V) ^ y ^„ (« -H V— 2X— 1) n(w H- 2v— 2X— 3) n(M-2X)C:',_.,(x-)C;-.x-.(a;) [w ungerade] — ) 310 Lcoj)(i Es seien und o(.r) zwei Fiuictioiien von -li.r) G ('(JciiIki inr 1(1 nach den Functionen wck-lic sich c, C'',(.r) entwickeln lassen, so dass: ^ix) 102) = yaxClix) ^ix)=yh^ci{x) 103) 'LS X Alsdanu ist: 6'o(a;„+i) C]{x^) , , G'i(a:„+i) G'„_i(j'j), , C'',{x^) ^y« C-(x,) Co(a;,) , Co(xg) C'i'(^,) , G\{x^ , , , Co(a;„+i) , , Ci{x„+i) — p:/ c«-i(a-V), rar y c';_i(j;,), htt 6„_i(a;„^i) c;;_i(x„+i) , JJL:=M+1,X=00 Lib C„_i(.t',), — ^ /w , , ylib rar y.o rg/ , C'I(x,) ww bi od ive rsi t ist ;w ww bi olo gie ze ntr um at X 2_;Ä^,a^Cl(x^,) Ordnung A^ ganze Functionen von welche Bezug in r,, ij, höherem auf jede der genannten Grössen von nicht als , r,j_i, dem Grade x^,+|, x^j^^., n — , x„ sind ferner: Cl{x,) , , Cl{x„+,) , CoC-Tj) , ••., Cl(x„+,') , C"i(x^) , Clix,) , C'uU,) Ci'(a;,) , , , C'„.i{x^), , C\[x^) , C''i{x^) 6'(i(a;„-)-i /, == CO e, C[)(x^ C"i(x„+,) rid g , , C'iiXn+i) oo Cl-l{x^), C^-.i(Xn+t) Cl^i{x^\ C'n-i(x„+,) , ara tiv eZ C'„-i{x^), log y( Ca mb \= , Co{x^) MA ); O rig ina lD ow nlo ist ad Es fro m sind, Bio die Unterdeterminanten erster Th e wo div ers ity He rita ge = of Co mp = ]]A^b,Cl{x,) l^\ —n m [1.= Mu se u und daher: of = ya;.hAl[Cl(,t^)\' [Aj =«+ + ; y^ ^>i ^1 ^ o° a,.k, A,A,, Clix^)Cl, (x,,) ay rL ibr A, [jL, ary A = n-^ i,\ :=oo the lt X, keine der Grössen A.^ in Bezug auf irgend eine der Grössen x den Grad it tM = Summe nicht ein Glied, in welchem Ä gleichzeitig p ^= /j., ist, vorkommt — übersteigt so ist nacii rva rd Un Da und ty, der zweiten Er ns Marke an (km Summenzeichen andeutet, dass ive in die rsi wo einem hckannten Satze aus der Theorie der Functionen /•+' li, |i, = >i+l; itis I ^ — I Dig — I*^ >., by /»+• ed /»+' the Ha C,',{x): [X, jl, '., = °o , y]a,hA AM^^)ChM{^-^r) , ' (1-4)"' •.•(i-x-?,+o"= /.(•, '/.'v (/x„+i^=0 = 1;X, ),i^» und daher: /H-l ,,'+1 /.+i „ 2v \\(-i—x]) — ' , 2/— f (i_;c«)"^~ 2v-l (1 cu.)^^Jx.^ .äx„ MA ); O rig | /ß^(l— ina 2v X>=| nlo ad wo: e, ist folgenden Ausdruck: y( Ca C den /2v— 1\ tiv eZ oo log Constaute schliesslich für die mb rid g Durch wiederholte Anwendung des eben auseinandergesetzten Verfahrens erhält mau ara 1I(>0 R \\(2v—V) n(A-t-2v— 1) m hat daher die Relation , C'!i(Xi) C'|{x^) , (flix^) ibr Gl(x^') ! , , C'o(x^,+i) Clix^) , C';,(x.^\ , , , C't(Xn+i) C"^{x^) , C'[{x^ , C''„_,(x^), , Cl-i(x„+i) C„_i(j;,), C'!,{x„+i) ^— , C\(x„+,) ty, y_i Un ive rsi -I Er ns 104) tM ay ,/,+ rL ^+1 />+f ary of the Mu se u Man of Co mp 2''n(«-)-v— 1) n—\ C^_,{x^), , C,',_i(u;„-|.i) the Ha rva rd C,l_)(x,), (1—4) - - .(1— + i) - (hylx^ .ilx„ itis ed by (1—4) Dig 2v— 1^2« + Hin defiuirt sind dass sich mit Hilfe des eben augeweudeten Verfahrens leicht eine allgemeinere Formel ableiten lässt, in der die Gleichung 104) als specieller Fall enthalten nenner der regulären Kettenbruchentwicklung des Integrals: ist und welclie sich auf die Näberuugs- — — ^•^2 t Leopold Gegenbaner X j —z bezieht ganze Function «ten Grades, also: ;w ww bi olo gie ze ntr um at Ist speciell f{x) eine X^n CiX'- f{^)=-Z x ^+1 ,^+i , tp(a;„+i) Cl(x^) , Cl(x^^ , , Cl(x„^i) C'^(x^] , C]{x^) , , C'[(x„^i) Oi{x^) C\(x^) , , , GiiXn-{^i) , C'„^i{x„^i) C,t_l(x^), Ci,—i(Xj,), , C,i^i(Xi,^t) ers ity He rita 6',',_) f/fj), ge C„-i(Xf), Lib rar y htt p:/ '""'UÄ, , ww bi od ive rsi t -.+1 ^{x^ , /w f(x{) ylib rar y.o rg/ man: div (1— af) (1 xl) ^ .(1 — x?,+ dx^dx^ - i) rh;,^i X'i j Ct){x^) , Liu(x.^ , C"^{x^) , C'i(x^) , Xn -^ , Caix„j^\) , C''i{x,^+i) , I fro y ow , Cl(x„^,) , Cl(Xn-Jf-l) , G,j_i(.e,;4-i) C'!,(x^) , Cl{x^) , Ci(x,) , Ci{x^) , Cn—iix^), rid g e, ^_i ^—i log y( Ca mb C'„_i(*',), x]) - 2/— f (1 xl) ~ 2v— .(1 mp ara tiv eZ oo 2/— (1 Co of m itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se u Dig -1 r+' lD ^+1 />+' nlo ad Xi m Th e Bio - ina iiat MA ); O rig so =o n(v— 1) n(w-i-l) _r_ll(v-l)_r r 22« +< (ri-i-v) ln(M-i-v— 1) 2ai(^ — '^ x|-)-i) dx^dx^ .(]x„ + \-= — 1 ) — 11 11 ) !13 Z/^r Theorie der Functionen C'^^x) X'l ^+1 ,-.+1 X^ J X;( y j _|^ I ^+1 C'n-i(x^), 2v (1 (1 - x]) Cu—i{x^), C,',_i(a;,), C,',_i(a:„_|_i , — — (1 /2v— IN /^v— lM-« + - C„_i(a;„-|_i , dx^dx^ - i) ria-(-2v— n ww bi od ive rsi t n(2v— 1) L 1)]^ F(_! He 108: (1— a;S + t) dxidx^ ^ dxn+i^ ow nlo ad ' 2^n(^ lD + na+2v— 1) MA ); O rig ina n(w 1) n(« +ra— 1) n(j3 -h w— i) ii(y— i) [n(v— 1)]'» 23"+iII(a_l) II(|3_ 1) n(7 -t- n— 11( « -+- v) [n(« -\- v— Df n(2v— Fl rid g 2 ' , ' « -t- V -H 7-t-w 7-i-w-)-l 1, , log y( Ca ' tiv eZ oo Differentialgleicliung- 91) ergibt sich, dass die Function: = C^(X cos ara z r -4- fx cos y) of Co wo: mp Aus der mb se u m ^ cos '^ -„-, fjL = Sin '' -^ the Mu A of der partiellen Differentialgleichung: ibr ary ist, 3^0 2v— rL 8^0 ay 9^0 ^ I 82; ) , dy /A J -t- „ ^ 2v cotang « 8^' d« ( „ h «( « -H 2v)2; ^ ty, Er ns 1 Un nun: Dig itis ed by the Ha rva rd man ive rsi genügt Setzt 3z -T/ da; tM ,^^, und beachtet, dass die Function C't (cos f) der linearen Differentialgleichung zweiter 2v— u" H genügt, so erhält mau zur — cotang f Bestimmung der nur von Denkschriften der mathem.-nalurw Gl XL VIII a c" Il(X) u e, ) T t( t u' -+-h rf h —2v— —— ) m Ordnung: = abliängigen Grösse: Bd Abhandlungen von Nichtmitgliedera pp =^ " — : 314 1 11 Leopold Gegenbauer die lineare Diffeientialffleicliuug zweiter Ordnung; 2v— 1> w i" 2vw' cotang « h- -+- n(n \ — 2v) -+- 2v— 1>, / P[P ;w ww bi olo gie ze ntr um at wenn man: oder, ^0 IV setzt: unabhängige als /; cos a (t) -+- , oo s n(-2-)l 2-+
- Xem thêm -

Xem thêm: Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 48-2-0293-0316, Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 48-2-0293-0316

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay