ĐH QUỐC GIA HN ĐH CƠNG NGHỆ Đề thi mơn: GIẢI TÍCH I Lớp K54 CQ - CC, CD Thời gian: 150 phút không kể thời gian phát đề (Đề số 1) Câu (2 điểm) Xét liên tục hàm số sau: f1 (x) = f2 (x) = sin x x sin x |x| x = f1 (0) = x = f2 (0) = Câu (2 điểm) Tìm giới hạn sau: lim √ x→0 lim x→+∞ x2 √ + x sin x − cos x arctg x π x Câu (3 điểm) Tìm độ dài cung đường cong x = ch3 t, y = sh3 t, (0 ≤ t ≤ T ) Tìm thể tích vật thể tạo nên quay miền phẳng giới hạn đường: y = e−x , y = (0 ≤ x < +∞), a) quanh trục Ox b) quanh trục Oy Câu (1 điểm) Khảo sát hội tụ tuyệt đối tích phân: +∞ sin x dx x Câu (2 điểm) Tìm khoảng mở hội tụ khảo sát hội tụ hai đầu mút chuỗi: +∞ (3x)n n=0 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm tuần hoàn sau: f (x) = sgn(cos x) Đáp án Đề số Câu (2 điểm) sin x = 1, x→0 x Khi x = 0, hàm liên tục Xét x = 0: giả sử ε > tùy ý, lim nên tồn δ = δ(ε) > cho: sin x sin x −1 ≤ − < ε |x| < δ, x x nghĩa f1 (x) liên tục x = lim x→0+0 sin x sin x sin x sin x = lim = = lim = lim = −1 x→0+0 x→0−0 x→0−0 |x| x |x| −x nên hàm số gián đoạn x = Câu (2 điểm) √ √ + x sin x + cos x x2 x2 = lim lim √ = √ x→0 x→0 + x sin x − cos x + x sin x − cos x √ √ + x sin x + cos x lim = − cos x sin x x→0 + x2 x lim x→+∞ lim x→+∞ e arctg x π arctg x − π 1/x x lim x→+∞ =e l’Hospital − lim = e arctg x−1 π x = x2 π + x2 = e−2/π Câu (3 điểm) x′ (t) = ch2 t sh t, y ′ (t) = sh2 t ch t; x′2 (t) + y ′2 (t) = sh2 t ch2 t(ch2 t + sh2 t) = L= T √ sh 2t ch 2t dt = = T √ sh 2t ch 2t, ch 2t d(ch 2t) = ch3/2 2T − 3/2 ch 2t T = η e−2x η→+∞ a) Vx = lim π e−2x dx = π lim η→+∞ = η = π π lim − e−2η = η→+∞ η b) Vy = lim 2π xe−x dx = 2π lim η→+∞ η→+∞ xe−x + e−x = η −ηe−η + − e−η = 2π = 2π lim η→+∞ Câu (1 điểm) a sin x dx + x I= +∞ a sin x dx = I1 + I2 x sin x liên tục (0, a) giới nội, nên x tích phân I1 tồn tại, I2 hội tụ theo dấu hiệu Dirichlet, I hội tụ với a > số cố định Do hàm y = Do +∞ a sin x dx ≥ x +∞ a sin2 x dx = x +∞ a dx − x +∞ a cos 2x dx, x tích phân thứ phân kì, tích phân thứ hai hội tụ theo dấu hiệu Dirichlet, nên tích phân ta xét khơng hội tụ tuyệt đối Vậy, tích phân I bán hội tụ Câu (2 điểm) 2 un+1 = |3x|(n+1) −n = |3x|2n+1 un  +∞ −→ n→+∞ 0 Từ R = , chuỗi hội tụ tuyệt |x| < 1/3 Tại x = −1/3, ta chuỗi số: − + − + + (−1)n + phân kì Tại x = 1/3, ta có chuỗi: + + 1+ 1 3 phân kì Vậy tập hội tụ − , |3x| > |3x| < π + kπ), có đạo hàm liên tục khúc f ′ (x) = x = xk Ngoài hàm f (x) tuần hoàn với chu kì 2π f (xk ) = (f (xk − 0) + f (xk + 0)) 2 Hàm cho liên tục khúc (gián đoạn loại điểm xk = Do khai triển thành chuỗi Fourier hội tụ đến hàm f (x) điểm trục số Hàm chẵn, ta nhận được: bn = 0, a0 = an = π π sgn(cos x) cos nx dx = π/2 π cos nx dx − cos nx dx = π π π/2 nπ sin , (n = 1, 2, ) = nπ = Vậy ta có sgn(cos x) = π = π ∞ n=1 ∞ k=0 nπ sin cos nx = n (−1)k cos(2k + 1)x , 2k + −∞ < x < +∞