Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 64-0283-0308

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Ngày đăng: 04/11/2018, 16:57

283 bio log iez en tru m at ÜBER DEN y.o rg/ ;w ww EINFLUSS DER ELASTIGITAT AUF DIE SCHWANKUNGEN DER POLHÖHE ASSISTICXT K K STEHNWARTK I\ \V1K\ NOVEMHER ö He rita g nER SITZUNG VOM IN ISDO.) Th eB iod ive rsi ty (VORGELEGT eL ibr a ry h ttp li\:R ://w ww Dr bio div e rsi t CARL HILLKBRAND, ylib rar VON eines vollkommen unveränderlichen Erdkörpers zur Erklärung derselben ad Annahme nlo schon, dass die Welche von den thatsächlichen Abweichungen von der vorausgesetzten vollkommenen ist Starrheit bei der erwähnten na lD ow unzureichend Erscheinung massgebend sind, ist eine Frage, deren Beantwortung erst bei ); O rig i jetzt fro m Die Ergebnisse der Beobachtungen, welche über die Änderung der Polhöhen angestellt wurden, zeigen dg jeder dieser Eventualitäten möglich sein wird mb ri nahme e, MA einem grösseren Beobachtungsmaterial und nach der theoretischen Feststellung über die Art der Einfluss- entgegen dem Ergebnisse in der Polbewegung hervorbringt, der Beobachtungen yo f th eM us e um of Co sind, mp a welche Bruchtheile eines Jahres da dieselbe nur Perioden rat letztere thatsächlich keine Rolle spielen kann, beeinflusst wird, wobei es sich zeigen wird, dass Zo o log die Elasticität derselben ive bewegung der Erde durch y( Ca Als Beitrag zu dieser Frage soll im Folgenden untersucht werden, in welcher Weise die Rotations- Die Gleichungen, welche die Rotationsbewegung eines veränderlichen materiellen Systems defmiren, a f Un ive rsi ty, Er ns tM ay r Lib rar sind bekanntlich Dig i tis ed by t he Ha rva rd ii Dabei bedeuten / g li die Momente der Bewegungsgrössen, zerlegt nach den Axen irgend eines im Räume beweglichen Coordinatensystems, das momentan Momente der absoluten Bewegungsgrössen auf die Axen des beweglichen Systems; p, q, r sind die Rotationsgeschwindigkeiten dieses Systems um seine eigenen, momentan als fest gedachten Axen und als fest betrachtet wird, das heisst, die Projec- tionen der L, M, N die Drehungsmomente der äusseren Kräfte, in derselben Weise auf das Coordinatensystem bezogen 36' Carl Hillcbraud, 284 Bezeichnet man mit_/' Momente die /; ,;•, der relati\-en Bewegungsgrưssen, so ist f^f,+Ap^Fq^Er C h — //, F die Trägheitsmomente, D, E, die o\ -;- Bq — Dr Ep — Dii+Cr, m at A, B, = Deviationsmomente bezüglich der Coordinationnaxen sind bio log iez en tru wo — ^7' g Diese letzteren Relationen lassen aber eine allgemeinere Auffassung zu Sie besagen nämlich nichts Moment der absoluten Bevvegungsgrösse bezüglich irgend einer Richtung gleich um der relativen Bevvegungsgrösse, vermehrt Moment das ist jener Bevvegungsgrösse, die aus y.o rg/ dem Momente ;w ww anderes, als dass das nun nicht nothvvendig dass diese Richtung mit einer der beweglichen Coordinatenaxcn ist, zusammenfällt, so können sich die rsi t es den Ausdrücken für/ in h auftretenden Grössen bio div e Da ylib rar den Geschwindigkeiten der coincidirenden Systempunkte entsteht, bezogen auf dieselbe Richtung g, /|,,i;',,'^i' /'• Q^ '' ''^'•'^"'^ ry h ibr a eL f = f^+Ap,—Fq^-~Er, ttp ://w ww auf ein anderes bewegliches Coordinatensystem beziehen, und man kann überhaupt ~ He rita g g-g^-~Fp,+Bq,^Dr, ty Ii^-^Ep,—Dq+Cr^ Axen als fest betrachteten eB des ersten bedeuten,/,, aber die A, ,§',, Momente ad momentan beweglichen Coordinatensystems, aber zerlegt nach den die Rotationen eines zweiten r, /',, q^, Th wo fro m setzen, iod ive rsi h ow nlo gungsgrössen bezüglich des zweiten Systems sind aber der Richtimg nach ebenso zerlegt, Systems gemeinsame Rotationsbewegung vor, jpi,, q,, r, während stellen /,, g^, //, na lD also eine für alle Punkte des materiellen der relativen Bewe- Wahl der Coordinatensysteme anbelangt, so läge es wohl nahe, für das erste System, dasjenige, welches Zerlegung der Richtung nach bestimmen die mb ri d h dg e, die MA Was nun ); O rig i von den noch übrig bleibenden relativen Verschiebungen abhängen soll, die Hauptträgheitsaxen zu log y( Ca wählen, wodurch die Gleichungen eine besonders einfache Gestalt annehmen Dieses System hat aber den letztere auch kleine Grössen erster Ordnung Zo o rat ive Verschiebungen zu sein braucht; denn wenn Änderungen der Grösse der Hauptträgheitsmomente \on derselben Ordnung die Co und mit ihnen mp a relativen veränderlichen Massensystem nicht von der Ordnung der Bewegung desselben im Nachtheil, dass die of Änderungen der Lage der Hauptträgheitsaxen derselben von der Ordnung der Verschiebungen ist Es soll daher Ordnung werden, wenn sind, so die Differenz um die yo f th eM us e können doch 0"^'' das mit dem nicht deformirten Erdkörper wenn Lib rar jene des veränderlichen Systems, fest in verbunden ist Die ein Coordinatensystem gewählt werden, Bewegung desselben im Räume ist daher jedem Momente die Verschiebungen mit verkehrtem Vorzeichen ns starren Massensystems Er Bewegung des ty, mit der tM ay r an die thatsächlich stattfindenden Lagen der Massentheilchen angebracht werden, und nicht zu verwechseln ive rsi Die Zerlegung der Deformationen soll Massenelementen gemeinsame Rotationsbewegung und so geschehen, 'dass die aus den letzteren resultirenden Momente der Bewegungsgrössen verschwinden, die Rotation daher die mittlere Rotationsbewegung des ver- he relativen Ha rva rd Un den relativen Verschiebungen in eine allen Coordinaten eines Massenelementes des nicht deformirten Erdki'irpers, bezogen auf ein tis z die Dig i Sind x,y, ed by t änderlichen Systems vorstellt mit diesem fest verbundenes Coordinatensystem, a, ò, ( die entsprechenden Componenten der Verschiebung, die als gegebene F'unctionen der Zeit imd der Coordinaten vorausgesetzt werden, so sind letztere dem- gemäss so zu zerlegen, dass, wenn 7.= 7.,+'/, p ~ T = + Ts (i, T, +,\ auf die Schwankungen der Polhöhe Einflnss der Elasticifiit 285 a,, ßp 7, der gemeinsamen mittleren Rotationsbewegung angehưren, die a^, ß^, 7^ Momente der Bewegungsgrössen zu Null machen Da diese letztere Bedingung sich auf die ersten Differentialquotienten der Verschiebungen nach gesetzt wird, die Zeit bezieht, die absolute Lage dieses so und daher auch mit dem definirten zweiten die mittleren Rotationsgeschwindigkeiten um die Axen die ist entsprechenden m at t.^ ersten dieses Systems, so sind die bio log iez en tru ä,, -j, der beweglichen Coordinatensystems willkürlich zusammenfallend gedacht werden kann, so können Bedingungsgleichungen unmittelbar in diesem aufgestellt werden Bedeuten die ;w ww daraus sich ergebenden Geschwindigkeiten der coincidirenden Systempunkte eben die Ableitungen der erstgenannten Componenten der Deformationen nach der Zeit, d h.: y.o rg/ dr>.^ rsi t ylib rar IT - sy+s^ bio div e d^ '"!* ry h ttp ://w ww dt -,, -.^, -., müssen nun so beschaffen dass sein, m + ?.)^^-(.^-T.)^|=O eB |0v ad fro m Th / iod ive rsi ty Die Grössen He rita g eL ibr a dt d-[i = rig i na lD ow nlo , ); O V mb ri dg e, MA () log ive können, so werden auch die Ableitungen erster Ordnung also us e yo f th eM '" V' dl \ dt di^- " /-> dt / y > x-^ 1 ,n ( dt —y dt / Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay r Lib rar ^ ist abei- d% df ^O dt •^i~ Dig i tis ed by t he Nim Erde dt -dt ^'•'~ — _— + ^Ts -d-( wodurcli die Bcdingungsgleichungen übergehen in , '• _ 1-.,;, liegt Ordnung rat kommen of ist Betracht um Es in der Zeit, und da Perioden, deren Dauer eine kleine Grösse erster Co offenbar nicht es in der Natur der hier behandelten Veränderlichkeit der mp a periodische Functionen — wie Zo o berücksichtigen sind Sie sind y( Ca Die Deformationen sollen als kleine Grössen vorausgesetzt werden, von denen nur erste Potenzen zu sein — ist, Carl HiUchrand, 286 V / 2_ "' [~ da -ft / »H.v V d'i\ —^ jf - '2 2- ) / '" ^^ + ! ^ -^ '' '•* V ^"^~ + 2_ V L "' — -I— J:3^«/(.r''+j''',» +-| + t:^} iiizx _r ''^' =' " viyz—0 Ist bio log iez en tru m at ' "' nun das Coordinatensystem so gewählt, dass seine Axen mit den Hauptträgheitsaxen des nicht man C,,, die diesbezüglichen so ergeben die Gleichungen Hauptträgheitsmomente [da bio div e V d'( B,L'''['dt~''dt Ordnung der Verschiebungen sind also von der ty ir,, :rj, iij He rita g eL ibr a ry h ttp ://w ww = ''^ rsi t ylib rar y.o rg/ mit ^„, ß„, ;w ww deformirten Erdkörpers zusammenfallen, und bezeichnet ersten Coordinatensystems dar Bezeichnet die momentan als fest man mit Th eB Axen des iod ive rsi Diese Grössen stellen die aus den Deformationen sich ergebende mittlere Rotationsbewegung bezüglich der gedachten Axen dieses Systems, so f ^^ nlo ad fro m ist Fm.^ — die mittleren Rotationen um jetzt Ein., ow v4co, (o,, (o^, 103 lD ^ -i-w, + — Dm h ^ — £(0| — /Aog -h lio)^ ); O rig i na g dg e, MA C(o., des ersten Systems bezüglich der eigenen mp a rat ive Zo o log y( Ca mb ri Da aber mit p q r die Rotationsgeschwindigkeiten momentan festen Axen bezeichnet wurden, so ist offenbar - Fm.^ — Eoi.,) Di>i.,) — z^) (o),^ ( El», — Dcoj + + (m^—z.,) (Am, - C(-j.,) Fio.^—Em^) — z.,)(— (cü., — — (lo, ;:,) F(ü| +Bi.^ — Dm.,) = (—Em, — Dok + Cm.,) — L 17 ns (— £w,— Z)(.j2 + Cw.,) + (w,— -,) (—Fm, +ß(ü.^— 7)w.,)— (o).^ — x^) (Am,—Fm.^ ~Kou) = A' Ordnung Un Glieder zweiter in den Deformationen vernachlässigt wurden, so lassen die Gleichungen eine Vereinfachung zu Es folgt nämlich aus dem Umstände, dass das Coordinatensystem von den he sofort Ha rva rd Da ive rsi ty, Er d j- tM ay r — (—Fm, + Boi.^— + us e (^)sin m{t^l)dl-'- ^ "V \ Fall finden dann so Bewegungen der statt, um nicht integriren, als die äusseren wie wenn diese äusseren die ursprünglichen Ruhelagen, ttp Kräfte nicht vorhanden wären, nur geschehen diese dem in bio div e Bewegungen die ://w ww Kräfte \on der Zeit unabhängig sind; durch jene Kräfte bedingten Gleichgewichtslagen ibr a ry h die Wirkung der He rita g eL Für die vorliegende Frage sind daher derartige Kräfte belanglos und es kann der in P'olge y.o rg/ Die Bewegungsgleichungen der Elasticität lassen sich nur um wie es die daher die nächste Aufgabe, Ausdrücke ist zu entwickeln für letztere sondern '+"'''-^-) ^0=^ irHf'-l)ilt sind also jetzt so als l'unctinnen der Zeit zu bestimmen, -| Erde eintretenden Verschiebungen bedingen Es Elasticität der "~i"' ' ylib rar (.', — rsi t 4, , m at -^ (;/- — z,//r+H''£j sin ivj{i^ l)Jl /)i/l—j -^{11 - »v(/'' bio log iez en tru (37 —- ^iiC+ii''D] cus 1^ sind dalier cj.^ ;w ww W| := und Centrifugalkraft abgesehen werden werden, welche voraussetzt, dass das Massensystem ive rsi ty Die Einwirkung äusserer, von der Zeit abhängiger Kräfte kann nur jedem Momente in jener hier insbesondere von Annäherung untersucht durch dieselben bedingte Es werden daher ganz allgemein zwei verschiedene Arten von Deformationen zu behandeln sein: die- die eB iod in nlo ad fro m Th Gleichgewichtslage annimmt ohne dem Einfluss continuirlich wirkender äussere Kräfte durch das Schwingen der um Gleichgewichtslagen entstehen, und diejenigen, welche die störenden Kräfte verna ihre rig i zelnen Theile ein- lD ow jenigen, welche die ersteren anbelangt, so kaum es allerdings e, ist wahrscheinlich, dass solche in dem Erdkörper sind, nichtsdestoweniger soll der Vollständigkeit halber auch der Einfluss dieser Verschiebungen y( Ca vorhanden mb ri dg Was MA ); O ursachen, also die eigentlichen elastischen Gezeiten der Ermittlung der elastischen Deformationen die weitere vereinfachende Voraussetzung bei Erde eine homogene, isotrope Kugel ist mp a die ive soll gemacht werden, dass rat Es Zo o log untersucht werden of Co Die von äusseren Kräften unabhängigen Schwingungen einer elastischen Kugel sind bereits mehrfach in sehr einfacher Weise dargestellt werden können Es sollen nun im Folgenden es das vorliegende Problem verlangt ß, die Er die Volumänderung ty, man Schwingungen im rechtwinkeligen System dargestellt Soi r- -|ư.r 8ß „— oy 8y -i- — rr , a, S''' bedeutet lerner v^ die Operation —„ ox' tiz + S''' ^ , oy' + 8« „—s, so tiz' Un ive rsi setzt diese rechtwinkeligen Componenten dieser Art der elastischen Schwingung ns jetzt a tM Bezeichnen also ay r werden und — Lib rar — wie yo f th eM Oberflächenbedingungen us e um eingehend behandelt worden Naturgemäss wurden dabei sphärische Coordinaten angewendet, wodurch die Dig i tis ed by t he Ha rva rd sind die Bewegungsgleichungcn eines elastischen Körpers ohne Einwirkung äusserer Kräfte: dabei sind ) und [j Constante, welche von der Dichte und den Elasticitätsverhältnissen des betreffenden E den Elasticitätsmodul und E' den Ouercontractions- Körpers abhängen, so zwar, dass, wenn coefticienten vorstellt die Dichte, Einßnss Jcr Elasticität auf die ScIiWLinknngcn der Polhöhe E S und -f 2(\+E')(\—2E') [j 289 E = 2(l+£') ist 3ß\ 8.V/ 8/8[5 /8y ca' Scvfc.r 8;:;/' S 8ß /S''- Dig i tis ed by t he Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay r Lib rar yo f th eM us e um of Co mp a rat ive Zo o log y( Ca mb ri dg e, MA ); O rig i na lD ow nlo ad fro m Th eB iod ive rsi ty He rita g eL ibr a ry h ttp ://w ww bio div e rsi t ylib rar y.o rg/ ;w ww 5y\ m at /8a "by \
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