Kỷ niệm viết thứ 100 http://diendantoanhoc.net Một số phương pháp giải phương trình hàm Để bắt đầu, ta xét vài ví dụ quen thuộc Ví dụ Tìm hàm số f:   cho f(x+y) = f(x) + f(y) vµ f(xy) = f(x).f(y), víi mäi x, y (i) (ii) Để giải toán thực cần đến kiến thức tập hợp số nguyên hiểu biết đơn giản định nghĩa hàm số Tuy nhiên kiến thức phải có phân tích nhìn nhận cách hợp lý Cụ thể, -Đặc biệt hoá điều kiện (i) cách cho x = y = sử dơng tÝnh chÊt cđa phÐp céng c¸c sè ta nhËn f(0) = -Đặc biệt hoá điều kiện (ii) cách cho x = y = sử dụng tính chất phép nhân số ta cã f(1) = hc f(1) = -Xem lµ tỉng cđa vµ -1, sư dơng (i) vµ (ii), víi chó ý f(0) = 0, ta cã f(-1) = -1 -XÐt tr­êng hỵp f(1) = KÕt hỵp với điều kiện (ii) tính chất số số phép nhân số nguyên ta cã : ∀n∈ ¢ , f(n) = f(1.n) = f(1).f(n) = 0.f(n) = Vậy trường hợp ta có f(n) = 0, n  (a) -Xét trường hợp f(1) = Xem số nguyên dương tổng hạng tử đơn vị 1, sử dơng ®iỊu kiƯn (i) ta cã f(n) = n, ∀n∈ Ơ (b) Xem số nguyên âm tích -1 với số nguyên dương áp dụng (ii), víi chó ý f(-1) = -1, f(n) = n, ∀n∈ ¥ , ta cã f(n) = n, f(n) = n, n nguyên âm (c) -Tổng hợp kết (b) (c) ta có f(n) = n, n (d) -Tổng hợp kết (a) (d), sau thử lại, ta có hàm số cần tìm hàm hàm đồng  Cuong12giaitich - 10/2005 Kỷ niệm viết thứ 100 http://diendantoanhoc.net -Tổng hợp bước suy luận trên, phân tích kỹ giả thiết toán, kết hợp với cách nhìn biểu diễn số hữu tỷ dương - m 1 = + + + vµ sè hữu tỷ âm n n n n m m = (-1) đưa toán: n n Ví dụ Tìm hàm số f: Ô Ô cho f(x+y) = f(x) + f(y) (1) vµ f(xy) = f(x).f(y), với x, yÔ (2) Lời giải nhận cách suy luận tương tự ví dụ Bây ta xét phương pháp giải phương trình hàm 1.0 Định nghĩa Phương trình hàm phương trình mà ẩn hàm số Giải phương trình hàm tức tìm hàm số chưa biết Sau số phương pháp giải phương trình hàm thường gặp 1.1 Phương pháp đặt ẩn phụ Xét phương trình hàm số dạng: f( (x)) = g(x), (x), g(x) hàm số biến số thực biết Trong số trường hợp đặt (x) = t, ta giải x = (t) Khi vào phương trình cho ta có f(t) = g ( (t)), từ ta có hàm số f(x) = g ( (x)) Tuy nhiên nhiều vấn đề không hoàn toàn đơn giản Trong trường hợp cần sử dụng phép biến đổi thích hợp, cố gắng đưa phương trình cho dạng: f( (x)) = h( (x)) Khi hàm số cần tìm có dạng: f (x) = h(x) Hàm f(x) sau tìm cần ta phải tiến hành thử lại đưa kết luận nghiệm phương trình Ví dụ Tìm hàm số f (x) biết rằng: f(x+1) = x +2x +3 , ∀x ∈ ¡ Gi¶i ë ®©y ϕ (x) = x + , g (x) = x2 + 2x + Cuong12giaitich - 10/2005 Kỷ niệm viết thứ 100 http://diendantoanhoc.net Đặt t = x + Gi¶i x = t - vào phương trình cho ta ®­ỵc: f (t) = g (t - 1) = (t -1)2 + 2(t -1) + = t2 + Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm thoả mãn yêu cầu toán x +1 = x + , ∀ x ≠ (1) Ví dụ Tìm hàm số f (x) biết: f x Giải Đặt t = x +1 t +1 ⇒x= , ∀t ≠ x −1 t −1 Tõ (1) suy f(t) = t +1 4t − 4x − +3= Hay f(x) = t −1 t −1 x −1 (x ≠ 1) Thử lại ta thấy vừa tìm thoả mãn yêu cầu toán Ví dụ Tìm hàm f(x) biÕt: f(cosx) = sin x + (1) Giải Nếu đặt t = cosx giải phương trình với ẩn x cho ta nghiệm phức tạp vËy ta biÕn ®ỉi : sin2x = 1- cos2x Ta ®­a (1) vỊ d¹ng f (cosx) = − cos2x VËy f (x) = - x2 , x ∈[-1; 1] Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm thoả mãn yêu cầu toán Ví dụ Tìm f(x) biÕt: f(x + 1 ) = x3 + , ∀ x ≠ x x Gi¶i Ta biến đổi giả thiết dạng: f(x + 1 ) = (x + )3 - (x + ) (*) x x x Tõ (*) suy f(x) = x3 - 3x, |x| ≥ Thư l¹i ta thấy f(x) = x3 - 3x thoả mãn đề Ví dụ Tìm f(x) biết: Giải Đặt t = f( x −1 ) + 2f ( ) = x , ∀ x ≠ 0,1 x x (1) 1 , ta cã x = ( t ≠ ,1) x t Th× (1) ⇔ f (t) + 2f (1 - t) = , ∀ t ≠ 0,1 t Cuong12giaitich - 10/2005 Kû niƯm bµi viÕt thứ 100 http://diendantoanhoc.net Dễ thấy toán có dạng quen thuộc vận dụng quy trình giải tìm nghiệm f(x) = 3x x(1 − x ) VÝ dô Cho hàm số f(x) thoả mãn điều kiện : f( x −3 3+ x ) + f( ) = x x +1 1− x Víi mäi x mµ x ≠ Tìm tất hàm f(x) Giải §Ỉt t = x −3 3t , ta cã x= Khi phương trình cho viết l¹i 1− t x +1  t −3  3+ t 3+ t = Tương tự, đặt t = thành: f(x) + f ta được: t  t +1  1− t  3+ t  t −3  + f (t ) = Céng theo vế hai phương trình ta có: f t+1  1− t  3 +t   t −3  4t 8t  =  + f  f(t) + f  Suy f(t) = − 2 − t − t + 1 t − t   Dễ dàng kiểm tra hàm thoả mãn điều kiện toán áp dụng phương pháp giải phương trình sau: 3x ) = x + , ∀ x ≠ x 1 Tìm hàm f(x) biết: f( Tìm hàm f(x) biết: f(cosx) = cos3x, Tìm hàm f(x) biÕt: 1 f ( x − ) = x3 - , x x ∀x ∈ ¡ x 1.2 Phương pháp Xét phương tình hàm dạng a(x) f(x) + b(x) f (g(x)) = c(x) (*) Trong a(x), b(x), c(x), g(x) hàm số biết Giả sử miền xác định hàm số f(x) Df , với xDf ta xét dãy xác định x1 = x, xn+1 = g(xn), n∈ ¥ * Cuong12giaitich - 10/2005 Kû niệm viết thứ 100 http://diendantoanhoc.net Định nghĩa : Dãy {xn } gọi dãy tuần hoàn tồn số nguyên dương k cho xn + k = xn, ∀n∈ ¥ * (1) Số nguyên dương k nhỏ để dãy xn thoả mãn (1) gọi chu kỳ sở (còn gọi tắt chu kỳ) dãy Nếu dãy xn xác định tuần hoàn với chu kỳ k, ta đưa (*) hệ k phương trình với k ẩn hàm, giải hệ ta tìm f(x) VÝ dơ Gi¶ sư a ≠ ± lµ mét sè thùc, ϕ(x) lµ hµm sè cho tr­íc xác định với x1 Tìm hàm số f(x) xác định với x thoả mãn điều kiÖn: f( x ) = a f(x) + ϕ(x) x −1 Gi¶i: Cho x = ta cã f(0) = a f(0) + ϕ(0) Tõ ®ã f(0) = ϕ (0) 1− a (1) Víi x ≠ 0, x ≠ 1, Xét dãy xác định x1 = x, xn+1 = g(xn), n Ơ , g(x) = x x −1 Ta cã x1 = x, x2 = x , x3 = x, vËy d·y xn tuÇn hoµn víi chu kú x −1 B»ng phÐp thay x lần lược x1, x2 ta nhận hÖ f ( x ) = af ( x1 ) + ϕ( x1 )  f ( x1 ) = af ( x ) + ϕ( x ) Giải hệ phương trình với ẩn f (x1) ta được: f(x1) = a2 f(x1) + a (x1) + ϕ(x2) ⇒ hay f(x1) = aϕ( x1 ) + ϕ(x ) 1− a2 x a ϕ( x ) + ϕ( ) 1− x f(x) = 1− a (*) Từ (1) (*) ta được: Cuong12giaitich - 10/2005 Kỷ niệm viết thứ 100 http://diendantoanhoc.net x a ϕ( x ) + ϕ( ) 1− x f(x) = , ∀x≠1 1− a Thư l¹i ta thÊy hàm số vừa tìm thoả mãn điều kiện toán Ví dụ Giải phương trình hàm: xf(x) + 2f ( x −1 ) = 1, x +1 x -1 (1) Giải Mỗi x 1, xét dãy xác định x1 = x, xn+1 = g(xn), ®ã g(x) = x −1 x +1 x −1 Ta cã x1= x, x2= , x5 = x Suy d·y xn , x3 = - , x4 = x +1 x +1 x 1− x tuÇn hoµn víi chu kú B»ng phÐp thay thÕ x x1, x2, x3, x4 ta đưa (1) vỊ hƯ sau:  x1 f ( x1 ) + 2f ( x ) =1  x f ( x ) + 2f ( x ) =1  2   x f ( x ) + 2f ( x ) =1  x f ( x ) + 2f ( x1 ) =1 Giải hệ với ẩn f(x1) ta được: x12 − x1 + f(x1) = , (x1 ≠ -1, 0, 1) 5x1 ( x1 −1) Cho x = tõ (1) suy 2f(-1) = ⇒ f(-1) = Cho x = tõ (1) ta f(1) + 2f(0) = x − x +1 nÕu x ≠ 0,1, −  x ( x − )   ⇒ f(x) =  nÕu x = −  a nÕu x =  nÕu x =1 1 − 2a ( a=f(0) ) Thư l¹i ta thấy hàm số vừa tìm thoả mãn điều kiện toán Cuong12giaitich - 10/2005 Kỷ niệm viết thứ 100 http://diendantoanhoc.net Ví vụ Giải phương trình hàm: f(x) + f ( Giải Đặt g(x) = x −1 ) = + x, víi mäi x ≠ 0, x x , x Ă \ {0, 1} xÐt d·y x1 = x, xn + = g (xn), n∈ ¥ * x Ta cã: x1 = x, x2 = x −1 , x3 = , x4 = x x x −1 ⇒ {xn} tuần hoàn với chu kỳ Thay x x1, x2, x3, ta được: f ( x ) + f ( x ) =1 + x   f ( x ) + f ( x ) =1 + x  f ( x ) + f ( x ) =1 + x  Gi¶i hƯ phương trình với ẩn f(x1) ta được: f(x1) = + x1 − x + x 1 = ( x1 + + ), ∀ x1 ≠ 0, 2 x1 1− x Do x1 ∈ ¡ \ {0, 1} t ý nªn nghiƯm toán là: f(x) = 1 ), x ≠ 0, (x + + x 1− x Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm thoả mãn yêu cầu toán Trong số trường hợp ta gặp phương trình hàm dạng a(x).f(h(x)) + b(x).f(g(x)) = c(x) Trong a(x), b(x), c(x), h(x), g(x) hàm số biết, ta đặt t = h(x) ( t =g(x) ) phương trình cho biểu thức nghiệm đơn giản chẳng hạn x = d(t) (Hoặc kỷ thuật biến đổi nà đó) ta cố gắng đưa phương trình dạng quen thuộc a1(t).f (t) +b1(t).f(g1(t)) = c1(t) Bằng cách xét dãy g1(t) đóng vai trò g(x), dãy nhận tuần hoàn, áp dụng phương pháp trình bày ta tìm hàm f(x) Cuong12giaitich - 10/2005 Kỷ niệm viết thứ 100 http://diendantoanhoc.net Ví dụ Cho hàm số f(x) thoả mãn điều kiện : f( x −3 3+ x ) + f( ) = x x +1 1− x Víi mäi x mµ x Tìm tất hàm f(x) Giải Đặt t = x 3t , ta có x= Khi phương trình cho cã thĨ viÕt l¹i 1− t x +1  t −3  3+ t  = DƠ thÊy bµi toán có dạng quen thuộc vận thành: f(x) + f   t +1  1− t dông quy trình giải tìm nghiệm f(t) = 4t 1− t − DÔ dàng kiểm tra hàm thoả mãn điều kiện toán Chú ý: Nếu dãy xn xây dựng tuần hoàn với chu kỳ phương trình hàm giải phương pháp đặt ẩn phụ 2.1.1 Các phương trình hàm sau giải phương pháp nêu trên: x f(x) + f(a - x) = c, ∀x 4− x ) = 2x , f ( ) - 2f ( x x f ( x −1 ) + x f(x) = x2 + , x +1 ∀ x ≠ ∀ x ≠ ±1 1.3 Ph­¬ng pháp chuyển qua giới hạn Đối với số phương trình hàm có kèm theo giả thiết liên tục, nhiều trường hợp, cách xây dựng dãy số sử dụng phương pháp chuyển qua giới hạn ta tìm hàm f(x) Sau ta xét số ví dụ Ví dụ Tìm tất hàm số f(x) xác định, liên tục Ă tho¶ m·n: 1  f(x) + f  x  = x , víi mäi x ∈ ¡ 3  Cuong12giaitich - 10/2005 Kû niƯm bµi viết thứ 100 http://diendantoanhoc.net Giải Cố định x ¡ XÐt d·y x1 = x, xn + = g (xn), n Ơ *, g(x) = Bằng quy nạp ta xn = hạn với x1 = x, q = n x x Tõ ®ã ta cã d·y {xn} cấp số nhân lùi vô , lim xn = Thay x x1, x2 , ,xn-1 ta f (x1) + f (x2) = x1 f (x2) + f (x3) = x2 f (xn-1) + f (xn) = ⇒ f (x1) +(- 1)n f (xn) = = ( n−2 x1 − x + x − x + + (−1) x n −  1 n −2 x1  1− + − + + (−1)  3 = xn −1 )   n −   1−  −      3   = x1 = 3n −     1+     n −1     x1 1−  −      Lấy giới hạn hai vế sử dụng tính liên tục hàn số f(0) = ta ®­ỵc f(x1) = 1 x1 Do x1 lÊy t ý nªn f(x) = x, ∀x ∈ ¡ 8 Thử lại ta thấy f(x) = x thoả mãn điều kiện toán Bài toán tổng quát:Tìm hàm số f(x) xác định, liên tục Ă thoả mãn điều kiện: af(x) +f(bx) = cx, a,b,c Ă , 0 P (x) ≡ C Tõ ®ã suy ra: Q(x) ≡ C hay P (x) ≡ x2 + C Thư l¹i ta thấy đa thức vừa tìm thoả mãn yêu cầu toán Cuong12giaitich - 10/2005 45 Kỷ niệm viết thứ 100 http://diendantoanhoc.net Bài toán tổng quát: Tìm ®a thøc P(x) biÕt: P(x+a) = P(x) + 2ax + a , a lµ h»ng sè tuú ý thuéc Ă Cách giải hoàn toàn tương tự Ví dụ Tìm hàm số f: Ă Ă khả vi vô hạn lần thoả mãn điều kiện: f (x + y) = f (x) + f (y) + xy , x , y Ă Giải Cách 1: Cho x = y = ta cã f(0) = (1) Tõ gi¶ thiÕt ta cã: f (x + y) - f(x) = f (y) + 2xy ⇔ f ( x + y) − f ( x ) f ( y) = + 2x y y LÊy giíi hạn hai vế y ta được: lim f ( x + y) − f ( x ) = lim f ( y) + 2x ⇔ f'(x) = f' (0) + x y→0 y→0 y y x x 0 Mặt khác: f (x) = f(x) - f(0) = ∫ f ' ( t )dt = ∫ (2 t + f ' (0))dt = x2 + f' (0) x Đặt a = f' (0), ta có f (x) = x2 + ax, ∀ x ≠ Thö lại ta thấy hàm số f(x) = x2 + ax thoả mãn yêu cầu toán Cách 2: Lấy đạo hàm vế theo x y ta f' (x + y) = f'(x) + 2y f' (x + y) = f(y) + 2x ⇒ f'(x) - 2x = f(y) - 2y ,∀ x, y ∈ ¡ ⇒ f' (x) - 2x = a (a = const) x ⇒ f' (x) = 2x + a, v× f (0) = ⇒ f (x) = f(x) - f(0) = ∫ f ' (t )dt x = ∫ (2t + a )dt = x2 + ax VËy f (x) = x2 + ax Cách 3: Đặt g(x) = f(x) - x , ta đưa toán quen thuộc Tìm tất hàm số g(x) xác định, khả vi Ă thoả mãn điều kiện: g(x+y) =g(x) +g(y) Từ suy g(x) = ax dÈn ®Õn f(x) = x + ax Cuong12giaitich - 10/2005 46 Kû niƯm bµi viÕt thứ 100 http://diendantoanhoc.net Bài toán tổng quát: Tìm tất hàm số f(x) xác định, khả vi R thoả mãn điều kiện: f(x+y) = f(x) + f(y) + axy, ∀x,y∈R (a lµ h»ng sè tuú ý R) Cách giải hoàn toàn tương tự Ví dụ Xác định hàm số f: Ă Ă thoả m·n: (i) f(-x) = - f(x) , ∀x ∈ ¡ ; (ii) f(x + 1) = f(x) + , ∀x ∈ ¡ ; f (x) (iii) f( ) = , ∀ x ≠ x x Gi¶i Cách 1: Từ (i) cho x=0 ta f (0) = (1) Từ (ii) cho x= -1 ta f (-1) = -1 Víi x ≠ 0, x ≠ - 1, ta xÐt: f ( (2) x +1 f (x) ) = f( + ) = + f ( ) = + x x x x (3) Mặt khác: f( x +1 )= f( )= x x x +1 x ) ( x + 1) f (1 − ) x +1 = x +1 x2 x2 ( x + 1) f (   (x + 1)2 1 − f ( )  x +1   = x2 = Tõ (3) vµ (4) ⇒ +  + f (x)  (x + 1) − 1 −  ( x + 1)2   (Do (ii)) = x2 x + 2x − f ( x ) x2 f (x) x2 (Do (iii)) (4) x + 2x − f ( x ) = , ∀x ≠ 0,−1 x2 Hay f (x) = x ,∀ x ≠ 0, -1 (5) Tõ (1), (2) vµ (5) ⇒ f(x) = x , ∀x ∈ ¡ Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm thoả mãn điều kiện toán Cách 2: Từ giả thiÕt ta cã f(0) = 0, f (- 1) = - 1, f (1) = Cuong12giaitich - 10/2005 (1) 47 Kỷ niệm viết thứ 100 http://diendantoanhoc.net Xét: f ( f (1 − x ) − f ( x ) ) = = (¸p dơng (ii), (ii) vµ (1)) 1− x (1 − x )2 (1 x )2 Mặt khác: f ( x x ) = f (1 + )=1+f( ) (¸p dơng (ii)) 1− x 1− x 1− x 1− x x f( ) x = + f( )=1+ (¸p dơng (iii) 1− x (1 − x )2 x  f (x)  x  − 1 x (áp dụng (iii) (1)) = x + f ( x ) =1+  (1 − x ) (1 − x ) (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ - f (x) = - x + f(x) hay f(x) = x , ∀ x ≠ 0,1 KÕt hỵp víi (1) suy f(x) = x ,∀ x ∈ ¡ Thử lại ta thấy f(x) = x thoả mãn điều kiện toán Cũng với giải tương tự ta giải toán tổng quát sau: Ví dụ Tìm hàm số f(x) biết thoả mãn ®iỊu kiƯn: (i) f(x + y) = f (x) + f (y), ∀ x, y ∈ ¡ ; f (x) (ii) f ( ) = , ∀ x ≠ 0; x x (iii) f(1) = VÝ dô Xác định hàm số f(x) liên tục Ă thoả mãn điều kiện: f(2x - y) = f(x) - f(y), ∀ x,y ∈ ¡ NhËn xÐt lời giải có vấn đề : g(x) = f(x) - f(0), ta thÊy g(x) còng tho¶ mãn điều kiện g(2x-y) = 2g(x) - g(y) g(0) = Việc phát điều mấu chốt để giải toán Cho y = ta g(2x) = g (x) , x Ă (1) Cho x = ta g (-y) = - g(y) ,∀ y ∈ ¡ (2) Suy g(2x - y) = g (2x) + g(-y) Cuong12giaitich - 10/2005 48 Kû niƯm bµi viÕt thø 100 http://diendantoanhoc.net áp dụng toán biết, ta ®­ỵc g(x) = a x suy f(x) = ax+b (b = f(0)) Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm thoả mãn yêu cầu toán Ví dụ Xác định hàm số f(x) liên tục Ă thoả mãn điều kiện: f(x) + f(y) - f(x + y) = xy , ∀ x, y ∈ ¡ (1) Nhận xét Vấn đề thấy mối liên hệ toán cho với ®¼ng thøc quen thuéc xy = ( x + y) x y2 (*) 2 x2 ( x + y) y2 (1) ⇔ f (x) + + f (y) + = f(x + y) + 2 x2 Giải Đặt: g(x) = f(x) + , ta đưa toán quen thuộc tìm g(x) biết g(x) liên tục Ă thoả mãn ®iỊu kiƯn : g(x) + g(y) = g(x + y), x2 x, y Ă áp dụng toán ®· biÕt, ta ®­ỵc g(x) = a suy f(x) = + ax Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm thoả mãn yêu cầu toán Nếu không liên hệ đến đẳng thức quen thuộc (*) toán a ( x + y) ax ay khó giải Đối với ví dụ ta thấy: axy = Vì 2 tăng mức độ khó khăn toán toán toán tổng quát: Tìm hàm số f(x) liên tục Ă thoả mãn ®iỊu kiƯn: f(x) + f(y) - f(x + y) = axy, x, y Ă Ngoài ta phải linh hoạt cách giải toán dạng tương tự Ví dụ Xác định hàm số f(x) liên tục Ă thoả mãn điều kiện: f(x+y) - f(x) - f(y) = sinx sin y cos(x + y) ∀x, y, ∈ ¡ sin x sin x Gi¶i Đặt g( x) = f(x) + lý luận tương tù ⇒ f(x) =+ ax 2 VÝ dô Tìm hàm f: Ă Ă liên tục thoả mãn điều kiện: Cuong12giaitich - 10/2005 49 Kỷ niệm viÕt thø 100 trªn http://diendantoanhoc.net f(3x) = f(x) + x , ∀x ∈ ¡ Gi¶i Thay x b»ng x sau áp dụng phương pháp chuyển qua giới hạn ta tìm hàm f(x) Ví dụ Hãy tìm hàm số f(x) xác định với x hữu tỉ, thoả mãn điều kiện: f(1) = , f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y +1) Gi¶i DĨ thÊy f(x) = x + thoả mãn điều kiện toán Đến đặt câu hỏi liệu hàm số xác định có huy không? Hay có vô số hàm số f(x) thoả mãn điều kiện toán ? Để trả lời câu hỏi ta đến toán mà mức độ khó khăn so với toán Ví dụ 10 Tìm tất hàm số f(x), xác định với x hữu tỉ, thoả mãn điều kiện: f(x) = 2, f(xy) ≡ f(x) f(y) - f(x+ y) + Gi¶i Cho đồng thức giá trị y = ta được: f(x) f(x) - f (1) - f(x + 1) + , x Ô , suy f(x + 1) = f(x) + B»ng phương pháp quy nạp ta f (x + n) = f(x) + n, n , x Ô f(n) = f(1) + n -1 = n + 1, n  Cho đồng thức giá trị x = , y = n với n  *, ta được: n 1 1 f(1) = f( ) f(n) - f( ) - n + ⇒2 = f( ) (n+1) - f( ) - n + n n n n 1 ⇒ f( ) = + n n Cuèi cïng cho x = p, y = , với p  , q Ơ * q 1 p p f(p ) = f (p) f( ) - f(p + ) + ⇒ f( ) = +1 q q q q q Hay f(x) = x + x Ô Cuong12giaitich - 10/2005 50 Kû niƯm bµi viÕt thø 100 http://diendantoanhoc.net Thử lại ta thấy f(x) = x + hàm số thoả mãn điều kiện toán Đến ta có câu hỏi "Tại toán nói đến hàm f(x) xác định víi x h÷u tû, liƯu cã më réng cho mäi số thực x không ? Nếu mở rộng ta có cần thêm điều kiện ?" Ví dụ 11 Tìm tất hàm số f(x) xác định với x Ă thoả mãn điều kiện: f(xy) = f (x) f(y) - f (x+y) + 1, x, y Ă (*) Giải Đặt g(x) = f(x) - ⇒ f(x) = g(x) + Khi ®ã (*) ⇔ g(xy) = g(x) g(y) + g(x) + g(y) - g (x + y), ∀ x,y ∈ ¡ (**) Trong (**) cho x = y = ta g(0) = Trong (**) cho y = ta g(x) = g(x)g(1) +g(x) + g(1) - g(x +1), suy g(x + 1) = g(1) (g (x) + 1) (1) XÐt tr­êng hỵp: Tr­êng hỵp1: g(1) = 0, ∀ x ∈R ta f(x) = dễ thấy nghiệm toán Trường hợp 2: g(1) Trong (1) cho x = - ta g(0) = g(1) (g (-1) + 1)⇒ g( -1) = -1 Trong (**) cho y = - ta g (-x) = - - g(x - 1) ⇔ - g(1) g (- x) = g(1) (1 + y (x - 1)) = g(x) (2) Trong hƯ thøc nµy cho x = - ta được:- g2(1) = g (-1) = - 1, suy g2 (1) = ⇔ g(1) = hc g (1) = -1 NÕu g (-1) = - 1, ®ã (1) ⇔ g(x + 1) = - - g (x) , ®ã g(x + 2) = - - g(x + 1) = - + + g(x) = g(x) , suy g(2) = g(0) = Nh­ng ®ã - = g(1) = g(2 1 1 ) = g(2) g ( ) + g(2) + g ( )- g(2 + ) = 2 2 =g( ) - g( ) = 0, vôlý Vậy g(x) = 1, (1) (2) trë thµnh: g(x + 1) = g(x) + 1, g(-x) = - g(x) Cuong12giaitich - 10/2005 51 Kû niÖm viết thứ 100 http://diendantoanhoc.net Lại theo (**) (và theo trªn) g(x + 2) = g(x + 1) + = g(x) + vµ g(2) = ⇒ g(2x) = g(2)g(x) = g(2) + g(x) - g(x + 2) = 2g (x) + + g(x) - g(x) - = g(x) Theo trªn suy g(-xy) = - g(xy) = g(x)g(-y) + g(x) + g(-y) - g(x - y) = - g(x)g(y) + g(x) - g(y) - g(x - y) Cộng đẳng thức với (**) theo vế ta được: g( x - y) + g (x + y) = g(x) = g(2 x) Đặt u = x + y, v = x - y, th× ta cã: g(u) + g(v) = g (u + v) ∀ u,v Hay g(x + y) = g(x) + g(y), ∀ x, y ∈ ¡ Khi ®ã tõ (**) suy g(xy) = g(x)g(y) Tóm lại hàm g(x) cã c¸c tÝnh chÊt: (i) g(1) = ; (ii) g( x + y) = g(x) + g(y) ,∀ x, y ; (iii) g(xy) = g(x)g(y) , ∀x, y Tõ (ii) phương pháp quy nạp ta g(nx) = ng(x), n  Do với m nguyên dương, n  ta có: g( g( n m 1 1 ) = n.g ( ), = g ( ) = mg ( ) ⇔ g ( ) = m m m m m m n n )= hay g(x) = x ∀ x ∈ ¤ m m Tõ (iii) vµo x ≥ th×: g(x) = g2 ( x ) ≥ ,∀ x ≥ ⇒ víi x ≥ y th× g(x - y) ≥ ⇔ g(x) + g(-y) ≥ ⇔ g(x) - g(y) ≥ ⇔ g(x) ≥ g(y) Gi¶ sư x sè thùc t ý ∈ ¡ , x Ô suy g (x) = x Nếu x vô tỉ {qn} {qn} ∈ Q cho q1 > q2 > >qn > , lim qn = x ; n →∞ p1 < p2 < < pn < , lim pn =x n →∞ V× víi ∀ n ta cã: qn < x