CHUN ĐỀ: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ A PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Bài tốn mở đầu: Giải phương trình: 1 x  x2  x  1 x  1 Đ/k: �x �1 Cách 1: � � 1 x  x2  x  1 x � � 1 x  x2 � � �     x  1 x   � x  x2  x  x2  � x  x2 x  x2   � x  x2  � x �� �� � x1 x  x2  � � � Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình cho x  0, x  Cách 2: Đặt t  x  1 x 1�t � � x  x2  t2  Phương trình trở thành: � t t2  1  t� � � t  2 kho� ng tho� a ma� n � � x1 x  1 x  1� � x � Cách 3: Đặt a  x; b  1 x; a �0, b �0 Ta có: � � 3 2ab  3 a  b 1 ab  a  b � � � � � 2 a  b  2ab  � �   a  b 1 � � � � a b  � � a � � � � ab  � � b � x � �� �� �� � a b  � x1 � � a1 � � � kho� n g to� n ta� i a , b   � � � b � ab  � � � � � � Trang Cách 4: Đặt  x  sin ,0 � � Phương trình trở thành: 2 1 sin 1 sin2   sin  1 sin2  �  sin  cos   3 sin  cos    �  0 � sin  cos  � x � �� � ��  � sin  cos  2 kho� ng to� n ta� i  x1  � � � Qua ví dụ ta thấy có nhiều cách để giải pt vô tỷ Sau vào số pp cụ thể 1.Phương pháp 1:Biến đổi tương đương Bài tốn: Giải phương trình sau x2  5x  x3  2x   x  Đk: x3  2x  1�0; x2  5x  x3  2x  �0; � �x  1�0 x2  5x  x3  2x   x  � � 2 x  x  x  x   x    � � �x �1 � � � �1 �x �1 �1�x � �۳�� � 3 � x � �x  0; x  1; x  � x  2x   1 3x �3 � �x3  2x  1  1 3x � x (TM�K) 2.Phương pháp2:Đặt ẩn số phụ   3 3 Bài toán: Giải phương trình: x 35 x x  35 x  30 Đặt t  x  35 x3 � x3 35 x3  t3  35 3t Phương trình cho trở thành � � x3  x t3  35 t  30 � t3  125 � t  � x3 35 x3  � x3 35 x3  216 � �3 �� 3t x x  27 � �   Phương pháp 3:Phương pháp làm xuất biểu thức liên hợp Bài tốn: Giải phương trình:  x  1 x    x2  x    Đk: x �1 Trang  x  1 x       x2  x    � �  x  2   x  1 � � � x  x     x  1 x  � x2  x   1�0 � � x  x   1  x   x  � � 2 � x  x     x  1 x  � �x  x  �1 � � �x  x  �1 � �2 � �� � x  (TM�K) x �x  x   �� x  1 ��     Phương pháp 4: Đưa phương trình tích Bài tốn: Giải phương trình: x   2x x   2x  x2  4x  Đk: x �1 x   2x x   2x  x2  4x  � x         x  1  x 3   2x  2x  � x  1 x   2x 1 x   � 1 x  � � 1 x   x �� �� (TM�K ) x1 � � x   2x  � Phương pháp 5:Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình Bài tốn: Giải phương trình: 2x   2x   Đk: x �4 Đặt a  2x  �0; b  2x  �3 17 � b  1 � � a b  a  b � � �2 �  b  5  b  17 � � b  2 Ta có: �2 a  b  17 � a  b  17 � � b � Với b  1� 2x   1� x  b  2 � 2x   2 � x  73 b  � 2x   � x  73 Vậy nghiệm pt x  4, x  , x  2 Phương pháp 6: Phương pháp đánh giá: Trang  x   2x   x   Bài tốn: Giải phương trình: 1 2012x  1 2012x  x   Đk:  x 1 �x � 2012 2012 x  1 Ta có: x �2 Dấu = xảy x = Ta có:   1 2012x  1 2012x �2 1 2012x  1 2012x  � 1 2012x  1 2012x �2 Dấu = xảy x = Vậy x = nghiệm pt Phương pháp 7: Phương pháp hàm số Bài toán: Giải phương trình: x    x2  2x  17 Đk: x �1 Dễ thấy Hàm số f  x  x  đồng biến  1;� Hàm số g x   x  2x  17 nghịch biến  1;� Suy pt cho có nghiệm nghiệm Ta có: f  5  g 5 Vậy x = nghiệm Trang Phương pháp 8: Phương pháp lượng giác hóa Bài tốn: Giải phương trình: 1 1 x2  2x2 Đk: 1�x �1 Đặt x  cos ,0 � � Phương trình trở thành � sin  1 loa� i � 1 1 cos   2cos  � 1 sin  2cos  � � sin  � � �   � � � � x � 5 �   � � 2 Phương pháp 9: Phương pháp vectơ Bài tốn:Giải phương trình: x2  4x   x2  10x  50  r r Chọn a   x  2;1 ; b   x  5;5 r a r b  x  2   x2  4x   x  5  52  x2  10x  50 Suy ra: r r a  b  x2  4x   x2  10x  50 r r r r a  b   3; 4 � a  b  r r r r r r r r a  b � a  b a  x  2;1 ; b  x  ;5 � a  kb Ta có: , dấu xảy     hướng  k  0 � �x   k x  5 k � � � � �� 1 5k �� � �x  k � � Vậy x  B CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG HAY SỬ DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Trang I BỘ SỐ: ( x  y)2 x  y x y � � ("  " � x  y ) (Với x, y) x  xy  y � ( x  y )2 2 x  xy  y � (x  y)2 ("  " � x  y ) 1  2� y ( x  y)2 x ("  " � x  y ) 1 1 � (  ) x  y x y ("  " � x  y ) 1 (x  y)(  ) �4 x y ("  " � x  y ) x  y �xy ( x  y ) x  y �xy ( x  y ) x  y �x y ( x  y ) ("  " � x  y ) x y � xy (x, y �1,"  " � x  y  1) ab ab � a  b ("  " � a  b  c) Hằng đẳng thức Lagrange: (a  b )(c  d )  (ac  bd )  ( ad  bc )2 II BỘ SỐ: Trang a  b  c �ab  bc  ca � a  b  c 2 2 2  a  b  c � �ab  bc  ca ("  " � a  b  c ) a  b  c  �2( a  b  c) ("  " � a  b  c) a  b3  c �ab  bc  ca a  b3  c �3abc a  b3  c  3abc �(a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ca ) a  b  c �abc(a  b  c) a 2b  b c  c a �abc(a  b  c) ("  " � a  b  c) 1 a b c   �   a b c bc ac ab bc ac ab abc �   a b c 2 a b c a b c2   �   (a, b, c  0) b c a b c a ("  " � a  b  c) (ab  bc  ca)( a  b  c) �9abc ("  " � a  b  c) (a  b  c) �3(ab  bc  ca) ("  " � a  b  c ) 1 1 � (   ) a  b  c a b c ("  " � a  b  c) Bất đẳng thức tam giác: abc �(a  b  c)(b  c  a)(c a  b) ("  " � a  b  c) III CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ HAY SỬ DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY: Các đại lượng trung bình hai số khơng âm: Trang  Với hai số khơng âm a, b Kí hiệu: ab trung bình cộng hai số a, b  G  ab trung bình nhân hai số a, b  A a  b2 trung bình tồn phương hai số a, b  Q H  1  a b trung bình điều hòa hai số dương a, b Ta có bất đẳng thức Q  A  G  H  Chứng minh: Từ   ab 2 a  � b ��  a ab b  a  b ab hay A  G (1) �0 � a  2ab  b �0 � a  b �2ab hay  � a� b2  a �1 1�  �  �� � � 0 Mặt khác � a b� � � b a2  b2 2 a b ab ab hay Q  A ab (2) 1 hay G  H (3)  a b Kết hợp (1), (2), (3) ta có Q  A  G  H Dấu “=” bất đẳng thức xảy a = b  Mở rộng cho n số không âm a1 , a2 , a3 , , an ta có: A a1  a2  a3   an n G  n a1a2 a3 an Q H trung bình cộng n số a1 , a2 , a3 , , an trung bình nhân n số a1 , a2 , a3 , , an a12  a2  a32  an trung bình tồn phương n số a1 , a2 , a3 , , an n n 1 1 trung bình điều hòa n số dương a1 , a2 , a3 , , an   � � �  a1 a2 a3 an Ta có bất đẳng thức Q  A  G  H Dấu “=” xảy a1  a2  a3   an Trang * Chú ý: A, G, Q, H theo thứ tự viết tắt từ Arithmetic mean (trung bình cộng), Geometric mean (trung bình nhân), Quadratic mean (trung bình tồn phương) Harmonic mean (trung bình điều hòa) Các bất đẳng thức phụ: n = 2:  x, y ≥ đó: n = 3:  x, y, z ≥ đó: x y � xy x  y �2 xy 2.1 2.2 x y z � xyz x  y  z �3 xyz 2.3 �x  y � � � �xy � � �x  y  z � � ��xyz � � 2.4  x  y  �4 xy  x  y  z  �27 xyz 1  � x y x y � xy  x  y  1   � x y z x yz � xyz  x  y  z  2.5 2.6 IV CÁC PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY: Kỹ thuật ghép đối xứng: Trong kỹ thuật ghép đối xứng cần nắm số kiểu thao tác sau: � 2 x  y  z   x  y   y  z    z  x � Phép cộng: � x y y z z x   �x  y  z  2 � 2 Phép nhân: x y z   xy   yz   zx  ; xyz= xy yz zx  x, y, z �0  Kỹ thuật chọn điểm rơi: Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” BĐT Cơsi quy tắc tính đồng thời dấu “ = ”, quy tắc biên quy tắc đối xứng sử dụng để tìm điểm rơi biến Kỹ thuật thêm bớt số Kỹ thuật tách nghịch đảo + ghép cặp nghịch đảo: Trang Trong kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật cần tách phần nguyên theo mẫu số để chuyển sang TBN phần chứa biến số bị triệt tiêu lại số Tuy nhiên kỹ thuật tách nghịch đảo toán có điều kiện ràng buộc ẩn việc tách nghịch đảo học sinh thường bị mắc sai lầm Một kỹ thuật thường sử dụng kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN sang TBC kỹ thuật chọn điểm rơi Kỹ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân: Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng: Nếu đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá với dấu “ ≥ ”, đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nơm na thay dấu “ + ” dấu “ ” ngược lại đánh giá từ TBN sang trung bình cộng thay dấu “ ” dấu “ + ” Và cần phải ý biến tích thành tổng, tổng phải triệt tiêu hết biến, lại số Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo: Nội dung cần nắm bất đẳng thức sau: �1 1�  � �9 � x y z � �   x  y  z  � � x, y, z  �1 1� 2 x1  x2   xn �    ��n x1 , x2 , , xn    �x �1 x2 xn � � Kỹ thuật đổi biến số: Kỹ thuật Cauchy ngược dấu: 10 Kỹ thuật cộng mẫu: Các bất đẳng thức hay dùng: n2 � a) �i 1 �n n (Dấu “=” xảy a1  a2   an ) i 1 b) 1 1 � (  ) ab a b c) 1  2� x y ( x  y)2 11 Kỹ thuật chia tách hạng tử thích hợp: Trang 10 12 Sử dụng điều kiện đưa bất đẳng thức không đồng bậc đồng bậc để dụng bất đẳng thức cổ điển quen thuộc: B BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ: Với a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn số thực tùy ý: (a1b1  a2b2   an bn ) �(a12  a22   an2 )(b12  b22 , , bn2 ) Đẳng thức xảy (*) a a1 a2    n (Quy ước mẫu tử b1 b2 bn 0) Trong (*), ta chọn  xi , bi  yi yi , với xi , yi �R, yi  , ta thu bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức: Nếu x1 , x , , x n số thực y1 , y , , y n số thực dương thì: x ( x  x   x n ) x12 x22    n � y1 y2 yn y1  y   yn Đẳng thức xảy x x1 x2    n y1 y2 yn Với a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn số thực tùy ý: a1b1  a2b2   anbn � (a12  a22   an2 )(b12  b22 , , bn2 ) Đẳng thức xảy (*) a a1 a2    n (Quy ước mẫu tử b1 b2 bn 0) Trang 11 ... 5  g 5 Vậy x = nghiệm Trang Phương pháp 8: Phương pháp lượng giác hóa Bài tốn: Giải phương trình: 1 1 x2  2x2 Đk: 1�x �1 Đặt x  cos ,0 � � Phương trình trở thành � sin  1 loa�...  x1  � � � Qua ví dụ ta thấy có nhiều cách để giải pt vô tỷ Sau vào số pp cụ thể 1 .Phương pháp 1:Biến đổi tương đương Bài tốn: Giải phương trình sau x2  5x  x3  2x   x  Đk: x3  2x ... x3 35 x3  � x3 35 x3  216 � �3 �� 3t x x  27 � �   Phương pháp 3 :Phương pháp làm xuất biểu thức liên hợp Bài tốn: Giải phương trình:  x  1 x    x2  x    Đk: x �1 Trang  x 