ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÁI NGUYÊN KHOA TOÁN - - BÀI TIỂU LUẬN Chủ đề 3: TÌM HIỂU NỘI DUNG PHÉP QUAY TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG GVHD: TS Trần Việt Cường Học phần: Dạy học hình học Lớp: NO2 Nhóm SV thực hiện: Bùi Thúy Hiền Đoàn Thị Hoa Nguyễn Thị Liên Dương Lan Phương Nguyễn Thị Ngọc Tú Thái Nguyên, tháng 10, năm 2018 MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG I KIẾN THỨC VỀ PHÉP QUAY Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Định nghĩa Tính chất phép quay Biểu thức tọa độ phép quay II CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP QUAY TRONG TRƯỜNG PHỔ THÔNG Dạng 1: Xác định ảnh hình qua phép quay Dạng 2: Sử dụng phép quay để giải tốn dựng hình 12 Dạng 3: Sử dụng phép quay để giải toán tập hợp điểm 16 Dạng 4: Sử dụng phép quay để giải toán hình 19 KẾT LUẬN 22 Trang MỞ ĐẦU Hình học mơn khoa học suy diễn, đòi hỏi người đọc phải có tư khả tưởng tượng tốt Cách khoảng mười hai năm trước phép biến hình chưa có mơn tốn trường học phổ thơng Đến khoản năm 2000 phép biến hình đưa vào mơn tốn phổ thơng Trong chương trình dạy học tốn phổ thơng, phép biến hình, phép dời hình mặt phẳng thường lựa chọn để giải nhiều dạng toán khác Hiện nay, nội dung phép biến hình hình học phẳng hình khơng gian chiếm tỉ trọng khơng nhỏ nội dung mơn tốn nội dung phép biến hình mặt phẳng đưa vào chương trình Hình học 11 Bên cạnh đó, tài liệu tham khảo phép biến hình khơng nêu rõ phương pháp ứng dụng chúng để giải tốn Do đó, học sinh chưa hiểu rõ không vận dụng cách có hiệu Phép biến hình nói chung phép quay nói riêng có vai trò quan trọng nội mơn tốn tri thức khoa học Có vai trò cơng cụ giải tốn rường phổ thơng Nội dung phép quay có liên hệ mật thiết với nhiều dạng hoạt động tập trung vào hoạt động tốn học hoạt động trí tuệ cho học sinh Nếu giáo viên thiết kế tổ chức dạy học nội dung phép quay theo hướng tăng cường hoạt động học tập học sinh chất lượng dạy học nội dung phép quay nâng lên có nhiều hội để bồi dưỡng lực trí tuệ cho học sinh Việc ứng dụng phép quay vào việc giải toán trường phổ thơng có ý nghĩa quan trọng: • Nó giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, thao tác tư duy, phương pháp suy luận khả sáng tạo, từ liên hệ phép biến hình giải tốn hình học với phương pháp sử dụng cấp trung học phổ thơng Trang • Việc lựa chọn cơng cụ thích hợp cho loại toán việc làm cần thiết, giúp tiết kiệm thời gian cơng sức để giải tốn cách tối ưu Đồng thời, giúp cho giáo viên tự nâng cao trình độ chun mơn Bài tiểu luận nhóm chúng em tập trung nghiên cứu sâu nội dung, toán ứng dụng phép quay vào việc giải tốn hình học cấp trung học phổ thơng Trang NỘI DUNG I Kiến thức phép quay trường phổ thơng Định nghĩa Cho điểm 𝑂 góc lượng giác α Phép biến hình biến 𝑂 nó, biến điểm M khác 𝑂 thành điểm 𝑀’ cho 𝑂𝑀′ = 𝑂𝑀 góc lượng giác (𝑂𝑀; 𝑂𝑀′ ) 𝛼 gọi phép quay tâm O góc 𝛼 Phép quay tâm 𝑂 góc 𝛼 thường kí hiệu 𝑄(𝑂,𝛼) Điểm 𝑂 gọi tâm quay, 𝛼 gọi góc quay 𝑂𝑀′ = 𝑂𝑀 𝑄(𝑂,𝛼) (𝑀) = 𝑀′  { (𝑂𝑀, 𝑂𝑀′ ) = 𝛼 * Nhận xét:  Phép quay hoàn toàn xác định biết tâm quay (điểm cố định) góc quay (góc khơng đổi)  Chiều dương phép quay trùng với chiều dương đường tròn lượng giác  Phép quay tâm 𝑂 góc quay 𝛼 = (2𝑘 + 1)𝜋 với 𝑘 nguyên, phép đối xứng tâm 𝑂  Phép quay tâm 𝑂 góc quay 𝛼 = 2𝑘𝜋 với 𝑘 nguyên, phép đồng Tính chất phép quay  Định lí: Phép quay bảo toàn khoảng cách hai điểm (Phép quay phép dời hình)  Hệ quả: + Biến đường thẳng thành đường thẳng; + Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng cho; Trang + Biến tam giác thành tam giác tam giác cho; + Biến đường thành đường tròn có bán kính  Chú ý: Giả sử phép quay tâm I góc 𝛼 biến đường thẳng 𝑑 thành đường thẳng 𝑑′ Khi - Nếu < 𝛼 ≤ - Nếu 𝜋 𝜋 góc 𝑑 𝑑′ 𝛼; < 𝛼 < 𝜋 góc 𝑑 𝑑 ′ 𝜋 − 𝛼 Biểu thức tọa độ phép quay  Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, cho điểm 𝑀(𝑥; 𝑦) góc lương giác 𝜑: - Đặt 𝑂𝑀 = 𝑟 góc lượng giác (𝑂𝑥; 𝑂𝑀) = 𝛼 𝑥 = 𝑟 cos 𝛼 Khi tọa độ điểm 𝑀(𝑥; 𝑦): { 𝑦 = 𝑟 sin 𝛼 - Giả sử 𝑀′ (𝑥 ′ ; 𝑦 ′ ) = 𝑄(𝑂;𝜑) (𝑀) { 𝑂𝑀′ = 𝑟 (𝑂𝑥, 𝑂𝑀′ ) = 𝛼 + 𝜑 𝑥′ = 𝑟 cos(𝛼 + 𝜑) Khi tọa độ điểm 𝑀′(𝑥′; 𝑦′): { 𝑦′ = 𝑟 sin(𝛼 + 𝜑) 𝑥 ′ = 𝑟(cos 𝛼 cos 𝜑 − sin 𝛼 sin 𝜑) = 𝑥 cos 𝜑 − 𝑦 sin 𝜑 𝑦 ′ = 𝑟(sin 𝛼 cos 𝜑 + cos 𝛼 sin 𝜑) = 𝑥 sin 𝜑 + 𝑦 cos 𝜑 { Vậy mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, phép quay tâm 𝑂(0; 0) góc quay 𝜑 biến điểm 𝑀(𝑥; 𝑦) thành điểm 𝑀′(𝑥 ′ ; 𝑦 ′ ) có biểu thức tọa độ là: 𝑥 ′ = 𝑥 cos 𝜑 − 𝑦 sin 𝜑 𝑦 ′ = 𝑥 sin 𝜑 + 𝑦 cos 𝜑 Trang  Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, phép quay tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) góc quay 𝜑 biến điểm 𝑀(𝑥; 𝑦) thành điểm 𝑀′(𝑥 ′ ; 𝑦 ′ ) có biểu thức tọa độ là: 𝑥 ′ = 𝑎 + (𝑥 − 𝑎) cos 𝜑 − (𝑦 − 𝑏) sin 𝜑 𝑦 ′ = 𝑏 + (𝑥 − 𝑎) sin 𝜑 + (𝑦 − 𝑏) cos 𝜑  Các trường hợp đặc biệt phép quay tâm O góc quay 𝜑: Góc quay 𝝋 Tọa độ điểm 𝑴′(𝒙′ ; 𝒚′ ) Ghi 90  x '  x cos90  y sin 90 x '   y    y '  x sin 90  y sin 90 y'  x OM '  OM 90  x '  x cos(90)  y sin(90) x '  y    y '  x sin( 90)  y sin( 90)  y '  x OM '  OM 0  x '  x cos 0  y sin 0 x '  x    y '  x sin 0  y sin 0 y'  y Phép đồng 180  x '  x cos180  y sin180 x '  x    y '  x sin180  y sin180 y'  y Phép đối xứng tâm O - 180  x '  x cos(180)  y sin(180) x '  x    y '  x sin(180)  y sin(180) y'  y Phép đối xứng tâm O Trang II Các dạng toán phép quay trường phổ thông Dạng 1: Xác định ảnh hình qua phép quay a Phương pháp Sử dụng định nghĩa, biểu thức tọa độ tính chất phép quay b Bài tập vận dụng Bài toán 1: Cho hình vng ABCD tâm O Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 900 Lời giải Ta có: OD = OC góc(OC,OD) = 90o OC = OB góc(OB,OC) = 90o Khi phép quay 𝑄(𝑂,90°) biến điểm C thành điểm D, biến điểm B thành điểm C Vậy ảnh đường thẳng BC qua phép quay 𝑄(𝑂,90°) đường thẳng CD Bài tập 2: Cho hình vng 𝐴𝐵𝐶𝐷 tâm 𝑂 𝑀 trung điểm 𝐴𝐵, 𝑁 trung điểm 𝑂𝐴 Tìm ảnh tam giác 𝐴𝑀𝑁 qua phép quay tâm 𝑂 góc quay 90° Lời giải: Phép quay tâm O góc quay 90o biến A thành D , biến M thành M ' trung điểm AD , biến N thành N ' trung điểm OD Do biến tam giác AMN thành tam giác DM ' N ' Trang Bài tập 3: Tìm ảnh điểm 𝐴(3; −2) qua phép quay tâm 𝑂 gốc tọa độ, góc quay Lời giải Gọi 𝐴′(𝑥 ′ ; 𝑦 ′ ) ảnh điểm A qua phép quay 𝑄(𝑂;𝜋) Khi ta có: x ' x cos y sin x ' cos y ' x sin y cos y ' sin x ' 2 y ' 2 Vậy 𝐴′ có tọa độ 2 x' 2 y' ; 2 4 ( 2) sin ( 2) cos 4 2 2 Bài tập Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2𝑥 − 3𝑦 + = Viết phương trình đường thẳng 𝑑′ ảnh đường thẳng 𝑑 qua phép quay tâm O góc quay 90o Phương pháp: Dựa vào biểu thức tọa độ phép quay Lấy điểm thuộc đường thẳng 𝑑 , tìm ảnh điểm qua phép quay viết phương trình đưởng thẳng qua điểm Lời giải  Cách 1: Trang - Gọi 𝑀(𝑥; 𝑦) điểm thuộc đường thẳng 𝑑 𝑀′(𝑥 ′ ; 𝑦 ′ ) ảnh điểm 𝑀 qua phép quay tâm 𝑂 góc quay−90° Khi 𝑀′ thuộc đường thẳng 𝑑′ Theo biểu thức tọa độ phép quay tâm O góc quay −90° ta có: x' x cos y sin x' x cos( 90o ) y sin( 90o ) y' x sin y cos y' x sin( 90o ) y cos( 90o ) x' y y' x x y' y x' Thay 𝑥 = −𝑦 𝑦 = 𝑥 vào phương trình đường thẳng 𝑑 ta được: 2( y ') x ' 3x ' y ' Vậy phương trình đường thẳng 𝑑′ : 3x 2y  Cách 2: - Bước 1: Lấy điểm 𝑀 𝑁 thuộc đường thẳng 𝑑 có tọa độ 𝑀(0; 2) 𝑁(−3; 0) - Bước 2: Tìm ảnh hai điểm 𝑀 𝑁 qua phép quay tâm 𝑂 góc quay −90° Giả sử 𝑀′(𝑥1 ; 𝑦1 ) 𝑁′(𝑥2 ; 𝑦2 ) Tọa độ điểm 𝑀′ : x1 cos( 90o ) sin( 90o ) x1 y1 sin( 90o ) y1 cos( 90o ) Vậy tọa độ 𝑀′ (2; 0) Tượng tự ta có 𝑁′ có tọa độ (0; 3) - Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d ' qua hai điểm M ' N ' ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2; 3) Ta có vecto 𝑀′𝑁′ Vecto pháp tuyến đường thẳng 𝑑′ 𝑛⃗ = (3; 2) Trang 10 Đường thẳng 𝑑 có phương trình : 3(𝑥 − 2) + 2(𝑦 − 0) = 3𝑥 + 2𝑦 − 6=0 Vậy phương trình đường thẳng 𝑑′ 3𝑥 + 2𝑦 − = Bài tập 5: Cho 𝐼(2; 1) đường thẳng 𝑑: 2𝑥 + 3𝑦 + = Tìm ảnh 𝑑 qua 𝑄(𝐼;45°) Lời giải Lấy hai điểm 𝑀(−2; 0) 𝑁(1; −2) thuộc 𝑑 Gọi 𝑀′(𝑥1 ; 𝑦1 ) 𝑁′(𝑥2 ; 𝑦2 ) ảnh 𝑀, 𝑁 qua phép quay 𝑄(𝐼;45°) Theo biểu thức tọa độ phép quay ta có: o x1 ( 2) cos 45 y2 ( 2)sin 45o ;1 Vậy M '(2 M 'N ' (0 1)sin 45 o (0 1) cos 45o x1 y1 ) Tượng tự ta có N '(2 2 2 2;1 2) Suy 2 ; 2 Gọi 𝑑 ′ = 𝑄(𝐼;45°) (𝑑) 𝑑′ có vecto phương 𝑢 ⃗ = (5; 1) Do đo ta có vecto pháp tuyến 𝑛⃗ = (−1; 5) Khi đường thẳng 𝑑′ có phương trình : x 2 y 2 x 5y 10 Vậy ảnh đường thẳng d d ' : x y 10 3 0 Trang 11 Dạng 2: Sử dụng phép quay để giải tốn dựng hình a Phương pháp Để dựng điểm M ta tìm cách xác định ảnh điểm biết qua phép quay, xem M giao đường cố định với ảnh đường biết qua phép quay b Bài tập vận dụng Bài toán 1: Cho điểm 𝐴 hai đường thẳng 𝑑1 ; 𝑑2 Dựng tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông cân 𝐴 cho 𝐵 ∈ 𝑑1 , 𝐶 ∈ 𝑑2 Lời giải: Phân tích: Giả sử dựng tam giác 𝐴𝐵𝐶 thỏa mãn yêu cầu tốn ̂ Ta giả sử: (𝐴𝐵, 𝐴𝐶) = 90° Khi Q (A;− 900) (𝐶) = 𝐵, mà 𝐶 ∈ 𝑑2 nên 𝐵 ∈ 𝑑2′ với d′2 = Q (A;− 900) (𝑑2 ) Ta lại có B ∈ d1 nên B= d1∩ d′2 Dựng hình: - Dựng đường thẳng d′2 ảnh d2 qua Q (A;− 900) - Dựng giao điểm B= d1∩ d′2 - Dựng đường thẳng qua A vng góc với AB cắt d2 C Suy tam giác ABC tam giác cần dựng Chứng minh: Trang 12 ̂ = 900 Do tam Từ cách dựng suy Q (A; 900 ) (𝐵) = 𝐶 nên 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 𝐵𝐴𝐶 giác ABC vuông cân A Biện luận: - Nếu d1,d2 khơng vng góc có nghiệm hình - Nếu d1⏊d2 A nằm đường phân giác góc tạo d1,d2 có vơ số nghiệm hình - Nếu d1⏊d2 A không nằm đường phân giác góc tạo d1, d2 tốn vơ nghiệm hình Bài tốn 2: Cho tam giác ABC có (𝐴𝐵,̂ 𝐴𝐶) = 𝛼 ( 00< 𝛼< 900) điểm M nằm cạnh AB Dựng đường thẳng CB, CA điểm N,P cho 𝑀𝑁 = 𝑀𝑃 đường tròn (𝐴𝑀𝑃) tiếp xúc với MN Lời giải: Phân tích: Giả sử dựng điểm 𝑁, 𝑃 cho 𝑁 ∈ 𝐵𝐶, 𝑃 ∈ 𝐴𝐶 cho 𝑀𝑁 = 𝑀𝑃 đường tròn ( 𝐴𝑀𝑃) tiếp xúc với 𝑀𝑁 Khi MN tiếp xúc với ̂ = 𝐴̂ = 𝛼 Từ ta có đường tròn (𝐴𝑀𝑃) nên 𝑃𝑀𝑁 (MP,̂ MN) =− α Ta lại có 𝑀𝑃 = 𝑀𝑁 nên 𝑄(𝑀; −𝛼) (𝑃) = 𝑁 Giả sử: 𝑂 = 𝑄(𝑀; −𝛼) (𝐴) 𝐼 = 𝑂𝑁 ∩ 𝐴𝐶 ̂ = (ON,̂ ̂ = BAC ̂ suy Theo tính chất phép quay ta có: NIC AP) = α Do NIC 𝐼𝑁//𝐴𝐵 Dựng hình: - Dựng điểm : 𝑂 = 𝑄(𝑀; −𝛼) (𝐴) Trang 13 - Dựng đường thẳng qua O song song với AB cắt BC N ̂ = α - Dựng tia MP cắt AC P cho NMP Như điểm N,P điểm cần dựng Chứng minh: ̂ =MON ̂ = α Suy PMN ̂ = α Khi đường tròn ̂ = MAP Vì 𝑂𝑁//𝐴𝐵 nên AMO (AMN) tiếp xúc với MN Ta có 𝑄(𝑀; −𝛼) : 𝑀𝑃 → 𝑀𝑁 nên 𝑀𝑃 = 𝑀𝑁 Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình Bài tập Cho hai đường thẳng song song a b Với điểm C không nằm hai đường thẳng đó, tìm a,b hai điểm A, B cho ABC tam giác đểu Lời giải Giả sử ta dựng tam giác ABC thỏa mãn điều kiện toán + Với phép quay 𝑄(𝐶;𝜋) ta có điểm A biến thành điểm B, đường thẳng 𝑎 biến thành đường thẳng 𝑎′ qua B Từ ta suy dựng sau đây: Trang 14 - Dựng đường thẳng 𝑎′ ảnh 𝑎 qua phép quay 𝑄(𝐶;𝜋) cách kẻ 𝐶𝐻 ⊥ 𝑎 H, tìm ảnh 𝐻′ 𝐻 qua phép quay rỗi vẽ 𝑎′ ⊥ 𝐶𝐻′ 𝐻′ - Gọi B giao điểm 𝑎′ với 𝑏 lấy điểm A tạo ảnh B phép quay nới ta có A nằm a Ta chứng minh 𝐴𝐵𝐶 tam giác cần dựng + Với phép quay 𝑄(𝐶;−𝜋) ta có thêm vị trí tam giác ABC cần dựng Hai tam giác đối xứng với qua trục CH Chú ý: Nếu hai đường thẳng a,b cho trước cắt điểm C khơng nằm hai đường thẳng đó, ta có tốn tương tự tốn (Có thể xảy trường hợp đường thẳng 𝑎′ khơng cắt 𝑏 (𝑎′ ∥ 𝑏), tốn khơng có lời giải.) ̂ = 𝛼 điểm m thuộc miền Bài tập Cho góc nhọn định hướng 𝑦𝑂𝑥 góc Hãy dững đường tròn tâm M cắ cạnh Ox, Oy theo dây AB CD cho 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝑚 cho trước Lời giải ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ Phân tích: Gọi 𝛼 = (𝑂𝑦 𝑂𝑥 ) Giả sử ta dựng đường tròn tâm M cắt Ox Oy thao dây AB CD thỏa mãn điều kiện 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝑚 Ta quay dây CD phép quay tâm M với góc quay 𝛼 ta có vị trí CD 𝐶′𝐷′ ∥ 𝐴𝐵 Do đoạn thẳng nối trung điểm đoạn 𝐴𝐶′ đoạn 𝐵𝐷′ 𝑃𝑄 = 𝑚 𝐴𝐵+𝐶𝐷 = Đường thẳng 𝑃𝑄 cắt đường trung trực đoạn 𝐴𝐵 𝐶’𝐷’ 𝐻′𝐼 R trung điểm đoạn 𝑃𝑄 Ta có 𝑅𝑃 = 𝑅𝑄 = 𝑃𝑄 𝑚 = Trang 15 Dựng hình: - Quay cạnh Oy góc 𝛼 với phép quay tâm M góc quay 𝛼, đườngt song song với 𝑂𝑥 - Vẽ qua M đường thẳng vng góc với Ox H dường thằng song song với Ox - Từ trung điểm R đoạn 𝐻𝐼′ ta vẽ đường thẳng song song với 𝑂𝑥 𝑚 đường thẳng hai phía R ta lấy 𝑅𝑃 = 𝑅𝑄 = Từ Q vẽ đường vuông góc với MQ Q, đường cắt Ox B - Vẽ đường tròn bán kính MB tâm M ta đường tròn cần dựng thỏa mãn yêu cầu toán Dạng 3: Sử dụng phép quay để giải toán tập hợp điểm (Bài tốn quỹ tích) a Phương pháp Xem cần điểm cần dựng giao đường thẳng có sẵn ảnh đường khác qua phép quay Q (I; α) Để tìm tập hợp điểm M ′ ta tìm tập hợp điểm M mà Q (I; α) biến điểm M thành điểm M ′ , 𝑀 ∈ (𝐻) 𝑀′ ∈ (𝐻′ ) = 𝑄(𝐼; 𝛼) (𝐻) Trang 16 b Bài tập vận dụng Bài toán 1: Cho đường thẳng 𝑑 điểm 𝐺 không nằm 𝑑 Với điểm 𝐴 nằm 𝑑 ta dựng tam giác 𝐴𝐵𝐶 có tâm 𝐺 Tìm quỹ tích điểm 𝐵, 𝐶 𝐴 di động 𝑑 Lời giải: Do tam giác 𝐴𝐵𝐶 có tâm 𝐺 nên phép quay tâm 𝐺 góc quay 1200 biến 𝐴 thành 𝐵 C phép quay tâm 𝐺 góc quay 2400 biến 𝐴 thành 𝐵 𝐶 Mà 𝐴 ∈ 𝑑 nên 𝐵, 𝐶 thuộc đường thẳng ảnh d hai phép quay nói Vậy quỹ tích điểm B,C đường thẳng ảnh d hai phép quay tâm G góc quay 1200 2400 Bài toán 2: Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 Tìm tập hợp điểm 𝑀 nằm tam giác 𝐴𝐵𝐶 cho 𝑀𝐴2 + 𝑀𝐵2 = 𝑀𝐶 Lời giải: +) Xét phép quay Q (B; −600) A biến thành C, giả sử điểm M biến thành M ′ Khi 𝑀𝐴 = 𝑀′ 𝐶; 𝑀𝐵 = 𝑀 𝑀′nên 𝑀𝐴2 + 𝑀𝐵2 = 𝑀𝐶 𝑀′ 𝐶 + 𝑀𝑀 ′2 = 𝑀𝐶 ′ C = 150° ̂ tam giác 𝑀’𝑀𝐶 vng 𝑀’ suy BM Lại có 𝐴𝑀 = 𝐶𝑀’; 𝐵𝑀 = 𝐵𝑀’ 𝑣à 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 Suy 𝛥𝐴𝑀𝐵 = 𝛥𝐶𝑀’𝐵 (𝑐 − 𝑐 − 𝑐) ′ 𝐵 = 150° ̂ = 𝐶𝑀 ̂ Do 𝐴𝑀𝐵 Trang 17 Vậy M thuộc cung chứa góc 1500 với dây cung AB nằm tam giác ABC ̂ = 1500 +) Đảo lại lấy điểm M thuộc cung 𝐴𝐵 tam giác ABC, gọi M ′ = Q (B; −600 ) (M) ′ B nên CM ′ B= 1500 ̂ → CM ̂ ̂ Do Q (B; −600 ) : AMB ′ M= 600 ̂ Mặt khác tam giác BMM’ nên BM ′ M= 1500 -600 =900 Δ M’MC vuông ̂ => CM M ′  M ′ B + M ′ C = MC Mà 𝑀𝐴 = 𝑀′ 𝐶 ; 𝑀𝐵 = 𝑀𝑀′ => MA2 + MB = MC Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn yêu cầu toán cung AB= 1500 tam giác ABC nhận AB làm dây cung Bài tập Cho điểm M chuyển động đường tròn tâm O bán kính 𝐴𝐵 = 2𝑅 Dựng ngồi tam giác 𝐴𝑀𝐵 hình vng 𝑀𝐵𝐶𝐷 Hãy tìm quỹ tính đỉnh C M vạch nửa đường tròn Trên tia 𝐵𝑥 vng góc với AB B nằm phía với nửa đường tròn, ta lấy điểm 𝑂′ cho 𝐵𝑂′ = 𝐵𝑂 Chứng minh 𝑂𝑀 ⊥ 𝑂′𝐶 Lời giải 𝜋 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ Theo giải thiết ta có 𝐵𝑀 = 𝐵𝐶 (𝐵𝑀 𝐵𝐶 ) = − + 2𝑘𝜋 𝜋 Với phép quay tâm B góc quay 𝛼 = − ta có C ảnh M Do diểm M vạch nửa đường tròn đường kính 𝐴′𝐵 với 𝐴′ ảnh A phép quay 𝑄(𝐵;−𝜋) nói Ta chứng minh quỹ tích cần tìm Trang 18 Nửa đường tròn ảnh nửa đường tròn đường kính AB cho qua phép quay 𝑄(𝐵;−𝜋) Qua phép quay 𝑄(𝐵;−𝜋) điểm M biến thành điểm C, điểm O biến 2 thành 𝑂′ nên ta suy 𝑂𝑀 ⊥ 𝑂′𝐶′ Dạng 4: Sử dụng phép quay để giải tốn hình a Phương pháp Chọn tâm quay góc quay thích hợp sử dụng tính chất phép quay b Bài tập vận dụng Bài tập 1: Cho điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, điểm 𝐵 nằm hai điểm 𝐴 𝐶 Dựng phía đường thẳng AC tam giác 𝐴𝐵𝐸 𝐵𝐶𝐹 a) Chứng minh 𝐴𝐹 = 𝐴𝐶 góc hai đường thẳng 𝐴𝐹 𝐸𝐶 60° b) Gọi 𝑀 𝑁 trung điểm 𝐴𝐹 𝐸𝐶, chứng minh tam giác 𝐵𝑀𝑁 Lời giải a) Gọi 𝑄(𝐵;60°) phép quay tâm 𝐵 góc quay 60° 𝑄(𝐵;60°) biến điểm 𝐸, 𝐶 thành điểm 𝐴, 𝐹 nên biến đoạn thẳng 𝐸𝐶 thành đoạn thẳng 𝐴𝐹 Do dó 𝐴𝐹 = 𝐸𝐶 góc hai đường thẳng 𝐴𝐹 𝐸𝐶 60° Trang 19 b) Phép quay 𝑄(𝐵;60°) biến trung điểm 𝑁 𝐸𝐶 thành trung điểm 𝑀 ̂ 𝐴𝐹 nên 𝐵𝑁 = 𝐵𝑀 (𝐵𝑁, 𝐵𝑀) = 60° Bài tập 2: Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 Dựng phía ngồi tam giác hình vng 𝐵𝐶𝐼𝐽, 𝐴𝐶𝑀𝑁, 𝐴𝐵𝐸𝐹 gọi 𝑂, 𝑃, 𝑄 tâm đối xứng chúng a) Gọi D trung điểm AB Chứng minh DOP tam giác vuoog cân đỉnh D b) Chứng minh AO vng góc với PQ 𝐴𝑂 = 𝑃𝑄 Lời giải a) Phép quay tâm C góc 90° biến MB thành AI Do MB vng góc với AI DP song song nửa BM, DO song song nửa AI Từ suy DP vng góc với DO Trang 20 b) Từ câu a) suy phép quay tâm D, góc 90ο biến O thành P, biến A thành Q Do OA vng góc với PQ Bài tập Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC ta dựng phía ngồi hình vng ABMN ACPQ a) Chứng minh 𝑁𝐶 ⊥ 𝐵𝑄 𝑁𝐶 = 𝐵𝑄 b) Gọi 𝑀′ trung điểm 𝐵𝐶, chứng minh 𝐴𝑀′ ⊥ 𝑄𝑁 𝐴𝑀′ = 𝐵𝑄 Lời giải a) Với phép quay 𝑄(𝐴;𝜋) ta biến điểm N thành điểm B, điểm C thành điểm Q Do đường thẳng NC biến thành đường thẳng BQ Gọi 𝐵1 điểm đối xứng với B qua tâm A ta có 𝐴𝑀′ ∥ 𝐵1 𝐶 (Do 𝐴𝑀′ đường trung bình tam giác 𝐵𝐶𝐵1 ) Qua phép quay 𝑄(𝐴;𝜋) biến điểm C thành điểm Q điểm 𝐵1 thành điểm N Do đường thẳng 𝐶𝐵1 ⊥ 𝑄𝑁 𝐴𝑀′ ⊥ 𝑄𝑁 Vì 𝑁𝐶 = 𝐶𝐵1 mà 𝑁𝐶 = 𝐵𝑄 nên 𝐶𝐵1 = 𝐵𝑄 Vì 𝐴𝑀′ = 𝐶𝐵1 nên 𝐴𝑀′ = 𝐵𝑄 Trang 21 KẾT LUẬN Qua tiểu luận nhóm thu số kết sau: - Biết cách xác định hình qua phép quay dựa vào định nghĩa, tính chất biểu thức tọa độ phép quay - Sử dụng phép quay để giải tốn dựng hình, tốn quỹ tích, giải tốn hình học Phép quay phép biến hình vận dụng linh hoạt việc giải tốn dựng hình, tốn chứng minh, tốn quỹ tích,…Tuy nhiên việc vận dụng phép quay vào giải tốn khơng phải điều dễ dàng, nhóm đưa số phương pháp giúp học sinh vận dụng phép quay tốt việc giải tốn qua thấy ứng dụng phép quay mơn tốn thực tiễn… Bài tiểu luận nhiều thiếu sót mong thầy bạn có thêm ý kiến đóng góp bổ sung để tiểu luận nhóm hồn thiện Trang 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Hình học 11, NXB Giáo dục 2014 [2] Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Bài tập Hình học 11, NXB Giáo dục 2014 [3] Nguyễn Mông Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục 2004 [4] https://hoc360.net/phep-quay-chuyen-de-hinh-hoc-11/ Trang 23 ... lượng giác  Phép quay tâm