Đề chọn đội VMO 2017 Nguyễn Trung Tuân Ngày 25 tháng 10 năm 2016 Tóm tắt nội dung Tài liệu chứa đề chọn đội VMO 2017 tỉnh Mục lục Thái Bình Hà Nội Phổ thông Năng Khiếu - ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh 3.1 Ngày thứ 3.2 Ngày thứ hai 6 Thanh Hóa 4.1 Ngày thứ 4.2 Ngày thứ hai 8 Nam Định 10 5.1 Ngày thứ 10 5.2 Ngày thứ hai 11 Quảng Bình 12 6.1 Ngày thứ 12 6.2 Ngày thứ hai 13 Quảng Ninh 14 7.1 Ngày thứ 14 7.2 Ngày thứ hai 15 Đề chọn đội VMO 2017 Nguyễn Trung Tuân Ninh Bình 16 8.1 Ngày thứ 16 8.2 Ngày thứ hai 17 Bắc Ninh 18 10 Đà Nẵng 19 10.1 Ngày thứ 19 10.2 Ngày thứ hai 20 11 THPT Chuyên KHTN - ĐHQG Hà 11.1 Ngày thứ 11.2 Ngày thứ hai 11.3 Ngày thứ ba 11.4 Ngày thứ tư Nội 21 21 22 23 24 12 Hà Tĩnh 25 12.1 Ngày thứ 25 12.2 Ngày thứ hai 26 13 Thành phố Hồ Chí Minh 27 13.1 Ngày thứ 27 13.2 Ngày thứ hai 28 14 Nghệ An 29 14.1 Ngày thứ 29 14.2 Ngày thứ hai 30 15 Hòa Bình 31 15.1 Ngày thứ 31 15.2 Ngày thứ hai 32 16 Hải Phòng 33 16.1 Ngày thứ 33 16.2 Ngày thứ hai 34 17 Phú Thọ 35 17.1 Ngày thứ 35 17.2 Ngày thứ hai 36 Đề chọn đội VMO 2017 Nguyễn Trung Tuân 18 Đồng Nai 37 18.1 Ngày thứ 37 18.2 Ngày thứ hai 38 19 Thái Nguyên 39 20 Hà Nam 40 21 THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội 41 21.1 Ngày thứ 41 21.2 Ngày thứ hai 42 22 Bình Thuận 43 23 Lạng Sơn 44 23.1 Ngày thứ 44 23.2 Ngày thứ hai 45 24 Lào Cai 46 25 Hải Dương 47 26 Khánh Hòa 48 26.1 Ngày thứ 48 26.2 Ngày thứ hai 49 27 Quảng Nam 50 28 THPT Chuyên Đại học Vinh 51 28.1 Ngày thứ 51 28.2 Ngày thứ hai 52 29 Đoạn cuối 53 Đề chọn đội VMO 2017 Nguyễn Trung Tuân Thái Bình Câu 1(4,0 điểm) Cho dãy số (an ) có a1 ∈ R an+1 = |an − 21−n | ∀n ∈ N∗ Tìm lim an n→+∞ Câu (4,0 điểm) Tìm tất hàm số f : R → R cho: f (f (x + y) f (x − y)) = x2 − yf (y) ∀x, y ∈ R Câu (4,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên dương xy y x = (x + y)z Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn (C) tâm O AB, CD hai đường kính đường tròn Tiếp tuyến với đường tròn (C) B cắt AC P Gọi G giao điểm thứ hai đường thẳng DP với đường tròn (C) Gọi I trung điểm AP Chứng minh a) Các điểm O, B, C, I nằm đường tròn; b) Ba đường thẳng AG, BC, OP đồng qui Câu (4,0 điểm) Cho n > số nguyên dương Các điểm A1 , A2 , · · · , An thuộc đường tròn Có tối đa tam giác nhọn có đỉnh số đỉnh nếu: a n = 4; b n = 2017 Đề chọn đội VMO 2017 Nguyễn Trung Tuân Hà Nội Bài Giải hệ phương trình x2 − xy + y − x − 3y − = x3 − x2 y + xy + y + x − y = Bài Tìm tất ba số nguyên (x; y; z) thỏa mãn 12x + y = 56z Bài Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (x2 − f (y)) = xf (x) + y , ∀x, y ∈ R Bài Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) với trung tuyến AM Đường thẳng AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai D Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD E, đường thẳng AC cắt đường thẳng BD F Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE hai điểm A P Gọi (S1 ) đường tròn qua C tiếp xúc với AB A, (S2 ) đường tròn qua B tiếp xúc với AC A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Q giao điểm thứ hai (S1 ) (S2 ) Chứng minh tam giác OP Q tam giác vuông Bài Xét cách viết số 12 , 22 , , 82 đỉnh hình lập phương, đỉnh viết số hai đỉnh khác viết hai số khác Trong cách viết, với cạnh hình lập phương ta lập số tích hai số đầu mút cạnh đó, gọi S tổng 12 số Tìm giá trị lớn S Đề chọn đội VMO 2017 Nguyễn Trung Tuân Phổ thông Năng Khiếu - ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh Nguồn: TS Trần Nam Dũng, ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh 3.1 Ngày thứ Bài Tìm a để dãy số (un ) hội tụ biết u1 = a   2un − 1, un > ∀n ≥ un+1 = −1, −1 ≤ un ≤   un + 4un + 2, un < −1 Bài Tìm số nguyên dương k nhỏ cho bất đẳng thức xk y k z k (x3 + y + z ) ≤ với số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Bài Cho hàm số f : N∗ → N∗ thỏa mãn điều kiện: f tăng thực f (2n) = 2f (n) với số nguyên dương n a) Giả sử f (1) = p số nguyên tố lớn Chứng minh tồn n cho f (n) chia hết cho p b) Cho q số nguyên tố lẻ Hãy xây dựng hàm f thỏa mãn điều kiện toán mà f (n) không chia hết cho q với số nguyên dương n Bài Tam giác ABC có góc BAC tù, AH đường cao Điểm M thay đổi cạnh AB Dựng N cho hai tam giác BM N HCA đồng dạng (H N khác phía đường thẳng AB) a) CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BM N K (khác M ) Chứng minh N K qua điểm cố định b) N H cắt AC P Dựng Q cho hai tam giác HP Q HN M (Q M khác phía đường thẳng N P ) Chứng minh Q thuộc đường thẳng cố định Đề chọn đội VMO 2017 3.2 Nguyễn Trung Tuân Ngày thứ hai Bài Với số nguyên dương n, tồn số tự nhiên a thoả a2 ≤ n < (a + 1)2 Đặt ∆n = n − a2 1) Tìm giá trị nhỏ ∆n n thay đổi thoả n = 15m2 với m số nguyên dương 2) Cho p, q số nguyên dương d = 5(4p + 3)q Chứng minh ∆d ≥ Bài Với số nguyên a, b, c, d thoả ≤ a < b < c < d; ký hiệu T (a, b, c, d) = {{x, y, z, t} ⊂ N|1 ≤ x < y < z < t; x ≤ a, y ≤ b, z ≤ c, t ≤ d} a) Tính số phần tử T (1, 4, 6, 7) b) Cho a = b ≥ Gọi d1 số phần tử T (a, b, c, d) chứa không chứa 2; d2 số phần tử chứa 1, không chứa 3; d3 số phần tử chứa 1, 2, không chứa Chứng minh d1 ≥ 2d2 − d3 Dấu "=" xảy nào? Bài Trong hệ thống máy tính, máy tính có kết nối trực tiếp với 30% máy tính khác hệ thống Hệ thống có chương trình cảnh báo ngăn chặn tốt, máy tính bị virus, có đủ thời gian lây cho máy tính kết nối trực tiếp với Chứng minh dù vậy, kẻ cơng chọn hai máy tính hệ thống mà thả virus vào hai máy đó, 50% máy tính hệ thống bị nhiễm virus Bài Cho tam giác ABC nhọn; đường tròn (I) có tâm I thuộc cạnh BC tiếp xúc với cạnh AB, AC E, F Lấy M, N bên tứ giác BCEF cho EF N M nội tiếp (I) đường thẳng M N, EF, BC đồng quy M F cắt N E P, AP cắt BC D a) Chứng minh A, D, E, F thuộc đường tròn b) Lấy đường thẳng BN, CM điểm H, K cho ACH = ABK = 90◦ Gọi T trung điểm HK Chứng minh T B = T C Đề chọn đội VMO 2017 Nguyễn Trung Tuân Thanh Hóa Nguồn: diendantoanhoc.net 4.1 Ngày thứ Câu Tìm tất f : R → R cho f (f (x) + f (y)) = f (x2 ) + 2x2 f (y) + f (y) ∀x, y ∈ R √ Câu Cho số thực a = −1/ Xét dãy (an ) xác định a1 = a, xn+1 = 2a2n + − 14 4an + 2a2n + ∀n ≥ Tìm a để dãy có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Câu Cho tam giác ABC khơng cân A Đường tròn nội tiếp có tâm I tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt EF P, Q Gọi M trung điểm BC O1 , O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB, IAC Chứng minh a) D, Q, P, M nằm đường tròn; b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DP Q nằm O1 O2 Câu Tại bốn đỉnh tứ diện ABCD có ghi số a, b, c, d khơng Thực phép biến đổi: thay (x, y, z, t) (x + y + z − 3t, y + z + t − 3x, z + t + x − 3y, t + x + y − 3z) theo thứ tự tùy ý Chứng minh rằng, kể từ sau lần biến đổi đầu tiên, bốn đỉnh tứ diện có đỉnh mang số dương sau số lần thực phép biến đổi, có đỉnh mang số không bé 2016 Đề chọn đội VMO 2017 4.2 Nguyễn Trung Tuân Ngày thứ hai Câu Cho x, y, z > thỏa x= x Chứng minh ≤ (2xy + yz + zx)2 16x2 y z Câu Tìm tất đa thức P (x) với hệ số số nguyên thỏa mãn 2016 P (n)|n(n−1) − với số nguyên dương n Câu Với số nguyên dương n cho trước, tính tổng sau theo n ] [ n+1 i Cn−i+1 Sn = i=0 Đề chọn đội VMO 2017 Nguyễn Trung Tuân Nam Định Nguồn: diendantoanhoc.net 5.1 Ngày thứ Bài Giải hệ x3 − y + 3y + x − 4y + = √ 2x2 + x + + 2y − 5y + = 2x − y + Bài Dãy số xn xác định x1 = xn+1 = + n ∀n ≥ xn √ √ Chứng minh n < xn < n + 1, ∀n ≥ 2 Với n ∈ N∗ , đặt yn = √xnn Chứng minh yn hội tụ tìm giới hạn Bài Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) ngoại tiếp (I) nội tiếp (O) Gọi P trung điểm cung BC không chứa A (O); J điểm đối xứng với I qua O Tiếp tuyến I (IBC) cắt BC M ; H hình chiếu M OI Gọi D trung điểm cạnh BC K giao điểm thứ hai ID với (ODH) Chứng minh Tam giác JP M vuông; H, A, K thẳng hàng Bài Tìm tất f : N∗ → N∗ cho (n − 1)2 < f (n).f (f (n)) < n2 + n, ∀n ∈ N∗ Bài Cho S = {1, 2, 3, 4, 5} số nguyên dương n Có số nguyên dương M cho a M có n chữ số lấy từ S; b hai chữ số cạnh M nhiều 1? Đề chọn đội VMO 2017 19 Nguyễn Trung Tuân Thái Nguyên Nguồn: diendantoanhoc.net Bài (4 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 1 (ab + bc + ca) + + + 32 (1 + a) (1 + b) (1 + c) 21 32 Bài (4 điểm) Tìm tất hàm f (x) xác định tập hợp số thực nhận giá trị thực, cho với x, y thực ta có f (x + y) + f (x)f (y) = f (xy) + (y + 1)f (x) + (x + 1)f (y) Bài (4 điểm) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn Một đường thẳng ∆ qua A cắt đường thẳng BC E, cắt đường thẳng CD F Gọi I1 , I2 I3 tương ứng tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE, ECF F AD Chứng minh đường thẳng ∆ qua trực tâm tam giác I1 I2 I3 Bài (4 điểm) Tô màu luân phiên đỉnh 2n-giác lồi hai màu đỏ xanh Xét tất đường chéo đa giác mà hai đầu mút khác màu Tìm số giao điểm lớn nằm đa giác tất đường chéo Bài (4 điểm) Cho x, y, z ba số thực dương thoả mãn xyz z Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = y − z3 x + + + y + x (1 + xy) Đề chọn đội VMO 2017 20 Nguyễn Trung Tuân Hà Nam Nguồn: diendantoanhoc.net Bài Cho hai dãy số đc xác định x1 = y1 = xn+1 = xn + + x2n , yn+1 = √ yn ∀n ≥ 1 + + yn2 a) Chứng minh xn yn ∈ (2; 3) ∀n ≥ 2; b) Tính lim yn n→+∞ Bài Cho a, b, c ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a b+c Bài Cho ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I) Gọi X, Y, Z trung điểm BC, CA, AB D, E, F tiếp điểm (I) với BC, CA, AB A1 , A2 ; B1 , B2 ; C1 , C2 giao Y Z, ZX, XY với (O) Chứng minh I tâm đẳng phương đường tròn (DA1 A2 ), (EB1 B2 ), (F C1 C2 ) Bài Cho P, Q, R đa thức với hệ số thực thỏa mãn P (Q(x)) + P (R(x)) = c ∀x ∈ R với c số Chứng minh P (x) [Q(x) + R(x)] số Bài Gọi A tập (x1 , x2 , x3 ) với x1 , x2 , x3 ∈ {0; 1; 2; ; 7} Bộ x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ A gọi trội y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ A x = y xi ≥ yi ∀i = 1; 2; Khi ta viết x > y Tìm số nguyên dương n nhỏ cho tập có n phần tử A chứa x > y Đề chọn đội VMO 2017 21 Nguyễn Trung Tuân THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội Nguồn: TS Hà Duy Hưng, THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội 21.1 Ngày thứ √ √   3x + y = Bài Giải hệ phương trình x y   + = 2(x + y) y x 1 + x y Bài Cho số thực a thỏa mãn < a ≤ Xét dãy (an ) cho a0 = a an+1 = 1+ 2a2n + ∀n ≥ an Chứng minh dãy (an ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Đường thẳng DI cắt đường tròn tâm A bán kính AE M, N (N nằm M D) Các đường thẳng AD, EF cắt P Các đường thẳng M A, N P cắt Q Gọi H giao điểm thứ hai AD (I) Đường thẳng qua trung điểm DH, DE cắt AC L Chứng minh a) QH⊥AD; b) DL||EF Bài Cho dãy số (xn )n≥1 xác định x1 = 1, x2 = xn+2 = 5xn+1 − xn ∀n ≥ a) Chứng minh tồn vô hạn số nguyên dương n để số dư chia xn , xn+1 , xn+2 cho 20162017 hoán vị ba số nguyên liên tiếp b) Chứng minh 21x2n − 20 số phương với số nguyên dương n Đề chọn đội VMO 2017 21.2 Nguyễn Trung Tuân Ngày thứ hai Bài Tìm tất P ∈ R[x] cho P (x2 + 1) P (x2 + 2) = ∀x ∈ R x2 + x2 + Bài Tìm tất hàm số f : R → R cho liên tục R f (a) + f (b) + f (c) + ab + bc + ca = với a, b, c ∈ R mà a + b + c = Bài Hai đường tròn (O1 ), (O2 ) tiếp xúc ngồi A BC tiếp tuyến chung (O1 ), (O2 ) với B ∈ (O1 ), C ∈ (O2 ) Gọi M trung điểm BC; P, Q theo thứ tự điểm đối xứng B, C qua O1 , O2 M P theo thứ tự cắt BO2 , BA X, Y M Q theo thứ tự cắt CO1 , CA Z, T Chứng minh a) BZT P, CXY Q nội tiếp; b) AM, XT, ZY đồng quy Bài Thầy giáo ghi 2017 số thực khác vào 2017 thẻ, thẻ số, sau đặt xấp thẻ lên bàn Một học sinh A, lần hỏi thầy giáo tập sô ghi ba thẻ Thầy giáo thông báo cho A biết tập gồm ba số Học sinh A cần phải hỏi thầy giáo lần để biết hết số ghi thẻ? Đề chọn đội VMO 2017 22 Nguyễn Trung Tuân Bình Thuận Nguồn: Một học sinh tên Trường Hải Bài Giải phương trình 1 + + 3x3 + 4x2 − 10x + = 3x − x + 2x − 3x + 5x − 5x + Bài Cho số nguyên dương x, y, z thỏa x2 y z + xyz(x + y + z) + xy + yz +zx+1 số phương Chứng minh x2 +y +z −2(xy +yz +zx) số phương Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P giao điểm AB CD, AC BD Lấy K trung điểm đoạn M N Đoạn P K cắt (O) H, M H cắt (O) I khác H, N H cắt (O) J khác −−→ −−→ −−→ H Hãy phân tích P K theo hai vectơ M I, M J Bài Trên mặt phẳng có 2016 điểm phân biệt A1 , A2 , , A2016 Từ điểm trên, bạn An muốn vẽ vectơ không, thỏa mãn hai điều kiện sau −−−→ −−−→ Với i, j ∈ {1; 2; 3; ; 2016}, vẽ Ai Aj khơng vẽ Aj Ai ; −−−→ −−−→ Với i, j, k ∈ {1; 2; 3; ; 2016}, vẽ Ai Aj Aj Ak khơng vẽ −−−→ Ai Ak Hỏi An vẽ nhiều vectơ? Đề chọn đội VMO 2017 23 Nguyễn Trung Tuân Lạng Sơn Nguồn: diendantoanhoc.net 23.1 Ngày thứ Bài Cho x, y, z > thỏa mãn xyz = Tìm giá trị lớn của biểu thức P = x + 2y + Bài Tìm tất hàm số f : R → R đơn điệu R thỏa mãn f (x3 + f (y)) = f (x) + y ∀x, y ∈ R Bài Cho ABC nhọn nội tiếp (O) với I tâm nội tiếp tam giác Đường tròn qua C tiếp xúc với AI I cắt AC E cắt (O) H (E, H = C) a) Chứng minh EH qua trung điểm AI; b) Đường tròn qua B tiếp xúc với AI I cắt AB F cắt (O) G (G, F = B) Chứng minh đường tròn (EIF ) (GIH) tiếp xúc Bài Cho đa thức P (x) = 4x3 − 18x2 + 27x + m CMR: Với m ∈ Z, ∃n ∈ Z cho P (n) 107 Đề chọn đội VMO 2017 23.2 Nguyễn Trung Tuân Ngày thứ hai Bài Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = − 13 un+1 + = √un 2+1 ∀n ∈ N∗ un +1 3(un +1) √ 10 ∗ a) Chứng minh un+1 + < ∀n ∈ N ; b) Chứng minh Dãy (un ) hội tụ Tính limn→+∞ un Bài Cho ABC nhọn nội tiếp (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt ttai5 H (D ∈ BC, E ∈ CA, F ∈ AB) Gọi M trung điểm BC đường tròn (DEF ) (HBC) cắt X Y a) Chứng minh AX = AY ; b) Gọi R trung điểm XY AR cắt HM S Chứng minh HDSR nội tiếp Bài Cho tập Mn = 1; 2; ; n (n ∈ N∗ ) a) Gọi X tập M15 cho tích ptử X ko phải số phương Tìm giá trị lớn | X |; b) Gọi Y tập gồm có 15 ptử tập M25 Tập I gọi tập "tốt" ko tồn phần tử mà tích chúng số phương Tính số tất tập "tốt" Đề chọn đội VMO 2017 24 Nguyễn Trung Tuân Lào Cai Nguồn: diendantoanhoc.net Câu Giải hệ phương trình √ (x + 1) y + y + + (y − 1) x2 + x + = x + y √ (x2 + x) x − y + = 2x2 + x + y +   x = Câu Cho dãy số thực (xn ) xác định  xn+1 = 20n + 21 n+1 ∀n ≥ Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn x2n − 12xn + Câu Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH, trực tâm K Đường thẳng BK cắt (AC) D, E (BD < BE) Đường thẳng CK cắt (AB) F, G (CF < CG) Và (DHF ) cắt BC điểm thứ hai P a) Chứng minh điểm G, H, P, E thuộc đường tròn; b) Chứng minh đường thẳng BF, CD, P K đồng quy Câu Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa 9x2 + 24x + 15 = y Câu Một số nguyên dương k gọi ’đẹp’ phân hoạch tập số nguyên dương Z∗ thành k tập hợp Ai , i = 1, k cho với số nguyên dương n ≥ 15 với i ∈ {1, 2, · · · , k} tồn hai số thuộc tập Ai tương ứng có tổng n a) Chứng minh k = ’đẹp’ b) Chứng minh k ≥ không ’đẹp’ , Đề chọn đội VMO 2017 25 Nguyễn Trung Tuân Hải Dương Nguồn: Thầy giáo Mạc Đăng Nghị, THPT Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương Câu Cho dãy số u1 = 1, u2 = 2, u3 = 24, un = 6u2n−1 un−3 − 8un−1 u2n−2 , ∀n ≥ un−2 un−3 Chứng minh un chia hết cho n với n Câu Cho a, b, c ∈ [−1, 1] thỏa mãn + 2abc ≥ a2 + b2 + c2 Chứng minh + 2a3 b3 c3 ≥ a6 + b6 + c6 Câu Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O), H trực tâm tam giác, BH cắt (O) D khác B, AH cắt (O) K khác A, BD cắt AC E M trung điểm BC a) Điểm F tia BK cho CK = CF, đường thẳng HF cắt BC I Chứng minh D, I, K thẳng hàng b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác HM E cắt lại BC N khác M, EN cắt đường thẳng qua H, song song với BC P, CP cắt (O) G khác C Chứng minh D, P, H, G đồng viên D, P, K thẳng hàng Câu Tìm số nguyên dương n nhỏ cho 1n + 2n + · · · + 2016n không chia hết cho 2017 Câu Các số từ đến viết hình vng bảng × 3, ô chứa số ô khác chứa số khác Ta thực thao tác: Lấy hàng cột thay số a, b, c theo thứ tự hàng cột số khơng âm a−x, b−x, c+x a+x, b−x, c−x, với x số dương thay đổi theo thao tác 1) Tồn hay không chuỗi thao tác cho sau chuỗi thao tác đó, tất số bảng bảng ban đầu cho sau: 2) Tìm M lớn cho sau số bước, tất ô chứa M Đề chọn đội VMO 2017 26 Nguyễn Trung Tuân Khánh Hòa Nguồn: Thầy giáo Huỳnh Kim Linh, THPT Chuyên Lê Q Đơn, Khánh Hòa 26.1 Ngày thứ Bài 1: (4 điểm) Giải phương trình sau tập số thực √ √ (x − 4) x − − + (2x − 4) x − √ = x−1 4−x+x−5 Bài 2: (4 điểm) Cho hai số thực x y thỏa mãn x2 + xy + y ≤ Chứng minh 5x2 + 2xy + 2y ≤ 12 Bài 3: (4 điểm) Cho dãy số (un ) xác định u1 = un+1 = n un + , n ≥ n un Chứng minh u2n = n n ≥ Bài 4: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA M N Chứng minh 4SBCD ≤ SAM N BD AC Bài 5: (4 điểm) Cho tập hợp A = {a1 , a2 , , a15 } gồm 15 phần tử Chúng ta tạo tập hợp mà tập hợp chứa hay nhiều phần tử A (có thể sử dụng tất phần tử tập A) số phẩn tử tập hợp tạo thành phải bội số nhỏ có tập hợp Có tập hợp tạo thành? Chẳng hạn {a2 , a4 , a8 }, {a6 }, tập hợp thỏa mãn yêu cầu toán Đề chọn đội VMO 2017 26.2 Nguyễn Trung Tuân Ngày thứ hai Bài 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình sau tập số thực √ √ x + x (x2 + 3x + 3) = y + + y + − √ √ √ x + − x2 + 18x + 18 = y + + Bài 2: (4 điểm) Cho số nguyên tố thỏa mãn p1 < p2 < p3 < p4 p4 − p1 = Giả sử p1 > Chứng minh p1 chia cho 30 dư 11 Bài 3: (4 điểm) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (xy) + f (x − y) + f (x + y + 1) = xy + 2x + 1, ∀x, y ∈ R Bài 4: (4 điểm) Cho P (x) đa thức với hệ số nguyên Chứng minh tồn hai đa thức Q (x) R (x) với hệ số nguyên cho i) P (x) Q (x) đa thức x2 , ii) P (x) R (x) đa thức x3 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với đường trung tuyến AM, BN CP Gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp ∆ABC Chứng minh AM + BN + CP ≤ 4R + r Đề chọn đội VMO 2017 27 Nguyễn Trung Tuân Quảng Nam Nguồn: diendantoanhoc.net Câu (3 điểm) Giải hệ phương trình √ 16x3 + 24x2 + 12x + = √3 y 16y + 24y + 12y + = x Câu (2 điểm) Cho số thực a > dãy số (xn ) xác định x1 = a √ xn+1 = xn + 2xn − ∀n ≥ Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn n → +∞ tìm giới hạn Câu (5 điểm) Cho đường tròn (O) dây cung BC khác đường kính Điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC không cân A Gọi M giao điểm hai tiếp tuyến với (O) B C, AM cắt (O) D khác A Dựng đường kính DE (O) Các đường thẳng BD, CE cắt X, đường thẳng BE, CD cắt Y a) Chứng minh M X = M Y ; b) Gọi N giao điểm AE XY Chứng minh N nằm đường thẳng cố định Câu (2 điểm) Cho số nguyên tố p số nguyên dương a, b, c phân biệt nhỏ p Chứng minh số a3 , b3 , c3 có số dư chia cho p a2 + b2 + c2 chia hết cho a + b + c Câu (3 điểm) Tìm tất đa thức P (x) với hệ số thực thỏa mãn điều kiện P (x2 ) + P (x).P (x + 1) = ∀x ∈ R Câu ( điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ cho với cách chia tập hợp A = {1; ; n} thành bốn tập rời nhau, tập có phần tử, ln tồn tập B (trong bốn tập đó) thỏa điều kiện ln chọn B ba phần tử mà ba phần tử độ dài ba cạnh tam giác Câu ( điểm) Cho số thực không âm a, b, c, d Chứng minh (a + b + c + d)3 ≤ 4(a3 + b3 + c3 + d3 ) + 24(abc + bcd + cda + dab) Đề chọn đội VMO 2017 28 Nguyễn Trung Tuân THPT Chuyên Đại học Vinh Nguồn: diendantoanhoc.net 28.1 Ngày thứ Bài Cho số thực a ≥ Xét dãy (un ) xác định u1 = a, un+1 = un + ln un + ∀n ≥ 2un − Chứng minh (un ) có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Bài Tìm tất số thực k cho bất đẳng thức sau với số thực a, b, c: ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 + k max{(a − b)2 , (b − c)2 , (c − a)2 } ≤ a2 + b2 + c2 Bài Cho tam giác ABC vng A nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng qua A song song với BC cắt lại (O) D Gọi I giao điểm AC BD Đường thẳng qua I song song với AB cắt AD J Đường tròn tâm C bán kính CI cắt (O) E, F cho E thuộc cung BC chứa A a) Gọi S giao điểm IJ CD Chứng minh S, E, F thẳng hàng; b) Chứng minh EJ⊥AF Bài Bạn An có 12 thẻ, thẻ đánh số từ đến 12, hai khác mang số khác a) Chứng minh An chia thẻ thành số nhóm có tính chất (P ) sau: nhóm có nhiều thẻ đồng thời số lớn ghi thẻ tổng số ghi thẻ lại; b) Nếu An cho Bình n thẻ mang số từ đến n (n < 12) với thẻ lại An chia thành số nhóm có tính chất (P ) hay không? Đề chọn đội VMO 2017 28.2 Nguyễn Trung Tuân Ngày thứ hai Bài Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện: i) f (1) > 0; ii) f (xy − 1) + 2f (x)f (y) = 3xy − ∀x, y ∈ R Bài Cho ABC M điểm chuyển động cạnh AC Đường tròn ngoại tiếp ABM cắt cạnh BC điểm thứ hai D, đường tròn ngoại tiếp BCM cắt cạnh AB điểm thứ hai E a) Gọi O giao điểm AD CE Chứng minh điểm A, E, O, M thuộc đường tròn b) Gọi I, J, N giao điểm cặp đường thẳng AB DM , BC EM , AJ CI Chứng minh M N qua điểm cố định Bài Tìm số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a + 2b + 3c = 3d! + 1, biết tồn số nguyên tố p, q cho a = (p+1)(2p+1) = (q +1)(q −1)2 Đề chọn đội VMO 2017 29 Nguyễn Trung Tuân Đoạn cuối - Tôi cảm ơn thầy cô bạn đồng nghiệp nhiều, khơng có người tơi khơng thể hồn thành tài liệu này; - Các đề đề thức, chúng tơi gõ lại LATEX Nếu có chỗ sai lỗi tôi; - Tuyển tập đăng https://nttuan.org/2016/09/18/topic-817/ Nguyễn Trung Tuân Email: tuan.nguyentrung@gmail.com Web: http://nttuan.org/ Facebook: https://www.facebook.com/nttuan0136