Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 58-0177-0202

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Ngày đăng: 04/11/2018, 17:01

ry org / ;w ww bi olo gie ze ntr um at 177 htt p:/ /w ww bi od ive rs ity lib ZUR TIIEORIE DER REGULAREN KETTENBRUCHE LEOPOLD GEGENBAUEIt, fro m Th e Bio div ers ity C M K AKAD He rita g eL ibr ary VON A) ;O rig ina lD ow nlo ad VORGELEGT IN DER S1TZUNG AM 18 DECEMBER 1890 Ca mb rid ge ,M Im erstcn Hefte des 107 Bandes des Journales fiir die reine und angewandte Mathematik hat Herr Charles Hermite1 gezeigt, dass die vte Ableitung der wten Kugelfunction erster Art Pn(x) sich von dem , \ -X~x y( (v— »)ten Nftherungsnenner der regulfiren Kettenbruchentwickiung der Function (as*—l)vlogoo log J, • nur durch oc Co mp ara tiv eZ einen constanten Factor unterscbeidct, aus welchcm Umstande sicb unmittelbar die Eicbtigkeit der bekannten von Jacobi" in seiner schOnen Abhandlung „Uber eine bcsondere Gattimg algebraischer Functionen, die aus of der Entwicklung der Function (1—'2xz+z%)~~2 entstehen" angegebenen bemerkenswerthen Eolation (M-V)! [ (x* -!)"](«- the Mu se u m (a*-IK,J »l (') (n+v)! [i r»\~'i 2w + l (x*-l)P,^) = Pn+l(x)-Pn-i{x) n(n+V) rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary of ©rgibt, und sodann als cine Fortsctzung des ilun von Herrn Beltrami brieflicb mitgetheilten, zuerst wohl von Herrn F Neumann in seinen „Beitragen zurTbeorie der Kugelfunctionen" (1878) bewiesenen Gleicbung rd Un ive die Formel the Ha rva ^-l)^+i)(S."S)8) ^-iyp''^ = ^n-l)Pn+^)-2(2n+l)Pn{x)+(2n+3)Pn.i(x) Dig itis ed by aufgestellt, Herr F Caspary hat lderauf in dem am October d J ausgegebenen zweiten Hefte desselbcn Bandes der angci'uhrten Zcitschrift die zwei zuletzt erwiibnten Eelationen in einfacherWcise abgcleitet, , l 14 p »Snr les polynomes Legcudre." Extrait d'uno lettre adressee a Mr F Caspary par Mr Charles Hermite aris A a S 80-83 il Journal fiir die reine und angewandte Mathematik von Crelle Bd., S 223 ff ' BSIIT qnelques fonuules relatives aux fonetions sph6riques.u Extrait d'une lettre adressee a Mr Charles Hermite l aris par Mr F Caspary A a S 137-140 Uenkschriften der mathem.-naturw CI LVIII Bd 23 Leopold Gegenbauer, 178 ;w ww bi olo g iez en tru m at die Giltigkeit desselben ftir die Kugelfunctionen zweitev Art erwiesen, was ftir die erste von ibnen sclion Herr F Neumann in dem eben citirten Werke und Heir E Beltrami in dem Bricfe an Herrn Hermite gethan, und aus seinen Formeln cinerseits die Christoffel'scbe Reihe P'r(x) ~ V " (2r- 41-1) P,._2X-i (*> A i x=o 2r-4A—1 (r—2A)(r—2A-1) PJ-iwi(«) if ry htt p \=0 ://w ww ^-KM^MiH^i bio div ers it anderseits die F Neumann'sche Relation ylib rar y.o rg/ x = [~-J] yH eri tag eL ibr a erscblossen Die N cumann-Beltrami'sebe und die Hermite'scbe Relation ftir die Kugclfunctionen erster Art sind eine unmittclbare Folgc der von Herrn Hermite aufgedeckten Bezichung der Zugeordneten der Kugeliod ive rsi t ~^-x functionen erster Art zur regularen Kettcnbrucbentwicklung der Function (a;*—l)vlog-j J Diese und ——JO dz=Qp{a)Pq(c) CP^S) rig i f+1P,(«)P,(«) na lD ow nlo ad f rom Th eB mancbe andere Relationen im Gebicte der Kugclfunctionen erster und zweiter Art, von denen icb bier nur die von Herrn F Neumann im § der zweiten Abtbeilung des friiber erwabnten Bucbes aufgestellten interessanten Integrale y( Ca mb rid ge , MA ); O p-^y# _ (1_ f ») Ql{a) P,{g) l Zo olo g Pp(z)P'q(z)dz_ a—z ftWA'W (p^s) Co mp ara ti ve 2er m of (j» + ungerade) (i>>30 (^+2 gerade) eM us eu {mq) Lib rar yo f th hervorheben will, aus deren ersterem von Herrn C Neumann ' die boebst bemerkenswertbc Entwicklung X =00 ++ (ô> Er ns tM ay r 2, (m ô &*-) = »" ' ' Z a4r * (F) °-W (F) Dig itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, abgeleitet wurde, sind demnach als ganz specielle Fiille in allgcmeinen, anf gewisse regulare Kettenbrucbentwicklungeu beziiglicben Formeln entbalten, und treten namentlich in der Theorie der Functionen Cl(x) und Dl(x) ebenfalls auf Dies zu zeigen, ist der Hauptzweck der vorliegenden Mittbeilung, in deren eistem Paragrapho die oben erwiihnten allgemeinen Relationen fiir die Naherungszahler, Na'berungsnenner und Restfunctionen regularer Kettenbrtiche aufgestellt werden, welche sodann im zweiten auf specielle Falle, insbesondere anf die Functionen On(x) und Dvn(x) augewendet werden und dadurch zu einigen interessanten Relationen ftir die Bessel'schen Functionen erster und zweiter Art ftibrcn Znm Schlusse werden sodann einige Relationen ftir die Functionen I>l(x) ermittelt, welcbe zeigen, dass die von den Herren F Neumann, E Beltrami und F Caspary bervorgebobenen Relationen fiir die Kugelfunctionen zweiter Art dem Hydrodynamischc Untersuchungen, nebst eincm Anhange iiber die, Problems der Elektrostatik und der magnetischen Induction Leipzig 1883, S 311 Zur Theorie der regularen Kettenbriiche 179 ry o rg/ ;w ww bio log iez en tru m at Umstande ihre Entstehnng vcrdanken, dass einerseits zwischcn drei aufeinanderfolgcnden Kiigelfimctionen zwcitcr Art dieselbe lincarc Relation besteht, wie zwischen den entsprechendeii Kugelfunctioneii erster Art, und dass anderseits beide Arten von Kugclfunctionen particulate Integrate derselben linearen Differentialgleicbung zweitcr Ordnung sind rsi tyl ibr a Đ p:/ /w ww bio div e Die nacli ganzen negativen Potenzen der Veranderlichen x fortscbreitende Function f(x) moge sich in einen regularen Kettenbruch entwickeln lassen, (lessen /c-ter NRherungszahler, Mherungsnenner und k-te Restfunction beziehungsweise mit ?k(x), ^k(x) und/*(») bezeiclmet werden soil Da nacli einer bekannfen ge Lib ry htt bestimmenden Eigenscbaft der Naherungsbriichc die Entwicklung der rationalen Function -|^T-T nach steigenHe rita den Potenzen von — mit der in derselben Weise fortsclireitenden Entwicklung von f(x) bis zu den Gliedern iod ive rs ity von der Ordnung 2/c+l exlusive Ubereinstimmt, so ist • Ik | df rom Th eB AH-I rig i na lD ow nlo a a) Die Function fix), wclcbe innerhalb eines bestimmten Bereicbes in eine nacli den Naherungsncnner *Pi(x) fortscbreitende Rcilie A) ;O f(x) = V BxfyKz) rid ge ,M x=o Ca mb entwickelbar sein moge, soil so beschaffen sein, dass in der Entwicklung des Productes xm fehlen, wahrend das GUied mit— m nl vorhanden ist x/rm+i + Co mp ara t ive steigenden Potenzen von — die Glieder mit x i x" i Da nun X=0 B0A +*+m(«r) *rV) +ijr1)w,*J5d)(*)» • • • ,fcV) (*=£,&+1, ,&+»»—1}^=0, 1,2, , v— 1;/A=1>2, 3, ,r) Zur Theorie der regularen Kettenbrilche 181 z, a2 a/c-|-„ /; w ww Qk-\-m • bio log iez en tru m at Bezeicbnet man mit ar beziebungsweiso ar den Coef'Iicienten von x im r-ten Partialnenner der Kettenbruchcntwickluiig von f(x) beziehungsweise f(x)f(x), so ist offenbar My) p:/ /w ww «n-*,rv(a,)'rv(y) bio div ers it x—y ylib rar y org Mit Hilfe der bekannten Formel htt kann man die letzte Gleicbung in die folgende verwandeln: '.(*P) ^~i ibr ary a a, ak ^Ux"Wx) y.s+ii^ixWiw^) a, ôj a*+i Z_J ty He ri tag eL (2.) = 1,2, ,m—1,A) eB iod ive rsi (A = 1,2,3, ,m—l,^;p = 1,2,8, ,r;*,= 0,1,2, ,VP-1;T ad /(ô): 'x(y)dy xy lD ow nlo v1=v, =vr=l; fro m Th Den speciellen Fall » ?>+i(*) > ?*+* > • • • ' ?*+»» Co mp ara t ive Zo olo ?»(«) gy (C am b rid ge ,M A) ;O rig i na dieser Entwieklung babe icb vor 12 Jahren in meincr Arbeitl „Zur Theorie der mecbanischen Quadraturen" mitgcthcilt Aus der Gleichung (1.) folgen sofort die zwei weiteren Relationen r'w.fw^'W" • • •> *ivw Dig itis ed b yt he Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns t Ma yr Lib *y w yo (3-) > %+Jxz) rar m (-i) a>/e+m ?*(#) = f th eM us eu m of ^»-1)(»l)i%l1,(«i)»*ft71,(»i)» (X=&,fc+1, ,4+m—l;ftp = 0,1,2, jV^—1; (* = 1,2,8,.,.,r) Sitzungsberlohte der kais Akademie der Wiasensohaften, mathomatisch-naturwissenscliaftliehe Classe, LXXVIII Bd H Abth at tru m bio log iez en ;w ww rg/ yh i **+i(ft) **+»(ft) ibr ar +i(ft) I **+ô{ft) K+Jft) ge L (-1)" C,+r, fi(x) = , **+! (ft) , *4+iS(ft) » •f^W r"W, +&7l}(ft)> feJ)(ft), • • - , WtfKft) Bio div ers ity He rita (4.) **(**) ttp ://w ww bio div ers ity lib ry o 00 Th e • TO o *»+.(*•) loa df rom o rig ina lD ow n TO (X = ib,& + 1, ,&-t-»—l;ft, = 0,l,8, ,vf-ljjiss 1,2,3, ,') ô1ôI ô*+! |T(*p) / N| T f x Ca mb rid ge ,M A) ;O Mit Hilfe der Gleichung (2.) leitet man leicht die folgende Entwicklnng der Functionen tyk(x) nach den Naherungsnennern fk(x) ab: a,«, «* |*4x4W|^W oo log rat ive Z Kd+^w^w K / vl I ,W| I C*p) / )\ |V^.W| ° |*£W>>| • • • |#£4w.w|» |*£Uw (,!,(*„ •W-t) *,(») 0 0 |*K,w| |*K.w| um of *1 I , (^)U^U (ft)| «tait aA—1 iT(i ) (5.) / y( "'_"»_* !*£> I (*p) |**-H*_iW| |V4+>.4_2W| f • • • ary of the Mu se U?),(-IM*&> >P) • (-i) i1 *i5L_,^) 3+ •
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