Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 57-0735-0752

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Ngày đăng: 04/11/2018, 17:00

m at 736 bio log iez en tru EINIGE ibr a ry org /; w ww SÄTZE ÜBER DETERMINANTEN HÖHEREN RANGES ww bi od ive rs ity l VON p:/ AKAD htt M K DER SITZUNG AM JULI 17 1890 ow nlo ad fro m Th eB iod ive IN rsi t VORGELEGT yH eri tag eL ibr a ry C /w LEOPOLD GEGENBAUER, ina lD Ich werde im ersten Abschnitte der vorliegenden Mittheihing einige invariantentheoretische Relationen welche sich aus dem von mir über Determinanten höheren Ranges aufstellen, ;O rig und mehrere Theoreme e, MA ) bewiesenen Multiplicationstheoreme dieser Gebilde ableiten lassen, und sodann im zweiten Abschnitte eine dadurch entstehen, dass mb rid g Reihe von Sätzen über Determinanten höheren Ranges, welche aus einer beliebigen allgemeinen Determinante der zu einem bestimmten an festgesetzter Steile befindlichen Index gehörigen y( Ca in Zo o log Reibe die entsprechenden Elemente der zu einem an anderer Stelle liegenden Index gehörigen Reihe in vorrat ive geschriebener Weise vertauscht und mit willkürlichen Grössen multiplicirt werden, und mehrere bemerkens- Determinantenquotienten zwei interessante Darstellungen der Classenanzahl binärer quadratischer of denen besonders um angeben, von Summen von gewissen Co mp a werthe aus diesen sich ergebende asymptotische Ausdrücke für Formen mit negativer Discriminante Werthe gewisser Summen von Determinantenquotienten und Mu se als mittlere Summe von solchen Quotienten hervorgehoben werden mögen of the eine Darstellung derselben durch eine Zum ibr ary Schlüsse Iheile ich endlich eine Verallgemeinerung einer der Elektricitiitstheorie angeiiörigen Clausius'sclien Rahmens der anderen Eutwickelungen liegt ns Das Product zweier Determinanten «-ter Ordnung und r-ten bez .s-ten Ranges rsi ty, Er I tM ay rL Relation mit, die allerdings ausserhalb des vlf't.'i v=i,2, 3, .,n); \bj„j, jjl(j„j >s = *.2.3 Ha rv wie ich gezeigt habe 'j, als Determinante derselben Ordnung vom Range by the ist, ard Un ive [^•- i *r+,_2l(i, lu ' *|i-|-i.*r-l->-2 Leopold Gegenhauer, 736 wo definirt sind, der Index X in Elementen mit einer ungeraden Anzahl von Indices nicht an der Stelle der festen Indices stehen darf nun zunächst = 2' « \, ^ = K C *,_, X i, (*»' ', i ,i^=\,2) fe3 g .(/.,3-/a)òl*:;*74 '.*3-r'' ('ằ''ằ' log K+._,='^'v^—h) i-^_„x,.^ , • •»' = 1'2) /; w ww bio V.,+ iez en tru *,_, m at Ist = « = 2' endlich fUr X g+2 für X ^= , ibr a ity l ive rs 1, des letzten ww bi od gleich vorletzten gleich 1, Ausnahme des alle mit gleicli 1, für X =3 alle und vorletzten gleich letzten /w s f., 1, den Werth besitzen, so wird alle *r+.-2 ^+1 JrJ: lo.Jj i,^, = 1,2) yH I eri tag *"^ eL ibr a ry htt sind u alle Indices Ausnahme des p:/ = lind für A mit ry = -(2, 1) = für X = alle mit Ausnahme (l,2) ist, org wo _ Ja+i eB iod '-V+s-j' q(* ''2 '^hJi *r-i) Jj+i fro m i,h,h, Th „(i.-^ y( Ca I _ e, „(*,.*: ;O rig und daher hat mau die Relation rid g ist, ina lD nlo ,*r+s-2) ow (k,,k ^J:.h 2.3 p(*r ^>+l ' '- *,.+ s— iv_i) '"*'•'= *'•-' J*r.W2 •.^V-(-,_2) "''>•*'•+< *.-+s-2y A„ij, ,'„— '2 (/.„fc, m 1., .,*,.,s_2 = 1,2, 3, ,n; z-„ !-j, .,2„_, = 1,2) Summation bezüglich der Grössen h die eben erwähnte lD die Bedingung zu ina wo ow nlo ad fro i„ yH eri tag eL ibr a ry ist die Grössen |3'*"*='"'^'-'' und ^ '*'"*'— ;O rig nun wieder MA ) Stellen Formen vor und werden durch ''•+>-2' ' erfüllen hat früher die angeführten binären den angegebenen Zahleufactoren behafteten (/(— IVten rid g e, die unteren Indices die mit y( Ca mb Ableitungen verstanden, so wird ive Zo o log r^-s- (ifc„*.,. ,ir-i '"*"*= *'•- _(*r.*r+l' ' '"*'" • • •- *r-|-s-2) '>+'' ' v *>+s-2 yi-1 Mu se um of Co mp a rat ••,„— I 'l.>2 ^-'''V+i' rL !)"'*'*= •••*'-i _{l'r,''r+l: -'K+s-2) • • • ^r+.-Sy-l ay (4„*j, •.•,*^- ibr ary of the und daher erhält man die folgende Eelation zwischen Covarianten von »''+ beliebigen binären Formen: i,+,_2= 1,2,3, ,«) ty, — 1) (A-„ i., rsi M(n Er ns tM !(*.,*! a , i,_,) _ *r+s 2) (i^, !,+! a (ô A *,.+.-2 = .,«; i„ I, 2, 3, ij, ,t„_| = 1, 2) •.•„_i = ' 2) the speciell (*,.* |V*x i,_,) "'*.*;! ••.*,-! *.- (*r.*r-H. *2r-2) Dig 1/ itis ed by und Ha rv ard Un ive = i-i~"R(ằ7' *r+l ' *2r-2Yô-i j ' "(n-l) = (-1) Als specielle Fälle dieser Relation wendeten Formeln angeführt werden: l(*„*2, / "^a: = 1,2,3, , n) n— ' , (*l, ^ ••,i2r-2 F1("T' mưgen a:, h' •••.*r— 1) i,,!-, • •,l„ (i„ij, ,*r-i = 1,2> 3, die beiden folgenden längst bekannten •,"! i.'i und wiederholt ver ed itis Dig by the ard Ha rv ive Un rsi ty, Er ay tM ns ary ibr rL of the um se Mu of ive rat mp a Co e, rid g mb y( Ca log Zo o lD ina ;O rig MA ) ad nlo ow m fro rsi t ive eB iod Th ry ibr a eL eri tag yH htt p:/ ive rs ww bi od /w ity l ry ibr a m at tru iez en log bio /; w ww org Determinanten höheren Ranges (/; tr, if, ?y, (f, 739 -w^ Leopold GegenJxiner, 740 Genügen Permanente die «'"Elemente einer Ordnung und w-ter Ranges »i-tcn + m at den Gleichungen tru m — 1, Ordnung vom Range «!-fachen der Permanente y^ter iez en dem dieselbe gleich ist /; w ww der Definitionsgleichung aus mit derselben auseinander- •) Sylvester'schen des Hilfe ibr a ry sich org Wege gesetzten Abhandlung „Über windschiefe Determinanten höheren Ranges'' in der lassen bio verschiedenen Elementen gebildet werden kann Auf dem von mir welche aus den «""' log SO manche Untersuchungen B über (z ive rs ity l Multiplicationstheorems der quadratischen Determinanten leicht zwei für (1) '(') '(') 'K) (') n^r) Ci r l'2 (") (') ' ' ' ' ' , (7 A LlV (")\ (-) [-/.(') \ U J U;i V 'i^x ' • • [V^ (2) 'Vi' , eri tag (") «j— I 1' r ' ' 2' (" ci-J- ' r ' yH (I) / Vj» ' (') • • • (I) (")> (2) (') (»x) ,k,, ,k, /h 'V{ j; > ; A (-) , ('t) A, , , ^, , ; a,J '(2) '(1) ,- ,Xx ,Ax • Vx j; '^W ; '^T , nlo • • • • ) '^x K ,h ,-, !h ; ; ôxj [(ôVx ' 'Px ' • • ' 'l-x ) > (I) '] (^'x) , ,/.-x ; , -,h /(2) ,Ax >'x ; — ]-] /.(') hl {'v^> «X /(l) (C-) (2) ,K lD ow , ina M\ h!,)Th 'Vx' -' Vx^v^^t' ''Vx' -''>x/''' _(ô)x (ọ) ''3 > -V 'v 12 )«1,,(1), ,(1) "2,,(2),,(2) .,,(1) wi — ^„, i(2) m—i i('0, ,(«) ,(«) m— Zo o log y( Ca Xx j' »«— 2) O '(^-x) — Vx ? ;O rig (2) • MA ) (1) (^'h{,'i4) • » • e, / Vx ; rid g [(^?V( mb ad fro m Th wa /c7 '(•) ive 1'2' /,j '(1) (',.) rsi t rl2 (1) eB iod (f) n ibr a (.-,, 2, eL K''i.'2 •••.',„1 htt p:/ i^'r) /w (1) ww bi od windschiefe Permanenten) recht brauchbare Darstellungen dieser Gebilde ableiten, niimlich: (1) K) ive (1) r '(',.) r (') (1) S mp a um (1) (1) — /(l) /(i) '^2 'S (1) ',„-1 (»)\ (2) (!) ary / («) ibr l / / ' = '• a- Vi''\ '\ 'i- '2 (2) / (') (^x» (-) f'x) ;Ax ,Xx , ,Ax ' v/'-T ; ôxj r/ (i) ('0\ / (1) (2) (I) («)\ ns (2) tM ay rL «i ' H(, (1) '^2 "i ' -'K («K (2) {I) /(v) j(^«J(^«/J [(^Vx'Vx' -'*Fx> VVx'V^ -;VO;^'w/''x • ' rl2rr 12 /_j (J^) the (I) of V, ằj V > 'S (") 12 of ô) ! 1,2,3 se -,, ,,•„,= Mu l.'2.-.',„|(,-,, '(I) J Co I I '(') rat 12 Er VxvjVxJ; (J^) (2) ''^^ , -,^x (1) O (a_l (2) \K ,h , -,K ; ] r/ «xj [(^v,, (")\ (2) / (")% (2) (1) V,, , VxM^i^t' V' -'V4J; ty, -^^ (I) ive rsi [(/(.''Vx' -' Vxj' v'Vx' _'(!) (r,^) Un (2) tx jÄx ; Ä, , _'(J-) /(2) ,-.-,Äx A-c Ha rv ard , ,/.'x 'n ; r/.C «x j [I^^VC» (-' 'l^x'" .r, , p.'i, k-~ , , k- ' '/',- , p-'r, irgend eine Combinafion V,, sind, Diese Denkschriften, 55 Band Vj, ., v,„_i_2, bcz tjx-ter ^„,-2,- Classe der Zahlen 1, 2, 3, ciuc Pcrmutation der Zahlen , n, 1, 2, die Grössen , m— 741 Determinanten hưheren Ranges der Determinante (« i ' k -te, ,i'i, Verticalreihe derselben bez durch die / -te schieden sind und bezüglich a- bez aL von .,/, ''-te Verticalreihe -te, L von den Zahlen k^ den zwei ganzen Zahlen a- bez n ver- — «' log «' -te, X sumrairt wird bio — zur kleineren von bis T'T''T unter den Grössen u- dadurch entstehen, ] und Determinanten höheren Ranges klar hervortreten Es mưgen Elemente «,,,, ,-., lässt Ordnung und einer Determinante »-ter ^ (2OT + l)-ten Ranges gleich ive rs ity l alle /; w ww nun zunächst ein 8atz abgeleitet werden, der deu innigen Zusammeniiang zwischen Permanenten soll org Es bez n ex^ ffenau i ry — und n wo i] ersetzt wird, , i / tru k' -te, (i iez en x't''t welche aus ist, ibr a dass die k Ordnung m at eine von den quadratischen Determinanten ô-ter (I) ^ V') > > V') ô'3 ôằ ô' ; > (3) ô' (2) ^ '-.(2) ''t ^ ^ / (2, , ; T > / (r) /w «' > *(,) t (r) i > > ô (r) *x keiner der angefüln-ten der Indexreihe angehört und n unter den ganzen Zahlen festen eri tag Indices eL wo ist, ibr a ry htt i| p:/ > •',(•) ww bi od Null sein, in denen Alsdann rsi t yH -,, , r, gerade sind -,, '2.- '2„,+ l • • ,-.,, (,-,, , I = /2„,4_i 1, 2, 3, — n) , Th %< ','3m = " '2 •>'2,« = ' ad '2 r in nlo Ti- gerade mb Zo o man so erhält ist, a von den Indices + 7^+ +r^ Werthe annehmen n(2iii-hi — — — Gleichung stehenden Bezug auf jene Stellenzeiger eine Zahlen der r, i-','», eine Permanente w-ter ä.',2>, ., -^ darf — + r)-fachen r; am Führt Summe welche der zugehörige A:M aus, für Ordnung vom Range c+l, und summirt man se Exponent in T^ ive in der auf der rechten Seite dieser zunächst die Summation y( Ca log keinen der eben angegebenen jj deren /„ denselben Werth haben, während die Marke A of man Indices rat Productzeichen angibt, dass alle Werthe des für jeden der angeführten ist, mp a ix' Co k''l\ Ä:l'', , dass anzeigt, rid g Marke am Summenzeichen die um WO e, MA ) M ;O rig ina lD ow M fro m I eB iod ive ist the r,.+;-— s dadurch entsteht, dass die einzelnen Produete von n Elementen ary ibr der Entwicklung derselben durch die eben genannten Permanenten ersetzt werden Nennt man diesen Aus- rL in of 2m+ — r, — -^ Ordnung vom Range Mu sodann in Bezug auf die übrigen Indices, so ergibt sich ein Ausdruck, der aus einer Determinante «-ter — Zr+r—a und dem Er Satz: ty, a,-,, ,, ns man den rsi erhält Elemente i ^ einer Determinante «-ter Ordnung imd (2w+l)-teu Ranges gleich Null denen ^ the '*(') > hw ; ô*(2) T, I > ằ*(2) - > ô4(2) > > ',t(2) Tj )•••; hi'^) i > '*('•) > • • ^ '*M -Zf wo r,, Tg, 2?»+l Dig ist, itis ed by > hw ^ 12 V») Ha rv ard in alle Un Sind 2m+l — r, — r^ — ive Grade a+1, so tM ay druck kurz eine Determinantenpermanente der Ordnung n vom Hange keiner der angegebenen Indices , r, gerade sind, so — — — r, r^ Berücksichtigt — T, man +r die ist der festen Indexreihe angehört und (t von den ganzen Zahlen dieselbe gleich einer Determinantenpermanente der Ordnung n vom Range n und dem Grade u+l bekannte Eigenschaft der Determinanten ungeraden Ranges rücksichtlich der Gleichsetzung aller festen Indices und die in dieser Mittheilung abgeleitete analoge der Permanenten, so erhält man aus diesem Satze das neue Theorem: Leopold Gegenbauer, 742 Sind alle Elemente Ordnung und (2m)-ten Ranges einer Determinante ?jter a,,,, 2, , i2,„ gleich Null, in denen • > 'i.(i) > '/,(;; ; > ',,(2) > «i(2) T, > • ''i(2) • ; wenn a, > 'iW ; Sätzen zwei von mir > ',(') — r,, r^, , r^ > • • • — z^ r, > »>(r) T^ r^+>- c ist anderer Weise früher') in ermittelten /; w ww bio die '/.c-) vom Range 2ot+1 Anzahl der geraden unter den ganzen Zahlen a die ergeben sich aus diesen Speciell • i dieselbe gleich einer Determinantenpermanente der Ordnung n und dem Grade • Tj m at ist tru SO > 'ii") iez en ist, 'i-o log > > 12 '*(') •.!,„ +1,12 '•3. .''m4-l|ci,, Kl, = ,-2, -,!-2„>+l = '"'+2' '3 '• 2, 3, ,, „) > ^ô+3,- ôm4-l , > ''2m+lj ) , i, = htt p:/ ij, ry (^•^, 1, 2, 3, ibr a | im+i •, , n) eri tag eL P''l."'2. -.''2„, |o-,,!2, ,i2,„= 1,2,3, ,») '», • ^ i'ä + |^''|.''2. >''l>!'2 ij, ibr a '2 'S.- ity l T'l ry + — ive rs =1,2, 3, ,K) ww bi od |o-,, !2, ,i5„,_,_, /w P'l '2. -.»2,»+l org Gleichungen i-im—^ 1'"' > '"' + '' '2 > *"'+2, > ô'ô > ô2/4 ) ive eB iod dem Multiplicationstheoreme der Determinanten ableiten Dasselbe ad sich Multiplicationstheoreme derselben aus nlo zunächst die Gleichung J2,- ••,;„ = 1,3, 3, ,«) MA ) r>l J2. ' j»|(;,,i2, ,:,„,;„ • —| ^41,^2 *2,„ + 2s_4 | {ij, ij • • •,*2,«+2.-4 = i,«-»- • •, ") rid g e, |^'l.'2. -.'„,| ;O rig ina lD ow liefert höheren Ranges erwiesen haben, so lassen sich als specielle Fcälle von Determinanten Permanenten Th die der ersten Gleichung hat bekanntlich Herr R F Scott^) gefunden m Da = m speciellen Fall fro Den rsi t yH (a,-,, ,,, , (^2 *"* >- '% ^'"J >> "^m+i)> ft'2m+s+3— • log ^ •) "'ci-l "»! +ci— 2, «oi + l ;;:> «^m+cj— ij- • •? A',„_| ;^ A-2„,_3, fc2,n+s— 1; • K2„i+'f,—H d,"^2m-|-3_2 mp a , > fem+s + ò 4; • • , Kim-^s—i >- "'2m— 2s— sS^a >- «'2»i+^— s) of Co ^2m— l>^'2»i+s— 2l A"2m> rat ive i-2m+2s— Zo o ^ij.ij y( Ca mb WO — l'''a'''(I+l>-"''m-l''''»i>*M4-l'"-'*m+P-2'*ct>^;H+P ^,«4->— 2'''m+l'''m-t-2.-,*7n+p-2>*o'''m+p'""''m+.— und rL K k^ nicht an der Stelle der festen Indices stehen dürfen ay und die Indices tM ist ibr ary of ^=ß*l,i2, ,4a_l,i„,i-a4.1, ,i,„_l,i2.*3. -'''a the Mu se um ^Al,42 ,*- l.*a'*a+l' */ô l'*2.*3."-.*(j-l'*or+l'"-'*Ml'*m'*M+l'''-4-2' -.*OT+p2.*^ct'*ôl+ò'-"i^m+s2>*^^^ liefert das Theorem: Er ns Die eben ermittelte Gleichung zwei Permanenten w-ter Ordnung und »i-ten bez s-ten Rnnges lässt sich als eine cubische ty, rsi vo"n ive Das Product ard Un Determinantenpermanente w-ter Ordnung vom Grade Ha rv Auf demselben Wege lässt sich m+s— darstellen der folgende, übrigens unmittelbar aus der Definitionsgleichung der Per- by the nanenten ersichtliche Satz ableiten: itis ed Das Product von zwei Permanenten Dig Ordnung vom Range »w w-ter Ordnung und >w-ten bez s-ten Ranges ist eine Permanente «ter + s — Mit Hilfe des Multiplicationstheorems der Determinanten höheren Ranges beweist man ferner leicht die folgenden Sätze: 1) „Zur Theorie, der Determinauten höhereu Ranges." Diese Denkschriften 4G Band 2) „On some Forms of Cubic Determinants." Proceedings of the London Mathematical Society Vol XlII 743 Determinanten höheren Ranges man Ersetzt a-ten Indices X =: 1, 2, 3, , Determinante «-ter Ordnung und w/teii Kanges die Elemente von in einer c;,, r,^^, gehörigen Reihen a^ ^ 1, 2, 3, ,ô; *,_i,*c+i ak^,k.i, ,k^_^,c^,k^ ',„ {[\ '-Po — 1> 2, (,"• F-]) 3, [l, /x] der grösste p) , noch die a-teu gemeinsame Theiler der ganzen Zaldeu r-ten Indices die feste Indexreihe vorstellen, und und /j die Anzahl der Divisoren desselben ([/, ja]) -^^ beliebigen ., p, zu htt ry m ibr a anderen subtrahirt, wo bei ungeradem s) , von der die feste ludexreihe eri tag verschieden ist mau Determinante in einer Ordnung und ii-tev ?H.ten G,-teü , «; X gehörigen Reihen ^p = 1, ive a.^, , 2, 3j durch die p) , ai,,i2, ,i-3_,,a^,i,,^, , ,ô, (/.,, eB iod a^, Summen ^a, , p k,„ Th Indices 1, 2, 3, ., fro m = ^ « zu beliebigen = , h-i, k^+i, Ranges die Elemente von rsi t Ersetzt (7-ten a^, a^, eL (l z= 1, 2, Indices der vorletzten Deter- der entsprechenden Elemente der yH — t7.~ ity l YA Eine Determinante « ter Ordnung und »(-ten Ranges wird mit zu beliebigen so org ändert sich die Determinante nicht p, ist, /; w ww Ä log weder die bei ungeraden w? bio wo iez en tru m at z zu beliebigen n Summen durch die p) g p a '2i)) 'p~~^ '2 zu beliebigen 7-ten Indices ^ /jj , w ; X := ff,, (Jj,- , 1, 2, 3, , ffp p) gehörigen Reihen durch die Summen ak^^^^ *,_i,'x*c-i-i.-'*2^ Leopold Gegenhauer, 744 ).= der grösste gemeinschaftliche Theiler der zwei ganzen Zahlen ist Determinante in einer Ordnung und «,-ter anderen, in der dadurch entstehenden Determinante Summe und ^^ fj Ranges w(-ten Summe gehörigen Reihen die Elemente einer jeden Reihe durch die Elemente jeder Reihe durch die 1, die so entstehende Determinaute gleich ([X, —l übrigen, ., 'j^-tcn, , endlich in der ry org p, ibr a der entsprechenden Elemente der p, — anderen, Indices nicht die feste Indexreihe vorstellen, so c7s-ten die ist Determinante gleich der ursprünglichen multiplicirt mit O ( — l)'')"' (p^^— 1) htt p:/ /w schliesslich entstehende c;,-ten, Summe zu beliebigen c.-ten Indices ity l die ;h — log p^ ive rs ungeradem p^ zu beliebigen a^-ten Indices gehörigen Reihen die in p^ ww bi od bei )fc-ten Indices c7,-ten der entsprechenden Elemente der vorietzten durcli Fortsetzung dieses Verfahrens sich ergebenden Determinante in wo der (f>l'f zu beliebigen in p, der entsprechenden Elemente der gehörigen Reihen die Elemente jeder Reihe durch die Summe die /j.]) (?ô')''"' m at man Ersetzt so ist, tru Potenzen der Theiler desselben iez en iJ.] bio [l, /; w ww WO •' I p) ry ibr a eL i,^^ quadratischen Determinanten {k^,k^, ,k,^^,k,+t, k„,z= 1,2,3, , {ak^,i.,, , durch die Grössen rt/., , > , dem Producte , „, , /, , ad nlo = ow a|,.,t '•{(', 16, i^_^, l^_^^, , *,„; , Op) cn,c:2 ,, (X / , = 1, 2, 3, Für ein ungerades O m (p , p) — l)-ten weder die stellen hierbei ina lD I die r-ten Indices die feste Indexreihe vor ;O rig noch i^, , aus der ursprünglichen und der fro neue Determinante gleich Potenz der quadratischen Determinante ^ MA ) ^=n, so entsteht die specielle Formel i^, ,i,_j,i,_j_j, ,i„, ; P!, i|(,-, = l,2,3, ,7,)|(i,,i2,.-.,i^_i,£',A,, ,i(,_l,4a+|. -.*,«=' 2, mb J, y( Ca |(.a*,,42, ,i^_,, rid g e, Ist p ^^, ] m X-ten Verticalreihe ersetzt werden, so ist die ff-ten ^^_^, ir, ^^ßlche dadurch entstehen,> dass in der quadratischen Determinante |i,i|,., I '.''|(,,4=(jj,(j2, -.Op) ,)) »2, US,.-., tip)" Elemente der die p ai,,i2,.,.,t^_,,,^,i^^, rsi t , ^ n zu beliebigen p ive , gehörigen Reihen a^ , durch diejenigen eB iod |i,-, a^, Th 1=1,2, 3, iL , "K"! * = '1, (7,, eri tag Indices (7-ten Determinante «-ter Ordnung und m-ten Ranges die Elemente von in einer yH man Ersetzt l^''Hjri*=l,2,3 ) I'''''l'*2' -*'ôl(*i,i2, -,*,=l,2,3 n) rat ive Zo o log ~ 3, ,7i) Co mp a Diese Gleichung hat für quadratische Determinanten Herr die ermittelt Herren C L Landrö^) und Fouret^) für quadratische um of Das zweite von diesen Theoremen haben W Kretkowski') Mu se Determinanten im Allgemeinen abgeleitet, während Herr Glaisher*) es für die specielle Determinante the bewies Das vorletzte 1,2,3, ,n-i) Theorem enth.ält als ganz speciellen Fall den folgenden von of o, aufgestellten Satz: ary = Glaisher a a II Elemente a^, «,, ., beschaffen, dass ihr «„_! durch die Summen a^-^-a^-h +«„_i, a^, (n — 1) muUiplicirt + + a^+ ()^ +«„_i, ty, +fl,,_2 ersetzt Über diejenigen Determinanten höheren Ranges, welclic aus hervorgehen, Werth mit (—1)"-' Er ns ihre .,«-() ist so rsi + i, 2, ive , wenn man a^+ö, = o, (,, jt Un ard wenn man Ha rv wird, | ay | tM Die Determinante a,_i rL ibr |«,-i|(i-, i in einer beliebigen allgemeinen Determinante der zu einem bestimmten an festgesetzter Stelle befindlichen Index gehörigen Dig itis ed by the Reihe die entsprechenden Elemente der zu einer an anderer Stelle liegenden Index gehörigen Reihen in 1) „Beweis eines Satzes über zwei allgemeine Determinanten." Denkschriften der Krakaii, LX Bd Der Inhalt dieser in pohlischer Sprache veröifentlichten Mittheilung ist k Akademie der Wissenschaft(Mi in mir nur dureh das Ket'erat in den „Fort- schritten der Mathematik" bekannt p ") Eene 3) „Sur une Stelling 146—151 *) „On somc omtrent determinanteu." Nieuw Archief voor wisknnde, VI, 208 mode de trausformation des deterniinants" Bidlctin de algobrical expreasions whicli are unaltered by — 211 la sociöte certain substitutions." de mathematiques de la France; The iMesscnger of mathematics, (2; t 14, X 715 Dderminanfen höheren Banges vorgeschriebener Weise vertauseiit, lassen mit Hilfe von früher bei verschiedenen Gelegenheiten von mir slcii Theoremen aufgestellten Sätzen eine Reihe von von denen ableiten, den folgenden Zeilen einige angegeben in werden die Coiignienz 'o' f{k) ^k (mod n) m at Hat man Determi- iez en in einer jeder der zu den verschiedeneu r-ten Indices gehörigen log in tru sämmtliche Theiler der ganzen Zahl l ww bi od J''(p,.r) f^+' ity l ibr a ry org und berücksichtigt, dass homogenen fro aufgestellten und dem Radius nlo der übrigens auch als specieller Fall in der allgemeinen leicht zu beweisenden Relation ow vorstellt, /2v— 1\ ,_ , (ß— ayAp+H-+' , y( Ca mb rid g /o /+>(! „«) MA ) «'n(p + fx)7i^ Nj e, t/ NT/ ;O rig ina lD R Weber') und Beltrami^) Kreissclieibe von der Flächendichtigkeit c ad Ausdruckes der Poteutialfuuetion einer IT m Th welche eine V'erallgemeinening der interessanten, von den Herren ^(ei^_£^^j_^^, i )^^ enthalten ive Zo o log (^+.-»0) man wie leicht findet, den Werth /- the Mu se um of Fv^_i, Co Auf der Kreisscheibe nimmt mp a rat ist / i> + yj v^2' 2'^ '^ 'W;/ speciell für /ji ns und wird demnach =z ^ gleich c rsi ive hat daher den Satz: Un Man ty, Er an, tM ay rL ibr ary of \/;rIl(,x auf einer Kreisscheibe Ha rv ard Ist mit 1) »[-'' — by r eh n (v— y) reine Isin ist, \/W^^ so vertheilt, „über die Besserscheu Fiinctioiieu und ihre Bonhardt, 75 Aüweudimg Tomo die Flächendichtigkeit im Punkte Potenz der r, y gleich den constauten Werth c II iu dei- Theorie der elektrischen Ströme." Journal für die Band „Sulla teoria delhfiinzioui potenziali simmetriche." Serie IV, dass so hat die Kräftefunction auf derselben und angewandte Mathematik vuu '-) ist, + l)-ten itis ^^ ;•-'' ed — (vi 2(v Dig dl der the Entfernung verkehrt proportional dem Radius R Mnsse, deren Wirkung Memorie dell' Accademia delle Scienzc dell'Istituto di Bologna Leopold Gegenbauer 752 Determinanten höheren Ranges ^ Lerch unlängst Ich will endlich noch erwähnen, dass die von Herrn und Physik neuerlich, allerdings nur für « — ^2' ^ nfm = 0, / J"(x)=v/2; roo ftP'" den Monatsheften der Mathematik in bewiesene Formel Sonine's T / N m-n J"' (x + v) rn-K J , ^[y)y ^^-^ ^ , {m>n> ^1 I , dy ^''^''> auf Grund von Relationen, die ich zu J'" (v/^- + /_2xycos5) C ( /T^TT^ ) ^^ = sowie, dass man durch geeignete Specialisirung aus der allgemeinen Relation ~— n [-—— n(?H+w)^-" ^0 eB iod = ^^ j ~2 I I cos (in—n) f cos"'+" f ad fro 2"-' Th dx m g-px jm(^x) J'^i^x) x^—' J' (ocx) ive rsi t yH ist, eri tag eL ibr a ry htt p:/ /w ww bi od ive rs ity l ibr a ^) ^ i.:^+i/^-2xy cos ry r"~^ org /; w ww bio beweisenden Beziehung r°°/'"""^ {y) abgeleitet habe, leicht früher log der folgenden, specieller Fall ein iez en tru m at n(„_i-)n(m-«-l)Jo nlo 2v— ' — V— o:yif/ ^2 — ow »»+«+ 1, ' (1— m^) (P /o (ò du d(ọ -N^-L r -.- r ô(/?,)P+"'+"+' rid g Zo o log y( Ca mb die Gleichung / V Co mp a rat ive /o itis ed by the Ha rv ard Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se um of mittheileu, von der bisher nur einige speeielle Fälle hervorgehoben Dig ,,,,-, ^ + w + H + l>0, (p ^' > , JH u , ^ ganzzahhg) « o 0/ bekannte elegante Ausdrücke für gewisse Potentialfunctionen ableiten kann, und theils neue, theils e, mehrere hl, ; ' (27C0S53)*A , lD ,' ina V u-^m + n MA ) F[ ' ;O rig ^/p+m + n + wurden ... der Reihe nach in jeder der zu den verschiedenen r-ten Indices gehörigen Reihen die Elemente der Mu se jeder der zu den verscliiedenen r-ten Indices gehörigen Reihen die Elemente der Ranges der. .. ungerades ni Summe der so entstehenden Summe der X-ten Potenzen aus der ursprünglichen Determinante und der welche durch keine r-te Potenz (ausser oder nicht, weder die n Determiderjenigen 1) theiibar... gehörigen Reihe durch die ungeradem weder in die aten noch nachdem n ungerade oder gerade ist Co mp a der ursprünglichen Determinante oder Null, je /, in jeder der zu der so entstehenden n Determinanten
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