CÙNG SINH VIÊN YÊU TOÁN - BÀI VŨ TIẾN VIỆT Tóm tắt nội dung Bất đẳng thức vùng đất mầu mỡ cho hoa đẹp ngon Đề Cho hàm f : [0, 3] → R khả vi liên tục thỏa mãn f (x)dx = Chứng minh 3 [f (x)]2 dx f (x)dx 0 Lời giải Sử dụng tích phân phần ta có 1 xf (x)dx = xf (x)dx − f (x)dx = f (1) − 0 (2x − 3)f (x)dx = (2x − 3)f (x) 1 f (x)dx, −2 f (x)dx = f (1) − f (x)dx Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta 1 x2 dx [f (x)]2 dx 0 = f (1) − f (x)dx = 3 (2x − 3)2 dx xf (x)dx f (x)dx − f (1) , [f (x)]2 dx (2x − 3)f (x)dx = f (1) − f (x)dx = 2 f (x)dx − f (1) Suy [f (x)]2 dx (1) f (x)dx − f (1) [f (x)] dx 1 f (x)dx − f (1) (2) VŨ TIẾN VIỆT Trong (1) (2) ta đổi biến t = − x 2 [f (t)]2 dt 2 f (t)dt − f (2) (3) 3 [f (t)] dt f (t)dt − f (2) (4) Đặt A= f (x)dx − f (1) , B = f (x)dx − f (1) , f (x)dx − f (2) , D = C=2 f (x)dx − f (2) 2 ý f (x)dx = 0, ta thấy A − (B + C) + D = = f (x)dx − f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx f (x)dx + f (x)dx f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx f (x)dx − = 3 1 = Cộng vế (1), (2), (3), (4) ta [f (x)] dx + [f (x)] dx = 2 [f (x)]2 dx + 3 f (x)dx f (x)dx + 3A2 + 6B + 6C + 3D2 = 3(A2 + 2B + 2C + D2 ) = 3[A2 + (B + C)2 + (B − C)2 + D2 ] 3[A2 + (B + C)2 + D2 ] = [12 + (−1)2 + 12 ].[A2 + (B + C)2 + D2 ] [A − (B + C) + D] = f (x)dx Tài liệu [1] Mitrinoviic D.S., Pecaric J.E., Fink A.M Classical and New Inequalities in Analysis Kluwer Academic Publishers, Dordrecht - Boston - London, 1993 [2] Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G Bất đẳng thức Bản dịch Nguyễn Khắc Lân, Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Hữu Ngự Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 [3] George A Anastassiou Advanced Inequalities World Scientific, 2011 [4] Vũ Tiến Việt (chủ biên), Phạm thị Hằng, Nguyễn thị Lê Giáo trình Tốn cao cấp - Học phần A2 Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2016 (Đại tá - TS Vũ Tiến Việt) Tổ Toán ứng dụng - Khoa CN&ANTT E-mail address: mydienbien@gmail.com