Đang tải... (xem toàn văn)
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP CỦA SINH VIÊN ĐỊNH LÝ RADOMNIKODYM VÀ ỨNG DỤNG Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học Tự nhiên (TN) Sơn La, tháng 5 năm 2018
Lời cảm ơn Lời em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy TS Vũ Việt Hùng, người thầy đáng kính định hướng nghiên cứu hướng dẫn tận tình em, giúp đỡ em tài liệu nghiên cứu động viên em có nghị lực hồn thành khóa luận này! Trong q trình làm khóa luận, em nhận giúp đỡ thầy giáo Khoa Tốn-Lý-Tin, đặc biệt thầy Bộ mơn Giải tích, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, bạn sinh viên Lớp K55 ĐHSP Tốn Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên quý thầy cô, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn giúp đỡ quý báu nói Sơn La, tháng năm 2018 Sinh viên thực hiện: Vì Văn Hồng Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại số σ-đại số tập hợp 1.1.1 Đại số tập hợp 1.1.2 σ-đại số tập hợp Độ đo đại số tập hợp 1.2.1 Hàm tập hợp 1.2.2 Độ đo đại số tập hợp 1.2.3 Độ đo 1.2.4 Độ đo Lebesgue 1.2.5 Độ đo đủ 10 1.3 Hàm đo 11 1.4 Tích phân Lebesgue 11 1.4.1 Tích phân hàm đơn giản 11 1.4.2 Tích phân hàm không âm 12 1.4.3 Tích phân hàm có dấu 12 1.4.4 Các tính chất sơ cấp 12 1.2 ĐỊNH LÝ RADON-NYKODYM 16 2.1 Độ đo liên tục tuyệt đối tính chất 16 2.2 Phân tích Lebesgue-Radon-Nikodym 22 2.3 Định Lí Radon - Nikodym 26 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ RADON-NYKODYM 36 3.1 Đổi biến số tích phân 36 3.2 Khơng gian độ đo có dấu 40 3.3 Định lí phép tính tích phân 47 3.3.1 Hàm có biến phân bị chặn 47 3.3.2 Hàm liên tục tuyệt đối 49 Phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian Lp (X, µ) 53 3.4 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 Mở đầu Lý chọn khóa luận Định lí Radon-Nikodym định lí trung tâm lí thuyết độ đo tích phân Nó tìm ứng dụng có ý nghĩa Giải tích thực, Giải tích hàm, Y học, Việc tìm hiểu ứng dụng Định lí Radon-Nikodym trình bày chúng thành tài liệu hồn chỉnh việc làm có ý nghĩa thực tiễn, giúp sinh viên hiểu sâu đầy đủ vấn đề Để tìm hiểu sâu số vấn đề ứng dụng Định lí RadonNikodym, em chọn đề tài: Định lý Radom-Nikodym ứng dụng để làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận nhằm tìm hiểu hiệu vấn đề đặt Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu Định lí Radon-Nikodym hệ - Trình bày tương đối đầy đủ ứng dụng Định lí Radon-Nikodym - Rèn luyện khả nghiên cứu khoa học thân Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu Định lí Radon-Nikodym ứng dụng định lí Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu, nghiên cứu trình bày khái niệm, tính chất cần thiết cho việc trình bày Định lý Radon-Nikodym Phương pháp nghiên cứu - Sưu tầm, đọc nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp kiến thức - Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày seminar với tổ mơn, giáo viên hướng dẫn nhóm làm khóa luận Từ tổng hợp kiến thức trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua thực kế hoạch hồn thành khóa luận Tính hướng phát triển khóa luận 6.1 Tính mẻ khóa luận Đây vấn đề thân giải tích đại Đồng thời vấn đề chưa tiếp cận nhiều sinh viên ĐHSP Toán Nhà trường 6.2 Hướng phát triển khóa luận Tiếp tục nghiên cứu sâu Định lý Radon-Nikodym số không gian tổng quát ứng dụng khác Những đóng góp khóa luận Khóa luận tổng hợp nghiên cứu Định lý Radon-Nikodym ứng dụng Cấu trúc khóa luận Với mục đích khóa luận chia thành chương với nội dung sau đây: Chương 1: Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức ban đầu đại số σ- đại số tập hợp, độ đo đại số tập hợp hàm đo Tiếp theo kết Tích phân Lebesgue cần thiết cho trình bày sau Chương 2: Trình bày vấn đề Định Lí Radon-Nikodym Chương 3: Trình bày số ứng dụng Định lý Radon-Nikodym như: Đổi biến số tích phân, khơng gian độ đo có dấu, định lí phép tính tích phân phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian Lp (X, µ) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở đại số, độ đo làm sở cho nghiên cứu chương sau 1.1 Đại số σ-đại số tập hợp 1.1.1 Đại số tập hợp Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập tùy ý khác rỗng Ta gọi C tập X đại số X thỏa mãn tính chất sau: a) X ∈ C b) Nếu A ∈ C CA ∈ C c) Nếu A, B ∈ C A ∪ B ∈ C Ngồi ta kiểm tra C đại số tập X dựa vào bổ đề sau Bổ đề 1.1.2 C đại số tập X C thỏa mãn điều kiện sau: a) X ∈ C b) Nếu A ∈ C CA ∈ C c) Nếu A, B ∈ C A ∩ B ∈ C 1.1.2 σ-đại số tập hợp Định nghĩa 1.1.3 Cho X tập tùy ý khác rỗng Một họ F tập X gọi σ-đại số X thỏa mãn điều kiện: a) X ∈ F b) Nếu A ∈ F CA ∈ F ∞ c) Nếu {An }n∈N∗ ⊂ F An ∈ F Ta kiểm tra F σn=1 đại số tập X dựa vào bổ đề sau Bổ đề 1.1.4 F σ- đại số tập X F thỏa mãn điều kiện sau: a) X ∈ F b) Nếu A ∈ F CA ∈ F ∞ c) Nếu {An }n∈N∗ ⊂ F An ∈ F n=1 1.2 1.2.1 Độ đo đại số tập hợp Hàm tập hợp Định nghĩa 1.2.1 Cho X = ∅, C- họ tập X Hàm µ : C → R = R ∪ {−∞; +∞}A → µ(A) Khi ta nói hàm µ hàm tập hợp Hơn ta gọi i) µ có tính chất cộng tính ∀A, B ∈ C, A ∩ B = ∅ ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) ii) µ gọi có tính chất σ- cộng tính ∀{An }n∈N∗ ⊂ C cho ∞ Ai ∩ Aj = ∅(i = j), An ∈ C n=1 ∞ µ ∞ An n=1 1.2.2 µ(An ) = n=1 Độ đo đại số tập hợp Định nghĩa 1.2.2 Một hàm tập µ đại số C- tập X Khi µ gọi độ đo nếu: ii) µ(A) 0, ∀A ∈ C ii) µ(∅) = iii) µ có tính chất σ- cộng tính Khi ta gọi µ(A) độ đo A, ∀A ∈ C 1.2.3 Độ đo Định nghĩa 1.2.3 Hàm tập hợp µ∗ xác định σ-đại số P(X) tất tập X gọi độ đo ngồi µ∗ thỏa mãn điều kiện: a) µ∗ (A) với A ⊂ X; b) µ∗ (∅) = 0; c) µ∗ σ-cộng tính dưới, nghĩa A ⊂ ∞ An n=1 ∞ µ∗ (An ) ∗ µ (A) n=1 Bây ta tìm cách mở rộng độ đo đại số tới độ đo σ- đại số bao hàm σ- đại số sinh đại số cho Định lý 1.2.4 Nếu m độ đo đại số C tập tập X, hàm tập hợp µ∗ xác định xác định P(X) công thức: ∞ ∞ ∗ An ⊃ A} m(An ) | {An }n∈N ⊂ C, µ (A) = inf{ (1.1) n=1 n=1 độ đo X µ∗ (A) = m(A) với A ∈ C Hơn nữa, tập thuộc σ- đại số F(C) sinh C µ∗ - đo 1.2.4 Độ đo Lebesgue Định nghĩa 1.2.5 [1]Cho hàm µ∗ : R → [0, +∞] +∞ µ∗ (A) = inf{ +∞ | ∆i |: i=1 ∆i ⊃ A, ∆i gian , i = 1, 2, 3, }, gọi i=1 độ đo nqoài Lebesgue R Hàm tập µ∗ độ đo ngồi R, ta áp dụng định lý Caratheodory để xây dựng độ đo R, độ đo Lebesgue Định nghĩa 1.2.6 Hàm µ∗ : L → [0, ∞] L lớp tất tập A R cho µ∗ (E) = µ∗ (E A) + µ∗ (E\A)(∀E ⊂ R), độ đo Lehesgue R, ký hiệu µ A gọi tập đo Lebesgue Theo định lý Caratheodory lớp tập đo Lebesgue L σ-đại số Định nghĩa 1.2.7 Tập A ⊂ R qọi tập đo Lebesgue tronq R A thuộc σ-đại số Lebesgue Vậy tập không đo Lebesgue nào? Ta lấy ví dụ sau từ tài liệu [4] Ví dụ 1.2.8 Với tập Ax = {y ∈ [0, 1] : x − y = r, r ∈ Q} chọn điểm Tập tất điểm gọi P P tập khơng đo Định nghĩa 1.2.9 [1] Tập N qọi tập có độ đo µ∗ (N ) = 0, tức cho ∞ ∞ | ∆k |: inf{ k=1 ∆k ⊃ N, ∆k rời nhau} = (1.2) k=1 Định lý 1.2.10 [1] Một tập N có độ đo với e > tìm hệ (hữu hạn hay đếm được) qian ∆k phủ N có độ dài tổng cộng nhỏ e +∞ +∞ ∆k ⊃ N, k | ∆k |< e k=1 Chứng minh Thật vậy, µ(N ) = theo cơng thức (1.2) với e > cho trước có ∞ hệ khoảng mở ∆k phủ N cho ∆k < e k=1 ∞ | ∆k |: Ngược lại, với e > có phủ inf{ k=1 ∞ ∆k ⊃ N, ∆k gian } =0 Vậy N tập có độ đo k=1 Ví dụ 1.2.11 Tập N = 1, 2, , n tập có độ đo Tập số hữu tỉ có độ đo Tập Cantor P [0, 1] xây dựng theo cách có độ đo Xét tập hợp [0, 1] Bước Chia [0, 1] thành ba khoảng nhau, bỏ khoảng G1 = ( , ) 3 Bước Chia ba đoạn lại [0, ] [ , 1] bỏ khoảng 3 chúng Đặt G2 = ( , ) 9∞ thứ n, G = Gk ( , ), Gọi Gn hợp 2n−1 khoảng bỏ bước 9 hợp tất khoảng bỏ đi,P = [0, 1]\G k=1 Ta có 1 µ(Gn ) = 2n−1 ( )n = ( )n = 3 Khi ∞ µ(G) = µ(Gn ) = n=1 ∞ ( )n = n=1 Mà [0, 1] = ([0, 1]\G) G=P G nên µ([0, 1]) = µ(P ) + µ(G) Vậy µ(P ) = µ([0, 1]) − µ(G) = − = Ta thấy tập có độ đo có lực lượng hữu hạn, đếm hay không đếm Tập Cantor tập đặc biệt Lực lượng tập Cantor R không đếm độ đo 1.2.5 Độ đo đủ Định nghĩa 1.2.12 Ta nói độ đo µ σ-đại số F độ đo đủ với tập tập thuộc F có độ đo không đo Định lý 1.2.13 Tập A ⊂ R đo Lebesgue A thỏa mãn hai điều kiện sau: a) Với > tồn tập mở G ⊃ A cho µ∗ (G \ A) < b) Với > tồn tập đóng F ⊂ A cho µ∗ (A \ F ) < Trong µ∗ độ đo xác định độ đo m cảm sinh độ đo µ 10 Mệnh đề 3.2.2 M (X, µ) khơng gian Banach với phép tốn thơng thường cộng độ đo nhân độ đo với số, với chuẩn ϕ = |ϕ|(X) Chứng minh I Đầu tiên ta kiểm tra ϕ → ϕ = |ϕ|(X) chuẩn i) Ta có: |ϕ|(X) và|ϕ|(X) = ⇔ ϕ+ (X) = ϕ+ (A) = ϕ− (X) = ⇔ ϕ− (A) = ∀A ∈ M ⇔ ϕ(A) = 0, ∀A ∈ M ⇔ ϕ = ii) Ta có (λϕ)+ = Max{λϕ, 0} = λ Max{ϕ, 0} = λϕ+ , nếuλ = −λ Max{−ϕ, 0} = −λϕ− , nếuλ < Tươngtự λϕ− , λ − (λϕ) = −λϕ− , λ < Do |λϕ| = (λϕ)+ + (λϕ)− = λ(ϕ+ + ϕ− ), λ −λ(ϕ− + ϕ+ ), λ < = |λ|.|ϕ| ⇒ λϕ = |λϕ|(X) = |λ||ϕ|(X) = |λ| ϕ iii) Ta có: ϕ1 + ϕ2 = (ϕ1 + ϕ2 )+ (X) + (ϕ1 + ϕ2 )− (X) (ϕ1 + ϕ2 )+ = Max{ϕ1 + ϕ2 , 0} (ϕ1 + ϕ2 )− = Max{−ϕ1 − ϕ2 , 0} + ϕ+ + ϕ2 − ϕ− + ϕ2 45 Do + − − ϕ+ (X) + ϕ2 (X) + ϕ1 (X) + ϕ2 (X) = |ϕ1 |(X) + |ϕ2 |(X) ϕ1 + ϕ2 ϕ1 + ϕ2 II Xét {ϕn } ⊂ M (X, µ) dãy Cauchy, ta cần chứng minh hội tụ Xét ánh xạ µ : M → [0, ∞] cho ∞ µ(A) = n=1 |ϕn |(A) = 2n + |ϕn |(X) ∞ an |ϕn |(A), A ∈ M n=1 Ta có µ(A) < ∞, ∀A ∈ M Nếu {Ak } ⊂ M, Ak ∩ Al = φ(k = l) ∞ A = Ak thì: k=1 ∞ ∞ ∞ an |ϕn |(A) = µ(A) = n=1 ∞ ∞ an |ϕn |(Ak ) n=1 k=1 ∞ an |ϕn |(Ak ) = = k=1 n=1 µ(Ak ) k=1 Vậy µ độ đo dương hữu hạn Dễ thấy ϕn µ nên tồn fn ∈ L(µ) cho fn dµ ∀n ∈ N∗ , ∀A ∈ M ϕn (A) = A Chú ý nếuf ∈ L(µ) ϕ(A) = f dµ, A ∈ M A X + = {x, f (x) 0}, X − = {x ∈ X : f (x) < 0} phân hoạch Hahn ϕ nên mệnh đề 3.3.1 ta có ϕ+− (A) = f +− dµ f dµ = A∩X +− |ϕ|(A) = A |f |dµ, A ∈ M A Ta có: ϕm − ϕn = |ϕm − ϕn |(X) = |fm − fn |dµ X 46 nên {fn } dãy Cauchy khơng gian Banach L(µ) nên hội tụ Gọi f0 ∈ L(µ) giới hạn {fn } L(µ) Xét độ đo ϕ0 ∈ M (X, µ) cho f0 dµ ϕ0 (A) = A Khi ϕn − ϕ0 = |fn − f0 |dµ → (khi n → ∞) nên lim ϕn = ϕ0 X M (X, µ) 3.3 Định lí phép tính tích phân Trước tiên ta cần xét hai lớp hàm quan trọng 3.3.1 Hàm có biến phân bị chặn Định nghĩa 3.3.1 Hàm f gọi có biến phân bị chặn (ký hiệu f ∈ BV ) [a, b] đại lượng sau hữu hạn n Vab f |f (ti ) − f (ti−1 )| := sup i=1 sup lấy tập phân hoạch [a, b] a = t0 < t1 < · · · < tn = b, n ∈ N Có thể thấy hàm đơn điệu có biến phân bị chặn Mệnh đề 3.3.2 Giả sử f ∈ BV [a, b] Thế thì: i) Hàm F (x) = Vax f (x ∈ [a, b]) có tính chất: F (y) − F (x) = Vxy f, (x < y) ii) f hiệu hai hàm không giảm [a, b] 47 Chứng minh i) Gọi {ti : i = 0, n} phân hoạch [a, x] {sj : j = 0, m} phân hoạch [x, y] n |f (ti ) − f (ti−1 )| V1 = i=1 m |f (sj ) − f (sj−1 )| V2 = j=1 {ti , sj } lập thành phân hoạch [a, y] Gọi V tổng ứng với phân hoạch ta có: V1 + V2 = V ⇒ V1 Vay f Vay f − V2 Lấy sup {ti : i = 0, n} ta F (x) Vay f − V2 ⇒ V2 Vay f − F (x) Lấy sup {sj : j = 0, m} ta Vxy f hay F (x) + Vxy f Vay f − F (x) F (y) Ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại Ta xét phân hoạch P [a, y] ứng với tổng V Thêm điểm x vào số điểm chia ta có phân hoạch P [a, y] ứng với tổng V Vì điểm chia P tạo thành phân hoạch [a, x] [x, y] nên ta có: V Từ ta có: F (y) V F (x) + Vxy f F (x) + Vxy f Vậy F (x) + Vxy f = F (y) ii) Ta có: f = g − h 1 Trong g = (F + f ); h = (F − f ) 2 48 Vxy f = F (y) − F (x), (x < y) Ta có: |f (y) − f (x)| Từ ta có: 1 (F (y) + f (y)) − (F (x) + f (x)) 2 = (F (y) − F (x) + f (y) − f (x)) (|f (y) − f (x)| + f (y) − f (x)) g(y) − g(x) = h(y) − h(x) 3.3.2 0; (y > x) (y > x) (tương tự) Hàm liên tục tuyệt đối Định nghĩa 3.3.3 Hàm f gọi liên tục tuyệt đối [a, b], ký hiệu f ∈ AC, ∀ε > 0, ∃δ > Sao cho bất đẳng thức: n |f (bi ) − f (ai )| < ε i=1 với họ {(ai , bi ) : i = 1, n} khoảng không giao có tổng độ dài nhỏ δ Mệnh đề 3.3.4 Mỗi hàm liên tục tuyệt đối hiệu hai hàm liên tục tuyệt đối, không giảm Chứng minh Ta chứng minh: i) f ∈ AC f ∈ BV ii) F (x) = Vax f (x ∈ [a, b]) hàm liên tục tuyệt đối Thật ta chứng minh ii) Do f ∈ AC nên ∀ε, ∃δ > cho họ {(ai , bi ) : i = 1, n} có khoảng không giao n n (bi − ) < δ ta có: i=1 |f (bi ) − f (ai )| < ε i=1 49 Nếu {tk : k = 0, m} phân hoạch [a1 , b1 ] ta có: n m |f (bi ) − f (ai )| < ε |f (tk ) − f (tk−1 )| + i=2 k=1 m (Do n (tk − tk−1 ) + n (bi − ) = i=2 k=1 (bi − ) < δ) i=1 Lấy sup theo {(tk )}, ta được: n |f (bi ) − f (ai )| F (b1 ) − F (a1 ) + ε i=2 n hay |F (b1 ) − F (a1 )| + |f (bi ) − f (ai )| ε i=2 Lặp lại lý luận cho [a2 , b2 ], , [an , bn ] ta có n |F (bi ) − F (ai )| ε i=1 Vậy F ∈ AC Tiếp theo ta chứng minh i) Với ε = 1, ta tìm δ > tương ứng với định nghĩa f ∈ AC Chia [a, b] thành m đoạn điểm {si : i = 0, m} cho si − si−1 < δ, i = 0, m Nếu {tj : j = 0, n} phân hoạch [a, b] với tổng tương ứng V V tổng tương ứng với phân hoạch {tj , si } ta có m V |f (tj ) − f (tj−1 )| < m V = i=1 [tj−1 ,tj ]⊂[si−1 ,si ] Vậy f ∈ BV x Mệnh đề 3.3.5 Nếu f ∈ L(R) F (x) = f dm F (x) = f (x) h.k.n −∞ theo độ đo m 50 Chứng minh f dm; ∀E ∈ B(R) Ta xét độ đo Borel có dấu ϕ(E) = E Do f ∈ L(R) nên ϕ(E) < +∞; ∀E ∈ B(R) Do ϕ độ đo có dấu, quy Dễ dàng ta thấy ϕ lý 3.3 Ta có: Dϕ(x) = f (x) m nên theo Định m − h.k.n (Ta coi Dϕ(x) = f (x) điểm) Do Dϕ(x) tồn nên với dãy {En } hội tụ tốt x, ta có: ϕ(En ) n−→∞ m(En ) Dϕ(x) = lim Xét tập En = (x, xn ) (trường hợp En = (xn , x) ta làm tương tự) xn → x Khi {En } hội tụ tốt x ta có: ϕ(En ) = m(En ) xn − x f dm = x,xn F (xn ) − F (x) xn − x Do F (xn ) − F (x) = f (x) n→∞ xn − x lim Vậy: F (x) = f (x) Định lý 3.3.6 (Định lí phép tính tích phân ) Nếu hàm f liên tục tuyệt đối [a, b] f khả vi h.k.n [a, b] hàm f khả tích [a, b] ta có: x f (x) − f (a) = f dm (a x b) (3.5) a Chứng minh Do hàm liên tục tuyệt đối viết thành hiệu hai hàm liên tục tuyệt đối khơng giảm nên ta xem f hàm liên tục tuyệt đối, không giảm 51 Ta kí hiệu F σ− đại số tập đo được, chứa [a, b].Trước tiên ta chứng minh E ⊂ [a, b] có độ đo khơng f (E) có độ đo Ta giả thiết E không chứa a, b (do m(E) = 0) Cho ε > cho trước, ta kí hiệu δ số tương ứng chọn theo định nghĩa hàm liên tục tuyệt đối Do tính quy độ đo m, tồn tập mở ∨ hội không đếm khoảng mở (ai , bi ) đôi không giao cho E ⊂ V, m(V ) < δ Ta có: m(f (V )) = m( f (ai , bi )) m(f (ai , bi )) i i Suy |f (bi ) − f (ai )| m(f (V )) ε i (do cách chọn δ) Vậy tập f (E) chứa tập có độ đo nhỏ tùy ý, nên tính đầy đủ độ đo m ta suy f (E) đo có độ đo Tiếp theo ta chứng minh E đo f (E) đo Thật vậy: E đo nên E = A ∪ B với A tập dạng Fσ , A = Un Fn , Fn đóng, B tập có độ đo 0: Ta có F (E) = f (A) ∪ f (B) f (A) tập dạng Fσ tính liên tục f , f (B) có độ đo chứng minh Vậy f (E) tập đo Ta chứng minh định lý cho trường hợp f hàm tăng chặt Ánh xạ ϕ : F → [0, +∞] E → ϕ(E) = m(f (E)) Là độ đo dương( tính σ− cộng ϕ suy từ giả thiết tăng chặt f ), liên tục tuyệt độ đo Lebesgue m m(E) = ⇒ m(f (E)) ⇒ ϕ(E) = 52 Gọi h ∈ L(a, b) hàm thỏa mãn: hdm (E ∈ F ) m(f (E)) = E Chọn E = (0, x) ta có: x hdm = f (x) − f (a) m(f [a, b]) = a Xem h = (−∞, 0) ∪ (b, ∞), ta có: x f (x) − f (a) = hdm −∞ Nên f (x) = h(x) Vậy x f (x)dm = f (x) − f (a) a 3.4 Phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian Lp (X, µ) Cho µ độ đo dương, giả sử ∞, q số mũ liên hợp p p Bất đẳng thức Holder g ∈ Lq (µ) φg định nghĩa: φg (f ) = f gdµ X φg ánh xạ tuyến tính bị chặn khơng gian Lp (µ), với chuẩn g q Một câu hỏi tự nhiên đặt có phải tất ánh xạ tuyến tính bị chặn khơng gian Lp (µ) biểu diễn trên, biểu diễn có phải hay không? Trường hợp p = ∞, người ta chứng minh L1 (m) không chứa tất hàm tuyến tính bị chặn L∞ (m) Trường hợp < p < ∞ câu trả lời khẳng định ta trình bày trường hợp X khơng gian độ đo σ− hữu hạn 53 p < ∞, µ độ đo σ− hữu hạn X, φ ánh Định lý 3.4.1 Giả sử xạ tuyến tính bị chặn Lp (µ) Khi tồn ánh xạ g ∈ Lq (µ), với q số mũ liên hợp p, cho: φ(f ) = f gdµ, f ∈ Lp (µ) (3.6) q (3.7) X Hơn ta có φ = g Chứng minh Sự nhất: giả sử g g thỏa (3.6) (g − g )f dµ = X khơng gian σ− hữu hạn nên Khi ta có X ∞ X= Xn , µ(Xn ) < +∞ n=1 Xn ∩ Xm = φ, n = m ∞ (g − g )f dµ = X (g − g )f dµ = Xn n=1 Chọn f hàm đặc trưng Xn , tức f (x) = nếux ∈ Xn f (x) = nếux ∈ / Xn (g − g )f dµ = Khi ta có: Xn ⇒ (g − g )dµ = X Suy g − g hầu khắp nơi Xn Tương tự ta chứng minh g = g hầu khắp nơi X Sự tồn tại: Từ (3.6) ta có: |φ(f )| = | f gdµ| X |f g|dµ X X = g q f p ⇒ φ g q 1 |g|q dµ) q |f |p dµ) p ( ( X (3.8) 54 Ta phải chứng minh g tồn (1) xảy dấu Nếu φ = ta có (3.6) (3.7) với g = Nếu φ > Ta xét trường hợp µ(X) < +∞ với tập đo E ∈ X, định nghĩa λE = φ(χE ) Vì φ tuyến tính χA∪B = χA + χB A ∩ B = Do λ có tính cộng hữu hạn ∞ Giả sử E = Ei ∩ Ej = Ei , (i = j) i=1 k Đặt Ak = Ei i=1 Ta có χE − χAk p = [µ(E − Ak ] p → 0(k → ∞) (3.9) Từ tính liên tục φ ta có λ(Ak ) → λ(E) Do µ(E) = λ(E) = Vì xE Do λ p =0 µ Định lí Radon-Nikodym khẳng định tồn g ∈ L1 (µ) cho với tập đo E ⊂ X ta có gdµ = φ(χE ) = E χE gdµ (3.10) X Nếu f hàm đơn giản ta có: φ(f ) = f gdµ X Nếu f ∈ L∞ (µ) tồn dãy hàm đơn giản đo (fn )n cho lim fn = f n→∞ Suy fn − f p → n → ∞ Suy φ(fn ) → φ(f ) n → ∞ Chúng ta kết thúc chứng minh việc chứng tỏ g ∈ Lq (µ) (3.7) Trường hợp 1: p = Từ (3.10) ta có: | gdm| φ χE E ⇒ g(x) φ hầu khắp nơi 55 = φ µ(E) ∀E ∈ M ⇒ g φ ∞ Trường hợp 2: < p < ∞ Khi tồn hàm đo α, α = cho αg = |g| Đặt En = {x : |g(x)| f = χEn |g|q−1 α n}, Khi |f |p = |g|q En , f ∈ L∞ (µ) từ ta có: |g|q dµ = f gdµ = φ(f ) En X En χEn |g|q dµ ⇒ |g|q ] p φ [ φ q (n = 1, 2, 3, ) (3.11) X Áp dụng Định lí hội tụ đơn điệu vào (3.11), ta có: g Do (3.7) tức φ = g q q φ và, g ∈ Lq (µ) Ta chứng minh trường hợp, f ∈ L∞ (µ) vì, L∞ (µ) trù mật Lp (µ) nên với mọi, f ∈ Lp (µ) Xét trường hợp µ(X) = +∞, µ độ đo σ− hữu hạn Tồn ω ∈ L1 (µ) cho dµ = ωdµ xác định độ đo hữu hạn M ánh xạ F → Ωp F (3.12) đẳng cự tuyến tính từ Lp (µ) lên Lp (µ) ω(x) > ∀x ∈ X Do Ψ(F ) = φ(ω p F ) (3.13) xác định hàm tuyến tính bị chặn Ψ Lp (µ), với Ψ = φ Theo chứng minh phần tồn G ∈ Lp (µ) cho F Gd(µ)(F ∈ Lp (µ) Ψ(F ) = X Đặt g = ω q G (nếu p = 1, g = G) |g|q dµ = Khi X |G|q dµ = Ψ q = φ X 56 q p > (3.14) Nếu p = 1, g φ(f ) = Ψ(ω −1 p ∞ = G ∞ ω f) = X = Ψ = φ Gdµ = ω p gdµ ta có: −1 p gf dµ f Gdµ = X 57 ∀f ∈ Lp (µ) KẾT LUẬN Khóa luận trình bày nội dung sau - Định nghĩa đại số tập hợp, σ− đại số tập hợp, hàm tập hợp, độ đo đại số tập hợp, độ đo ngoài, độ đo Lebesgue độ đo đủ Tích phân Lebesgue: định nghĩa tích phân hàm đơn giản, tích phân hàm khơng âm, tích phân hàm có dấu tính chất sơ cấp - Định nghĩa độ đo liên tục tuyệt đối, tính chất Phân tích LebesgueRadon-Nikodym - Trình bày cách cụ thể, chi tiết, chứng minh Định lý RadonNikodym với độ đo hữu hạn - Tìm hiểu số ứng dụng Định lí Radon-Nikodym đổi biến số tích phân, khơng gian độ đo có dấu, định lí phép tính tích phân (định nghĩa hàm có biến phân bị chặn, định nghĩa hàm liên tục tuyệt đối), Phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian Lp (X, µ) Hướng phát triển đề tài: Qua việc nghiên cứu, đề tài đặt hướng nghiên cứu tiếp theo, chẳng hạn nghiên cứu Luật số lớn, Định lý giới hạn trung tâm với ứng dụng quan trọng Lý thuyết xác suất thực tế Trong trình thực hồn thành khóa luận, có nhiều cố gắng song khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận bảo, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện 58 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Minh Thông (2007), Không gian tơpơ - Độ đo - Tích phân, Nxb GD [2] Hồng Tụy (2005), Hàm Thực Gỉai Tích Hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [3] G Folland (1999), Real Analysis John Wiley-sons, Ine, New - York [4] E Hewitt, K Stromberg (1965), Real and Abstract Analysis Springer Verlag, New - York [5] W Rudin (1987), Real and Complex Analysis Mc.Graw - Hill 59 ... 59 Mở đầu Lý chọn khóa luận Định lí Radon-Nikodym định lí trung tâm lí thuyết độ đo tích phân Nó tìm ứng dụng có ý nghĩa Giải tích thực, Giải tích hàm, Y học, Việc tìm hiểu ứng dụng Định lí Radon-Nikodym... vấn đề ứng dụng Định lí RadonNikodym, em chọn đề tài: Định lý Radom-Nikodym ứng dụng để làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận nhằm tìm hiểu hiệu vấn đề đặt Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu Định lí... luận Tiếp tục nghiên cứu sâu Định lý Radon-Nikodym số không gian tổng quát ứng dụng khác Những đóng góp khóa luận Khóa luận tổng hợp nghiên cứu Định lý Radon-Nikodym ứng dụng Cấu trúc khóa luận Với