NHI ̣THỨC NEWTON Câu 1: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + + A 11 (−1) n n Cn = n+2 156 B C 10 D 12 Đáp án A Với x  N số nguyên dương n, theo nhị thức Niu tơn ta có Cn0 x − Cn1 x + + (−1) n Cnn x n +1 = (Cn0 − Cn1 x + + (−1) n Cnn ) x = (1 − x) n x Suy 1 0 n n n +1 n  ( Cn x − Cn x + + (−1) Cn x )dx =  (1 − x) xdx Hay 1 0 1 − = , với n  N* n + n + (n + 1)(n + 2) =  (1 − x) n dx −  (1 − x) n +1 dx = Từ ta có 1 (−1)n n Cn x − Cn + + Cn n+2 1 =  n2 + 3n − 154 =  n = 11 ( n N*) (n + 1)(n + 2) 156 Câu (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tìm các số ̣ng (nhỏ 100) là số nguyên khai triể n nhi ̣thức ( A 4536 Đáp án C ) n + , biế t ( Pn ) Cnn C2nn C3nn = P27 , với n là số tự nhiên B 2196 C D 10 Giải phương triǹ h ( Pn )3 Cnn C2nn C3nn = P27  n = 9−k k Số ̣ng tổ ng quát C9k 2 Số ̣ng là số nguyên k 9−k và là số nguyên  k = và k = Vâ ̣y có số ̣ng là: C93 33.21 = 4536 và C99 23 = Câu 3(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tìm hệ số x khai triển biểu thức ( P = x − 2x ) n ( + x + 3x A 3240 Điề u kiê ̣n n  2, n  ) 2n Biế t rằ ng An2 − C nn+−11 = B 3320 Ta có: An2 − C nn+−11 =  n (n − 1) − C 3210 ( n + 1) n D 3340 ( n = −2 loai =  n − 3n − 10 =   n = Với n = ta có: P = x (1 − 2x ) + x (1 + 3x ) = x C 5k ( −2x ) + x C 10l ( 3x ) 10 k =0 k 10 l =0 l ) ⇒ Số hạng chứa x là x C 51 ( −2x ) + x C 107 ( 3x ) = (16.5 + 27.120 ) x = 3320x Vậy hệ số x biểu thức P cho 3320 Cho ̣n B Câu (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho phương trình: 2Pn + 6An2 − Pn An2 = 12 Biết phương trình có nghiệm a, b Giá trị S = ab(a + b) A 30 B 84 C 20 D 162 Điều kiện: n  2Pn + 6An2 − Pn An2 = 12  2.n !+ 6n (n − 1) − n (n − 1).n ! = 12 n =   (n !− 6)(n − n − 2) =  n = n = −1(loai )  Vậy a = 3, b = (hoặc a = 2, b = 3) Chọn A Câu 5(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho n = tính giá trị của: (C ) + (C ) + (C ) + + (C ) n n 2 n n n A 924 B 876 Chọn A  Cách 1: Sử dụng máy tính  Cách C 614 ( D 512 )( x n x n = C n0 + C n1x + C n2x + + C nn x n C n0x n + C n1x n −1 + C n2x n −2 + + C nn ) Hế số của x^n khai triển C 2nn Hoặc (C n0 )2 + (C n1 )2 + (C n2 )2 + + (C nn )2 Do đó: (C n0 )2 + (C n1 )2 + (C n2 )2 + + (C nn )2 =C 2nn Thay n = vào Câu (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Ta có: C 14k , C 14k +1, C 14k +2 lập thành cấp số công Biết k có giá trị a b Giá trị ab là: A 30 B 32 Chọn B  k  12 Ta có: C 14k + C 14k +2 = 2.C 14k +1   C 50 D 56 14 ! 14 ! 2.14 ! + = k !(14 − k ) ! (k + 2) !(12 − k ) ! (k + 1) !(13 − k ) ! k = 1 + =  (14 − k )(13 − k ) (k + 2)(k + 1) (k + 1)(13 − k ) k = Câu 7(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Tim ̣ số ̀  1  x + x +  + 2x 4  ( ( 18 khai triể n ) B 4031040 ) x8 18 A 125970  1  x + x +  + 2x 4  của = ( 1 + 2x ) 20 = C 8062080 20 ( ) k C 20 2x  k =o k = 20 k k k C 20 2x  k =o D 503880 x8  8 C 20 = 64C 208 = 8062080 Cho ̣n C Câu 8(GV MẪN NGỌC QUANG P (x ) = (1 + x ) + 2(1 + x ) + 3(1 + x ) + + 20(1 + x ) 2018)Cho đa thức: 20 Được viết dạng P (x ) = a + a1x + a 2x + + a 20x 20 Tìm hệ số a15? A 400995 Chọn A B 500995 C 600995 D 700995 P (x ) = (1 + x ) + 2(1 + x )2 + 3(1 + x ) + + 20(1 + x )20 15 15 15 15 a15 = 15.C 15 + 16.C 16 + 17.C 17 + + 20.C 20 = 400995 Câu 9: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + + A 11 (−1) n n Cn = n+2 156 B Đáp án A Với x  C 10 D 12 số nguyên dương n, theo nhị thức Niu tơn ta có Cn0 x − Cn1 x + + (−1) n Cnn x n +1 = (Cn0 − Cn1 x + + (−1) n Cnn ) x = (1 − x) n x Suy  (C n x − Cn1 x + + (−1) n Cnn x n +1 )dx =  (1 − x ) n xdx Hay 1 0 =  (1 − x) n dx −  (1 − x) n +1 dx = Từ ta có 1 (−1)n n Cn x − Cn + + Cn n+2 1 − = , với n  n + n + (n + 1)(n + 2) 1 =  n2 + 3n − 154 =  n = 11 ( n (n + 1)(n + 2) 156 * *) Câu 10 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tim ̀ các số ̣ng (nhỏ 100) là số nguyên khai triể n nhi ̣thức ( ) n + , biế t ( Pn ) Cnn C2nn C3nn = P27 , với n là số tự nhiên A 4536 Đáp án C B 2196 Giải phương triǹ h ( Pn ) Cnn C2nn C3nn = P27  n = 9−k k Số ̣ng tổ ng quát C9k 2 C D 10 Số ̣ng là số nguyên k 9−k và là số nguyên  k = và k = Vâ ̣y có số ̣ng là: C93 33.21 = 4536 và C99 23 = Câu 11(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tìm hệ số x khai triển biểu thức P = x (1 − x ) + x2 (1 + 3x ) Biế t rằ ng An2 − Cnn+−11 = n A 3240 Điề u kiê ̣n n  2, n  2n B 3320 C 3210 Ta có: An2 − C nn+−11 =  n (n − 1) − ( n + 1) n D 3340 ( n = −2 loai =  n − 3n − 10 =   n = ) Với n = ta có: P = x (1 − 2x ) + x (1 + 3x ) = x C 5k ( −2x ) + x C 10l ( 3x ) 5 10 k k =0 10 l l =0 ⇒số hạng chứa x là x C 51 ( −2x ) + x C 107 ( 3x ) = (16.5 + 27.120 ) x = 3320x Vậy hệ số x biểu thức P cho 3320 Cho ̣n B k k +1 k +2 , C14 , C14 Câu 1(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Ta có: C14 lập thành cấp số cơng Biết k có giá trị a b Giá trị ab là: A 32 B.30 C.50 D.56 Đáp án A  k  12 k k +2 k +1 C14 + C14 = 2.C14 14! 14! 2.14!  + = k!(14 − k)! (k + 2)!(12 − k)! (k + 1)!(13 − k)! Ta có: 1  + = (14 − k)(13 − k) (k + 2)(k + 1) (k + 1)(13 − k) k =  k = Câu 2(GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Tìm ̣ số của x8 khai triể n  18 1  x + x +  (1 + 2x ) 4  A.125970 B 8062080 C.4031040 D.503880 Đáp án B  18 20 k 1 20 k 20 k k k  x + x +  (1 + 2x ) = (1 + 2x ) =  C20 ( 2x ) =  C20 x 4 4 k =o k =o  Câu 3(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển biểu n  1 thức  x3 −  , biết n số tự nhiên thỏa mãn Cn4 = 13Cnn − x2   A −6435 B 5005 D −6435 C.-5005 x8  C820 28 = 64C820 = 8062080 Câu 4: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho n là số nguyên dương thoả mañ 3Cn2 + 2An2 = 3n2 + 15 Tim ̀ ̣ số số ̣ng chứa x 10 khai triể n nhi ̣trức Niu- tơn của n  3  2x −  , x  x   C C10 26.34 B C10 28.36 A C10 24.36 D C10 26.38 Đáp án C Điề u kiện n  Ta có 3C2n + 2A 2n = 3n2 + 15  3n ( n − 1) + 2n ( n − 1) = 3n2 + 15  n2 − 7n − 30 =  n = 10  Khi đó  2x3 −  n 10 3  3  =  2x −  x2   x  = 10 k 10− k ( −3)  C10 k x30−5k k =0 Số ̣ng chứa x10 ứng với 30 − 5k = 10  k = 4 26.34 Vâ ̣y ̣ số số ̣ng chứa x10 là C10  a + Câu (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Trong khai triển:   b  21 b   , tìm hệ số số  a hạng chưa a,b với lũy thừa a, b giống nhau? A 293930 B 352716 C 203490 D 116280 Ta có:  k C21     a   b  21− k     k 21− k k k 21− k − − b b  k  = C21.a  a 21 − k k k 21 − k − = −  k = Hệ số cần tìm C21 Cho ̣n đáp án A 6 Câu 6: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho phương trình: 2Pn + 6An2 − Pn An2 = 12 Biết phương trình có nghiệm a, b Giá trị S = ab(a+b) A 20 B 84 C 30 D 162 Đáp án C n 2 2Pn + 6A 2n − Pn A 2n = 12  2.n!+ 6n(n − 1) − n(n − 1).n! = 12 n =  (n!− 6)(n2 − n − 2) =   n =   n = −1(loai) Vậy a = 3, b=2 (hoặc a=2, b=3) Chọn C Cy − Cy +1 = x x Giá y y −1  4Cx − 5Cx = Câu (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Biết x,y nghiệm hệ sau  trị x + y A 26 B 25 C 27 Đáp án B Đkxd: y  x  Cy − Cy +1 = y = x − (y + 1)  y  x y x y −1 y −1 4Cx − 5Cx = 4Cx = 5Cx x = 2y + x = 2y +  (2y + 1)!  y y −1   (2y + 1)! = 4C2y +1 = 5C2y +1  y!(y + 1)! (y − 1)!(y + 2)! x = 2y +     x = 17  4 = y =  y y + D 28 Câu (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Tính tổng S = A n B ( n + 1)( n + 2) −2n ( n + 1)( n + 2) C −C1n 2.3 + 2C2n 3.4 −n ( n + 1)( n + 2) − −1) nCnn ( + + 4.5 ( n + 1)( n + 2) n 3C3n D 2n ( n + 1)( n + 2) Đáp án C Tính tổng S = −C1n 2.3 + 2C2n 3.4 − ( −1) nCnn + + 4.5 ( n + 1)( n + 2) n 3C3n n + 1)! Cnk++11 ( n! Ta có (3) = = = k + k! ( k + 1)( n − k )! n + ( k + 1)! ( n + 1) − ( k + 1) ! n +   Cnk ( −1) kCnk = ( −1) kCnk++22 ( k + 1)( k + 2) ( n + 1)( n + 2) k Áp dụng lần công thức (3) ta được: k Cho k chạy từ đến n cộng vế đẳng thức ta có ( n + 1)( n + 2) S = −C3n+2 + 2Cn4+2 − 3C5n+2 + + ( −1) ( ) ( ) ( n nCnn++22 ) = − C2n+1 + C3n+1 + C3n+1 + Cn4+1 − Cn4+1 + C5n+1 + + ( −1) nCnn++11 = −C2n+1 + C3n+1 − C4n+1 + + ( −1) Cnn++11 n n n+1 = C0n+1 − C1n+1 −  Cn0+1 − C1n+1 + C2n+1 − C3n+1 + Cn4+1 − C5n+1 + + ( −1) Cnn++11    n−1 = − ( n + 1) − (1 − 1) = −n Vậy S = −n ( n + 1)( n + 2)  n  Câu (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tìm hệ số chứa x khai triển 1 + x + 3x    n+1 n biết: Cn+ − Cn+ = 7(n + 3) A.8080 B 8085-8085 C -8085 D.-8080 n− n  ĐK  n  Z  (1)  (n + 4)! (n + 3)! − = 7(n + 3)  (n+ 4)(n+ 2) − (n+ 1)(n+ 2) = 42  n = 12 (n + 1)! 3! n! 3! (1 + 2x)9 3x + C10 (1 + 2x)8 9x + + Với n = 12  (1 + 2x ) + 3x  = C100 (1 + 2x)10 + C10 10 Ta có: 0 C10 (1 + 2x)10 = C10 [C10 + C10 2x + C10 4x + C10 8x + C10 16x + ] 1 3x C10 (1 + 2x)9 = 3x C10 [C90 + C19 2x + C92 4x + ] 2 9x C10 (1 + 2x)8 = 9x C10 [C80 + ] Vậy hệ số số hạng chứa x là: C100 C104 16 + 3C10 C92 + 9C10 C80 = 8085 Chọn B  ... k =o k = 20 k k k C 20 2x  k =o D 503880 x8  8 C 20 = 64C 208 = 80 6208 0 Cho ̣n C Câu 8(GV MẪN NGỌC QUANG P (x ) = (1 + x ) + 2(1 + x ) + 3(1 + x ) + + 20( 1 + x ) 201 8)Cho đa thức: 20 Được... = Câu 7(GV MẪN NGỌC QUANG 201 8)Tim ̣ số ̀  1  x + x +  + 2x 4  ( ( 18 khai triể n ) B 4031040 ) x8 18 A 125970  1  x + x +  + 2x 4  của = ( 1 + 2x ) 20 = C 80 6208 0 20 ( ) k C 20. .. chứa x là x C 51 ( −2x ) + x C 107 ( 3x ) = (16.5 + 27. 120 ) x = 3320x Vậy hệ số x biểu thức P cho 3 320 Cho ̣n B Câu (GV MẪN NGỌC QUANG 201 8) Cho phương trình: 2Pn + 6An2 − Pn An2 = 12 Biết phương