* Phương pháp giải toán Tái toán giống ? Mục đích nhằm huy đơng kiến thức có từ trước Chúng ta giữ trí nhớ chất kiến thức tốn học dạng định ló chứng minh Anh dùng hết kiện cho trước chưa? Trong q trình giải tốn nhờ vào kiến thức không ngừng tập chung mà sau hiểu toán sâu sắc đầy đủ lúc ban đầu Nhưng lúc công việc ? có cần thiết chưa ? hồn tồn hiểu tốn chưa ? [35] Những câu hỏi giúp chi việc xây dựng cách giải mà giúp thử lại cách giải Mục đích câu hỏi nhằm xem ta quan niệm tốn có đầy đủ khơng Qaun niệm chắn khơng đầy đủ ta bỏ qua kiện quan trọng, điều kiện giả thiết ; ta không nắm ý nghĩa thuật ngữ đó, liên quan tới khái niệm quan trọng .[36] Những nhận xét có hạn chế cần bổ sung thêm Thực chúng áp dụng cho tốn “đặt chỗ” “có nghĩa” Một tốn tìm tòi đặt chỗ có ý nghĩa phải chứa tất kiện cần thiết khơng có kiện thừa điều kiện tốn phải vừa vặn đủ, nghĩa khơng mâu tuẫn khơng thừa giải tốn loại hiển nhiên cần dùng tất kiện toàn điều kiện của tốn Có tốn khơng phải toán học “đặt” theo nghĩa xác định Chẳng hạn toán hay đánh cờ có lời giải nhất, bàn cờ khơng có qn thừa,… Vấn đề thường hiểu theo nghĩa rộng nhiều Muốn tìm lời giải,ta phải vận dụng tìm trí nhớ kiến thức thích hợp, áp dụng vào toán, lẽ dĩ nhiên ta chưa thể thấy trước phải cần đến kiến thức nào, có số khả mà ta khơng nên bỏ qua.[37] Để giải hồn tồn “ tốn tìm tòi ” cần phải biết cách xác yếu tố chính, chưa biết, biết điều kiện tốn Trong bảng có chứa nhiều câu hỏi lời khuyên có liên quan đến yếu tố Cái chưa biết gì? Những biết, chia điều kiện thành phận khác Hãy tìm quan hệ chưa biết với biết Hãy xét kỹ chưa biết, thử nghĩ tới toán quen thuộc chứa chưa biết hay chưa biết tương tự? Hãy giữ phân điều kiện bỏ qua phân lại Bây chưa biết xác định đến mức độ nào? Nó biến đổi đến mức nào? Anh rút có ích từ phần tử biết khơng? Có thể nghĩ tới cho biết khác ch phép anh xác định chưa biết khơng? Anh thay đổi chưa biết biết thay đổi hai? cần thiết cho chưa biết biết gần không? Anh sử dụng tất biết chưa? Anh dùng hết điều kiện chưa? Nếu phải giải “bài tốn chứng minh” cần phải biết xác phần giả thiết kết luận Đối với yếu tố có lời khun có ích tương ứng với phần bảng đặc biệt dành cho bảng tốn tìm tòi Giả thiết gì? Kết luận gì? Hãy phân biệt phần khác giả thiết kết luận Hãy xét kỹ kết luận, thử nghĩ tới định lý quen biết, có kết luận, giữ phần giả thuyết bỏ qua phần lại kết luận có khơng Anh từ giả thiết rút điều có ích khơng? Có thể thay đổi giả thiết hay kết luận không? Hay hai thấy cần thiết cho giả thiết kết luận gần với khơng? Anh dùng tồn giả thiết chưa? [39] Bài tốn phụ Mục đích ta khơng phải giải toán này, cách giải toán phụ phương tiện mà nhờ để đạt tới đích Việc tìm tốn phụ q trình suy luận quan trọng Khả đặt tốn phụ cách rõ ràng,hiểu thấu mục đích phương tiện để đạt tới mục đích chính, thành cơng tinh tế trí tuệ Vì vậy,việc học (hay dạy) cách vận dụng tốn phụ cách thơng minh quan trọng [40] Lợi ích Cái lợi mà ta có được, xét tốn phụ mang tính chất khác Ta dùng kết toán phụ Nguy hiểm: Thời gian sức lực để giải toán phụ, khơng phải dùng trực tiếp cho mục đích ta Vì , cần phải có kinh nghiệm chọn toán phụ theo nhiều cách khác Chẳng hạn, tốn phụ dễ làm tốn xuất phát, tỏ bổ ích quyến rũ ghê gớm Đơi tốn phụ có lợi chỗ đem lại khả chưa khai thác Chúng ta chọn tốn phụ việc tìm cách giải trực tiếp tốn ban đầu khơng có kết dẫn tới mệt mỏi Làm để tìm tốn phụ Chúng ta thường tìm tốn phụ có ích cách biến đổi toán Các toán tương đương Hai toán tương đương, cách giải toán dẫn tới cách giải toán kia.[41] Phép rút gọn chiều Nếu ta từ toán xuất phát tới toán nhiều hiệu hơn, hay hiệu hơn, ta gọi bước phép rút gọn chiều Cả hai phép rút gọn chiều, nhiều phiêu lưu so với phép rút gọn hai chiều ( thuận nghịch ) Phép rút gọn chiều đến tốn nhiều hiệu có ích (xem “ tổng quát hóa “ mục 1, 2) Bài tốn nhiều hiệu dễ Đó “ nghịch lí nhà phát minh” BIẾN ĐỔI BÀI TOÁN Con người phải biết học sai lầm thiếu sót “ thua keo bày keo khác “, câu châm ngơn bao hàm lời khun sáng suốt nhân dân [44] Các phần tử phụ Lúc giải tốn xong quan niện ta tốn tồn bộ, đầy đủ nhiều so với lúc đầu Trong dần tới cách giải, bổ sung thêm phần tử vào phần tử khảo sát lúc đầu Phần tử mà ta đưa vào với hi vọng giúp ta tiến tới tìm cách giải tốn, gọi phần tử phụ Có nhiều loại phần tử phụ, giải tốn hình, ta bổ sung hình vẽ đường – đường phụ (những đoạn thẳng) Khi giải tốn đại số, ta đưa vào ẩn số phụ (1) không sợ lẫn lộn, tơi gọi phần điều kiện thấy khơng có cách [53] Có thể phát biểu tốn hình thức khác hay khơng ? Các câu hỏi có mục đích đưa đến biến đỏi toán Bạn quay lại định nghĩa [59] Có thể tìm kết cách khác không ? Khi cách giải dài phức tạp, ta nghĩ có cách giải khác, sáng sủa ngắn gọn Ta tìm kết cách khác khơng ? Có thể nhìn thấy kết không ? Ngay lời giải mà ta tìm tốt rồi, việc tìm lời giải khác có lợi Thật sung sướng thấy kết tìm xác nhận nhờ hai lí luận khác nhau, thích biết vật nhờ hai giác quan khác Có chứng cớ rồi, muốn tìm thêm chứng cớ muốn sờ vào vật mà ta trơng thấy Điều có nghĩa : hai chứng cớ có giá trị Nhờ nghiên cứu liên tiếp chi tiết một, nhiều cách, cuối nhìn tồn vấn đề ánh sáng hoàn toàn khác trước rút cách chứng minh Tất điều nói thuộc phương pháp nhà toán học điêu luyện nghiên cứu vấn đề tinh vi, người học trò bắt đầu với tốn sơ cấp Nói cho nhà tốn học, kiến thức rộng, bắt buộc phải nhớ lại nhiều phải thực lí luận phức tạp khơng cần thiết, nhược điểm bù lại chỗ nhà tốn học có kinh nghiệm lại có nhiều điều kiện người bắt đầu việc cân nhắc phương pháp thích hợp để giải thích phần kết quả, cuối chế biến toàn kết cũ Tuy nhiên, lớp học sơ cấp, nhiều học sinh đưa lời giải phức tạp khơng cần thiết Khi người thầy phải dẫn cho họ thấy, dù vài lần, phương pháp giải toán cách gọn gàng, mà phải làm để tìm lời giải nhanh thân kết tìm ra[61] Có thể thoả mãn điều kiện tốn khơng? Điều kiện có đủ để tìm chưa biết không ? Hay không đủ ? Hay thừa ? Hay có mâu thuẫn ? Những câu hỏi thường có ích thời kì đầu việc giải toán, chưa cần câu trả lời định, mà câu trả lời sơ bộ, đoán Ta xem thêm ví dụ mục 8, 18 Nhìn thấy trước đặc điểm kết phải tìm có lợi Thực vậy, có ý kết phải tìm biết rõ phải theo hướng Một đặc điểm quan trọng toán số nghiệm mà có tất tốn, tốn thừa nhận lời giải bổ ích Chúng ta thiên coi tốn có lời giải toán "hợp lí" Bài tốn ta có "hợp lí" theo nghĩa khơng ? Nếu ta trả lời câu hỏi đó, dù đốn đúng, hứng thú ta tốn tăng lên làm việc tốt Cái lợi câu hỏi hiển nhiên ta trả lời câu hỏi cách dễ dàng Ngược lại, khó tìm thấy câu trả lời cơng sức dốc vào để tìm vượt q lợi ích rút Với câu hỏi "có thể thỏa mãn điều kiện tốn hay khơng ?" câu hỏi khác có liên quan tới Chúng ta cần đặt câu hỏi nói chung câu dễ trả lời đúng, không cần dừng lại câu hỏi thấy câu trả lời khó khăn tối nghĩa Đối với "bài tốn chứng minh", câu hỏi tương ứng : "Định lí hay khơng ? Hay định lí xem vơ lí ?" Cách đặt câu hỏi chứng tỏ người ta chờ đợi đoán, câu trả lời sơ mà thơi Có thể sử dụng kết tìm khơng ? Tìm cách giải toán điều phát minh Nếu tốn khơng khó, phát minh có giá trị, dù điều phát minh Sau đạt điều đó, dù nhỏ, ta cần luôn tự hỏi : đằng sau có ẩn náu điều khác nữa, lật lật lại khả mới, cố gắng sử dụng lần phương pháp đưa bạn đến thành công [62] Hãy khai thác kết Bạn sử dụng kết phương pháp tìm cho tốn khác khơng ?[63] Cũng dễ nghĩ toán mới, miễn có nhiều kinh nghiệm phương pháp biến đổi chủ yếu : tổng quát hoá, xét trường hợp riêng (cá biệt hoá), trường hợp tương tự, khai triển tổ hợp lại Xuất phát từ tốn giải, ta tìm toán theo cách đây, xuất phát từ toán ta lại tìm tốn Về mặt lí thuyết khơng có giới hạn, thực tế ta khơng thể q xa tốn thường khơng giải Mặt khác, ta tưởng tượng toán giải cách dùng tốn cũ Nhưng thường tốn lại khơng bổ ích Tìm tốn vừa bổ ích lại vừa giải được, khơng phải việc dễ, cần phải có kinh nghiệm, sở trường, may mắn Tuy vậy, giải tốn ta khơng nên qn tìm tốn Giữa tốn hay vài loại nấm có điểm giống : chúng xuất thành nhóm Khi tìm cái, nên nhìn quanh đấy, nhiều xung quanh Các tốn có phần bổ ích thân khái niệm thêm vào bổ ích.[63] Bây ta xét cách khác để tìm toán Đây cách mở rộng tổng qt hố, tốn ban đầu mà ta nghĩ đến cách tự nhiên Bằng cách xét trường hợp riêng, ta có tốn sau Bằng phương pháp tương tự ta sa vào nguồn vô tận tốn Cuối cùng, ta tưởng tượng toán cách xem số yếu tố toán cũ đại lượng biến đổi [64] Ta quy ước gọi cạnh hình chữ nhật phần tử biên gọi mặt hình hộp Khi đó, ta kết hợp hai điều xác nhận làm một, áp dụng cho hai hình.[141] Mỗi "phần tử biên" song song với phần tử biên khác phần tử đó, vng góc với phần tử biên lại Như vậy, biểu diễn quan hệ xác định, chung cho hai hệ đối tượng mà ta so sánh cạnh hình chữ nhật mật biên hình hộp Sự tương tự hệ tính phố biến quan hệ Tư đầy rẫy tương tự : tiếng nói thơng thường hàng ngày suy diễn tầm thường, ngôn ngữ tác phẩm nghệ thuật nhũng thành tựu khoa học cao xa Mức độ tương tự khác Người ta thường sử dụng nhũng tương tự khó hiểu, mơ hồ, khơng đầy đủ khơng hồn tồn rõ ràng, tương tự đạt mức độ xác tốn học Ta khơng nên coi thường hình thức tương tự nào, tương tự đểu đóng vai trò định việc tìm lời giải tốn Chúng ta coi may mắn tìm tốn tương tự đơn giản toán cho Ở mục 15, toán vể đường chéo hình hộp chữ nhật ; tới cách giải, cách xét toán tương tự đơn giản đường chéo hình chữ nhật Ớ đây, ta xét thêm ví dụ thuộc loại Giả sử, ta phải giải toán sau : Hãy tìm trọng tâm tứ diện Đây khơng phải tốn dễ giải khơng biết phép tính tích phân chút học Nó tốn khoa học nghiêm túc thời Acsimet Galilê Nếu ta muốn giải tốn này, có kiến thức sơ tối thiểu cần phải tìm tốn tương tự đơn giản Tự nhiên nghĩ đến tốn tương úng mặt phẳng Tìm trọng tủm tam giác Bày giờ, ta có hai câu hỏi khơng phải Nhưng trả lời hai câu hỏi đơn giản trả ỉời câu, với điều kiện hai câu hỏi liên hệ với cách hợp lí Tạm thời để hai tốn ban đầu tứ diện sang bên, tập trung ý vào toán tương tự tam giác, đơn giản Có lẽ tự nhiên nghĩ tới nguyên lí sau : Nếu hệ s gổm hạt có khơi lượng cho trọng tám riêng chúng nằm mật phẳng trọng tâm hệ s nằm mặt phẳngđó Ngun lí cho ta cần thiết để khảo sát trường hợp tam giác.[142] Thứ nhất, từ nguyên lí trên, ta suy trọng tâm tam giác nằm mặt phẳng tam giác Thứ hai, ta coi tam giác gồm sợi thẳng, sợi hình bình hành "vơ hẹp" có đáy song song với cạnh tam giác (cạnh AB hình 26) Trọng tâm giải (là hình bình hành bất kì) rõ ràng trùng với tâm Tâm giải nằm đoạn thẳng nối đỉnh c, đối diện cạnh AB với trung điểm M AB (h 26) C A M B B Hình 26 Hình 27 Một mặt phẳng qua trung tuyến CM tam giác chứa trọng tâm giải song song tạo thành tam giác Thành thử, ta tới kết luận trọng tâm tam giác nằm đường trung tuyến nói Cũng suy luận vậy, ta thấy trọng tâm tam giác phải nằm hai trung tuyến kia, tức trọng tâm trùng với giao điểm ba trung tuyển Bây giờ, cần chúng tỏ hình học tuý (không phụ thuộc vào giả thiết học) ba trung tuyến tam giác cắt điểm Sau trường hợp tam giác khảo sát trường hợp tứ diện khơng có khó khăn đặc biệt Trên đây, giải toán tương tự với cho Giải xong tốn đó, có tay bùi toán mấu để theo Trong giải toán tương tự, mà ta dùng làm toán mẫu, coi tam giác ABC gồm sợi song song với cạnh, AB chẳng hạn Bây giờ, ta coi tứ diện ABCD gồm nhííng sợi song song với cạnh, AB chẳng hạn Các trung điểm nhũng sợi tạo thành tam giác nằm đường thẳng, trung tuyến nối trung điểm M AB với đỉnh đối diện c Các trung điểm sợi tạo nên tứ diện nằm mặt phảng qua trung điểm M cạnh AB cạnh đối diện CD (h 27) Ta gọi mặt phẳng MCD trung diện tứ diện.[ 143] Trong trường họp tam giác, ta có ba trung tuyến, mà trung tuyến chứa trọng tâm tam giác Do đó, ba trung tuyến phải cắt điểm trọng tâm tứ diện Như vậy, tốn tìm trọng tâm tứ diện giải Để kết thúc cách giải cẩn chứng minh tuý hình học sáu trung diện tứ diện đồng quy điểm Khi siải tốn tìm trọng tâm tam giác đồng chất, có là, để bổ sung cho cách giải cần chứng tỏ ba trung tuyến tam giác đồng quy Bài toán tương tự với toán tứ diện rõ ràng đơn giản Một lần nữa, tốn tứ diện, dùng toán tương tự tam giác, đơn giản (bài toán giả thiết giải) Thực vậy, xét ba trung diện qua ba cạnh DA, DB, DC có đỉnh chung D Mỗi trung diện qua trung điểm cạnh đối diện (chẳng hạn trung diện qua DC qua M, xem h.27) Như vậy, ba trung diện cắt mặt phẳng tam giác ABC theo ba trung tuyến Nhưng ba trung tuyến giao điểm (là kết toán tương tự đơn giản hơn) Giao điểm này, điểm D, điểm chung ba trung diện Một đường thẳng qua hai điểm chung cho ba mặt phẳng, tất nhiên thuộc ba mặt phẳng Chúng ta chứng minh ba trung diện qua đỉnh D chứa đường thẳng chung Điều với ba trung diện qua A qua B c Bằng cách đối chiếu kiện đó, ta dễ dàng chứng tỏ sáu trung diện qua điểm (ba trung diện qua ba cạnh tam giác ABC cắt điểm), ba đường thẳng, giao tuyến cặp trung diện qua giao điểm Nhưng, ta chứng minh, qua giao tuyến có mặt trung diện qua Trong điểm 6, dùng tốn tương tự đơn giản có liên quan tới tam giác để giải toán tứ diện Tuy nhiên, hai trường họp khác điểm quan trọng Ở điểm 5, dùng phương pháp toán tương tự đơn giản ta dập khn theo cách Trong điểm 6, dùng kết tốn tương tự đơn giản mà khơng cần biết tới làm để có kết Đơi khi, ta đồng thời dùng phương pháp kết toán tương tự đơn giản Ví dụ chứng tỏ điều đó, coi điểm giai đoạn khác inột tốn Ví dụ có tính cách điển hình Để giải tốn, thường dùng toán tương tự đơn giản hon cách sử dụng phương pháp, kết nó, hai.[144] Hiển nhiên là, số trường hợp khó khăn có điều phức tạp Đặc biệt, xảy trường hợp cách giải tốn tương tự khơng áp dụng trực tiếp để giải toán cho trước Khi đó, cần phải coi lại cách giải, sửa đổi tìm thấy cách giải áp dụng cho toán ban đầu 8, Ln ln nên đốn nhận trước kết quả, hay số đặc điểm tới chừng mực Nhũng đốn nhận thường dựa sở tương tự Giả sử, ta biết trọng tâm tam giác đồng chất trùng với trọng tâm ba đỉnh (tức ba chất điểm khối lượng, đặt ba đỉnh tam giác) Biết điều đó, đoán trước trọng tâm tứ diện đồng chất trùng với trọng tâm bốn đỉnh Sự đốn "sự suy luận tương tự" Biết tam giác tứ diện giống nhiều điểm, đoán chúng giống điểm khác Thật ngớ ngẩn, ta coi nhũng đoán hồn tồn chắn, lại ngớ ngẩn ta coi thường đốn Sự suy luận tương tự hình thức suy luận thơng thường quan trọng Nó dẫn tới đốn nhiều thừa nhận kiểm tra thực nghiệm hay suy luận chặt chẽ Nhà hố học thí nghiệm vật để đốn trước tác dụng thí nghiệm với người, rút kết luận tương tự Một cậu bé mà biết làm tương tự Người ta mang chó mà cậu bé vêu thích đến nhà người thú y, cậu bé hỏi : "Người thú y ?" "Là người thầy thuốc vật" "Nhưng vật thầy thuốc vật" Kết luận rút từ tương tự số lớn kiện song song chắn kết luận rút từ số kiện, chất lượng chúng quan trọng số lượng Một Lirons tự xác có giá trị giống mơ hồ : kiện xếp có hệ thống gợi cho ta ý sâu sắc kiện tập hợp cách ngẫu nhiên.[145] Trên (trong điểm 8) đặt giả thiết trọng tâm tứ diện Giả thiết dựa tương tự : trường hợp tú diện tương tự với trường hợp tam giác Chúng ta làm cho giả thiết ta vững vàng cách xét thèm trường họp tương tự, trường hợp đồng chất Bằng cách so sánh hình, theo nhiều điểm, phát tương tự đoạn thẳng, tam giác tứ diện Đoạn thẳng thuộc đường thẳng dó, tam giác thuộc mặt phẳng, tứ diện thuộc khơng gian Đoạn thẳng hình chiều đon giản nhất, tam giác da giác đơn giản tứ diện đa diện đơn giản Đoạn thẳng có hai phần tử biên không chiều (hai điểm giới hạn), điểm đoạn làm thành tập hợp chiều Tam giác có ba phần tử biên khơng chiều ba phần tử biên chiều (ba đỉnh, ba cạnh), điểm làm thành tập hợp hai chiều Tứ diện có bốn phần tử biên khơng chiều, sáu phần tử biên chiều, bốn phần tử biên hai chiều (bốn đỉnh, sáu cạnh, bốn mặt), điểm làm thành tập hợp ba chiều Với số đó, ta lập bảng Những số cột biểu diễn số nhũng phần tử theo thứ tự có số chiều khơng, một, hai ba ; số hàng theo thứ tự ứng với đoạn thẳng, tam giác tứ diện : 21 331 464 Không cần phải thật quen với hệ số nhị thức biết bảng phần bảng Patcan Chúng ta tìm thấy tính quy luật đáng ý liên hệ trường hợp đoạn thẳng, tam giác tứ diện 10 Nếu tin đối tượng mà ta đem so sánh có liên hệ chặt chẽ "những suy luận tương tự", tương tự trường hợp mà vừa nói có giá trị khơng chối cãi Trọng tâm đoạn đồng trùng với trọng tâm hai đầu mút đoạn Trọng tâm tam giác đồng chất trùng với trọng tâm ba đỉnh Tại lại khơng thể đốn trọng tâm tứ diện đồng chất trùng với trọng tâm bốn đỉnh ? Mặt khác, trọng tâm đoạn thẳng đồng chất chia khoảng cách hai đầu mút đoạn theo tỉ số : Trọng tâm tam giác đồng chất chia khoảng cách đỉnh trung điểm cạnh đối diện theo tỉ số : Ta không nghĩ rằng, trọng tâm tứ diện đồng chất chia khoảng cách đỉnh trọng tâm mặt đối diện theo tỉ số : Dường điểu hướng ta nghĩ tới mở rộng kiện xét cho trường hợp n chiếu Dù với ba số chiều (n = 1, 2, 3)[146] khó mà lại khổng với giá trị lớn lì Giả thiết "suy luận quy nạp" ; chứng tỏ rằng, phép quy nạp dựa sở tương tự cách tự nhiên (Xem quy nạp quy nạp toán học) 11 Chúng ta chấm dứt mục cách xét trường hợp quan trọng, tương tự đạt tới tính xác khái niệm toán học (I)Hai hệ đối tượng toán học s S' cho quan hệ xác định đối tượng S’ tuân theo quy luật chi phối quan hệ đối tượng S' Loại tương tự minh hoạ ví dụ nêu đoạn cần lấy s cạnh hình chữ nhật S' mặt biên hình hộp (II) Giữa phần tử hai hệ s S' có liên hệ đối một, bảo tồn số quan hệ Điều có nghĩa có quan hệ phần tử hệ phần tử tương úng hệ có quan hệ Mối liên hệ hai hệ đối tượng loại tưong tự xác mà ta gọi đẳng cấu (III) Giả sử có liên hệ đối nhiều hai hệ s s' bảo toàn số quan hệ đố Sự tương ứng gọi phép đồng cấu Nó đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực toán học cao cấp, đặc biệt lí thuyết nhóm, đây, khơng xét cách chi tiết, phép đồng cấu coi loại tương tự xác Ý chói lọi Một "ý hay" hay sáng kiến, nhũng thành ngữ thơng thường diễn tả đột ngột tới cách giải toán, xem mục "tiến thành tựu" Sự nảy sinh ý chói lọi biết, nhung mơ tả thật khó cần phải nhờ tới uy tín cổ xưa Aristốt để tìm thấy cách mơ tả rõ ràng Đa số đồng ý rằng, nảy ý chói lọi phụ thuộc vào "sáng trí” Aristốt định nghĩa "sáng trí" sau : "sự sáng trí khả năng, cách đoán, khám phá liên hệ cốt yếu vật khoảng thời gian nhỏ không đáng kể Chẳng hạn, anh thấy người nói với người giàu với cách đó, anh đốn người có vay tiền người Hay là, anh quan sát thấy phần sáng Mặt trăng luôn phía Mặt trời, anh thấy ngun nhân điều cách đốn Mặt trăng Mặt trời chiếu sáng” Ví dụ thứ khơng tồi tầm thường : phát người giàu có tiền bạc, thực khơng đòi hỏi phải "sáng trí" nhiều : trường hợp [147] Cái nảy sinh khơng nên gọi chói lọi Ngược lại, ví dụ thứ hai gây cho người ấn tượng sâu sắc cố đặt vào hồn cảnh người viết nhũng dòng trích dẫn Chúng ta nên nhớ vào thời Aristốt, muốn biết người ta phải nhìn Mặt trời Vì sao, lúc chưa có đồng hồ muốn đêm phải quan tâm đến tuần trăng lúc khơng có đèn lồng ngồi phố Họ có hiểu biết trời đất tốt hon nhiều so với người đương thời sống thành phố họ khơng rối trí, lầm lạc nhũng báo quàng xiên, phổ biến môn thiên văn Họ thấy Mặt trăng đĩa dẹt, Mặt trời, sáng chói nhiều Hiển nhiên họ ngạc nhiên quan sát thấy hình dạng vị trí Mặt trăng thay đổi khơng ngùng Có họ quan sát Mặt trăng vào ban ngày, lúc Mặt trời mọc, lúc mặt trời lặn nhận : "phần sáng Mặt trăng ln đối diện với Mặt trời" Đó thành cơng đáng kể Sau đó, họ phát nhũng hình thái biến đổi Mặt trăng giơhg cầu ta nhìn từ nhiều phía mà cầu chiếu sáng cho nửa sáng, nửa tối Họ bắt đầu cho Mặt trời Mặt trăng đĩa dẹt mà có dạng thể cầu, thể chiếu sáng, thể chiếu sáng Họ nắm mối liên hệ chất tượng thay đổi tức khắc "trong khoảng thời gian nhỏ không đáng kể" quan niệm ban đầu họ Trong ý nghĩ họ có bước nhảy vọt; ý chói lọi đến đầu, khơng thể gọi tầm thường MUỐN GIẢI MỘT BÀI TOÁN, PHẢI LẦN LƯỢT I - Hiểu rõ toán II - Xây dựng chương trình (một kiện) - Tìm liên hệ kiện chưa biết (ẩn) - Có thể phải xét đến tốn phụ chưa tìm trực tiếp liên hệ Cuối phải xây dựng chương trình, kiện cách giải III - Thực chương trình (đề án) IV - Khảo sát lời giải tìm I - Hiểu rõ toán Đâu ẩn ? Đâu kiện ? Đâu điều kiện ? Có thể thoả mãn điều kiện hay khơng ? Điều kiện có đủ để xác định ẩn không ? Hay chưa đủ ? Hay thừa ? Hay có mâu thuẫn [148] - Vẽ hình Sử dụng kí hiệu thích hợp Phân biệt phần khác điều kiện Có thể diễn tả điều kiện thành cơng thức khơng ? II - Xây dựng chương trình Bạn gặp tốn lần chưa ? Hay gặp toán dạng khác ? - Bạn có biết tốn có liên quan khơng ? Một định lí dùng khơng ? -Xét kĩ chưa biết (ẩn) thử nhớ lại toán quen thuộc có ẩn hay có ẩn tương tự -Đây tốn có liên quan mà bạn có lần giải Có thể sử dụng khơng ? Có thể sử dụng kết khơng ? Hay sử dụng phương pháp ? Có cần phải đưa thêm số yếu tố phụ sử dụng khơng ? - Có thể phát biểu tốn cách khác khơng ? Một cách khác ? Quay định nghĩa - Nếu bạn chưa giải tốn để ra, thử giải tốn có liên quan Bạn nghĩ tốn có liên quan mà dễ khơng ? Một tốn tổng qt ? Một trường hợp riêng ? Một toán tương tự ? Bạn giải phần tốn khơng ? Hãy giữ lại phần điếu kiện, bỏ qua phần Khi đó, ẩn xác định đến chừng mực ; biến đổi ? Bạn từ kiện rút yếu tố có ích khơng ? Bạn nghĩ kiện khác giúp bạn xác định ẩn khơng ? Có thể thay đổi ẩn, hay kiện, hay hai cần thiết, cho ẩn kiện gần không ? - Bạn sử dụng kiện hay chưa ? Đã sử dụng toàn điều kiện hay chưa ? Đã để ý đến khái niệm chủ yếu tốn chưa ? III - Thực chương trình Khi thực chương trình kiểm tra lại bước Bạn thấy rõ ràng bước chưa ? Bạn chứng minh không ? IV - Khảo sát lời giải dã tìm (nghiên cứu cách giải tìm ra) - Bạn kiểm tra lại kết ? Bạn kiểm tra lại tồn q trình giải tốn khơng ? [149] -Có thể tìm kết cách khác khơng ? Có thể thấy trực tiếp kết khơng -Bạn sử dụng kết hay phương pháp cho tốn khác không ? PHỤ LỤC (Phụ lục nàv có dịch Nga văn Nó cải biên Polya) Giải toán ? Hiểu đề tốn Tìm đường từ chưa biết đến cho cách xét tốn phụ, cần ("phân tích") 3.Thực ý có cách giải ("tổng hợp") Kiểm tra lại lời giải phê phán I Bài tốn nói ? Cái kiện ? Cái phải tìm ? Cái kiện đủ để xác định phải tìm hay chưa ? hay chưa đủ ? hay thừa ? Có thể phát biểu tốn cách khác ? Có thể tìm quan hệ tốn cho toán khác mà ta biết cách giải khơng ? Hay tốn mà ta giải dễ dàng ? Phải nhắc lại câu hỏi gặp chướng ngại khiến ta phải dừng lại, giải toán phụ Ngồi ra, kiện tốn sử dụng chưa ? Phát biểu quan hệ cho chưa biết Biến đổi yếu tố chưa biết : Thử đưa vào ẩn mới, gần kiện toán Chỉ giải phần toán thoả mãn phần điều kiện thơi : chưa biết xác định đến mức độ ? (quỹ tích) Tổng qt hố Cá biệt hố Sử dụng tương tự Kiểm tra lại bước, công nhận điều thật rõ ràng hay tính tốn thật cẩn thận (Đề Các) Kết có khơng ? Vì ? Có thể kiểm tra khơng ? Có đường khác để đến kết khơng ? Có đường ngắn khơng ? Trên đường "hái" thêm kết khác ? [150] [ MỤC LỤC (Phụ lục nàv có dịch Nga văn Nó cải biên Polya) Giải toán ? Hiểu đề tốn Tìm đường từ chưa biết đến cho cách xét toán phụ, cần ("phân tích") Thực ý có cách giải ("tổng hợp") Kiểm tra lại lời giải phê phán I Bài tốn nói ? Cái kiện ? Cái phải tìm ? Cái kiện đủ để xác định phải tìm hay chưa ? hay chưa đủ ? hay thừa ? Có thể phát biểu tốn cách khác ? Có thể tìm quan hệ toán cho toán khác mà ta biết cách giải không ? Hay tốn mà ta giải dễ dàng ? Phải nhắc lại câu hỏi gặp chướng ngại khiến ta phải dừng lại, giải tốn phụ Ngồi ra, kiện toán sử dụng chưa ? Phát biểu quan hệ cho chưa biết Biến đổi yếu tố chưa biết : Thử đưa vào ẩn mới, gần kiện toán Chỉ giải phần tốn thoả mãn phần điều kiện thơi : chưa biết xác định đến mức độ ? (quỹ tích) Tổng qt hố Cá biệt hoá Sử dụng tương tự Kiểm tra lại bước, công nhận điều thật rõ ràng hay tính tốn thật cẩn thận (Đề Các) Kết có khơng ? Vì ? Có thể kiểm tra khơng ? Có đường khác để đến kết khơng ? Có đường ngắn khơng ? Trên đường "hái" thêm kết khác ? ... trống rỗng Đối xứng Danh từ có hai nghĩa: nghĩa hình học, thơng thường nghĩa riêng nghĩa logic, tổng quát không thơng dụng Trong hình học khơng gian sơ cấp, người ta xét hai loại đối xứng: đối... ta lại tìm tốn Về mặt lí thuyết khơng có giới hạn, thực tế ta khơng thể q xa tốn thường khơng giải Mặt khác, ta tưởng tượng tốn giải cách dùng tốn cũ Nhưng thường tốn lại khơng bổ ích Tìm tốn... không đầy đủ em chưa giải toán mà đặt Đặt phương trình Đặt phương trình giống dịch từ tiếng sang tiếng khác Cách so sánh làm sáng tỏ chất số khó khăn mà thầy giáo học sinh thường g p Đặt phương