Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 57-0425-0480

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Ngày đăng: 04/11/2018, 16:59

425 iez en tru m at EINIGE Cj.x ry org /; w ww bio log SÄTZE ÜBER DIE FUNCTIONEN ww bi od ive rs ity l ibr a VON LEOPOLD GEGENBAUER, AKAD /w M K ive DER SITZUNG AM IN MÄRZ 1890 ina lD ow nlo ad fro m Th eB iod VORGELEGT rsi t yH eri tag eL ibr a ry htt p:/ C Im ersten Capitel stelle ich verschiedene Integralausdrücke für die Functionen Clix) und DKx) auf, rid g e, mittbeilen MA ) ;O rig Ich werde in den folgenden Zeilen eine Reibe von neuen Theoremen aus der Theorie der Functionen Cl{x) y( Ca mb mit deren Hilfe sodann im zweiten Abschnitte mehrere nach den Functionen Cl(x) fortschreitende Reihen als log bestimmte Integrale dargestellt und einige höchst merkwürdige Darstellungen des Jacobi-Legcndre'schen dritten Capitel werden hierauf verschiedene ive Zo o Symbols durch vielfache bestimmte Integrale abgeleitet werden Im mp a rat Relationen ermittelt, die sich theils auf die Functionen Cl(x), theils auf Prodncte von zwei solchen Functionen of Co beziehen, und einige Eigenschaften der Coeftieienten dieser Functionen, sowie ein Satz über das Zeichen eines Mu se um gewissen von ihnen abhängigen bestimmten Integrales angegeben, endlieh im vierten Capitel verschiedene CJ, (x) durch vielfache Integrale ausgedrückt und aus the zahlentheoretische Functionen mit Hilfe der Functionen die Functionen C'n{x) und Dl{x) specielle hypergeometrisehe Reihen sind und daher mit Hilfe der ns Kummer 'sehen Umformungen in mannigfacher Weise durch solche Reihen ausgedrückt Er Gauss' sehen und tM ay rL Da ibr ary of diesen Darstellungen die asymptotischen Werthe einiger der erwähnten Integrale abgeleitet rsi ty, so ergeben sich aus jeder, gewisse Bedingungen erfüllenden Integraldarstellung ive werden können, oder mehrere Integralausdrücke für die ard Un oder von geeigneten speciellen hypergeometrischen Reihen ein dei allgemeinen the Ha rv allgemeinen oder eventuell specielle Functionen Cl{x) und I)l{x) So von mir aufgestellten allgemeinen Formeln Je ') 72 Dig itis ed by liefern z B die x^r{a,_x) = ^,/^^^^,+U, F[^^^—,^+l,!J.+ „über einige liestimmte Integrale" Sitzungsberichte der Band, II kiiis l, ^J (|i?(«)|>|JK)|) Al^aderaie der Wissenschaften, mathem.-natiirw Classe, Abtheilung Denkschriften der mathem.*naturw Gl LVII Bd - Leopold Gegenbauer 426 '4-1 1-x') la) Cn{x)clx ^ {\—cxY ~ 2v-lM'' n(v— i)n(|ji+w-i) nf« + 2v-l) 2""V / 2''+'n(w + v)lI(w)ll(|^ — 1) V n(2v— 1) J (k|\) htt -1 ry I -+i yH nr2v-i) (H>iv rsi t 2v— 1) 2'n ive v— 1) = II(«n(»)n(2 + 2v— l)Il(v— /J Verbindung des Enler'schen Integrales fro sich ferner aus der flir die bypergeometrische Reihe lD 2n(7-i) n(«-i)ii(7-«-i)J„ ina = z'"-' {l~z'')-i-''-\i-x^z^)-?d2 oo liegen rid g welchem x^ nicht auf der Strecke darf, mit einer der Relationen mp a rat ive Zo o ;(w)n(v— 1) log y( Ca mb in e, MA ) ;O rig F{cc, ß, 7, x') ow nlo ad Es ergibt m Th eB iod D:{x) eri tag eL ibr a -:p; ww bi od die Integralausdrücke z= '^''' ity l v):.''+^ /; w ww v n(« + 2v — 1) /w n+l - 2"+Tl( '^'^^ + + -^ly + Z)^(a;) log + 2v + 2X-l) + + A)a;''+^'+2'' Il(X)n(« org ri(; ry - y ibr a D'ix) 1) bez C','(.i') die D^(.c) ibr Functionen Formel tM ay rL für die ary of the Mu se um of Co 3) ll(„+2v— 1) 22 v-i [!!(,_ i)]«n(«) ns a) (a;±cos j) \/x * — 1)" sin^'-' f df = (_,,.-.nfctipD r°° Ha rv ^:(., ard Un ive rsi ty, Er C:{x): (sin ?Y)'^-' v/a;*— cos ü) "+*' Dig itis ed by the (x 4- dt i);(a;) 1) = (-if' »"-^ n(w+2v— 1) , ' n(w) j (x-v/x*- „Zur Theorie der Functionen C^W." Diese Denkschriften, 48 Band cos/y)"(sinjy)2''-* c/?; 427 Function C:{x) Andere lategralausdrücke und P Schafheitlln^) mit- aus der von den Herren Sonine*) fliesseu getheilten interessanten Integraldarstelluug der hypergeometriscben Reihe, welche unter ein Product von zwei Bessel'schen Functionen erster Art enthnlt Dieselbe Umformung des eben angeführten Euler'schen den Factor (1—x^z^)-'' mit Hilfe der von Herrn Sonine a a demselben tru m at >b]n>m> — l) iez en (« ^ log \ in aufgestellten Relation — = 2"-"'-'lI(w— \—,— m— l)a" J" K(bz)J J'" (az)J z'"-''+*dz Integralzeichen man nämlich Ersetzt Iiitegiales eine einfache dem Übrigens nichts anderes, als ist ry +.^^ ^-^^^ -^ rV".-.(i-.V^J"'P> ^ Va;/ ibr a ^,_ (W>i) y u '' I eL p n(ô-ò)n(7-a-i)r2'-(n(ô l)n( ò) man rsi t yH eri tag I ive die Gleichung ad =o s=: und berücksichtigt, dass MA ) ;O rig bis ina = mit «'»-"""'(l— 2:*)i^(fe, integrirt von lD ow nlo x fro m Th eB iod Multiplicirt htt p:/ /w ww bi od ive rs ity l ibr a ry org /; w ww bio durch ein bestimmtes Integral, so entstehen nach Umkehrung der Integrationsordnuug die Relationen rW)-'(i-.yrf.=üi='-^'-^^"('^^ e, 4) +X+ fx) man die Beziehung log so erhält ^ ' ' 2'"+' /_, ^ ' 2'*ll(A)lI(« + + |ji.)ll(^/+mj ' / se in die von Herrn Sonine Mu = m+\ a, a auf :!nderem Wege ermittelte speciellc Formel ary of the welche iür a um of Co ^'^^ mp a rat ive Zo o ist, y( Ca mb rid g 21I(a Y"^— Ji^+"'(p(/) ibr ^^— ^^•'' (p.> — ];« — und fjL +a keine negativen ganzen Zahlen) ns tM ay rL J'"-'(p2/^)0l) (l>v;f+c-' = 2x; 141>1) (i>v; 4+^-' = 2x; |4|>i) (1 tM ay rL Jo ns /*oo = ri(«+2v-l)n(-«-2v)t" X>:(aA = n(v-i)n(-v)e' J"+'(y)J-"-' [^y),/—' dy r'-' J"+'(y)J"+HCy)rf2/ j itis eine neue Darstellung der Functionen Cl{x) durch eine hypergeometrische Reihe Dig Um ed by the Ha rv ard Un ive rsi ty, Er D;;(a;) neuen Integralausdruck derselben Kategorie für dieselbe abzuleiten, trausformirt gleichung zweiter Ordnung (1— X-*) y"—{2y + 1) xi/+n {n + 2v) yz=0 deren vollständiges Integral bekanntlich y =^ a d + b Dn ix) ix) mau und daraus einen die lineare Differential- Functmi ist, 429 Cl{x) durch die Substitution 1—x in die specielle hypergeometrischc Differentialgleichung = dem allgemeinen log Integrale „V, + 2v—\) X\{n V 2v I («)n(2v-i)^ r -' "' ww bi od ive rs hat daher die Relation + l l—x ' htt p:/ /w Man ity l ibr a ry org /; w ww bio übergeführt wird mit iez en tru z(l-z)y" + ^-^ (l-2z)y' + n{>i + 2v)y m at wodurch dieselbe ibr a ry oder X ive 2v „ +l , x^ 2v-i a; fro m Th eB iod ^/ rsi t yH eri tag ^ + 2v— 1) ll(« ,, 2v+l eL lK« + 2v-l) ^/ (/On(2v-i)- r2v— 1^ n(? lD ow nlo ad deren Verbindung mit 5) unmittelbar die Formeln ;O rig ina ,-^00 MA ) e, —VO 2 Zo o log 2~/ V = (-1)" -^^ ri(2v— l)cos ^'-' J^("+")(y) J-^- / (ycos —Jo ^) //^ / r/*/ (v >- ^ Co mp a rat r°° ^^^r^ ive C„^ (cosa;) y( Ca mb rid g 2~r-n(2v— l)sin" um C„'(a;) zu erhalten, welcher unter dem Integralzeichen die Mu se einen lutegralausdruck für die Function man the Um of liefert die Gleichung z^'ydz, und integrirt Ha rv 2:"~^l^^J(^l von ^; = bis s =^ 1, wodurch wegen 4) die Relation by the mit ard Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary of Function Cm{x) enthält multiplicirt = Dig itis ed rcf:'rz,m^)z'-'lT](l-zydz n(p)n(.+2v-[|]-i)v/ = ^-l>'^^;; _ ^„_,[|j nun Y^^ + p + TT^'^Y 2lHv-l)Il(y)ll(«-2[-] ^) entsteht i _ n'^+^-|2J'-i2l'"-2i2K^-^2'''"2 Leopold Gegenbauer, 430 man Setzt wird C '^ nach die 7) '^^'(cosic) auf der rechten Seite dieser Gleichung stehende hypergeometrische Keihe gleich und daher hat man die bemerkenswerthen Formeln m at 80 = (cosx) = p:/ ^^ ' htt ^ /n(^-«.2[|])y-"-^f^] ive rsi t yH eri tag ^ra— eL ibr a ry C /w ww bi od ive rs ity l ibr a ry org /; w ww bio log C'^^"f^^(cosa:) a) iez en tru [|] m Th eB iod V JTCOs-x2 ow lD = (-l/^.z ina ?-^te(^sin|-](l-^'/~'rf^ ;O rig C;(co8x) — nlo ^2v 2n(- ad fro oder MA ) v/^n(v-iU 2v— -(^) rid g e, 1^ v-l y( Ca mb I 2/ V rat mp a /""c^:+.(^sin|)(l-^V-f^ "gvls! Co C:%osx) = (-ir ive Zo o log v/;rn(v-i)J„ Mu se um of ' the 2v-3\ — C2^+i(2C0S-^j(l— 2;'') rf0 t-'V~-" X Formeln in diesen tM man ty, Er ns Setzt ay rL ibr ary of V" (^-^1 cos^^Jo sin—, bez äcos — =:sin^ von ihnen flir v : v — -^, so erhält man die Gleichungen itis ed by the Ha rv in der letzten Dig und schreibt ard Un ive rsi \/;rll(v l)sin /2v-l> (cos y 2"-' \/;rlI(v — Ijsin^'-'^Jo — cos x)"-' Czr (sin -|-"] cos -j- df Function C^cos /2v— 1\ — = X) 431 C:,{x) f ~7cos^ 1- - v/;rII(v-l)cos''-'^Jo sin^ ^J'' Ct (sin |-)cos |- df ^ /2v l\ T" / X — cos (cos / ^ sm y)'-' Ca, (^cos -|- j -|- c/y m at V log iez en tru s^-'v/'^iiC = (cos^ — cosajy-'Cz^+Usin ^j sin ^f/y org I ry ^K n (v-2) sin ^^-'-|Jo ive rs ity l 2^-' ibr a Cr(cosa;) /; w ww bio f2v-3- — sin*~|-j C2r+i[sm-^)smf(1f p:/ ^Jo eL ibr a ry sin htt 2\/n-n (V— 2) /w (sin*y ='•'-' ww bi od /2v— 3n (cos" ^— d^+l sin" -|- j (sin -|- j sin yrfy ive I yH = rsi t Cr(cos X) eri tag /2v— 3-\ eB iod 2\/;7lI(v— 2)cos="-'^Jo m Th Li ad fro n/2v-3>j nlo (cosic— cosy)"-" lD I ina ;O rig 2''-i\/;rII(v— 2)cos = Cl;::+l(co8 ^jsinyrfj) ow ' ^, rid g e, MA ) Berücksichtigt man, dass sin(2« + l)x Zo o log y( Ca mb , = (-l)"^^^i?^^±^ cos ^ -^ X man aus diesen Gleichungen die folgenden von Herrn of so erhält um ist, Co mp a rat ive Cl(siny) " V /-^ Bande der „Mathematischen für die Kugelfunctionen erster Art Pr(co8a;) = ^ p cos(r \/2 jg + y)y(iy — cos x) (cos -+2v— 1) C;(cosa;)=: yH Jo eB iod ive rsi t Li (cos y — cosa;)"-' C'jr_2(sin -|-^cos-|-dy( Jo ' lD ow nlo ad fro m Th 11) + 2v — 1)1 ina CXcosa:)= ;O rig (2r (cosa;— cosy)'-'Cv_ycos-|-]sinyc/y — 2(r+2v— 1) Jx mb rid g e, MA ) 2"r\/'^n(v-l)cos-^-'-^^ X — cos y)''-' Cjr'-? ('cos-i-') sin -~- f/y 27 | Zo o log y( Ca (cos /2v— 3^ mp a = ^ Co CXcosx) rat ive (-1)^"(~2-) (eosy— cosa;)''-^C2r+i[sin-|-^siny(/j)H/ the Mu se um of Sv— 2^-'\/:rIi(v— 2)sin2'- (2.+2V-1 ~] ^2T- ]/ I I of / r^rxc, (cos y l r — — COSx)'-^ C2r-i (®i^ rtiT,c ^\^ i O^'^ /cjIt-J 7_ ) ^^^ ?'^?[ Er l2,-+2v-l /-;_,_ _.„^.-2^— (cos r — cos y)"-' O^r^^ , ^^"-^^ ! r^, ty, V rsi = X y\, /_ \^^^ \] ^'" ^^^^^ + ^' ^ Ha rv ard Un '^ 2'-V^n(v-2)cos^-'4' ive C'(cos x) ns tM ay rL ibr ary 12) (cos a; — cos y)"*-^ Car-l I ( cos ^~\ sin yrfy Dig itis ed by the + 13) C:(cosa;) = ^ ^2(2r+2v-l) 2vv'«'n(v— 2)sin2^-*-f (cos y — cosa;)^-= Car' (sin -|-^ sin y sin -|- r/y — (: >-+4v^3) (cos y - cosa;)'-^ Cl;;il (sin -|-j sin yrfy 433 Function C:(x) 13) C:.(cosa;) = J2(2r+2v— 1) 2-'rv/^n(v-2)cos (cos j X — cos ^)' Cip' y cos -^ ('cos -|-") sin — (2r+4v — 3) c?ij) a;— cos y)' C\'Z\ (cos (cos-|-") sin ^(/y ( | dieser Gleiclningspanve die zweiten Integrale auf der rechten Seite bis Jedem iez en in man durch Addition der zwei Gleichungen jedes Paares die /; w ww auf das Zeichen (—1)'—' gleich sind, so erhält neuen Formeln 2"+V-lI(^-l) — cosa;)'-' Cj;,,,,,, cos-^ cos^dyH J ibr a p (cos ^ 2; l -• ^^^,,_,^ ww bi od (sin '^J« ity l — \-^ 7= ive rs Il(^)(2'-+2v_l) C;(cosa;)= '^ ry org vier log man, dass bio Berücksielitigt tru m at '-*4- = ^ p:/ /w C^"' (cos a;— cos y)'-' (cos-|-^ sin -|- rfy 2'+',V.n(v-i) yH — cos (cos y | rsi t '^ 7= r , — )— a;)'-' U i|-Jo j ^ - Csr-i fsin -^\ sin yr/y H 2; ^ cos '^ fro m Th eB iod = ive n(^^)(2»-+2v-l) C','.(cosa;i eri tag eL ibr a ry htt I (cosa; — cosy)''-' Cs'—i (^cos_?_j sinydy( ^^ MA ) p — 1— j^ (eo8 f I ,_, — cos a;)'"* GX+\ fsin -|-) sin yrfy - H e, n(^)(2r+2v-l) rid g C;(cos X) — ;O rig ina lD ow nlo ad mb ^ log y( Ca (cosa; l — cos y)'-^Cv+i /^cos-L^ sin'^dy — / , - ( ( — /- , / - (cos ( — cosa;)''-^C2^2v— / f se )-^ of um nf^^)(2'-+2v-i) v Cr (cosa;) rr Co mp a rat ive Zo o • 2',V.n(v-2^ Mu \ -97 sm -^-rty H sinâ ^ ^^ ^ lsin '^> sin-i- cos ' ary of the ibr (cosa; — cos yj^-^Cz,"* /'cos _L"j sin y cos _L rfy ns tM ay rL j ive rsi ty, Er Bedenkt man, dass man aus diesen Gleichungen die bekannten von Dirichlet im 17 Bande des Crelle'schen Journales the so erhält flir die Kugelfunctionen erster Ai-t Dig itis ed angegebenen Integrale by ist, Ha rv ard Un [^C„^(cosx)]^^=|cos«x coP ry cos -^ df n Pr(cosa;) = I Jo \/2{cos(j> (s — sin ;y r- cos + cosa;) J_,- /*- LVII Hd sin iy cos -^ ay ,— +- CI -^ dx v (cosa;— cos y) , Denkachntttiu der mathem u.iturw sin • sm -i- d^ V (cos ^— cosa;) r+ /cos -i- / ( cos*"-' j 2^1' j—^ eri tag sin-^f/y cosjj)' " / ive rsi t yH (cosx— ibr a TT V _i + cos*-|-cos*tf — /cos eB iod + ^ cos* sin 211- n(2v— i) -, Tp 1~^)\ '^^ lD (-i)"n{p.+n- n n (r+»+2pL -1) n (w+2v-n _ 2n(/x— ]) ^ ;O rig ina y"" ow nlo ad fro m Th Cr''fl ^ V'-ii(^-i)|^2^n(?^) y( Ca mb rid g e, MA ) ^0 nwn(«+v-|)iio-«)n(2;.+2«-i)(«+v) -^ -l) + C;^(xcos^y_l^-l)| ? sin df of Co mp a rat ive Zo o log cos=-'y ;cr(x'COS^^+ um V(— l)"n(pi + »-n n (r+M + j.-l) — — n *— n n (w 11 Mu V «^ ( j ii (2/Ji + 2-^—1) z" _ , 2vll(fx— 1) ^,, p n (2v— 1) -,- ^, + 2«— tM (l—x*)"^ dx -i - ns ^' K rL ay 2v— '+1 ibr ary of (/O the fr-o {n se 2; C^ siii^"-' , y Ha rv ard Un ive rsi ty, Er 6-(.sin^,+ ^°-'-^-l)+C-(.sio^y-i^-l)}c?y , I (w + fx— 1) II (w + r+2p — 1) C; (cosa:) _ ed by n the 2" ^1 11 Dig itis ^, n (?^) n (2«+2v— i-) (cos y — cos a-)'~' cos^l^ V^Il (v— 1) H (2v — 1) sin^'-' {r—n) II (2]a+2«— 1) (/y cos*"-' -j- jc^'^siu*-!- cos* ""' I + n(^)n(.-i) _ .— l) n («H-2^ + r— 1) ^ _ (cosa;) C;; , lD ow 2" nlo ;=; ^rTll (v-2) II(2v-2) sin^— |- MA ) ;O rig ina ^0 n (?^) n (2«, + 2v + 1) n (>-«) n (2f + 2«-l) e, — rid g (cos I jj siüfdf cosj;) sin*'~^ l -^ isin -^ sin-.^ + / cos'^ i log y( Ca mb ,-,v-i i C^r(sin*-^sin*'} Zo o • , + / • , • , sin -_y sin*-j(Sm 1-^ — sin* 2-l/\ j—^J - + ,) [ii(;,,_i)j2 1^1 (cos^-^ _x«) Jo — x^)' ' cos (ô cos" -'+'' ^ Integral- einen interessanten Dig itis zeichen stehende Ausdruck die doppelte Fläche dieses Dreieckes — Ä) -^ d-p Leopold Gegenbauer, 470 mit ^^ und summirt bezüglich ^ -^ n(X)ri(w + 2v— X— 1) von l bis n, so erhält ^ n(X)II(«+2v— A— 1) /-^^ , ^ cos"+^^t|, I m at Zj^ man iez en tru y (—1)^ ") cos'- i> cos («—/,) bio log x=o ( /; w ww oder weil '! cos^ ij/ cos {n—'A) ^ ity l ) ibr a y /—^^>fn (—!)'-( ry org X=n — cos ^Y = (i sin ^)" ist, II(X)Il(2r + 2v— X) eL ^ Zj ibr a ry htt p:/ /w (e't" ww bi od der reelle Bestandtheil von ive rs x=o yH ^ ' \i- (— 1) -< na)n{2r + 2v—i-i)~ X /*arccosx rsi t / ^ ^ r4-i ive ^ ^, / '-^ ^ q ,- onV • (cos-t^— x') — I • sin 2r ^d^ , • cos^'-+ "| ! der rechten Seite dieser Gleichung stehende Integral durch die Substitution nlo man das auf lD ow Transformirt ad fro m Th Zj X X C2,_x(x) eB iod X=27' V eri tag x=o ina = z s/l —x^ MA ) ;O rig sin'l' y( Ca mb rid g e, so verwandelt sich dasselbe in -( 1) Zo o log r n(»-—|-)n(v— 1) _j^ Co mp a rat ive 2n(.+v-|).-+' die letzte Gleichung in die folgende über Mu se um of und demnach geht X=är V (-n^n(A)n(2r+2v-x-i) Z^ (-l)V;rri(v-l)(l-x')'- ^ ary of the ^'^'^^-xCx) man Er die aus 8) und 16a) folgende Relation ard Un ive rsi ty, Multiplicirt ns tM ay rL ibr + -.n(.)ri(r+v-|)[n(v_i)r' ' so verwandelt sich dieselbe by xY^^ in die dx dx dx Formel Dig itis ed mit (1 the Ha rv ^ d \{\-xyc:{x^\ dx _ ~ o.—xf~' ^ dc:.,{x) ( dx ^ dcux) dx dc:+^ {x\ _^ dx > durch deren Integration die Relation f (i_,y-' f^"-'(") _2 ^^ + ^%iMb^ = _2 (1-xy C: ^ I CiCC ClX (IX ix) (v>0) 'P 471 Function Cl(x) oder auch (i_^y-' entsteht Schreibt man \c:±t (x)-2 c:t\ (x) Reihe nach in derselben für « der man n—l, n—2, , n, 2, und addirt die dadurch bemerkenswerthe Formel die ' {^^ '^ ^'"+^ > ,,x = 2v \i-xy-' \c:,t\{x)-c:+\x)\dx = 2a-xy log - ci{x) J^ man leicht die folgende Formel her y ,,,, n(n) v/l+x „ T" sin-"'-' (p C08 c?9 ww bi od „ ity l = 00 ive rs 7i ibr a ry leitet org Aus der Gleichung 3«) /; w ww bio ^i_^y iez en ^ " / tru m at entstehenden Gleicliungen, so erhält + ü:+' (xpx = -(i -xy c: (x) a) sofort in eri tag eL ibr a ry htt welche sich mit Hilfe von p:/ /w n=0 yH I wAi, ^Seite ;O rig niultiplicirt mit (1 ad fro r eB iod Gleichung speciell Th in dieser m man nun • rsi t yH (w, Setzt ClZi {x) eL X=0 Mi, M., t!., ,n , W x^- ibr a < 24) p:/ /w ww bi od gebildet, so entsteht die Relation », und die niultiplicirt x'- ive rs ergibt, /; w ww bio « log =2 ergibt, aus der sich für r tru iez en nj, »3, für ein gerades h nur das mittlere einen von besitzt, so erhält man sind, während die Relationen rid g e, MA ) verschiedenen Werfh y( Ca x^{\—x') I _, ,^, ^,^ Ci:-l{x)dx ' _ 2^-(2v-r)n(».+2v- r (w+v) n(w) log (2w— Ä + 4v— 2) (2v— IV il Zo o y mb X=2m mp a I (2w— X + 4v— 1) x^l— ^') ' dx Cfo:zl+i (x) r=z of / um y Co X=2n + rat ive 25) the Mu se x=o ary of durch deren Vereinigung mit 24) die bemerkenswerthen Formeln rL ibr "+< C^ (x) {l—x"^) '' dx = {u, + «2 + + «, =2 + /« ; V, + + vj +Vj+ + V, = v) Un ive rsi ty, Er ns (x) C'l {x) ay C;;_ tM y I y+» 2''"^'(V— 1)I1(« + V— 1) n(^)Ln(v— i)J (2w+v)n(n) by ' («,+«g+ +nr ^= 2w; V, Dig itis ed Jt, the Ha rv c;(x)ci{x) c';(x)i\-x^)^ dx: «,,«2, , ard '+< entstehen Aus der ersten von den Gleichungen 25) ergibt sich für die Coefficienten Aj^l der Functionen H-Vr =^ v) 473 Function C\{x) die Relation i'=" ^ + [-f] II ^ "" )_ n(/?— ^+v) 2^ man Multiplicirt (2v— 1) 2-"-^' {ii—^—1-^ = -/+4v-2)^l;r,:' ' ^-"" die von mir abgeleitete («H-2V— 1) n 11 (^^^) (w+v)n(«)[n(2v— 1)]« Formel m at ).=2 und 2(j.) X' r/a; von x iutegrirt bio = bi« x := so erhält -, /; w ww — man die Relation org (?< log n(v— i)]ni(X)n(w— Ä) *— mit cos iez en tru \=n — ry / cos C„ — 2O u) N ic f/a- + pL— — l)ll(v-a+« ^1) = Il(v „ ,„ ,/, , , ,, , aus vrelcher sich bei ungeradem unter Berücksichtigung der bekannten Formel >^ sin(x , ibr a + l)(x + + ^) sin(^/ =^ j/) eL „.^ / cos(._2A)a;cos(«-2/,)// ^ "^ eri tag ''~^ ry htt p:/ /w ii ww bi od ive rs (/(, ibr a rV,v,(cosx), ( ity l —2 ive rsi t yH x=o sin(M+l)(3;— i/\ sin (^-^) ( Th r^' ,-,, ,»m(n-hl){x + —-, ^h •'n sin(x+^) —y)— H C„ (COS l (/) \ , , sinfa;— y) ) ^ ina December 1751 an Goldbach geschriebenen c" Cl {x) MA ) nach aufsteigenden Potenzen von « wenn nur ganze Coefficienten besitzt, Bemerkung, dass Entwicklung von ganze Zahlen sind, gezeigt, dass das Product eine rationale Zahl mit v in der am dem Nenner c ist Dieser Satz lässt anderen etwas weiter gehenden ersetzen Setzt man in der oben benutzten Definitionsgleichung =— nimmt so , sie die folgende Form an: (-^ 2^ =o ^-""^ c-^n(X)n(ô-2X) aber bekanntlich* rL ist ibr Nun ary of x se - Mu ^•^' the " um of Co mp a rat [l ive der Function C^ {x) Zo o log sich durch einen alle Coefficienten e, an'^ Briefe enthaltenen mit Hilfe der in einem von Euler rid g * mb V Haudbuche der Kugelfunctionen hat in seinem y( Ca Heine ;O rig Herr E lD ow nlo ] — sia(n+l) (x—y)^ ^ —\ du m 271 ^ fro =— ' ,.v, ad Cn (cos x) eB iod für die Functionen C^ (cos x) folgender Integralausdruck ergibt (m + {i — 1)«,)«,'"' der Coeflficient von x" ' in der auf der rechten Seite dieser Gleichung stehenden ive ist ard das Product aus einer ganzen Zahl und Ha rv Summe Un eine ganze Zahl und daher rsi ty, Er ns tM ay m{m + n^){m + 2il^) dem Ausdrucke the («— 2X+1) (h— 2X+2) .(«— / + 1) 2"-^'- by ,2(n— >.)— S Band, S 14 1 Dieser Satz 175 aus ist Dig itis ed U(k)c meines Wissens zuerst von Herrn Charles dem Eisenstein'schen Hermite in der dritten Ausgabe seines Cours d'anal}"se Satze über die Coefficienten von Reihen, welche algebraischen Differentialgleichungen genügen, hergeleitet worden Der Herraite'sche Satz ist übrigens ein ganz specieller Fall eines allgemeinen arithmetischen Theorems, welches ich vor einer Reihe von Jahren meinen Hörern in der von mir geleiteten Abtheihmg des mathematischen Seminarsander Innsbrucker Universität mitgetheilt habe und von welchem demnächst Herr J A Gm einer in den Monatsheften der Mathematik und Physik einen Beweis veroflentlichen wird Denkschriften der matbem.-natui'w Gl LVll Bd (50 Leopold Gegenhauer, 474 Da aber das Product von irgend welchen aufeinander folgenden ganzen Zalilen durch das Product der — ß2(n-X)-l ersten ganzen Zahlen theilbar ist, erwähnte so wird der Coefificient mit multiplicirt ^^_^^ ganz und dem- nach ergibt sich der Satz: in (2r4-l), so besitzt schon m at 2*^ iez en Coefficienten nur ganze C' ix) o V -^ man gleich 2" log der von mir in diesen Denkschriften aufgestellten Gleichung htt so entstehen die Relationen -5-, ry = 0, ibr a a; = rsi t V _ X 4- -^) n (v + A— ~) 11 (X) eB iod n (2 r n {%-—k + fro m Th x'^o r—(=Ht ive "T - yH eri tag eL der Reibe nach p:/ /w ww bi od ive rs ity l ibr a ry org Setzt v bio — (2'' ('2r-+-lY)^""^' das Product aber der Nenner von {x) ganz, ist tru geordneten Productes (2r-)-l)^"~' C^ 2rH-l, so sind sämuitliche Coefficienten des nach Potenzen von /; w ww a; dem Nenner Zahl mit Ist V eine rationale (— ly- =o n(2r+v— A-^)n(v+A- ^) n(A)n(2r— A) nlo ) ri(r + v-l) ow n(4r + 2v— ina lD 22-n(2r + v— l)ll(2r + 2v— l)n(r)[r[(2r+v— i-)J MA ) ;O rig x (— ly ad 'y' e, rn(„+v— — )1 mb rid g ii(.„+v— i)ri(w+2v— 1) nrv— nnr2w-4-2v— n(v— l)n(2w + 2v— 1)11 ^ ^ Z-J^ ).=o ' ^ „/ A— ii^M+v— —jn(^v+A — jn(A)n(w— lAn/' mp a die interessante Catalan'sche Formel Co — letzte für v := 2-p„(|) = 2(-ir^(»)'3^ of the Mu se um of deren rat ive Zo o log ' ^ L> y( Ca "v2/~ rL ibr ary x=o tM man ns diese letzte Gleichung mit der aus meiner Formel ard Un ive rsi ty, Er Verbindet ay liefert — o^v-irirv "^ \\ " Z_l = / 22^n(A)n(v + A— 1\ ^)ll(w— 2A) itis ed by the Ha rv ^n\x) Dig folgenden Relation ^./l>_ ^2 80 entsteht die Beziehung ri(» + 2v— )V;r 2"+'^'-'lI(v_l) y (—3/ ^„ 2^^n(A)n(v+A_l)n(>»-2A) > l'lTTn^TT/ IN A) 475 Function C^(x) -m ^ ,-irn( +v-i)[ii(.+v-|)]'2'-+"-' ,_^^^ n(2» + 2v-i)v/^ 2"n(/)n(v+A-l)ii(«-2X)~ f^o n («+ V— X— ^) n (v+A-^) n(X) n(«— x) iez en tru m at ,4^ {x) liefert /; w ww bio log Die Vergleichuug der Coefficienten von x" iu den beiden eben benützten Entwicklungen von Gl V 2-'- (v ity l ive rs n (X) n + A — -^j n («— 2A) ww bi od = («+v- i-)] htt >=" ry V 2/J 1_ ibr a [ri ) eL n(M+v-i ^ x4^„nL^v_Ä-i^"^ n(«— A)n(A) n («+v— A — ^j 11 (^v+A— yj n(2« + 2v-nv/- x=o eri tag 2"+^^-' p:/ /w > ibr a ry org ferner die Relation von mir aufgestellten Gleichung*) in der eB iod man fro m Th Setzt ive rsi t yH ^ 2^' nlo ad _^M^v-2A - ri{«)n(v-i) V n(A)ll(« + v-A)^"-^''-' ^4 MA ) =: 1,0, so ergeben sich die interessanten Formeln rid g e, a; ;O rig ina lD ow •" Zj mb + v— 2A)n(K — 2A+2v— 1) _ («— 2A) ^ (A) « + v— A) y( Ca (» II ( II 2"n(2v— 1) ir(w)ir(v^l) rat ive Zo o II log y + v-2/)II( + v-A-l) ^ Co (2r mp a ''^ n(A)rif2r+v— A)n(-— A) of /_;- of der Variationsrechnung" ibr in ^) hat iu seiner ns tM ay Legendre-Jacobi'schen zwei benierkenswerthe Theoreme Man kann leiclit ty, Er Integralen gefunden Abhandhing „Über ein Kriterium des Grössten durch Vergleichung seiner Form der zweiten Variation mit der rL und Kleinsten Win ekler ary Herr Hofrath Professor Dr A the Mu se um -' über von gewissen bestimmten das Vorzeichen eine Reihe von Sätzen derselben Kategorie, in denen die Functionen und von diesen möge der folgende angegeben werden: Ha rv ard Un ive rsi Cn{x) eine Rolle spielen, aufstellen, ' „Über - Sitziing-sberiehte der k the Fmietiouen C^' (x) mid Z>j| (.c)" Programm der n Landes-Oberre.ilschid«' iu by dif l8t(0 l)""*^', log — wenn x x, Zo o ( eine durch kein Quadrat (ausser 1) theilbare ganze Zahl ive (x) =: Anzahl der verschiedenen Primtheiler vou (x) die ist, und gleich ganzen Zahlen des Intervalles of Ä: .x welche ein zu x theilerfremdes um fk{x) die Anzahl der Systeme von Co mp a anderen Fällen, rL ibr —— r ^0 ay -ij* ist, und die ganze Function T'^ipn) durch die Gleichung- Un ive rsi ty, Er ns tM (, ary of the Mu se Zahlensystem bilden, wenn n(X)n(/j— X)n(m+«— >) the Ha rv ard r:w by ed aber x^, und jj positiv und liegt zwischen ihnen keine Wurzel der Gleichung r™(x) = 0, Dig itis definirt wird, sind / I falls ' I — /ddt (x)\ r[~d ) — »t^^W>e _ ist [ k1^) in allen rat S 4) Ist y( Ca mb rid g e, MA ) -N{n ) x" dx>0 (m >— ;« ganzzahlig, nicht negativ) so ist Function w (x) die /^ (x) die die (;x) lJ.r(x) Anzahl der Zerlegungen der ganzen Zahl ,r in ein Anzahl der Darstellungen von x Summe durch eine Product von zwei theilerfremden Factoren, wenn x «, «^ ô = x, zwei Quadraten, und gleich 1) theilbar ist, der Ateu Potenzen der Theiler der a(x) =: 0, 0, Summe von als Potenz (ausser rte sind, ganzen Zahl in allen anderen Fällen, x, mehr eine Primzahl in einer höheren als der zweiten, oder als eine Primzahl in iez en tru a(l) == ganzen positiven w nicht überschreitenden Zahlen, welche zu x theilerfremd Anzahl der positiven ganzzahligen Lösungen der Gleichungen =0, wenn x pi{x) die aller m at (X, n) X Anzahl die f 477 C\,[x) +1 oder — bio wenn x durch kein Quadrat 1, je nachdem x aus (ausser 1) theilbar /; w ww ( gleich einen Primfactor in der zweiten, die anderen aber nur in der ersten Potenz enthält, ist, org l)*^'-^', r)"'('^)+' S>(x), oder ungeraden Anzahl von gleichen oder ver- einer geraden ry X(a;) wenn x ( schiedenen Primzahlen zusammengesetzt ibr a = — a(x) = — log einer höheren als der ersten Potenz enthält, ix(x) Summe der Aten Potenzen derjenigen Divisoren der ganzen Zahl x, welche durch kein Quadrat ww bi od !^i(x) die ive rs ity l ist, /w (ausser 1) tiieilbar sind, 4/i:s gleich 0, wenn x keine Primzahlpotenz ist und rsi t ive gleich log x in allen anderen Fällen Anzahl der x nicht überschreitenden Primzahlen ow der über alle Divisoren der ganzen Zahl n ausgedehnten Summe ) lD •/„(x) gleich nlo ad fro 0(ic) die x), eB iod •j{x) ^ A (mod //^ Th X(A, x) die Anzahl der Lösungen der Congruenz yH das Legendre-Jacobi'sche Symbol, m j eri tag eL ibr a ry — — welche die Form x, htt p:/ Xu.u-i{x) der Überschuss der Anzahl derjenigen ungeraden Divisoren von + X Q,^2k 1) haben, über die Anzahl der übrigen ungeraden Theiler, —-j Ca i^x) ina d ;O rig setzt f man y( Ca mb rid g e, MA ) und y ive Zo o log of Co mp a rat so bestehen die Gleichungen: /x(l), um /j.(2), , fx(«) X, (/."(>/,) (>/i)> ' ii/'^ •> J-i ihi^A Cl(y,,)|()., (ih) y." C— + £ -1 J 2;/ (log- /«)^ + «, v.» (i/«) 0(2 C— ) // "iloff«- C+ '^) + log n — «^ + (2 r— n + /; w ww bio - f^y^: log wf tru y.i ' "ijTjl.l— yl) [ =), m at y.i(i/i), iez en 7-1 cUi/i), '+1 '+1 v'+l log , (.'/|)> "/.2 ^i) ( • • • • • X" (^l) ' ity l (yi)> Xl ^'1 ibr a ry org ,lhi^),'l^i^^\ -'N(>^) dhX y.i X" ' 1^/2) I ô)|7| (1 ^ V — — ' //i) '/yj- = A„ y oj (a;) p:/ /w ( (2/i.)| ()„ , = 1.2, ww bi od ^2 (^2); Xi /A^ Cx ive rs •+1 "+i /*+' htt ry V • X» (!/' %A- ' (//ằ)> X" Y^ -lo (^) Ê=1 n (logô + 6'— 1) + 4« s/« A (i/") ibr ary of X2 |7| the Gl „, «(1), c Zô(i/2) ibr a .{2\ , , u (3 ), , u^v'm]) ^2 {yz), Xi (i/2\ • •'7.2'(yi),7.2'-+i(i/i)'ow • • •'X3'(!/i)>- -jX, ',-,.• (^i) lD Ci(*/i)>Xi(»/i),7.2(yi)>Z3t.yi)'- 7,2 C/aX 0/2^ X:i ) 7.2 - ;O rig ina /'*+i ^Mz\ yy+i r/s (1/2), (i/t), ,-/., >-,_,, (2/2) mX- '._,.(«/") mb rid g e, MA ) +1 /•+' nlo ad , fro /x(l), , m Th eB iod aVh.)(^) ,X2'-(yô~)>x-i'-+i( '* ^,, ,, , X" (!/") , - V ,, tru i:>j'), + 2)Aô '' ô /''+' cUyi\xi (//i).X2(,'/i) • ,7.Ayi) ibr a ' Xi !h), ( X2 //2 ' )ằ ' y." (ifi) ' X" (yô) C)'(y|,l!().,|,= i,2 ,„)0 (1 — X2x-i'i/z^'X2,(i/2),x x-iii/E)'X->,_2'ô/2Xxo,,+3(y2), (2f.-l,) Dig itis ed by the Ha rv ard Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se um of Co mp a rat ive Zo o log _^„n;ry- y( Ca mb rid g e, ifx(;S/(^)!(X,( -»i>--
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