CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP PHẦN SỐ HỌC Chương I: ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN Chuyên đề 1: TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Tập hợp Tập hợp - Tập hợp khái niệm Tốn học Để kí hiệu tập hợp, ta dung chữ in hoa A, B, … để viết tập hợp, ta sử dụng hai cách: • Liệt kê phần tử tập hợp • Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp - Một tập hợp có phần tử, nhiều phần tử,vơ số phần tử khơng có phần tử Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng, kí hiệu hợp phần tử nó, người ta dùng biểu đồ Ven ∅ Để minh họa tập - Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B ta nói A tập hợp B kí hiệu: A ⊂ B - Hai tập hợp A B gọi phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B ngược lại Kí hiệu: A = B - Một số tính chất: • Với tập hợp A, ta có: • Nếu A • Nếu A ⊂ ⊂ B B B B ⊂ ⊂ ∅ ⊂ A A ⊂ A A A = B C A ⊂ C ( tính chất bắc cầu) Tập hợp số tự nhiên - Tập hợp số tự nhiên kí hiệu N N = {0; 1; 2; 3; 4;…} Tập hợp số tự nhiên khác kí hiệu N* N* = {1; 2; 3; 4;…} - Tia số tự nhiên: CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Mỗi số tự nhiên biểu diễn điểm tia số Điểm biểu diễn số tự nhiên a tia số gọi điểm a - Để ghi số tự nhiên hệ thập phân, ta dùng 10 chữ số là: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; Trong hệ La Mã, ta dùng bảy kí hiệu: I, V, X, L, C, D, M với giá trị tương ứng hệ thập phân là: 1; 5; 10; 50; 100; 500; 1000 - Thứ tự tập hợp số tự nhiên: Với hai số tự nhiên a b bất kì, xảy ba khả sau: a < b; a = b; a > b Nếu a < b tia số tự nhiên, điểm a nằm bên trái điểm b II MỘT SỐ VÍ DỤ Dạng Viết tập hợp, tập hợp sử dụng kí hiệu ∈, ∉, ⊂ Ví dụ 1: Cho hai tập hợp A = {1; 2; 4; 5; 7; 9} B = {2; 3; 5; 6; 7} a) Viết tập hợp C gồm phần tử thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B b)Viết tập hợp D gồm phần tử thuộc tập hợp B mà không thuộc tập hợp A c) Viết tập hợp E gồm phần tử thuộc hai tập hợp A B d) Viết tập hợp G gồm phần tử thuộc tập hợp A thuộc tập hợp B Giải a) Ta thấy phần tử ∈ A mà ∉ B, ∈ C Tương tự, ta có: 4; ∈ C Vậy C = {1; 4; 9} b) Làm tương tự câu a), ta có: D = {3; 6} c) Ta thấy phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B nên ∈ E Tương tự, ta có: 5; Vậy E = {2; 5; 7} d) Ta thấy phần tử ∈ ∈ A nên G; ∈ B nên Vậy G = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9} Nhận xét: ∈ G; … ∈ E CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Tập hợp C gồm phần tử thuộc tập hợp A, trừ phần tử A mà thuộc B Trên biểu đồ Ven, tập hợp C có minh họa miền gạch chéo Kí hiệu: C = A \ B (đọc C hiệu A B) Tương tự, tập hợp D có minh họa miền chấm D = B \ A (đọc là: D hiệu B A) Tập hợp E gồm phần tử chung hai tập hợp A B Trên biểu đồ Ven, E có minh họa miền kẻ carơ Kí hiệu: E = A ∩ B (đọc là: E giao A B) Tập hợp G gồm phần tử thuộc A, thuộc B nên có minh họa hai vòng kín Kí hiệu: G = A ∪ B (đọc là: G hợp A B) Ví dụ Cho tập hợp A = {a, b, c} Hỏi tập hợp A có tất tập hợp con? Giải Tập hợp A khơng có phần tử là: ∅ Các tập hợp A có phần tử là: {a}, {b}, {c} Cấc tập hợp A có hai phần tử: {a, b}, {b, c}, {c, a} Tập hợp A có ba phần tử là: {a, b, c} Vậy A có tất tám tập hợp Nhận xét: Để tìm tập hợp tập hợp có n phần tử (n hợp có 0; 1; 2; 3; …; n phần tử tập hợp Tập hợp A ∈ N), ta tìm tập Các tập hợp A Số tập hợp A ∅ ∅ (n = 0) {a} ∅ ; {a} 2=2 (n = 1) CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP ∅ {a, b} ; {a}; {b}; {a, b} = 2.2 ; {a}; {b}; {c}; {a, b}; = 2.2.2 (n = 2) ∅ {a, b, c} (n = {b, c}; {c, a}; {a, b, c} … Từ ta rút kết luận sau: - Tập hợp rỗng có tập hợp - Tập hợp có n phần tử ( n ≥ 1) 2.2 123 n thua sô có tập hợp Dạng 2: Tính số phần tử tập hợp Ví dụ Cho A tập hợp số tự nhiên lẻ có ba chữ số Hỏi A có phần tử? Giải Khi liệt kê phần tử tập hợp A theo giá trị tăng dần ta dãy số cách có khoảng cách 2: 101; 103; 105; …; 999 Từ đó, số phần tử tập hợp A số số hạng dãy số cách đều: (999 – 101):2 + = 898:2 + = 450 Vậy tập hợp A có 450 phần tử Ví dụ Cho A tập hợp số tự nhiên lẻ lớn không lớn 79 a) Viết tập hợp A cách tính chất đặc trưng phần tử b) Giả sử phần tử A viết theo giá trị tăng dần Tìm phần tử thứ 12 A Giải a) Số tự nhiên n lớn không lớn 79 số thỏa mãn điều kiện: < n Vậy ta có: A = {n ∈ N| n lẻ < n ≤ 79} ≤ 79 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP b) Khi giá trị n tăng dần giá trị phần tử A tạo thành dãy số cách tăng dần (bắt đầu từ số 7, khoảng cách hai số lien tiếp 2) Giả sử phần tử thứ 12 A x ta có: (x – 7): + = 12 ⇒ ⇒ ⇒ (x – 7): = 11 (x – 7) = 11.2 = 22 x = 22 + = 29 Vậy phần tử thứ 12 cần tìm A 29 Nhận xét: Số phần tử tập hợp A là: (79 – 7): + = 37 nên A có phần tử thứ mười hai Ở câu b), ta viết tập hợp A dạng liệt kê phần tử phần tử thứ mười hai Tuy nhiên cách có nhược điểm ta phải liệt kê tất phần tử đứng trước phần tử cần tìm Vậy với cách làm này, tốn u cầu tìm phần tử vị trí lớn khó khăn Dạng Đếm số chữ số Ví dụ Cần số để đánh số trang (bắt đầu từ trang 1) sách có 1031 trang? Giải Ta chia số trang sách thành nhóm: - Nhóm số có chữ số (từ trang đến trang 9): Số chữ số cần dùng - Nhóm số có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99): Số trang sách là: (99 – 10) : + = 90 số Số chữ số cần dùng 90.2 = 180 - Nhóm sốc số có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 999): Số trang sách là: (999-100):1+1 = 900 Số chữ số cần dùng để đánh số trang nhóm là: 900.3 = 2700 - Nhóm số có bốn chữ số (từ trang 1000 đến trang 1031): Số trang sách là: (1031 – 1000) : + = 32 Số chữ số cần dung là: 32.4 = 128 Vậy tổng số chữ số cần dùng để đánh số trang sách là: + 180 + 2700 + 128 = 3017 Nhận xét: CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Việc chia số trang thành nhóm giúp dễ dàng tính số chữ số cần dùng nhóm, từ tính tổng số chữ số cần dùng Một câu hỏi ngược lại là: Nếu ta biết số chữ số cần dùng để đánh số trang sáchthì ta tìm số trang sách hay khơng? Ta có tốn ngược ví dụ Ví dụ Tính số trang sách sách biết để đánh số trang sách (bắt đầu từ trang 1) cần dung 3897 chữ số Giải Để đánh số trang có chữ số (từ trang đến trang 9), cần chữ số Để đánh số trang có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99, gồm 90 trang), cần 90.2 = 180 chữ số Để đánh số trang có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 999, gồm 900 trang), cần 900.3 = 2700 chữ số Vì + 180 + 2700 = 2889 < 3897 nên sách có nhiều 999 trang, tức số trang sách có nhiều ba chữ số Số chữ số lại là: 3897 – 2889 = 1008 Vì để đánh tất số trang có bốn chữ số (từ trang 1000 đến trang 9999, gồm 9000 trang), cần 9000.4 = 36000 chữ số (vượt 1008 chữ số), nên số trang sách số có bốn chữ số Giả sử sách có n trang mà số trang có bón chữ số Số chữ số cần dùng để đánh n trang 4.n Ta có: 4.n = 1008, suy n = 1008 : = 252 Vì trang trang 1000 nên trang cuối 252 + 999 = 1251 Vậy sách có 1251 trang Nhận xét: Trong cách giải trên, ta xét nhóm số trang có chữ số, hai chữ số, … dùng hết chữ số mà cho Vậy làm để biết số trang sách có chữ số? Sau số gợi ý: Số chữ số dùng để đánh số trang → Từ đến 99 (kí hiệu: 9) → 10 189 Số trang sách (n) 190 → 2889 100 ≤ n ≤ 999 2890 → 38889 1000 ≤ n ≤ 9999 38889 → 488889 10000 ≤ n ≤ 99999 n≤9 10 ≤ n ≤ 99 … CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Với gợi ý trên, từ quy luật phạm vi số chữ số cho ta suy phạm vi số trang sách Chẳng hạn, số chữ số cho 16789432, nằm phạm vi từ 5888890 đến 68888889, số trang cuối sách số có bảy chữ số Dạng Các tốn cầu tạo số Ví dụ Tìm số có hai chữ số biết viết thêm chữ số vào hai chữ số số số gấp lần số cho Giải ab ( < a ≤ 9;0 ≤ b ≤ ) Gọi số có hai chữ số cần tìm Khi viết thêm chữ số vào hai chữ số ta số a0b Theo ra, ta có: a 0b = 7.ab 100.a + b = 7.(10.a + b) 100.a + b = 70.a + 7.b 30.a = 6.b 5.a = b Vì a, b chữ số a≠0 nên suy a = 1; b = Vậy số cần tìm 15 Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng phương pháp tách cấu tạo số theo chữ số hệ thập phân Sauk tìm mối quan hệ chữ số, ta xác định cụ thể chữ số Ví dụ Tím số có ba chữ số biết viết thêm chữ số vào trước số số gâó lần số ban đầu Giải x = abc ( < a ≤ 9;0 ≤ b ≤ ) Gọi số có ba chữ số cần tìm Khi viết thêm số trước số x ta số Theo ra, ta có: 1abc 1abc = 9.abc CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 1000 + abc = 9.abc hay 1000 + x = 9.x 1000 = 8.x Suy ra: x = 1000 : = 125 Vậy số cần tìm 125 Nhận xét: Ở ví dụ ta khơng tách cấu tạo số cần tìm theo chữ số mà tách theo cụm chữ số Ta thấy số viết thêm không làm thay đổi cụm chữ số trình tách cấu tạo số abc nên ta giữ nguyên cụm chữ số Ví dụ Tìm tất số tự nhiên khác 0, cho viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị số gấp lên lần (Đề thi HSG tỉnh Yên Bái, 2005) Nhận xét: Ta chưa biết số phải tìm có chữ số, từ đề ta thấy có hai chữ số Từ ta gọi phận số đứng trước chữ số hàng chục x (x 0), sử dụng phương pháp tách cấu tạo số theo chữ số cụm chữ số, ta có lời giải sau: Giải Gọi số cần tìm xab , đó: a, b chữ số; x ∈ N Khi viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị ta số xa 0b Theo đề bài, ta có: xa0b = 9.xab 1000.x + 100.a + b = 9.(100.x + 10.a + b) 1000.x + 100.a + b = 900.x + 90.a + 9.b 100.x + 10.a = 8.b 50.x + 5.a = 5.b Vì b≤9 nên 4.b ≤ 4.9 = 36 Khi số cần tìm ab , đó: 50.x + 5.a ≤ 36 ⇒ x = , với 5.a = 4.b CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Vì a ≠ a, b chữ số nên ta có a = Từ suy b = Vậy số cần tìm 45 III BÀI TẬP { 1; 2;3; 4} 1.1 Cho tập hợp A = Trong cách viết sau, cách viết đúng? Cách viết sai? Nếu sai, sửa lại cho a) 1∈ A b) { 1} ∈ A d ) { 2;3} ⊂ A c) ⊂ A { 2;3;7;8} 1.2 1.3 1.4 { 1;3;5;7;9} Cho hai tập hợp: A = , B= a) Mỗi tập hợp có phần tử? b) Viết tất tập hợp vừa tập A , vừa tập B Viết tập hợp sau cho biết tập hợp có phần tử? a) Tập hợp A số tự nhiên x mà 15 – x = 7; b) Tập hợp B số tự nhiên y mà 19 – y = 21 Tính số phần tử tập hợp sau: { 10;12;14; ;98} a) A = { 10;13;16;19; ;70} b) B = 1.5 1.6 Cho dãy số 2;7;12;17;22;… a) Nêu quy luật dãy số b) Viết tập hợp B gồm số hạng liên tiếp dãy số đó, số hạng thứ năm c) Tính tổng 100 số hạng dãy số Hãy viết lại tập hợp sau cách liệt kê phần tử: A= { x∈ N; x lẻ 30 < x< 50 { x ∈ ¥ ; xM5; } x M2; x < 90} B= 1.7 Mẹ mua cho Hà sổ tay 256 trang Để tiện theo dõi Hà đánh số trang từ đến 256 Hỏi hà phải viết chữ số để đánh số trang hết sổ ta đó? 1.8 Người ta viết liền số tự nhiên 123456… a) Hỏi chữ số đơn vị số 53; 328; 1587 đứng hang thứ bao nhiêu? b) Chữ số viết hang thứ 427 chữ số nào? 1.9 Cho bốn chữ số a, b, c, d đôi khác khác Tập hợp số tự nhiên có chữ số gồm bốn chữ số a, b, c, d có phần tử? 1.10 Có số tự nhiên có hai chữ số mà: a) Trong số có chữ số 5? b) Trong số chữ số hàng chục bé chữ số hàng đơn vị? c) Trong số chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị? 1.11 Với hai chữ số I, V viết số La mã (theo cách viết thông thường)? Số nhỏ số nào? Số lớn số nào? 1.12 Mỗi tập hợp sau có phần tử? a) Tập hợp số có hai chữ số lập nên từ hai số khác CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP b) Tập hợp số có ba chữ số lập nên từ ba chữ số đôi khác 1.13 Tổng kết đợt thi đua lớp 6A có 45 bạn điểm 10 trở lên, 41 bạn từ điểm 10 trở lên, 15 bạn từ điểm 10 trở lên, bạn điểm 10 trở lên Biết khơng có đạt điểm 10, hỏi đợt thi đua lớp 6A có điểm 10? 1.14 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng đơn vị Nếu chuyển chữ số hàng đơn vị lên đầu số nhỏ số cho 2889 đơn vị 1.15 Hiệu hai số tự nhiên 57 Chữ số hàng đơn vị số bị trừ Nếu bỏ chữ số hàng đơn vị số bị trừ ta số trừ Tìm hai số 1.16 Tìm số có ba chữ số, biết viết chữ số theo thứ tự ngược lại số lớn số ban đầu 792 đơn vị 1.17 Cho số có hai chữ số Nếu viết thêm chữ số vào bên trái bên phải số ta số gấp 23 lần số cho Tìm số cho 1.18 Tìm số có năm chữ số biết viết chữ số đằng trước số số lớn gấp lần số có cách viết thêm chữ số vào đằng sau chữ số 1.19 Một số gồm ba chữ số có tận chữ số 7, chuyển chữ số lên đầu số mà chia cho số cũ thương dư 21 Tìm số 1.20 (Đề thi HSG Hà Nội, 2005) a) Có số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số hàng đơn vị 4? b) Có số tự nhiên gồm chữ số thỏa mãn có chữ số hàng đơn vị chia hết cho 3? 10 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TỐN 6, TẬP PHẦN HÌNH HỌC Chun đề 1.1 (h.6) Có nhóm ba điểm thẳng hàng gồm: ba hàng ngang, ba hàng dọc hai hàng chéo 1.2 Xem hình 34 1.3 Gọi số điểm phải có để vẽ 36 đường thẳng x Ta có x(x − 1) = 36 Suy x(x − 1) = 72 = 9.8 Vì x x −1 hai số tự nhiên liên tiếp nên Vậy số điểm lúc ban đầu + = 12 Số đường thẳng vẽ lúc ban đầu 1.4 x =9 12.11 = 66 a) Trong điểm phải có điều kiện khơng có ba điểm thẳng hàng b) Trong số điểm phải có điều kiện điểm thẳng hàng (h.35) c) Phải có điều kiện có hai nhóm ba điểm thẳng hàng (h.36) 1.5 Số đường thẳng vẽ qua cặp điểm lúc ban đầu n(n − 1) Nếu bớt điểm số đường thẳng vẽ qua cặp điểm sau là: Theo đề ta có 206 (n − 1)(n − 2) CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP n(n − 1) (n − 1)(n − 2) − =0 2 (n − 1) [ n − (n − 2) ] = 20 (n − 1).2 = 20 n − = 10 n = 11 Vậy số điểm lúc đầu 11 Cách khác: Nếu bớt điểm qua điểm điểm số đường thẳng Vì tổng số đường thẳng giảm 10 nên 1.6 Hướng dẫn: Áp dụng công thức Đáp số: 120 giao điểm 1.7 Gọi n số đường thẳng Ta có n(n − 1) n − = 10 n −1 hay điểm lại bớt n = 11 để tính số giao điểm đường thẳng n(n − 1) = 190 , suy n(n − 1) = 380 = 20.19 Vậy n = 20 1.8 Nếu 12 điểm cho khơng có điểm thẳng hàng số đường thẳng vẽ 12.11 = 66 (đường thẳng) Bây xét đến điểm thẳng hàng, qua chúng vẽ đường thẳng Nếu điểm khơng thẳng hàng vẽ Số đường thẳng giảm Vậy vẽ tất 4.3 =6 −1 = 66 − = 61 (đường thẳng) (đường thẳng) (đường thẳng) 1.9 Số giao điểm là: • (h.37) • (h.38) • (h.39) • (h.40) 207 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 1.10 Hướng dẫn: Bạn vẽ đường thẳng cắt tạo thành cánh (h 41) 1.11 a) m n hai đường thẳng phân biệt điểm chung O, chúng khơng điểm chung khác (h.42) b) m n hai đường thẳng trùng nên chúng điểm chung khác điểm O (h.43) Hình 43 1.12 (h.44) • Vì điểm M nằm hai điểm A B nên ba điểm M, A, B thẳng hàng, điểm M nằm Hình 44 đường thẳng AB • Vì điểm B nằm hai điểm M N nên ba điểm B, M, N thẳng hàng điểm B nằm đường thẳng MN Hai đường thẳng AB MN có hai điểm chung B N nên chúng trùng 208 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 1.13 Vẽ đường thẳng qua P Q cắt đường thẳng a cắt đường thẳng b M Khi ba điểm M, P, Q thẳng hàng (h.45) Hình 45 Chuyên đề 1.14 Trong hình 13 có tia, gồm: - Ba tia gốc A Ax, Ay, Am; - Ba tia gốc B Bx, By, Bn; - Hai tia gốc O Om, On 1.15 Trong hình 14 có 18 tia, gồm: Bốn tia gốc C, bốn tia gốc D, bốn tia gốc E tia gốc O 1.16 (h.46) Tại điểm có tia A1 , A , ,A n Do để hình có 100 tia n = 100 : = 25 (điểm) 1.17 (h.47) a) Điểm O nằm hai điểm M N nên hai tia OM, ON đối (1) Điểm E thuộc tia OM, điểm F thuộc tia ON nên tia OE trùng với tia OM; tia OF trùng với tia ON (2) Từ (1) (2) suy hai tia OE OF đối b) Vì hai tia OE OF đối nên gốc O nằm hai điểm E F 1.18 (h.48) a) Điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia BA, BO trùng (1) Điểm B nằm hai điểm A C nên hai tia BA, BC đối (2) Từ (1) (2) suy hai tia BO BC đối b) Vì hai tia BO BC đối nên gốc B nằm hai điểm O C 1.19 (h.49) 209 CÁC CHUN ĐỀ CHỌN LỌC TỐN 6, TẬP a) Vì điểm B nằm hai điểm A C nên hai tia BA, BC đối Vì điểm C nằm hai điểm B D nên hai tia BC BD trùng Từ (1) (2) suy hai tia BA, BD đối b) Vì điểm B nằm hai điểm A C nên hai tia CA, CB trùng Vì điểm C nằm hai điểm B D nên hai tia CD, CB đối Từ (3) (4) suy hai tia CA, CD đối Chuyên đề 1.20 (h.21) Đường thẳng xy tia Am cắt đoạn thẳng PQ 1.21 (h.50 a,b) Vẽ tất đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD CD 1.22 Ta có n −1 n.(n − 1) = 36 ⇒ n.(n − 1) = 72 = 9.8 hai số tự nhiên liên tiếp nên n=9 Vì n 1.23 (h.51) Vì điểm B nằm hai điểm A C nên AB + BC = AC Mặt khác Vì điểm C nằm hai điểm B D nên AC > BD nên AB + BC > BC + CD hay 1.24 (h.52) Vì điểm A nằm M B nên MA + AB = MB Suy MB = + AB (1) Vì điểm B nằm A N nên AB + BN = AN Suy AN = AB + Từ (1) (2) suy (2) MB < AN 210 BC + CD = BD AB > CD (1) (2) (3) (4) CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 1.25 (h.53) Vì điểm M nằm A B nên Do (cm) AB = + = Vì điểm B nằm A C nên Do AC = + = AM + MB = AB AB + BC = AC (cm) 1.26 (h.54) Vì M nằm A B nên MA + MB = AB = 7cm Mặt khác nên MA − MB = 3cm MA = (7 + 3) : = MB = − = (cm) (cm) 1.27 Xét ba trường hợp: • Trường hợp M nằm A B (h.55) Ta có AM + MB = AB 2MB + MB = 3MB = MB = (cm) • Trường hợp B nằm A M (h.56) Ta có AB + BM = AM + BM = 2MB BM = (cm) Trường hợp điểm A nằm hai điểm B M Ta có BA + AM = BM + 2BM = BM 6+ BM = (vơ lí) Vậy trường hợp khơng xảy Đáp số: MB = 2cm MB = 6cm 1.28 Ta có AC + CB = AB (vì + = 5) Vậy điểm C nằm hai điểm A B Do hai tia CA, CB đối 1.29 Điểm O gốc tia nên không nằm A B * Xét trường hợp điểm A nằm O B • 211 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP (h 57) Ta có OB = OA + AB = + = (cm) * Xét trường hợp điểm B nằm O A (h 58) Ta có OB + BA = OA OB = OA –BA = – = 2(cm) ⇒ 1.30 Điểm O gốc tia nên không nằm hai điểm M N * Xét trường hợp M nằm O N (h 59) Ta có: ON = OM + MN = + = 8(cm) * Xét trường hợp điểm N nằm hai điểm O M Ta có: ON + NM = OM ON + = (vơ lí) Vậy trường hợp khơng xảy Do tốn có đáp số 8cm 1.31 (h 60) * Trên tia Ox có OB < OC (3 < 5) nên điểm B nằm O C Ta có OB +BC = BC Suy BC = OC – OB = – = 2(cm) Đo OA = BC (=2cm) * Trên tia Ox có OA < OC (2 < 5) nên điểm A nằm O C Ta có: OA + AC = OC AC = OC – OA = – = (cm) ⇒ Hình 60 Do OB = AC (=3cm) 1.32 (h 61) Trên tia Ox có OM < ON (m < m +n) nên điểm M nằm hai điểm O N Do đó: OM + MN = ON Suy MN = ON – OM = m + n – m = n Vậy OM > MN (vì m > n) Hình 61 212 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Chuyên đề 1.33 (h 62) Vì điểm O nằm hai điểm A B nên AO + OB = AB (1) Suy OB = AB – AO = AB - AB = AB Do OA = OB (= AB) 2 (2) Hình 62 Từ (1) (2) suy O trung điểm đoạn thẳng AB Lưu ý: Bài toán cho ta dấu ấn nhận biết trung điểm đoạn thẳng 1.34 Trong điểm M, O, N thẳng hàng có điểm nằm hai điểm khác * Giả sử M nằm O N, ta có: OM + MN = ON MN = ON – OM = (vì OM = ON) Điều vơ lí MN > Vậy ⇒ trường hợp khơng xảy Do đó, điểm O nằm M N Mặt khác OM = ON nên O trung điểm MN 1.35 (h.63) * N trung điểm đoạn thẳng MO * O trung điểm đoạn NP MQ * P trung điểm OQ 1.36 (h.64) Vì M trung điểm OA nên OM = Vì N trung điểm OB nên ON = Hình 63 = ( cm ) = ( cm ) Trên tia Ox có OM < ON (2 < 3) nên điểm M nằm hai điểm O N Do OM + MN = ON MN = ON – OM = – = 1(cm) ⇒ 1.37 Ta có OP + OQ ≠ PQ ( + ≠ 3) Hình 64 nên điểm O khơng nằm P Q O trung điểm PQ 1.38 (h 65) a) Vì M trung điểm OA nên OM = MA = OA = ( cm ) Trên tua Ox có OM < OB (2 < 6) nên M nằm O B 213 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TỐN 6, TẬP Do OM + MB = OB Hình 65 Suy MB = OB – OM = – = 4(cm) b) Trên tia Ox có OA < OB (4 < 6) nên điểm A nằm hai điểm O B Do OA + AB = OB AB = OB – OA = – = 2(cm) ⇒ Trên tia BO có BA < BM (2< 4) nên điểm A nằm hai điểm B M Mặt khác nên điểm A trung điểm MB BA = 1   BM  = ÷ 2   1.39 (h 66) Điểm M nằm A B nên AM + MB = AB MB = AB – AM = – = (cm) ⇒ Trên tia BA có BN < BM (2 < 4) nên điểm N nằm hai điểm B M (1) Ta có BN + NM = BM MN = BM – BN = – = (cm) ⇒ Vậy BN = MN (=2cm) (2) Từ (1) (2) suy N trung điểm đoạn thẳng MB 1.40 Vì M trung điểm OA nên OA = 2OM = 2cm Vì N trung điểm OB nên OB = ON = 5cm * Xét trường hợp M N thuộc tia gốc O (h 67) Khi A B thuộc tia gốc O Vì OA < OB (2 < 5) nên điểm A nằm hai điểm O B Suy OA + AB = OB AB = OB – OA = – = (cm) ⇒ * Xét trường hợp M N thuộc hai tia đối gốc O (h 68) Điểm A điểm B nằm hai tia đối gốc O nên điểm O nằm A B AB = AO + OB = + = (cm) ⇒ 1.41 (h 69) Vì M1 trung điểm AB nên Vì M2 trung điểm M1B nên M2B = AB 210 M1B = = = 29 ( cm ) 2 M B 29 = = 28 ( cm ) 2 ……………… Vì M10 trung điểm đoạn thẳng M9B nên 214 Hình 66 Hình 67 Hình 68 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TỐN 6, TẬP Hình 69 M B M 10 B = = = 1( cm ) 2 Trên tia BA có Do BM 10 < BM ( < 29 ) nên điểm M 10 nằm hai điểm B M1 BM 10 + M 10 M = BM ⇒ M 10 M = BM − BM 10 = 29 − = 511( cm ) 215 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP Chuyên đề nâng cao 1.42 (h 70) Điểm M trung điểm AB nên AM = MB AB =a Điểm N nằm hai điểm A B nên AN + NB = AB = 2a Vì AN < AM nên 2AN < 2a, AN < a Trên tia AB có AN < AM nên điểm N nằm hai điểm Hình 70 A M (dấu hiệu 3) Trên tia AB có AN < AM < AB nên điểm M nằm hai điểm N B (dấu hiệu 4) 1.43 (h.71) Điểm O trung điểm AB nên O nằm A B Trên tia AB có AM < AO nên điểm M nằm hai điểm A O = AB Trên tia BA có BN < BO = AB nên điểm N nằm hai điểm B O Hình 71 Suy điểm O nằm hai điểm M N (dấu hiệu 5) (1) Ta có OM = OA – AM; ON = OB – BN Mặt khác OA = OB AM = BN nên OM = ON (2) Từ (1) (2) suy O trung điểm MN 1.44 (h 72) a) Điểm I nằm A B nên AI + IB = AB IB = AB – AI = – = 4(cm) ⇒ Trên tia BA có BK < BI (vì a < 4) nên điểm K nằm hai điểm B I Do BK + KI = BI IK = BI – BK = – a (cm) ⇒ Hình 72 b) Ta có K nằm B I nên muốn K trung điểm BI phải có BK = 1 BI ⇔ a = = ( cm ) 2 1.45 (h 73) Trên tia Ox có OA < OB (vì a < b) nên điểm A nằm hai điểm O B Suy OA + AB = OB AB = OB – OA = b – a ⇒ Vì M trung điểm AB nên AB b − a BM = = 2 216 Hình 73 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TỐN 6, TẬP Ta có: b−a b <