Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 57-0497-0530

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Ngày đăng: 04/11/2018, 17:00

m at org /; w ww bio log iez en tru ZAHLENTHEORETISCHE SÄTZE ww bi od ive rs ity l ibr a ry VON p:/ AKAD 17 ive DER SITZUNG AM IN APKIL 1890.) ow nlo ad fro m Th eB iod (VORGELEGT rsi t yH eri tag eL ibr a ry htt C M K /w LEOPOLD GEGENBAI ER, ina lD Ich werde im ersten Abschnitte der vorliegenden Mittheilung eine Reihe von Sätzen ermitteln, welche ;O rig ganze Zahlen oder Divisoren einer ganzen Zahl beziehen, die zu einer gegebenen ganzen MA ) sich auf solche rid g e, Zahl theilerfremd sind und überdies eine vorgeschriebene Eigenschaft besitzen, und eine neue Herleitung des für die Anzahl der Darstellungen einer ganzen Zahl durch das System der quadratischen y( Ca sowie log [mod.4]), Zo o einer Fundamentaldiscriminante angeben, sodann und Theoreme aus der Theorie des grössten gemeinsamen Theilers im Allgemeinen und für mp a rat totische Gesetze im zweiten Abschnitte mehrere Eelationen, asymp- ive Formen x*^D (mod4w) (Ö^O, mb asymptotischen Ausdruckes für die Anzahl der Lösungen derCongruenz zweiten Grades von Herrn A Schönflies durch geometrische Betrachtungen gewonnenen zahlenof dritten Abschnitte einen um im Co das Gebiet der aus den vierten Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen im Besonderen beweisen, endlich Wege ableiten und Mu se theoretischen Satz über ein System von gewissen ganzen Zahlen auf rein arithmetischem Grund einer bekannten Formel aus der Theorie der binären quadrati- of the vervollständigen und scliliesslieh auf rL ibr ary schen Formen aus der Detinition eines bestimmten Integrales eine allgemeine Integralrelation nebst einigen Er Ist die über alle Theiler tir Ha rv und ard Un ive rsi ty, ns tM ay besonders interessanten speciellen Fällen derselben herleiten ist, Dig itis ed by the Summe der ganzen Zaiü n, deren complementärer Divisor eine r" Potenz so besitzt in dem Ausdrucke Y^F(x) Doukschrirtoa dar matliem n.ilurw Gl LVll lij 63 erstreckte Leopold Gegenhauer 498 das Glied — f j offenbar den Factor /"(«/) 2:^.(»)=^.(L"] i m at j= bio V M[^])(7)''''- ry org /; w ww 2^w= 2) log iez en tru und man hat daher die Gleichung Reihe von interessanten Theoremen, von denen nun mehrere aufgestellt ibr a Aus dieser Formel Es sei zunächst eL ibr a ry htt p:/ /w a) ive rs ity l folgt eine sollen ww bi od werden yH eri tag dann sind theilerfremd sind m f) des Intervalles — , welche zu m Nun ist aber bekanntlich die Anzahl dieser Zahlen gleich der über alle Theiler Summe ausgedehnten (/ der ganzen y( Ca mb rid g e, Zahl gleich der Anzahl derjenigen ganzen Zahlen nlo f ow ', lD — -f ina iist ;O rig es MA ) und ad fro m Th eB iod ive rsi t hWr)\ \ f[^)=(^)lf[^y^)FM ^ ^ d d um ist Mu se und demnach of Co mp a rat ive Zo o log d rL ibr ary of the f(rV.(.)=„fqc-i)"v(^yf , Ha rv ard Un ive rsi ty, Er ns tM ay wo Summe Dig itis ed by the gesetzt wurde Die auf der rechten Seite der letzten Gleichung stehende d ist offenbar dem absoluten Betrage nach kleiner, als die Anzahl ^^(w) derjenigen Theiler der ganzen Zahl m, welche durch kein Quadrat (ausser Setzt man in der Gleichung 3) 1) theilbar sind speciell f{x) = i,.(x), 499 Zahlentheoretische Sätze so wird F-i{x) — l>.r{x) = r y/ l p bezügliche Product im Zähler über alle Primzahlen zu erstrecken ry Siwi ist, und dalier hat man die ibr a wo das org /; w ww bio log iez en tru m at v = X 1— 1 /w V p:/ / X= ww bi od TZ htt 2- ive rs ity l Formel ibr a ry PI (7)^-2-«Z Z^ yH = -!«Fl('-^)2 (?)^(" rsi t ^= eri tag eL '=[^7"] < r Z 2/^ [;/«]+' Zo o log y( Ca mb rid g e, MA ) ;O rig (7) y) ^C(r) ow nlo ad = OO lD y fro m ist ina Nun Th eB iod ive rf mp a rat ive und demnach wird Co /m\ , '' , n P'- ' A lung „Om tili ibr ary rötternas antal dieser Formel hat Herr Alexander rL =2 kongriienser af andra graden" ' Berger in seiner interessanten Abhand- gefunden dieser Formel ergeben sich die Theoreme: ive rsi Aus r ay speciellen Fall tM Den Werthe von n endliche Zahl bezeichnet ns eine für alle Er ,4, ty, wo of the Mu se um of \-\ ist, beträgt im Mittel p^, j),, •,p1) Theiler, welche zu den Primzahlen -li!2T71— C(rr)l1^_ i\, p^, , p^ 1_ PY Dig itis ed by the Jede ganze Zahl hat im Mittel theilerfremde rte Potenzen und durch keine (Tr)te Potenz (ausser 1) theilbar sind Jede ganze Zahl hat im Mittel Pi^Pi) 2r(2rr+l) CCO o l_i h_ ' (r >1) Theiler, welche zu den Primzahlen -iP« theilerfremde rte Potenzen und durch keine (2Tr)te Potenz (ausser 1) theilbar sind 505 Zahlentheoretische Sätze r^ r(2T/ 4-lj J? Jede ganze Zahl bat im Mittel (2ff)2'-(— ')r(2r+l)£,J 1\_ Theiler, welche zu den Prinizahlen I Fr 12 ungerade und -5TZ m at — —^ gerade quadratische Theiler, durcli keine ry 120 75 ungerade und ^r—^ gerade quadratische Divisoren, -^ ^ TZ 1) theilbar sind /w 19264 6321 ungerade und -y~« gerade quadratische Divisoren, welche durch p:/ Jede ganze Zald hat im Mittel welche durch ww bi od TT keine sechste Potenz (ausser welche org 71 1) theilbar sind Jede ganze Zaid hat im Mittel theilbaren Divi- ibr a Potenz (ausser 1) zu^j''-'^'" p ity l vierte tru — soren derselben Beschaffenheit, im Mittel wie^'"~''''(7; Jede ganze Zahl hat im Mittel verhält sich zur Anzahl der durch 1) theilbar sind, iez en Potenz (ausser (T/')te nicht theilbaren Divisoren einer ganzen Zahl, welche rte Potenzen log und durch keine jj bio Die Anzahl der durch eine Primzahl ive rs Pi, Pi, Potenzen und durch keine (2Tr)te Potenz (ausser 1) theilbar sind (2/')te /; w ww , p7 theilevfremde ibr a ry htt J'^^,, —g- ungerade Jede ganze Zahl hat im Mittel -^^— und ' yH „ eri tag eL keine achte Potenz (ausser 1) theilbar sind gerade quadratische Divisoren, welche Potenz (ausser ungerade und -s—, gerade biquadratische Theiler, welche durch Th Jede ganze Zahl hat im Mittel eB iod 1) theilbar sind ^ ad fro m durcli keine zehnte ive rsi t g ow nlo keine achte Potenz (ausser 1) theilbar sind lD 181G214400 Jede gauze Zahl hat im Mittel ungerade und ina ,o^,'^ir:r^- welche durch keine zwölfte Potenz (ausser MA ) 1) theilbar sind e, der Gleichung in rid g man 241215975 „„„,-,," gerade biquadratisehe Divisoren, OM2oD7r Co (— ] und summirt bezüglich x von of sodann mit multiplicirt bis [ ';^] , so erhält man rL t d 3: y = ive rsi ty, Er ns tM ay x= ibr ary of the Mu se um — mp a rat ive Zo o log y( Ca mb Schreibt ;O rig Joou4o;r m^'^miii^iM Dig itis ed by the Ha rv ard Un l^ und daher schliesslich üenkschriften der mathem.-naturw Cl LVII Bd 04 Leopold Gegenhav er 506 Wird ferner in der Gleichung n /m\ 1 Ifjyy^y sodann ersetzt, mit ( — und von ^-^z^ multiplicirt ) = t- bis « = [\'/~] summirt, m at — so entsteht iez en tru «durch = ibr a y ive rs ity l a:, ry org /; w ww bio log die Kelation ww bi od '=[^v] 0_i d, eL ibr a ry htt p:/ /w z mi^x-kvi^Jr^ vV eB iod ive rsi t yH eri tag und daher nach der oben aufgestellten Gleichung endlich Aus dieser Gleichung könnte man ow nlo ad fro m Th f-4[i:-j)©^'= wden eben abgeleiteten asymptotischen Ausdruck für die ;O rig ina lD ebenfalls hat ferner rid g e, Man MA ) Function T'_j,^^^r{n) ermitteln mb -m] y( Ca ^=[v'»] «0&)-=Zm^o L^J£>'" Summation bezüglich d' rL sich die über alle Theiler von * zu erstrecken hat, und daher schliesslich ive rsi ty, Er ns tM ay wo ibr ary of the Mu se um of Co mp a rat ive Zo o log y \ ard Un "''^"«([~])(=')-"=Z'"li'2^+^i-^^' org ^) /-j of /25\ ^tl-3 um ^ ^a;/ ^5, a;) _ 32;r* ,5'— lUlrl 3i5-l)C(r) rL ibr ary of the Mu se a;* Zj 729 s/^ U»-) ' L^^xl x" ' ^3'-_i)^(^) den Fall A- =: \x zu erledigen, beachte man, dass aus der Definitionsgleichung der Functionen itis Dig ^W^Ci),^) folgt: ed by Um the Ha rv ard Un ive rsi ty, Er ns tM ay aJ* 10) "v ^tV(A>^)^"y wy 1=1 c(s-ib) = K=ll K » ^ 00 7» = ^ «:= 519 Zahlentheoretische Sätze wo y„,(A«) und dass demnach m at ist, = «"^(^)*-'' n\i' /; w ww bio log iez en tru ^VAD,n)=y^f,.,{,D, rL ibr fi(>-]::)i:(t)7-*^' j: = ns tM ay in folgender Form schreiben Ha rv ard Un ive rsi ty, Er und daher lassen sich diese Formeln auch Dig itis ed by the X :=1 1) i „Über die Clasae, 96 Band, biuiireri II 1=1 ;/=! quadratischen Formen." Sitziuig-Hberichte der Abth., S i7Ü— 488 y k Akad der = l Wissensi^liaften, uiathematisch-naturw Leopold Gegenbauer, 520 oder D\ V(-)+ i m at y«,vA )=-,f:i iez en tru ^ Fl- /; w ww bio log — i y X I « ive rs [v ^ , (0^4 (r r und 2) | < A, ] /logw ad w 7, \/ n C' ow [ nlo < Aj ( = 2) 0>«r > und A,o 2) I I < \/ 0, —n /log: w C- (r=2) gerades r bat man y( Ca Fttr ein log ist mb rid g e, (»- MA ) A,J< ;O rig ina lD l Zo o 2r(2>-+ l)n ^y ive '^) ^tl (^' Zj rat i2 7:Y^B^ iC/ x V Ai of Co mp a x=\ /I>\ Mu se um 1-1 *» ^^' ^-'^ = 1:2 r^ ' Fl —r Z W ^ + ^'- ns man den bekannten Zusammenhang zwischen ^^^\ {D,n) und der Anzahl der Lösungen der Con- Er Beachtet tM ay rL ibr ary of « the i l-^) ; Un ive rsi ty, gruenz zweiten Grades keine Fundamentaldiscriminante the falls I) by wo, Ha rv ard r^ »• = und w die von Herrn A Berger am als theilerfremd vorausgesetzt zuerst angeführten Orte auf werden, so liefern anderem Wege abge- Gleichungen für diese zahlentheoretische Function Die hier mitgetheilte Form der Herleitung habe ich im Jahre 1883 Dig leiteten D n] itis ed diese Gleichungen für ist, — D (med in meinen Vorlesungen über Zahlentheorie an der Innsbrucker Universität angewendet, um den Zusammenhang, der zwischen der Anzahl der Lösungen der erwähnten Congruenz und der Anzahl der Darstellungen einer ganzen Zahl durch das System der quadratischen Formen der Determinante D besteht auch bei dieser Ermittlung hervortreten zu lassen Man kann auch umgekehrt aus dem den asymptotischen Werth von y^, ^ {IJ, asj'mptotischen Ausdrucke der zahlentheoretischen Function x) ableiten ^^1^^ (A^) 521 Zahlentheoretische Sätze Aus der Gleichung 10) nämlich folgt y und demnach = ^^^>^{D,.lr)
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