SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT LANG CHÁNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH DỄ VẬN DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP - HÌNH HỌC Người thực hiện: Nguyễn Văn Hưng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác:Trường PTDTBT THCS Giao Thiện SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HOÁ NĂM 2018 MỤC LỤC NỘI DUNG Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2.Thực trạng vấn 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận: 3.2.Kiến nghị: TÀI LỆU THAM KHẢO TRANG 2 2 3 12 12 12 12 14 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Bộ mơn Tốn mơn học chủ lực nhất, vận dụng phục vụ rộng rãi đời sống khoa học Học toán giúp hình thành học sinh tính xác, hệ thống, khoa học, lôgic tư cao… Trong phân môn Hình học Tốn lớp 9, học đường trịn chun đề tứ giác nội tiếp đóng vai trò quan trọng, đơn vị kiến thức trọng tâm phân môn Qua thời gian trực tiếp đứng lớp giảng dạy nội dung tứ giác nội tiếp, nhận thấy vấn đề sau: + Sách giáo khoa liệt kê bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp lại chưa đặt dấu hiệu thành hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh + Học sinh chưa hiểu sở dấu hiệu nhận biết, nên cịn lúng túng tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Để giải phần vấn đề trên, nghiên cứu, trao đổi để tìm biện pháp khắc phục phù hợp, giúp em dễ dàng việc chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn Đó lý mà tơi chọn đề tài: “Một số phương pháp giúp học sinh dễ vận dụng để chứng minh tứ giác nội tiếp – Hình học 9” 1.2 Mục đích nghiên cứu Bài tốn chứng minh tứ giác nội tiếp chương trình sách giáo khoa nhìn chung khơng khó, học sinh miền núi gặp tập dạng phần đa em khơng làm Chính mà em cần trang bị thêm kiến thức, phương pháp để giải dạng bài, nhằm giúp em hiểu cách sâu sắc Vì vậy, qua sáng kiến kinh nghiệm giúp học sinh trung học sở hiểu nắm phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp giúp học sinh dễ vận dụng chứng minh tứ giác nội tiếp: Hình học lớp 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu làm sáng kiến sử dụng phương pháp nghiên cứu sau đây: a Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết Trong q trình làm sáng kiến tơi có tham khảo tài liệu bồi dưỡng nâng cao Toán b Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin Trong q trình giảng dạy tự bồi dưỡng kiến thức tơi nhận thấy có nhiều sách nâng cao, tập có sách tập thuộc nhiều thể loại khác lại khơng theo hệ thống, khơng phân loại rõ ràng Vì tự nghiên cứu giải tập gặp nhiều khó khăn Ngồi ra, việc tự bồi dưỡng nâng cao kiến thức học sinh tham khảo sách chưa đạt hiệu cao Do cho cần phải có phương pháp giải chung cho loại toán, loại tập để giúp người dạy người học có định hướng giải nhanh mà tư nhiều c Phương pháp thống kê, xử lý số liệu Với phương pháp tiến hành dạng kiểm tra với mục đích nắm bắt nhận thức kiến thức học sinh kỹ giải tập NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực tế cho thấy Toán học tảng cho ngành khoa học, chìa khố để khai phá thúc đẩy phát triển cho nhiều ngành khác Chính việc dạy học mơn tốn nhà trường đóng vai trị vơ quan trọng dạy tốn chiếm vị trí số môn học nhà trường Đối với giáo viên dạy Toán niềm tự hào song thử thách vơ lớn Để nâng cao chất lượng, toàn ngành giáo dục thực dạy học theo phương pháp đổi Một phương pháp để giúp học sinh học Toán tốt (cụ thể phân mơn Hình học 9) khắc sâu sau học xong đơn vị kiến thức, tìm tịi tốn liên quan sau phải hệ thống hóa kiến thức học 2.2 Thực trạng vấn đề a Thuận lợi: Được quan tâm, đạo Ban giám hiệu nhà trường hoạt động đặc biệt hoạt động chuyên môn Luôn tạo điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học tập nghiên cứu, phát huy phương pháp dạy học đổi mới, sáng tạo Phần lớn giáo viên trẻ, động, chịu tìm tịi, học hỏi, nghiên cứu chia sẻ kinh nghiệm lẫn Công nghệ thông tin phát triển nên việc tìm tịi kiến thức mạng internet dễ dàng tiện lợi b Khó khăn: Bên cạnh mặt thuận lợi có nhiều khó khăn như: + Điều kiện sở vật chất nhà trường thiếu thốn + Phòng thư viện nghèo nàn nên việc tìm tịi sách đọc vấn đề hạn chế + Đặc biệt, số học sinh có hồn cảnh khó khăn Phụ huynh chưa thực quan tâm đến việc học em + Khả tiếp thu kiến thức em không đồng + Học sinh ln có tâm lý “sợ” phân mơn Hình học c Số liệu thống kê: Qua năm giảng dạy trực tiếp cho học sinh, qua trắc nghiệm kiểm tra việc chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn học sinh năm học 2017 – 2018, ghi nhận lại số liệu sau: Lớp Tổng số học sinh Tiếp thu vận dụng Số lượng Tỉ lệ Chưa tiếp thu chưa vận dụng Số lượng Tỉ lệ 9A 9B 30 28 13 43,33% 28,57% 17 20 56,67% 71,43% 2.3 Các giải pháp tiến hành để giải vấn đề 2.3.1 Biện pháp thực giải pháp đề tài - Nghiên cứu tài liệu: SGK, SBT, sách tham khảo, tạp chí tốn học, mạng internet, … - Điều tra, so sánh, thống kê - Nghiên cứu, kết hợp, trao đổi với đồng nghiệp để trau dồi kiến thức, đưa phương pháp dạy học tốt 2.3.2 Kiến thức a Khái niệm tứ giác nội tiếp: - Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn b Định lý: + Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180O + Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 O tứ giác nội tiếp đường tròn c Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: +Tứ giác có tổng hai góc đối 180O + Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện +Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác +Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α 2.3.3 Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp a) Phương pháp Chứng minh tổng hai góc đối diện tứ giác 180O Phương pháp này, đơn giản, học sinh cần dựa vào định nghĩa để rút cách chứng minh µA + C µ = 180O (hoặc B µ +D µ = 180O ) ⇒ Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Trong trường hợp đặc biệt µA = Cµ = 90O tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Khi tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD trung điểm đoạn thẳng BD b) Phương pháp Chứng minh góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện µA = DCx · ⇒ Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp · Giả sử có µA = DCx · · · · Mà DCx DCB hai góc kề bù nên DCx + DCB = 180O · Từ suy µA + DCB = 180O Khi đó, ta dựa vào phương pháp để kết luận tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn Qua ta rút phương pháp chứng minh thứ hai Hiển nhiên ngồi cặp góc ta chứng minh cặp góc khác tương tự · Ở trường hợp này, µA = DCx = 90O BD đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD c) Phương pháp Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm Dựa theo định nghĩa đường trịn đường trịn tập hợp điểm mặt phẳng cách điểm cho trước Vì để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, ta cần chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm cho trước (nghĩa điểm cách phải xác định được) Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác, khoảng cách từ điểm đến đỉnh bán kính đường tròn OA = OB = OC = OD (= R) ⇒ Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp O, R tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp d) Phương pháp Chứng minh hai đỉnh kề tứ giác nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại hai góc có số đo ·ABD = ·ACD ⇒ Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Giả sử có ·ABD = ·ACD = α Mà AD cố định ⇒ B, C nằm cung chứa góc α dựng đoạn AD (xem tốn quỹ tích cung chứa góc) Khi kết luận bốn đỉnh tứ giác nằm đường trịn Tức tứ giác nội tiếp đường tròn Trong trường hợp đặc biệt ·ABD = ·ACD = 90O tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AD Khi tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD trung điểm đoạn thẳng AD e) Phương pháp Chứng minh tích hai đoạn thẳng từ giao điểm hai cạnh đối (hoặc hai đường chéo) tứ giác đến hai đỉnh cạnh tích hai đoạn thẳng từ giao điểm đến hai đỉnh cạnh - Trường hợp 1: M giao điểm hai cạnh (kéo dài) tứ giác: MA MB = MC MD ⇒ Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Giả sử AB cắt CD M (như hình vẽ) MA MB = MC MD ⇒ MA MC = (xem phần tỉ lệ thức – lớp 7) MD MB Xét hai tam giác MAC MDB, có: ¶ góc chung M MA MC = (cmt) MD MB Suy ∆MAC dạng – lớp 8) ∆MDB (c.g.c) (xem phần chứng minh hai tam giác đồng · D = MCA · (hai góc tương ứng) ⇒ MB Từ dựa vào phương pháp ta kết luận tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Và qua ta chứng minh phương pháp - Trường hợp 2: M giao điểm hai đường chéo tứ giác: MA MC = MB MD ⇒ Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp MA MC = MB MD ⇒ MA MB ¶ ¶ (đối đỉnh) = ; M1 = M MD MC ⇒ ∆MAB ∆MDC (c.g.c) · · · · (hai góc tương ứng) Hay ⇒ BAC ⇒ MAB = MDC = BDC Ta kết luận tứ giác ABCD nội tiếp Trên hệ thống lại số phương pháp dựa dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp 2.3.4 Một số ví dụ minh họa Trong ví dụ này, tơi trình bày sơ đồ phân tích Phần chứng minh dựa sơ đồ nên cho phép tơi khơng trình bày Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A Đường vuông góc với AB A cắt đường thẳng BC D Kẻ DE ⊥ AC Gọi M trung điểm BC Hai đường thẳng AM DE cắt F Chứng minh tứ giác MCEF AMED nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn + Chứng minh tứ giác MCEF tứ giác nội tiếp Lưu ý: + Ở ta có M trung điểm BC nên AM đường trung tuyến tam giác ABC, mà tam giác ABC tam giác cân A, nên AM đường cao tam giác + Khi ta có ·AMC = 90O hay · CMF = 90O M trung điểm BC AM: đường trung tuyến ∆ABC ∆ABC cân A AM: đường cao ∆ABC · CMF = 90O · CEF = 90O · · CMF + CEF = 180O  Tứ giácMCEF nội tiếp đường tròn  O ;  CF  ÷ (phương pháp 1)  + Chứng minh tứ giác AMED tứ giác nội tiếp Lưu ý: + Chứng minh ta có AM đường cao tam giác ABC ⇒·AMD = 90O AM: đường cao ∆ABC ·AMD = 90O ·AED = 90O ·AMD = ·AED = 90O  Tứ giác AMED nội tiếp đường tròn  O ' ;  AD  ÷ (phương pháp 4)  Ví dụ 2: Cho đường trịn tâm O Kẻ hai đường kính AB CD vng góc với Gọi M điểm cung nhỏ BC AM cắt CD E, DM cắt AB F Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp Lưu ý: + Hai đường kính AB CD vng góc với ta có bốn cung nhỏ AC, BC, AD BD ( ¼ = MB » ; A » D = BD » MC · CEMđ =CM s ¼ đ A +s »D ) (góc có đỉnh bên đường trịn) ( · CEMđ =BM s ¼ đ » + s BD · CEMđ =DMs ¼ ) · CEMđ =DMs ¼ (góc nội tiếp) · · CEM = CEM MC = MB ∆MCE cân M Chứng minh tương tự MC = ME MB = MF MB = MC = ME = MF Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn tâm M (phương pháp 3) Ví dụ 3: Cho đường trịn tâm O, dây cung BC Một điểm P nằm đường tròn (P khác B C) cho tiếp tuyến P đường trịn cắt BC A Kẻ PH vng góc với AO (H thuộc AO) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp Lưu ý: + Ta nhận thấy góc APB góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung BmP s ¼ ⇒·APBđ=BmP Góc ACP góc nội tiếp chắn cung BmP · · Vậy APB = ACP s ¼ ⇒ ·ACPđ=BmP + Áp dụng hệ thức cạnh đường cao cho tam giác AOP vuông P, đường cao PH ta được: AP2 = AH AO Tứ giác BCHO nội tiếp (phương pháp 5) 10 ↑ AB AC = AH AO AP2 = AB AC ↑ AP2 = AH AO AB AP = AP AC ∆ABP ·APB = ·ACP ↑ ∆APC · : góc chung PAC Ví dụ 4: Cho hai đường trịn (O) (O’) cắt hai điểm A B Qua B kẻ đường thẳng vng góc với AB, cắt (O) (O’) điểm C D Lấy điểm M cung nhỏ BC Đường thẳng BM cắt (O’) N, CM cắt DN P Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp Lưu ý: hai đường tròn (O) (O’) nên cung dây xét hai đường tròn Cách Sử dụng phương pháp Tứ giác ACPD nội tiếp (phương pháp 2) ↑ ·ACM = ·ADN ↑ ¼ AM = »AN (xét cung nhỏ) ↑ AM = AN ↑ ∆AMN cân A ↑ ·AMB = ·AND ↑ ¼ AmB = ¼ AnB ↑ Hai đường trịn (O) (O’) Cách Sử dụng phương pháp 11 Lưu ý: + Góc AMC góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) ⇒ ·AMC = 90O ⇒ ·AMP = 90O + Góc AND góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’) ⇒ ·AND = 90O Tứ giác ACPD nội tiếp (phương pháp 4) ↑ ·APC = ·ADC ¼ ·APC = ·ANMđ AM = s  ữ ẳ ÃADC = ÃANM AnB = s  ↑ Tứ giác AMPN nội tiếp đường trịn đường kính AP (phương pháp 1) ↑  ÷  ·AMP + ·ANP = 180O ·AMP = 90O ·ANP = 90O Cách Sử dụng phương pháp Lưu ý: Chứng minh cách để có tứ giác AMPN nội tiếp đường trịn đường kính AP Ta lưu ý hai tam giác có hai cặp góc cặp góc cịn lại Tứ giác ACPD nội tiếp (phương pháp 1) ↑ · D + CA · D = 180O CP · D + MAN · CP = 180O ↑ Tứ giác AMPN nội tiếp · D = MAN · CA · CAB = ·AMB ·ADB = ·ANB  ¼   = s AmB ữ ẳ   = sđ AnB ÷   12 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau áp dụng nội dung kinh nghiệm nghiệm “Một số phương pháp giúp học sinh dễ vận dụng để chứng minh tứ giác nội tiếp – Hình học 9”, học sinh biết cách làm trình bày tốt hơn, bị sai sót nhầm lẫn mà trước học sinh không làm làm không điểm tối đa Mặt khác thông qua dạng tốn em cịn có kĩ làm tập nội dung khác, trí mơn học khác, em có nhìn đầy đủ hơn, hồn thiện Tơi áp dụng đề tài khối lớp năm học 2017 – 2018 Sau thực giải pháp đề tài, thu kết khả quan thống kê lại bảng sau: Tổng Trước áp dụng Sau áp dụng Lớp số Chứng minh Chưa chứng Chứng minh Chưa chứng học tứ giác minh tứ tứ giác minh tứ sinh nội tiếp giác nội tiếp nội tiếp giác nội tiếp SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ 9A 30 13 43,33% 17 56,67% 25 83,33% 16,67% 9B 28 28,57% 20 71,43% 19 67,86% 32,14% Tóm lại: Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững tập chứa bậc hai chương trình học, học rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hố hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh cịn giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài toán học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học toán KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận - Cơ sở phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp nêu cách rõ ràng Bên cạnh tơi đưa trường hợp đặc biệt phương pháp giúp học sinh có cách nhìn bao qt tứ giác nội tiếp - Học sinh nhận biết chứng minh tứ giác nội tiếp tốt nhờ phương pháp để chứng minh liệt kê cụ thể xếp có hệ thống - Để chứng minh tứ giác nội tiếp không đơn chứng minh nhờ phương pháp Có cần chứng minh tứ giác khác nội tiếp khai thác kết để giải yêu cầu đề - Cùng tập, em chứng minh nhiều cách khác nhau, lựa chọn cách tối ưu để giải 3.2.Kiến nghị Để thực tốt giải pháp đề tài này, mạnh dạn đưa số khuyến nghị sau: - Đối với giáo viên: 13 + Ngoài việc nắm vững kiến thức chuyên môn cần phải không ngừng học tập để nâng cao kiến thức mặt + Nghiên cứu cách phối hợp phương pháp để giảng dạy đạt hiệu cao + Thường xuyên dự thăm lớp để học hỏi kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp + Dựa vào phương pháp liệt kê để truyền đạt lại cho học sinh; hướng dẫn, giải thích cho em từ đâu có phương pháp +Dựa vào sơ đồ phân tích ví dụ để đặt hệ thống câu hỏi nhằm giúp em định hướng trình bày chứng minh - Đối với học sinh: + Ơn tập lại kiến thức cũ có liên quan (như cung chứa góc, hai tam giác đồng dạng, hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông, …) để tiếp thu phương pháp cách tốt + Dựa vào sơ đồ phân tích để trình bày chứng minh cho ví dụ Trong khn khổ sáng kiến kinh nghiệm, nội dung đề tài giải pháp đúc rút từ thực tiễn qua kinh nghiệm giảng dạy thân đồng nghiệp Rất mong thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp tham khảo, góp ý, trao đổi kiến thức kinh nghiệm để sáng kiến hồn thiện đồng thời thân tơi rút kinh nghiệm giảng dạy năm học sau Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Giao Thiện, ngày 08 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác NGƯỜI VIẾT Nguyễn Văn Hưng 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK, SBT, SGV Toán tập – Bộ Giáo dục Đào tạo – Nhà xuất Giáo dục Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn THCS – Bộ Giáo dục Đào tạo – Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Toán nâng cao chuyên đề Hình học – Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm www.vnmath.com www.vnschool.net www.giaovien.net 15 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Văn Hưng Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường PTDTBT THCS Giao Thiện - Lang Chánh TT Tên đề tài SKKN “Hướng dẫn học sinh lớp viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dạng phân số” "Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải tập bậc hai dạy học Toán trường PTDTBT THCS Giao Thiện” Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Phòng Giáo dục Đào tạo C 2014 - 2015 Phòng Giáo dục Đào tạo B 2016 - 2017 16 ... giúp học sinh trung học sở hiểu nắm phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp giúp học sinh dễ vận dụng chứng minh tứ giác nội tiếp: Hình học lớp 1.4 Phương pháp. .. bảng sau: Tổng Trước áp dụng Sau áp dụng Lớp số Chứng minh Chưa chứng Chứng minh Chưa chứng học tứ giác minh tứ tứ giác minh tứ sinh nội tiếp giác nội tiếp nội tiếp giác nội tiếp SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ... Đó lý mà chọn đề tài: ? ?Một số phương pháp giúp học sinh dễ vận dụng để chứng minh tứ giác nội tiếp – Hình học 9? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Bài tốn chứng minh tứ giác nội tiếp chương trình sách