Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 96-0391-0436

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Ngày đăng: 04/11/2018, 16:54

Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at ANALYSE DER LAPLACE'SCHEN KOSMOGONIE VON HILLEBRAND K VORGELEGT IN DER SITZUNG AM JULI 1918 Die Laplaca'sche Vorstellung über die Entwicklung des Sonnensystems dings wesentlichen Modifikationen Konsequenzen der Konstitution dieses S3^stems am besten gerecht wird und allen ihren wegen einfachen Voraussetzungen ihren in einigen, kosmogonische Hypothese betrachtet werden, diejenige als kann mit Grundzügen als aller- die in sicherlich ihrer wahrscheinlichste Entstehungsprozeß der gelten kann Die epochalen Arbeiten von Poincare und Darwin auf dem Gebiete der Kosmogonie ergaben neue und fundamentale Gesichtspunkte: in die Theoreme über Zusammenliang stehenden Fragen der Massen — werden wohl Grundlagen die Stabilität, von Gleichgewichtsfiguren, die Serien die damit Vorgänge im Zweikörpersystem deformabler die Untersuchungen auf diesem Gebiete für alle weiteren spekulativen Standpunkt aus hat diese Ausgangszustandes Fall jener Arten des am wenigsten differentiierten Urmaterie, das dem Annahme ihre völlige Berechtigung: stellt sie dar, der einer inkompressiblen Flüssigkeit ist würde nahekommt, daß eine Klasse Icosmischer Systeme unter kommen unserem Sonnensystem einzigen Ausnahme liegen — Mit Bedingungen entstanden an einen Abtrennungsprozeß, gedacht werden kann: zuläßt in Begleitmassen die dem Aufgeben sind um die ist, Vorgang auch bei einer ein Verhalten der typischen Züge des der die ist auch kaum zweifelhaft, diesem Verhalten nahe- die Verhältnisse so, daß wie er bei einer homogenen Masse vieles kleiner als es wenn theoretisch — mit einer erfolgt, nicht das Ergebnis dieser Theorie näherungsweiser Homo- der Voraussetzung vollkommener oder wenigstens genität entfiele aber natürlich diese Unstimmigkeit, ein ähnlicher doch den einfachsten durchaus berechtigt: sie Poincare-Darwin'schen Theorie entsprechenden Prozesses aufweisen und es Andrerseits In rein den Typus der Nebularhypothesen charakterisiert: den Zustand; auch physikalisch aber sein Vom ihren Ausführungen wird nun immer vollkommene Homogenität der Urmasse vorausgesetzt nachgewiesen werden kưnnte, d gegen das Innere zunehmenden Dichte möglich wäre: da die abgetrennten Begleitmassen aus den äeren weniger dichten Schichten des primären Kưrpers bestritten werden, so könnten sie Masse nach offenbar ihrer zur Hauptmasse genügen Leider ist einer viel niedrigeren unteren es bis jetzt nicht möglich Grenze des Verhältnisses gewesen, diesen allgemeineren und den wirklichen physikalischen Bedingungen entsprechenderen Fall einer exakten Analyse zuzuführen Unter Bedeutung: diesen sie Umständen gewinnt nun stellt die Laplace'sche Hypothese eine erhöhte theoretische gegenüber der vollkommenen Homogenität das andere Extrem des allgemeinen Dichtigkeitsverlaufes dar: den sprungweisen Übergang von der unendlich kleinen Dichte einer äußeren Hülle zu einer räumlich relativ kleinen aber starken zentralen Verdichtung Der tatsächlich anzunehmende Denkschriften der mathem.-naturw Klasse, 96 Band 53 Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at 892 Hill ehr and, 7v' Ausgangszustand wird zwischen diesen Extremen gelegen eine gleichmäßig rotierende Masse zugrunde Der Laplace'schen Hypotliese wird also sein Gashülle, deren Masse als verschwindend Annahme Die mathematische Behandlung bietet bei dieser dings hat gerade dieser Umstand bis jetzt einer überaus großen gegenüber der zentralen Masse angenommen wird klein Niveauflächen von vornherein gegeben sind und sich — Ausdehnung gelegt mit einer zentralen Verdichtung, deren und demgemäß auch Formveränderung vernachlässigt werden kann, umgeben von — verhindert, wenigstens analytische Darstellung für den zwischenliegenden gar keine Schwierigkeiten, da hier die sehr einfacher in realen der Fall Weise diskutieren man daß stetig lassen Aller- darauf eine vermittelnde zunehmenden Dichte hätte gründen können Die von Laplace in seiner »L'Exposition seiner kosmogonischen Theorie sind erst von E du Systeme du Monde« gegebenen allgemeinen Umrisse Roche einer eingehenderen unterzogen worden.^ Wesentliche Ergänzungen und Modifikationen Es Ausbau weiteren um insbesondere sind Theorie dieser so mehr, als die auf ja bieten, Roche, von Ausführungen die stellenweise dem anderen eben erwähnten erhielt diese Theorie durch Poincare.^ Anregungen vielfach die zu notwendig erscheinen solchen einen mathematischen Behandlung einem lassen, Gebiet entstandenen neuen Anschauungen eine Revision seiner Darlegungen verlangen Eine Vervollständigung der Laplace-Roche'schen Kosmogonie nachfolgenden Untersuchungen I nommen von M, sei M die werden, w ö' auch Anhaltspunkte die für in diesem Sinne eine quantitative soll der Zweck der Abschätzung bieten der behandelte kosmogonische Prozeß für unser Sonnensystem in Frage kommt sollen, insofern Es sein, Die Niveauflächen der Gashülle Masse der zentralen Verdichtung, deren Dimensionen unendlich als klein ange- die Rotationsgeschwindigkeit der Nebelmasse, r die Distanz eines Punktes derselben der Winkel von r mit der Rotationsachse, dann sm- r- r O- ist die Gleichung einer Niveaufläche =ü zugleich auch die Gleichung der Meridiankurve Rotationsfläche dieser Führt man den Parameter r^ durch die Gleichung r^ - r^ ist aus zwei getrennten Zweigen: einem geschlossenen mit den Hauptachsen R^ und R^, und einem Zweige, ganz innerhalb, < Äquatorachse im Punkte Geraden verläuft dem Halbmesser Tq Der i?'^, schneidet erstere Offenbar hat liegt nur , Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at 394 H K Für diesen i 1 and e b r geschlossenen Zweig der Meridiankurve ersten, r r, — cos — \/c "^-^ zz: ( TZ sin t> arc cos H \3 sin{> also ist c'l-^ Die Reilienentwicklung ergibt r„ 2'^ / n ^ sin'^-ư- -\ 2* sin^-Ư- 35 c^ h 3^ c 2^ 2- Ty cos '3 (cosT (cos T sin ^)2 H H Y sinö-)-^ + 35 33 Die beiden Achsen cos — (u + R wachsendem mit R^ := -^ r^ und cos'''^ nehmen y) cos"/^ y o Y sich der Kugelgestalt, da c ab, die Niveaufläche nähert cos lim lim R T Von besonderer Bedeutung 7Ü - T cos Y Y kosmogonischen Vorgänge für die ist + der Grenzfall ist c := Die beiden Achsen des geschlossenen Zweiges \\'erden hier der Äquatorhalbmesser einem Doppelpunkt, schließen ^ Die also ist das Gleichgewicht halten welchen in gleich der Es wird weiter die Distanz, R'^ =: R^ Tangenten entsprechende Niveaufläche hat Äquatorebene Die Gleichung der Meridiankurve in welcher sich Attraktion und Zentrifugalkraft an beiden also eine Zweige vereinigen beiden die r^: z:z sich hier in Zweigen einen Winkel von linsenartige 120° Form, mit der Kante in ein- der ist — _ r r^^ ^'0 A\'oraus — sin -9 _ sin folyt 8- Für den Winkel zwischen dem Radiusvektor und der Normalen iä {'h r) = 31' Ist c < 1, so hat O- Vi3 r —2 r,) (r + r^) den Grenzwert Über diese und andere Eigenschaften Darstellungen in / t>y sm man ^ sm 1/1 V sin Q- / \ sin — ^+ 8- y aus sin- =- erhält ö-y — = der Meridiankurven ,.3 c" finden den oben erwähnten Arbeiten von Roche und Poincare sich in etwas Yergl auch anderer Formulierung Tisserand: Mec cel ausführlichere t IV chap 14 Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at Analyse der Laplace' sehen Kosuiogonie die Kurve schneidet also —T - und werden gleich die Äquatorachse nicht mehr Die beiden Werte von r Radiusvektor der : hängenden Zweig gebildet 395 berührt Kurve, die also die hier für fallen {)-(| zusammen von Einem zusammen- wird, der in der Distanz 2^0 R, 3c schneidet und asymptotisch zu einer die Rotationsachse Ist c + =f{i^,c) also r 47Ü -^ ß ' in Sc (», c) sin »d d- Die Ausführung der Integration ergibt für die ersten Glieder m 4t£ q / r^ '3 q R^ tu =z Y 27 + 256 3645 c^ oder c 1 1-1 23 33 6-3 - 6-3 2* 4ir -I- 5.36 C" qRlF(c) Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at 396 H illebr a nd, A' Für das Trägheitsmoment bezüglich der Rotationsachse 471 ' j ^^0^ 7t r^ sin' woraus die Reihenentwicklung ^^ 4i:q Da m, J(ü 3c Aizq J= 16 c^ _l = H, 1701 c^ oder 5.2^ 7.35 ^6 f- c^ und w^r^ unverändert 640 1_ 27 33 qUL\F(c) 2* m ffö(^^c)sm^&d^, Sc l folgt f2r,Y j ergibt sich f- Fl (c) demnach bleiben, so sind (0^ o = tii-rf /iT, z= C Konstante Die Elimination von w und r^ ergibt, daß ^Va 6-3 py^^ (c) Wk C F!(c) K' , konstant bleiben muß Wird nach einer bestimmten Zeit die Dichte q — in vergrưßert, wo X < als X^ Kontraktionsfaktor der mittleren linearen Dimension der Nebelmasse aufgefaßt werden kann, und geht c gleichzeitig in muß nach cy über, so der letzten Bedingungsgleichung f =X Fl Der Faktor von X daß man in erster F'^ (c) (c) wenig von der Einheit verschieden und ändert sich nur sehr langsam mit ist y^ Näherung v^X annnehmen kann Es ist daher auch Yr sin 'S- rz Äquatorebene gelangenden Teilchens in die (0 r^ sin ist — o wird also in dieser um M eine Aphelgeschwindigkeit g gemeinsamen ist Rotation, so Brennpunkt eine Ellipse beschreiben, deren Apheldistanz als entspricht Für die g^ die Geschwindigkeit eines Äquatorpunktes Ist = (ür^ = k g^ + s) = r„ (1 A Bahn der elliptischen und a vermöge der r, s und der g—2g^sm~ und \ Halbachse a und die Exzentrizität a r^ ist o^"^ +s = man aus findet — ^5 sm^ r — sin2 — 8-' „ die Periheldistanz Tn sin^ — sin2 — und den Parameter p sin^ z=z 4:rr, — Die Geschwindigkeitskomponente im Radiusvektor _ sin2 — -8- — = WM dr — g ,, ssin y ,„ dt V die wahre Anomalie des Partikels in der elliptischen Da der Schnittpunkt zweier zum V, * sm — \Jp ^ • wo sm Bahn bedeutet selben ^ gehörigen Bahnen gleichen, entgegengesetzten Anomalien entspricht, so wird der Totaleffekt des Durchkreuzens aller dieser elliptischen das Nullwerden dieser Radialkomponente nach sich ziehen; Bahnen im Durchschnitt im selben Sinn wirkt auch ein möglicher- weise merklicher Widerstand der rotierenden Hauptmasse Es werden also schlilich nur Geschwindigkeiten senkrecht zum Radiusvektor erhalten bleiben kưnnen, also Kreisstrưme resultieren (die schen »inneren Ringe«) Die Winkelgeschwindigkeit in der ursprünglich elliptischen Bahn ist lisJMp _ sm^ — -f- — 4sm- — cosv / gegeben durch (ư sm — • ^l =: J r"- Denkschriften der mathem.-natiirw Klasse, 96 Band 54 Roche'- Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at K 400 Hill ehr and, also im Perihel 'dv'\ 0) 2sin2 , 3/ daher 'dv\ > CO dt) Die Distanz davon lediglich Ist vom Zentrum, einen ab, welcher sich die resultierenden Kreisströme bewegen werden, hängt in wie großen Widerstand man der rotierenden Hauptmasse zuschreiben zu veranschlagen, dieser als unendlich klein um nur jene Bahnen von dauerndem Bestand sein, die die Bedingung der Kreisbewegung zentrum erfüllen, für welche als die will werden nach Vernichtung der Radialkomponenten so ein Attraktions- Winkelgeschwindigkeit dv M sj li ~^^' Yt ~ das ist aber nach Übt dem Flächensatz für r := p also die rotierende der Poldistanz {> erfüllt Gasmasse keinen merklichen Widerstand aus, so werden abströmenden Teilchen einem inneren zu vom Radius Ring r^ sin- sich —% die aus • vereinigen, o mit einer der Kreisbahn entsprechenden Rotationsgeschwindigkeit, die demnach grưßer ist als die gemeinsame Rotation der Hauptmasse, nämlich CO — 3^ sin-^ Setzt man hingegen Bedingungen für die einen erheblichen Widerstand Umwandlung in Gasmasse voraus, so werden der einen Kreisstrom dort sein, wo dv — ^w die günstigsten nach der obigen ist, dt Relation also in einer Distanz 2sin — die demnach grưßer ist, als demselben der % entsprechende Ringradius bei vernachlässigbarem Widerstand Es entsprechen also jedem Breitenkreise % der abströmenden Schichte zwei bestimmte Radien von Kreisbahnen innerhalb der Nebelmasse, oder als die Vorgänge beeinflußend je nachdem der Widerstand der angenommen — wird, die also gegeben sind durch XT h=: Arr,° sin- und I h'^ir^, Bestehen solcher Begleitkörper erklären sin V Die Existenz dieser Kreisströme führt Roche sollen, letzteren als unmerklich die —^ zur Vorstellung der Bildung innerer Ringe, die das sich innerhalb der Grenzdistanz r^ bewegen, die der gegenwärtigen, also maximalen Rotationsgeschwindigkeit eines Hauptkörpers entspricht, mit anderen Worten: innerhalb der theoretischen Atmosphärengrenze des Roche Massen bildet setzt voraus, letzten Entwicklungsstadiums daß ein derartiger Kreisstrom ein Kondensationszentrum für die umgebenden und so Anlaß zur Bildung innerer Ringe gibt (s »Essai « p 246) Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at 422 Hill cbr and, K Die Störungsgleichung für die mittlere Entfernung _ da ist ZW an 8M„ dt oder wo M^ die in l Setzt man nach _ d\/a m sJM + ^i - hW^ ~8Mo dt eintretende Anfangskonstante zu verstehen unter der Differentiation / = 7, S7l/p und mit Rücksicht auf den obigen Ausdruck ^ ^VAf + , wegen so wird, für y] Ausdruck -(w Änderung der Rotationsgeschwindigkeit w moment Bewegung der translatorischen in + nifl- , _, daher ist das Trägheitsmoment der Masse nach der Störungsgleichung d(C(ü) — Darstellung gegeben remote history of the Earth« of a viscous spheroid« Würde man C die Gezeitenwirkung wirkung mit dieser einer säkularen in V^- = Konst \/a M^ 42 TT V (M+m)m'^ sind Einzelresultate Darwin's »On Phil m -\- a (Die hier wesentlich vereinfachten Das Flächen- ist bezüglich der Rotationsachse, so lautet der Flächensatz M+m lisj M dt licherer m Mm in Flächensatz , ^ 'V Cü) ( dem nun aus folgt Mm ^'^^ Mm l^yM +m M + m — M +m C — dt\i/n Bezug auf den gemeinsamen Schwerpunkt T Ist 7/) 5 + Wie immer auch die physikalischen Verhältnisse beschaffen sein mögen, für genügend große Distanzen a kann diese Bedingung erfüllt sein und es ist zu bemerken, daß diese Ungleichung dann auch erhalten bleibt Es ist d nämlich die Ableitung des veränderlichen Teiles nach der Zeit K^ 11 dh / \ \\7 a H da\ ,, , /z dt dt li^ dt , h du j a'' d\(ji\\ dt |( Ji'^ 11- (ü\ dt a nach der gemachten Voraussetzung eine negative Grưße Da da _ ~ -D dt ( ^ I I na' o + iv =— — und li dt so wird die erste Klammergrưße 24 , aho 48 r \a n , f«^ I + ^0 sicher (hY ^—^\~\-B |(o| 35 ( na'' wegen der obigen Ungleichung o> ^,, -D jedenfalls negativ, weil 7^10 -\ — h^ f [1 ^'^ « + a" ist Das Gleiche gilt für den zweiten Teil man den Berücksichtigt obigen Wert für üw dt Wert für _ dn 7^9 a^ B(\oi\ dt +n) so wird die zweite Klammergrửòe 0) a M 11 -\ ^V ô H a^ , 0) + [1 [ Denkschriften der malhem.-naturw Klasse, 96 Band ( I , CO I + m) a- Bedingung ebenfalls negativ, da die dafür not\vendige a>B — \ — _,, Lö 722 , I + ^ |co| n i\a 57 und den i Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at 424 H K um sich nur eine , kalischen Bedeutung nach — protortional sein, also // unterscheidet (Es Glied.) rechte Seite der verlangten Ungleichung beständig ab die noch einer Potenz von a selbst cb r a n d Ordnung von der vorausgesetzten Ungleichung Grưße zweiter überwiegt übrigens ohnehin das erste negative Es nimmt daher II einer niedrigeren kleiner werden, // der siebenten, als so Nun kann sicher aber daß — allerdings der physi- Ungleichung erhalten die bleibt Die Bedingung B ist demnach hinreichend der Flutreibung; ist für + das beständige Überwiegen diese für ein Anfangsstadium der erfüllt, Kontraktionswirkung über den so sind die Voraussetzungen für Einfluß die Ent- wicklung eines Sekundärsystems mit retrograder Umlaufsbevvegung gegeben In Planetenbildung bei überwiegender Gezeitenwirkung diesem Falle also ist B der Absolutbetrag a, n und steht die |ü)| |o)| einem solchen Sinn findet daher in Abnahme von erfüllt ist, nimmt der retrograden Winkelgeschwindigkeit w h gegenüber, Da teilweise kompensiert sein kann jedenfalls + kann so genommen werden, daß die zur bis möglicherweise co enthaltene /^-Potenz durch Null die obige Bedingung ursprünglichen Wertes des der relativen Kleinheit bei Dem daß diese Ungleichung verstärkt wird eine in o dem Durchgang von überdies bei Ungleichung die statt, durch aber Die Änderung der Grưßen ab Umkehrung von |oil der Rotationsrichtung erhalten an- bleibt Übrigens läßt sich aus der oben gegebenen Ableitung der veränderlichen Grưße h^ leicht die Bedingung erkennen, unter welcher diese beständig zunimmt der Differentialquotienten von — i oder, + I , + a, h, Q n Icol n und Man erhält nach Einführung |(o| hV n nach Unterdrückung des belanglosen Gliedes mit a
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