151 /; w ww bio log iez en tru m at THEORIE DER DERIVATIONEN ity l ibr a ry org VON DER SITZUNG AM 17 OKTOBER 1889.) fro m Th eB iod ive rsi t yH IN eri tag (VORGELEGT eL ibr a ry htt p:/ /w ww bi od ive rs ANTON KKUG vielfachen Integrale einer gegebenen Function fiz) ina und die DiifereutialquotieDteii als ;O rig Der Gedanke, lD ow nlo ad Einleitung doch ist Liouville der der diesen Gedanken weiter verfolgte und eine diesbezügliche erste, e, alt, rid g sehr MA ) Specialfälle eines allgemeineren Ausdruckes F{z, n), der von zwei Variablen z und n abhängt, aufzufassen, ist Wenn angewachsen die Literatur beträchtlich log ist ich mich nun in der vorliegenden Abhandlung mit Zo o es y( Ca mb Theorie ausbildete Seit dieser Zeit haben sich viele Mathematiker mit diesem Gegenstande beschäftigt, und ive derselben Frage befasse, ohne mich auf irgend einen der Vorgänger zu beziehen, sondern vielmehr wieder von was zu sagen ist, und wenn ich meiner Arbeit of ist, Co führungen noch nicht das gesagt mp a rat vorne beginne, die Theorie aufzubauen, so geschieht es, weil nach meiner Ansicht mit den bisherigen Aus- so es betreffs der Definition der Deiivation (wie der Ausdruck F{z, ti) nach se ist dieser Beziehung und der functionentheorcti.schen Grundlage der Entwicklungen ist) Riemann's benützend, gehe ich davon aus, der Derivatiou D"f{z) = F{z,n) die ary Einen Gedanken Mu benannt the Grünwald of Herrn um einen Fortschritt vindicire, in — F{z,n)z=zF{z,n+l) vZ ard Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr beiden Fundamentalforderungen aufzuerlegen — v) = f{z)dz' V ganz und positiv Differentialquotienten werden, ist ohne Weiteres klar); ed + v) Dig itis (dass dann F(z, by the Ha rv F{z, die Deiivation noch nicht bestimmt ist, dass man dann zeigt sich, dass hiedurch also noch eine Forderung stellen kann Für diese neue Forderung wählte ich die Relation D^D''f{z) als dritte sie Fundamentaleigenschaft, und dann ist — D'"+''f{z) die Derivation F(z, n) vollkommen bestimmt und ich konnte durch das verallgemeinerte Cauchy'sche Integral ausdrücken Ganz von selbst stellten sich die Bedingung Anton Krug 152 der Deiivirbarkeit der Function sowie der Begriff des Intervalls, f{z), und endlich die Bedingung ein, unter der die dritte Fundamentaleigeuscliaft besteht Die EinfacLheit und Natürlichkeit dieses Gedankenganges wird man nicht verkennen; es fragt sich jetzt nur, ist die auf diesem Wege gefundene Derivation auch identisch mit der bisher behandelten? Diese Frage zu bejahen; das zeigt die Darstellung (^ ganz und positiv V a ist = oo, /; w ww Liouville findet (bei Buchwaldt bio log O""*"' Grünwald bei H und den Übrigen ist org im Wesentlichen überall beide Fälle zulässt) ibr a ry htt p:/ /w ww bi od ive rs ity l ibr a a endlich, während J ry die sich "^ ^^' r'C ^ iez en tru m at ist eri tag eL I ive rsi t yH Definition der Derivation mit endliclier unterer Grenze Th Wir bilden von einer vorgelegten Function eB iod complexen Variabelen z successive die Differential- fro m f(z) der a rid g e, MA ) ;O rig ina lD ow nlo ad quotienten und vielfachen Integrale, dann haben wir die beiden Reihen y( Ca log F{z,l\ rat ive Zo o F(z,0), Co mp a Fiz-1), die untere F{z,2) F{z-2) F(^z,.) F{z~.) Grenze a der vielfachen Integrale endlich und sonst beliebig sein, um soll of bezeichnen wollen Dabei a mb a deren Glieder wir folgeweise mit ist die Differentialquotienten und vielfachen Integrale die specietlen Wcrtlie sind, of Wir können dann sagen, dass the Mu se jedoch von der Beschaffenheit, dass die Function f(z) wirklieh zwischen den Grenzen a und z integrirbnr rL ibr ary welche die allgemeinere Function ty, ganze positive und negative n, d h für « =; +v annimmt Diese allgemeinere Function rsi für Er ns tM ay F{z,n) genannt werden; ard f(^z) Ha rv vorgelegten Function Un ive eine Function der beiden von einander unabiiängigen complexen Variabelen z und n ist, möge welche Derivation der diesem Sinne sind also die Operationen des Differenzirens und einer allgemeinen Operation, die wir dementsprechend das Deriviren nennen the Integrirens specielle Fälle in F(z,)t), ist nun zunächst zweckmässig, für das Differenziren und Integriren ein gemeinsames Zeichen einzuDig Es itis ed by wollen führen; dazu benützen wir vor der Hand das Zeichen fi-'^(z) D mit beigesetztem Index, nämlich = D'f{z) p az)dz^ = D-'f(z) 153 TJieorie der Derivationen dann wird die analoge Bezeichnung für das Deriviren lauten: F{z,n)=D"f{z) um, indem anzeigen und rechter Hand das wir, wie gebräuchlich, fertige Resultat angeben, also = F{z,n), D"f(z) nun von vornherein leicht zu sehen, unendlich viele Operationen D" geben wird, dass es uuendh'ch viele Functionen F(z,n) und daher auch welche für ganze, positive oder negative n die Differentialorg quotienten und vielfachen Integrale liefern, ibr a ry und unter diesen verschiedenen Functionen F{z,n) werden wir im Folgenden eine möglichst einfache zu bestimmen suchen, und diese allein mit dem Namen Derivation und ww bi od die dazu gehörige Operation mit der Bezeichnung: deriviren belegen beliebigen bei n bestehen lassen, es ist dies die ibr a ry die dieselbe bei allen ganzen n hat, p:/ /w nun diese Function F(^,«) durch einen analytischen Ausdruck bestimmen zu können, mlissen wir eine Eigenschaft, htt Um 12, 1/9:= etc bio ist /; w ww Es log = der Sinn dieser Gleichung derselbe wie etwa der der Gleichungen 3.4 ity l ist ive rs so iez en tru die auszuführende Operation linker Ilaud m at Stellen wir diese Gleichung eri tag eL Eigenschaft = i^(>,±v-+-l), yH fV,±v-) sofort aus den Reihen erkennt; und ihre Verallgemeinerung für beliebige n, welche zulässig Th man 1) ist, lautet: ist, ad von n unabhängig ow nlo da fro m die eB iod ive rsi t 8 lD F{z,n):=F{z,n + l) ina 2) Zu dieser Gleichung, welche e, die folgenden gleichsam als Grenzgleichungen hinzu: log = D^'f{z) 3) ive Zo o F{z,±.) Aus diesen Gleichungen welche wir die Fundamcntalfordcrungen 3), für die Derivation nennen of nun und 2) F{z,ii] bestimmt werden Wir müssen zu diesem Zwecke vorerst jedoch, namentlich um die um soll se wollen, mp a rat die V ganz, mithin die rechten Seiten bekannt sind Co wo Bezug auf n aber eine Func- rid g dann treten in mb ist, Bezug auf z eine Differentialgleichung, in y( Ca tionalgleichung MA ) ;O rig Form zu bringen, eine Betrachtung über gewisse Curveninte- the Mu rechte Seite der Gleichung 3) in eine andere ay rL ibr ary of grale einschalten gelteöden Formel von Cauchy bekanntlich der Integrationsweg Dig ist itis ed by the Ha rv ard Un ive v rsi In der für ganze positive ty, Er ns tM 7v, der complexen Variabelcn / eine beliebige Curve, die den einmal im positiven Rinne umläuft und keine Ausnahmepunkte der Functidn fif) einschliesst Der analoge Ausdruck für v an Stelle von v ist — Denkschriften der mathem.-Qaturw Gl LVII Bd 20 Punkt z Anton Krug, 154 stimmte Form die Variabele liier oo.O um an, und man davon nimmt J(c,— v) so die unbe- das zu vermeiden, definiren wir = Lim j(.,-v) '^^^ ; '\ Sin- i f fm-^y^'-'^^t •^^_ ! ,(5=0) Formel die für beliebig kleine o geltende org man ibr a ry so erhält /; w ww bio log iez en tru Subtrahirt auf denselben Integrationsweg IC, t m at man Bezieht ity l = Lim 1-^^'-=^/ m[(t-zy+~^-'-{t-zy-^]d ww bi od ive rs j{z,-v) rsi t w"" = i (i- -)(2+y !\.-iTS) ,[«')('-')'' ^4^ I (S=0) ad nlo J lD • ow f^ A0('-~^)'-*^(^-^")^'- ;O rig • MA ) Integrationsweg' IC denken wir uns nun so entstanden, dass er von einem beliebigen Punkte e, Den ^ = Jz-y) 6) ina oder einfach fro m Th •'( -') yH weiter ive ist eB iod so eri tag eL ibr a ry htt p:/ /w und berücksichtigt man die Gleichung mb rid g gehend den Punkt z einmal im positiven Sinne umläuft, Zo o log y( Ca wieder in a endigt Der Anfangswerth der Function anter — ä)"'"~' l dem {a — Ausnahmepunkte von Integralzeichen ist f{t) aus- ausschliesst und deinuach z) ive f(a) {a nlle er mp a rat der Endwerth dagegen / beim Durchlaufen von z Mu se weil die Amplitude von um of Co f{a){a-zr-'[l{a-z)+2iK\, v) ;r gewachsen ist Der Integrationsweg A' ist keine geschlossene Curve ary nun den Ausdruck rechter Hand in G) auszuwerthen, ersetzen wir den Integratiousweg A'^ durch rL ibr Um — um of the somit in der letzten Darstellung von J{z, Ä' ns aus der beliebigen geraden oder krummen Linie {az), die von a nach z führt, ohne durch einen Aus- Er tM ay einen neuen Integrationsweg, der aus folgenden drei Theilen besteht: dem ty, rsi f(t) zu gehen, noch einen solchen zu umwinden, ive nahmepunkt von unendlich kleinen um z geschlagenen Kreis z^ aus aus der von z nach a zurückfülirenden Curve {zd) ard Ha rv itis ed by the ist Dig Dann Un "0 155 Theorie der Derivcdionen Im zweiten Integrale substituireu wir i —z = den Radius des unendlich kleinen Kreises Integral; kehrt mau pe''f = dt , wo df, ioe''^ f^ bis um, -^.] 'ji ry org ist darf auch auf ihm längs seiner ganzen kommen des Integranden in Betracht; nach einem bekannten Satze steht, zerlegen wir f{t) gewöhnlicher Punkt /w p:/ und zwar in drei Theile, diese drei Theile sein: ist, bildet, eine zu sehen, wie es dann mit der Endlichkeit dieses Curvenintegralcs den Integrationsweg A' die Strecke ab, 7v,- sollen, wenn b ein beliebiger endlicher, im Allgemeinen nicht geradlinig zu sein braucht, aber keinen Ausnahmepunkt die nlo beginnend den Punkt z einmal im positiven Sinne umläuft, keinen Aus- fit) einschliesst die Strecke b ow und wieder endigt, in b lD nahmepunkt von ad durch- oder umlaufen darf, die Schlinge K',, die in b ina ;O rig f\t) u MA ) von fro m Anfang und das Ende von Th aber für Um zulassen f{f') daher dieses Curvenintegral endlich und zwar ist a, der den yH Singularität der Function Werthe eri tag Wir können sogar auch im Punkte >i rsi t Werthe von bei der Integration nur endliche htt es ry Länge, und ibr a eine endliche eL wie wir annehmen können, für alle Ausdehnung kein ww bi od ive rs ferner der Ptinkt a der Voraussetzung nach im Endlichen liegt, so hat der Integrationswes', ive solcher liegen eiuschliessen, f(f) Da mm eB iod Ausnahniepuukt von ity l ibr a dieser Hinsicht erinnern wir an die Beschaffenheit des Integrationsweges IC Derselbe darf keinen In AO'/^ J (^-2)« + f 2iK log ' f{t)m v{n+\) , {t-z)"+i J «n-e- rat Zusammenziehung des ersten mdt } "-"+'"'.] Zo o ' ive 2in (t—z) i und dritten Integrales, Co oder, nach gehưriger r(«-M) f y( Ca _!'(«+ mp a r/ „N mb rid g e, Mau bekommt dann um of - se 2iK + J^ {t-zy+' ' i\-«),J (^- (z, m, n) keine ganze Zahl Th m wenn ist, m und i^die vorige Bedeutung, so fro Inte- werden ive darauf noch ausführlicher zurückkommen Haben vorkommenden untei liegen niüssen AVir yH grales folgt; vielmehr wird darin die Grösse n einer gewissen der f(f) ;O rig zunächst MA ) = i)"' F{z,n) rid g e, ^h{z,m,>,) (r(>^+i)r -^ 21 f(t)dt ] Formel 10) etwas anderen Zeichen auch sehreiben in mp a lässt sich dieselbe of the Mu se um of Co Nun rat ive \ J (^=^)^+n^'ô^( log - Zo o _ y( Ca mb a ary Q{z,m) den beiden Bedingungen 11) zu genügen hat Wendet man diese rL ibr worin danu selbstverstiindlich resultirt Er ns tM ay Gleichung auf die rechte Seite der verletzten Gleichung an, so ty, ^^,.,„,,_i^(>»+i>i^(>'+i)r du r f{t)d t Ha rv ard Un ive rsi j the + \\M+l) Cr{t^,n)da 2/;r J^(m_2)'"+' [ +*^^~'''"^ ed by ] nach 10) unmittelbar itis ist Dig Dagegen „, , F{z,m + n) woraus man namentlich sofort erkennt, /-" = \\m + n + l) ^.^ ^ [ J_ f(t)dt (^i-^^^s+STT „, + P(^,»^ + n), , ,„, 17) dass diese beiden Ausdrücke im Allgeiueiuen verschieden sein können, da ja und Q von einander und von f noch unabhängig sind A ntoH Krug IßO Die neue, an die Derivatioii zu stellende Forderung sei nun m für beliebige dasg die beiden Ausdrücke IG) und 17) die, einander gleich werden, dass also (z, m, n) = F(z, m + n) oder D"m = i)"'^"m h'" a a j»^ —p bemerkten bio wie wir schon für den spccielleu Fall log wobei wir jedoch darauf gefasst sind, dass « einer gewissen Bedingung wird unterliegen müssen, /; w ww stattfinde, iez en tru a m at 18) org Die Gleichung 18) ersetzen wir durch die mit ihr identische, nämlich f r(w + ]) C l\n,n)du ry du r f{t)dt ibr a + l)r(»+l) ww bi od ive rs ity l r(/H /w J (-0 real (1 man: > real (1—13) ; > /; w ww {ß—y + 1) ibr a ist: ww bi od ive rs ity l Desgleichen ry org real bio log iez en tru m at findet —7 + l)>0; (0-0' = dt ; =d« und wieder H t ry (= — für geschrieben: ibr a mittelst der Substitution ;< ir -l -i; r(i— «)J (0-0^'"^+' ' Th eB iod ^r ive Hl z X; rsi t yH eri tag eL und htt p:/ /w ad fro m oder = (_-l)T-ô-ò-'lJi|_^^^l-T2)''"^23-'(l^)-' ow nlo - v(l_^,,T-ò-' "-' lD V- > (1 a) real ;O rig (7— ß) ; > ; mb — ' (_1)T— P- =: Efc^^el-T2)'-^^'-'(l-^)- -3 Zo o log ^3-'^,^-T(l_^)Y rid g ergibt sich: y( Ca und auf analoge Weise e, MA ) real "/ ina > 0; real (1— ß) > Co mp a rat ive (7— «) real man of um zu diesen noch den einen Zweig nach 151) (denn der andere se man vorkommen, durch ähnliche Derivationen ist wieder Null), das neue Lösungssystem: ibr ary of so hat Berechnet die unter 158) Mu ausgedrückt die ersten vier Derivationen, the Wir haben somit = (l-zy iez en Lässt lässt sich aber dieser Integrationsweg ß demselben Blatte liegen, daher auch — — 5)>0 ^; ii], verschwindet und Q,, welche auf L'^ r(w+i) C t»a-t)^ htt p:/ /w ist ersetzen durch die drei Schlingen ww bi od Nun ive rs ity l weil jedes Element des Integranden unter der gemachten Voraussetzung real(w r(:n+i) C tpji-ty Z yH und durch Derivationen ausgedrückt erhält man _ eri tag Q t^{i-ty Hinzusetzung des Factors leicht mit v{n+iy ina ;O rig voraus, und lässt nach oo convergiren, so werden die beiden Differentialgleichungen homogen und mit 157) identisch; MA ) a > rid g Lösungen lauten daher y( Ca mb die 153) und 155) real|3:>0, desgleichen in 154) und 156) real a in e, man man nun lD Beziehung als die verlangte lineare Setzt ow nlo ad fro m Th eB iod ive rsi t ' f eL ibr a ry r{n+i) y=:c,2)'-'.'-r(l_.).-;^-'+c, ^e,D'-0 ive Zo o log X)^— '^\;^ = c.i)'-'.3-r(l_.)T-^- +c, 'b'-'-' ^^^f^ + ^-s'S-^T^ rat y mp a ) Co oo = oo y^ ,= oo ^) real«>0 '') ^^ um of r Mu se Die drei Particularlösungen reduciren sich wegen 160) auf blos zwei Dieses System 161) ergänzt das the Auch das System 161) lässt sich umformen Setzt man nämlich realM0 Z^ -T(1_^)T— ) c, ^T JT)-' (l-^)P-T +C, g^^' + C, 'b'-'-' m at = 163) ']^'-^ iez en tru y — J /; w ww bio log real(l— j3)>0 org Die drei Particularlösungen reduciren sich wieder vermöge 160) auf blos zwei, und in Bezug auf die ibr a Reihe F{a, ß, 7, jetzt zur liypergeometrisciien überzugehen, und deren Theorie z) ive rs ist, ity l So verlockend es ry Zusatzbedingungen ergänzen sich die beiden Systeme 161) und 163) ww bi od mit den Derivationen zu verbinden, so soll es hier doch unterbleiben, weil es zu weit führen würde Für die Ditferentialgleichungen 153) und 154) lauten Lösungen: htt p:/ /w jetzt die vollständigen ibr a ry ^(')=2)'"'s"-T(l_2)T-f-'H-^ eL j eB iod ive rsi t yH eri tag 164) fro m Th worin für f die Werthe aus 158), 159), 161) oder 163) zu nehmen sind, je nachdem in 153) und 154) die Grössen «, /3 und der einen oder der andern Bedingung genügen ad ow nlo aus 153) oder 154) durch nochmalige Differentiation zwei homogene Lösungen vollständig augeben kann; ihre lD Ordnung bilden und Differentialgleichungen dritter die Ausführung ;O rig aber übergangen werden log ein Beispiel für die Derivation ganzer transscendenter Functionen zu haben, betrachten wir die ein- Zo o Um y( Ca mb rid g e, MA ) mag man zu erwähnen, dass ina Noch wäre cos z mp a = rat ive fachen Fälle und f{z) = sin z of Co f{z) wenn man der Einfachheit wegen « =: annimmt, Mu se um Hiefür geben die Entwicklungen 130), ~, — UAz) = — of r the = ary /)" cos z rL ibr 11— Jfsmz— — — r( ay n ns tM ' UJz) *^ ^ • n) z" 11— = — =7 r( n) z" r • cos z -4- U.(z) sin z] 165) [UJz)s.\x\z— U*^(z) cos ' ^ ^^ z] -' ive sind durch folgende Gleichungen definirt: Un U the Ha rv ard Die Functionen rsi ty, Er ,, ^ r-— \U,{z) -7 m(1—»)(2— n)(8— «)(4— ») n(l—n){2—n) z , Dig itis ed by n *'^'^> z^ - n{l—n)~ n{l—n){2—n){3—n)'^ " ' " 166) ^, , - 1 z^ z» n n—2 1.2 n— 1.2.3.4 l U,{z) z «—11 Denkschriften der laathem.-aaturw Gl LVII Bd z^ M— 1.2.8 n—5 1.2.3.4.5 " ' 28 218 Krug Antoti Obwohl U diese Functionen tionen 165) für alle ^ und ganze positive n unendlich und unstetig werden, so sind die Deriva- für doch endlich und ii weil bei ihnen der Factor stetig, = auftritt, r( der für die n) genannten Werthe von n verschwindet Functionen von z betrachtet, haben bemerkenswerthe Eigenschaften, von denen einige hier aus 165) folgt = sin z — U^ (z) cos z = U^{z) cos H57) z L\ (z) U^ (z), /; w ww bio f/j (z) z+U^ (z) sin m at Zunächst tru Platz finden mögen iez en als log Die U, z-h U^ {z) cos z (z) ibr a ity l — U^ = U^iz), ww bi od üj {z) sin z sin z z= U^ (z) ive rs ü^ (z) cos ry org und hieraus ziehen wir die Gleichungen U\{z) 69) rsi t ive + U\{z) = ül(z) + lJ\{z\ a, p, kann man hiefür schreiben so ein, •/ fro drei Hilfsgrưssen ow nlo ad man Führt m Th dieser letzten Gleichung ist stets eB iod Vermöge yH eri tag eL ibr a ry htt p:/ /w welche zusammengefasst lauten: — f-sC^^ =: p sin V^{z) -zzz ina lD =: p sin « TJ^{z) p cos e, MA ) ;O rig — U^{z) = p cos a so wird a-=zz rid g —7 mb 167\ und die beiden Gleichungen 107) lassen log tionen in « und natürlich gewisse Functionen von z und n sein p, y( Ca Dabei werden t'il^)^ U^{z)-=z ^h^'^)'- smiz — 'j): sich ersetzen durch — cos — — (0 7): sin 7: cos mp a — —n - und z =: hn , so wird ty, sich betrachtet, sind die U nicht periodisch, doch lassen sich leicht Quotienten bilden, die perio- Un Solche Quotienten bildet Ha rv ard disch sind ive rsi Für Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se um of in 167) z =: Co man Setzt rat ive *^'i(^): Zo o 170) Macht man diese Substitu- _ - leichtesten aus 170), U,(z)V,{z)+U,{z).U, {z) ist _ B z ^ U,{z) itis + TP,{z) V^,{z)~Ul{z) So U, U,{z)-U,{z).l\{2)_ U\{z) _ eliminirt U,{z)+U,{z).U,(,z)-l\{z) U,{z)-U,{z).U,{z)-^''^ Ul^,)-Vl(^) Dig U,{z) wenn man U,{z) ed by the U,{,z)U,(z)+U,{z).U, {z) U\{z)+-U\{z) man am (z) _ü,{z)-U,{^) -U^{z) + U,{z) _ m^)+Ud^) _ — l\{z)+ U^{z) - + l\{z).U,(z) lJ^^z)+lJ,{z) U, (z) _ U,{z)U^{z)+lJ,(z).ü,{z) - - ü,(z) ü,{z)+ U,{z) U,{z) _ ^^^^ ^ ^2 +V^(z)- V,{z)+V, {z) V,{z)— lJ^{z) _ - /^ ''' ^U ^ zx 2/ cos^; 219 Theorie der Derivationen u dergl Aus 167) man auch findet = Ul{z)-Ul{z) lTi{z)— U-\{z)\ sin 2z— ü^{z) U,{z) cos 2z = U^{z) U^{z) sm2 z [Ül{z)-Ul{z)\ cos2.~+2 U,{^ü,{z) man Ersetzt Wir schliessen daraus, dass mit denen in 167) vollständig aus 167) abgeleiteten Relationen neue giltige Relationen liefern, alle darin ü,(z), V,{z)- U,(z)- /; w ww U,{z)- bio log wenn m:in man zwei Gleichungen, deren Bau so hat , tru ist -=r iez en annlog hierin z durch m at [ man kommt die Gleichungen 167) nach z, so ive rs ww bi od Differeuzirt ^^-.(D^.d) ry U^ (2) ibr a eri tag yH U - U^iz)— rsi t für V^ (2) U[{z) Ebeuso gesetzt wurde ü!^{z) z—U^ {z) cosz= U', (z) m fro + U^{z) — U^ (z) Wir schliessen hieraus ähnlich, dass lD ow nlo U^(z) sin z ad + Th = cos z ü[ (z) sin eB iod 82 U'^{z) man: findet ive wobei der Kürze wegen U' + cos z eL + U{(z) sin z — V'^iz) sin z— Vl{z) cos z = U'^ (2) htt p:/ ersetzt "iQ-'-'Q '"'(iM)-' /w "'Q'^^Q' ity l ibr a ry org folgeweise durch 'o aus 167) abgeleiteten Relationen bestehen bleiben, wenn man ;O rig ina alle U,{z)- U,{z) U,(z); mb rid g U,(zy, e, MA ) darin log y( Ca folgeweise durch Ui(z)-U,{z); ^z), üi(z); rat ive Zo o Ul(z)+U,{zy, Co mp a oder auch durch ü[{zy, u!iz)+u,{zy ui{z)-u,{z) Alle diese Gleichungen gelten für jedes Mu the genügen auch einfachen Differentialgleichungen Gleichungen 166) sämmtlich mit z-" und ive ard Un z U'^(z) z VI {z) Ha rv the by die sich aus —« L\ {z) —n ü^iz) + —n U^(z) + cosz sin den letzten beiden Gleichungen man dieselben zu erhnlten, multipli- einmal nach z, dann wird =0 =0 = für cos ^ und n'mz ergebenden Werthe daraus Dig itis beiden Gleichungen 167), so erhält Um +zU^{z)+l—0 zU',{z)-nU^{z)-zU,{z) rsi ty, Er ns z U[ (0) ed man dift'ereuzircn ibr tM ay rL ciren wir die U ary Die Functionen Setzt n of ersetzt se um of uiizy, U,(z) =n [ Uliz) + UKzTi-z [ U,(z) U^ + U,(z) Ui(z)] , was man auch schreiben kann 83 \ \ zl -]_ Uliz)+Ul(z) l_ z"' \~ 2U,(z) ,2«+l 28* in die Anton Krug 220 Diese Gleichung lässt sich iutegriren, wenn nimmt; man mau rechter Hand für l\{z) die Reihenentwicklung Hand noch die Relation 169) herilcksichtigt, indem man linker erhält dann, n{l—n){2—n)n—\ n' «(1— «)(2— «)(3— «)(4—?0 aus 166) «— '" Weitere Entwicklungen dieser Art mögen unterbleiben, vielmehr wollen wir jetzt die Functionalglei- Man Functionen von n betrachtet, geniigen m at U als denen die aufstellen, gelangt zu denselben, wenn tru chungen — —l-sm0=:O d}s\xiz _ + cos = 0; —T ' dz^ bio rf*cos0 log iez en die beiden Differentialgleichungen 'e' /; w ww man ry org dz'' 'd^&wz ' htt p:/ aber ist ry Nach 64) /w ww bi od , ive rs '„ ^„t^'cosz ity l ibr a und man erhält zunächst derivirt, '„+3 'd'^smz 1 '^^ rsi t yH eri tag eL ' ibr a '„d^cosz eB iod = -~\ 7)"+' sin ^ Th \, + D" sin = -J— J• wegen U{z,n) ;O rig ina Verbindung mit 165) + z'U^{z,n) = n+l y( Ca log + 2) Zo o (z ive man rat diese vier Gleichungen, und zieht die Summe mp a Quadrirt (n rid g U,iz, n (w+l)(w+2) (ô+ 1) e, + 2)+z' U,{z, n) =-z U^{z, w-t-2) + 0* ü^{z, n) =: (w+l)cos z — ^sin z U^ {z, n + 2) + z^ U^ n) — (n+ 1) sin + cos z + 2) e« mb (w+1) , MA ) (tt+l)(w + 2) U^{z,tl + 2) j^j^ U{z), so geben diese Dififerentialgleichungen in für lD jetzt der Deutlichkeit ow man Schreibt nlo ad fro jf cos z m + f)"+' cos ive Somit lauten die derivirten Diiferentialgleichungen: alle « U^{z,n)U^(^z,n se um + 2)+ U^{z,n)U^{z,n + 2)= der bei- + 2)+V,(^z,n)U,{z,7i + 2)- specieller Fall der folgenden allgemein giltigen Gleichung: ist ein ary of diese Gleichung the Mu U^{z,n) U^(z,n Summe geltenden Formel 169) of Co den ersten ab, so erhält man unter Berücksichtigung der für der beiden letzten von der = U,{z,n) U,{z,n')+ U,{z,n) U,{z,n') ns dieFunctionalgleichungen 171) vollständig zu lưsen, genügt + l)(« + 2)F(H + 2)+0H'(«) = ü Un man Ha rv ard Setzt (« es, ive rsi ty, Er Um tM ay rL ibr U,{z,n) U,{z,n')+ U,(z,n) U,(z,n') = i^z''.W{n), the V{7i) : Dig itis ed by so lautet diese Functionalgleichuug einfach Dividirt man [n-it-V,{n + 2)W(n + 2)—W{n) dieselbe durch («+i)(«+2)r(— ^i— 2) so hat man = r(— «), ferner: W{n-^2) T(—n—2) _ W{n) ~r(—w)" die Lösung der folgenden zu kennen: 221 Theorie der Derivationen man Setzt w (m + ) =: M' =w{n), diesen Quotienten n) daher ; so w{n) eine periodische Function mit der Periode 2, denn ist ist W{n)=:w(n)T{~n), und schliesslich V{n) 0" 1' ô ( 172) ) im Übrigen vollständig willkürlich Jetzt sind die Lösungen von 171) m at ist i" tru Die periodische Function w(ii) — w («) U V durch 166) und f/, i;^, ; + V{h) n) durch 172) gegeben C/3 (z, ; + V{h) h) U^ (2, «) ; + F(n), log V{n) bio -+- /; w ww die n) ist ive rs ity l ibr a ry wo (e, org ü, iez en beziehungsweise Ein Beispiel für eine transscendente gebrochene Function ww bi od ry htt p:/ /w ist: Dieselbe besitzt unendlich viele Unendlichkeitspunkte 0, o- -*-^ l yH sonst durchwegs rsi t eine beliebige positive oder negative «in y " " dt r m J fro ) ein m\t{ztY+^ ô)[ ad J-^ i ist eB iod ^n + r(— ^^ = -^ IT -^^ sine sin^i TT ) Th liefert ist wu ^ [kr., " ji n ina ist "^ 2«;r-' " L sin< (179) ' [(2w-|-2)^+(jư4-« — a)(« + d-i l)j ' -i-m(«-4-1V/ = 0; Änfon Krug, 224 und ihre Integralgleichung ist: ausgenommen, n ist eine ganze positive Zahl, oder a (=00^/ *' OO a ^ Ist n eine ganze positive Zahl = v, so findet sich tru log bio = org ^ Z^ ^ ZP ive rs ity l CO ry -^ zP ^ /; w ww zu erledigen, schreiben wir vorerst statt 180) ibr a und um den Fall » e-' + ^3^£ (5=^; T iez en 4_,)V + ^»D X^^'.J^ '=^-1 ',-ie-' i'e-'l{t—z)dt 180«) m at nach derselben Methode, wie sie schon früher angewandt wurde, was wir wegen der oben erwähnten so ww bi od = 0, realfl— ^)>0 dürfen die ersten beiden Particularlösungen einander gleich; wir bilden daher aus ihnen die werden /w Wird a linearen Hcziehung unter der Voraussetzung yH eri tag eL ibr a ry htt p:/ neue Particularlösung Differentialquotienten der Derivation nach der unteren Grenze ive nun sehr einfach, und man hat allgemein nach 61) eB iod Das ist Th zu bestimmen rsi t was im Wesentlichen darauf hinauskommt, den - - r(_,,) fro m ^D (^z:ä)"^< ad n^) lD die Grösse a in f[z) nicht als Parameter vorkommt In unserem Falle ist also, abgesehen von einer ;O rig ina wenn ow nlo 18^) und die vollständige Lösung y( Ca mb rid g e, MA ) Constanten, ive Zo o log lautet Co —^) > of Man kann 2? ' diese Bedingung nun auch wegschaffen, wenn man für die um unter der Bedingung real(l -^ oo mp a rat ZP the Mu se zweite Particularlösung wieder mittelst der linearen Beziehung die früheren beiden einführt, nämlich: c, ary = ,^ + , D"-' oo />—' ^ + c = t = oo ay « - ' ^ alle Fälle durchgeführt ive rsi ty, Er ns tM Die Lösungen von 179) sind hiemit für ^ p—t D'-' rL ibr X of / 1806) ard Un Ha rv Anwendung betrachten wir noch die Derivationen der beiden Functionen Dig itis ed by the Behufs nachheriger Für die ist, erste Function also wird 182) f{z) ^ = sin — \/z ; f{z) = cos\/z ;- • genügt die Bemerkung, dass dieselbe durchgängig endlich, stetig und eindeutig auch ihre Derivation nirgends im Endlichen einen Ausnahmepunkt haben, also Ü-^Ui-^'^V'^v^^ (~r v'^ 225 Theorie der Derivationen um Imu einmaliger Umlauf wird -^n ( dagegen welche zweiwerthig es bei der zweiten l'unetiou, ^ : =; und unstetig uuen /- x> ( , /- (l83) ' ~'^V „ cosv/g /- ' ibr sich die erste Gleichnng auf eine gerade, die zweite auf eine ungerade Anzahl von Umläufen von z rL wo ary of the I j ns tM ay den Nullpunkt bezieht Wir gehen nun aus von der Diiferentialgleichung d^0; 184) real(H setzt Th wenn man leicht erfährt, m man so liefert der Grenzübergang zu « = 00 ebenfalls die homogene Dif- ad Setzt fro wie man auch eB iod ive ' — ;O rig 'nCOS\/z r=~ _ ^^^^ (**+ 1) > ^• MA ) = Z) eine ganze positive Zahl, Qr.^ 186) mb und man hat y( Ca gleich, log = , Ccos\/t.l{t—z) ^ 7^ — — 'Wt-it-zy^^ c, j, '^f '.coss/z 7=s/z + CiD '^ n — v, of Co mp a "P werden diese beiden Particularlösuiigen so zu nehmen: Zo o V ive w =; statt ihrer rat Ist dann rid g e, 'Pi ina lD ow nlo ferentialgleichung 185); zu derselben gehört somit auch die Particularlösung um z gelegte Schlinge ist Die Lösung von 184) lautet: Mu se um wobei K, eine vom Nullpunkt ausgehende the '>,cos\/z "«coss/s; 7^= D'„coa\/z h- + CiI) r^ + '^xD reai(« + l)>0 184) n eine ganze positive Zahl tM in =v, so übergeht diese Differentialgleichung in die ty, rsi wir in der obigen Differentialgleichung ard Un Nehmen dann das Lösungssystem 186) gehört ive 185), zu der Er ns Ist ay rL ibr ary ? of iß7N 187) by the Ha rv sinv/z Dig itis ed so fuhrt das auf die Differentialgleichung lOQ d*x dz* ^ ,A ,-\'^X ^ dz ^ 2cos\/a V(—n){z—a)"+' und zu dieser gehört die Lösung: 'sins/z x =D , /- + "P' 4v/rtsins/a r(— 1_„) (^_a)«+2 homogene Theorie der Derivationen worin flu- angegebenen Ausdrücke zu setzen die -^i real(«+l)>0 man vorausgesetzt wird, so erhält Lässt sind ebenfalls die 227 man auch 188) a-=zoo werden, während in homogene Ditferentialgleichung und zu 185), dieser gehört somit auch die Partlcularlösung = ^)"?^^ eine lineare Beziehung von der -^3 'nS'ms/z 7=- 7=-+'^3j) Form w ,^ ^ real(«+l)>0 = ry Aufsuchung und Verificirung dem Leser überlassen bleiben möge ibr a besteht, deren org /; w ww 7=-+