Câu 1: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tìm giá trị lớn hàm số f ( x ) = sinx + cos2x  0;   −4   Câu 2: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Số nghiệm thuộc khoảng  ;   2 3   phương trình cos (  + x ) + 3sinx = sin  3x −    A B C D Đáp án A A B C D PT  − cos x + sinx = − cos3x  cos3x − cosx + sinx =  −2sin xsinx + sinx =    x = k  x = k sinx =    2x = 2 + k2   x =  + k ( k  )  sinx −2sin 2x + =    sin x =   3       2x = + k2  x = + k     4   −  k 1   −  k1   k1  −1;0      4    4  x  − ;   −  + k     −  k    k  −1;0    2  3    k  −1;0  − 4   + k    −  k    2 ( ) Câu 3: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Phương trình cos3x.tan 5x = sin 7x nhận giá trị sau x làm nghiệm     A x = 5, x = B x = 5, x = C x = D x = 10, x = 20 10 10 Đáp án A Điề u kiê ̣n: cos5x  Khi đó, phương trình đã cho  cos3x sin 5x = sin 7x cos5x 1 ( sin 8x + sin 2x ) = ( sin12x + sin 2x ) 2 12x = 8x + k2  sin8x = sin12x   12x =  − 8x + k2  cos3x.sin5x = cos5x.sin 7x  Câu 4: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Cho hai phương trình −1 ( ) Tập nghiệm phương trình (1) đồng thời nghiệm phương trình (2)  A x = + k2, k  B x = k2, k   2 C x =  + k2, k  D x =  + k2, k  3 Đáp án D cos3x − = (1) ; cos 2x = Ta có (1)  cos3x =  3x = k2  x = k 2 (k  2     2x = + k2  x = + k  (2)   (k   2x = − 2 + k2  x = −  + k   3 ) ) Suy nghiê ̣m chung của hai phương triǹ h là x =  2 + k2 ( k  ) Câu 5: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội)Tìm số đo ba góc tam giác cân, biết −1 số đo góc nghiệm phương trình cos2x =  2       A  , ,  B  , ,   6 3 3       2          C  , ,  ;  , ,  D  , ,  ;  , ,  3 3  6 3 3 4 2 Đáp án D 2 2   2x =  + k2  x =  + k 3   x = Do x  ( 0; 2 )   tam giác ABC cân nên đáp án cầ n tim ̀ là D  x = 2  Câu 6:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Có giá trị nguyên tham số m Ta có: cos2x = cos để phương trình A + cos x + + 2sin x = B m có nghiệm thực? C Đáp án A 2sin x +    2  Xét x   −;  mà  suy x   − ;   3 2 cos x +  D Ta có + 2cos x + + 2sin x = m m2  = + s inx + cos x + 2 (1 + 2sin x )(1 + 2cos x )  −1    ;  2sin x.cos x = t − Đặt t = s inx + cos x = sin  x +   t   4     −1   0; t   ; 2 2t + 2t −   2t + Khi f ( t ) = + t + 2t + 2t − 1, có f ' ( t ) = t + ( ) min f ( t ) = f = + 2  −1   Suy f ( t ) hàm số đồng biến  ; 2    −1  +   m ax f ( t ) = f   = 2    Do đó, để f ( t ) = m2 + m2   + 2  1+  m  1+ có nghiệm  8 Câu 7:( Chun Biên Hòa-Hà Nam) Phương trình với phương trình sau đây?     A sin  x −  = B sin  − x  = 6  6      C sin  x −  = D cos  x +  = 3 6   Đáp án A PT  sinx − cos x = tương đương 1   sin x − cos x = = sin  x −  = 2 6  Câu 8: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) 2sin 2x + cos2x + =  0; 2018 A 1008 Đáp án B B 2018 Số nghiệm C 2017 phương D 1009 cos2x = −1 PT  (1 − cos 2x ) + cos2x + =  −2 cos 2x + cos2x + =   cos2x =    cos2x = −1  2x =  + k2  x = + k ( k  )  Có x   0; 2018   + k  2018  −  k  2017,5 2 Suy PT có 2018 nghiệm thỏa mãn đề 2 trình Câu 9: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Giải phương trình 2sin x + sin 2x = Đáp án B PT  sin 2x − cos2x =    sin 2x − cos2x =  sin  2x −  = 2 6     = + k2  x = + k ( k  ) 2    A x = − + k B x = + k C x = D x = + k + k2 3 Câu 10: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Số giá trị thực tham số m để phương trình ( sin x − 1) ( cos x − ( 2m + 1) cos x + m ) = có nghiệm thực thuộc đoạn  2x − 0; 2 A Đáp án B B C D Vô số sin x = PT    cos x − ( 2m + 1) cos x + m =   Với s inx =  x = + k2 x  0;2  x = 2 2 Với 2cos x − ( 2m + 1) cos x + m =  2cos x − cos x = ( 2cos x −1) m  cos x =   ( 2cos x − 1)( m − cos x ) =    m = cos x PT: cos x = có nghiệm thuộc đoạn  0; 2 để PT cho có nghiệm thực thuộc đoạn  0; 2  m = −1  x = − TH1: m = cos x có nghiệm thuộc đoạn  0; 2    m =  x = 0; x = 2 ( loai ) TH2: m = cos x có nghiệm thuộc đoạn  0; 2 có nghiệm trùng    m=0 x =− 2 Vậy m = −1; m = x= Câu 11: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Số nghiệm thực phương trình  3  sin 2x + = đoạn − ;10   A 12 B 11 C 20 D 21 Đáp án A   + k2  x = − + k ( k  )      x   − ;10   −  − + k  10  −1, 25  k  10, 25    3  Suy PT có 12 nghiệm đoạn − ;10   PT  sin 2x = −1  2x = − Câu 12:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Phương trình cos x = − có tập nghiệm  5     A  + k, k   B  + k2, k          C  + k, k        D  + k2, k     Đáp án B PT  x =  5 + k2 ( k  ) Câu 13:(Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Tính tổng tất nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2 ) phương trình A 6 B 11 2cos3x = sin x + cos x C 8 D 9 Đáp án A   x = − + k    2cos3x = s inx + cos x  cos3x = cos x  x −    4   x =  + l  16 7 15  x = ; x = x  ( 0; 2 ) →  →  ( x ) = 6  x =  ; x = 9 ; x = 17 ; x = 25  16 16 16 16 Nguyên Lần 1) Các nghiệm phương trình sin x −1 (1 + cos x ) (1 + cot x ) = biểu diễn điểm đường tròn sin x + cos x lượng giác? Câu 14:(Chuyên Thái A Đáp án D B C D sin x + cos x  ĐK:  sin x  (1 + cos x ) sin x − =  (1 + cos x )( sin x + cos x ) = sin x ( sin x − 1) sin x sin x + cos x cos x + =  (1 + cos x )  ( sin x + cos x ) − (1 − cos x )( sin x − 1)  =   sin x + cos x + sin x cos x + = PT    x + − + k 2 ( loai ) cos x + =    (k  )  sin x + =  x =  + k 2 Kết hợp với điều kiện ban đầu, suy x =  + k 2 Suy có điểm biểu diễn nghiệm PT vòng tròn lượng giác Câu 15: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1)Số nghiệm phương trình cos x =  −2 ; 2  A Đáp án A B C thuộc D    x = + k 2 PT  (k  )  x = −  + k 2   5      −2  + k 2  2  −  k   k = −1,  x = − , x = x   −2 ; 2        k = 0,1  −2  −  + k 2  2 −  k   x = −  , x = 5    3 Câu 16: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ) Phương trình sin 2x + 3cos x = có nghiệm khoảng ( 0; ) A Đáp án B B C sin 2x + 3cos x =  2sin x cos x + 3cos x =  cos x ( 2sin x + 3) =    cosx =  x = + k ( k  )  sinx = − loại sinx   −1;1    ( ) D  Câu 17: (Đại Học Vinh 2018)Phương trình 2cos x + = có tất nghiệm Theo đề: x  ( 0;  )  k =  x =    x = + k2 ,(k  A   x = 3 + k2  7   x = + k2 B  ,(k   x = −  + k2  ) 3   x = + k2 C  ,(k   x = − 3 + k2     x = + k2 D  ,(k   x = −  + k2  ) ) ) Đáp án C 3  x= + k 2  • cos x = −  ;(k   x = − 3 + k 2  ) Câu 18: (Đại Học Vinh 2018) Nghiệm phương trình 8.cos2x xsin2x cos4x =    x = + k A  (k   x = 3 + k   8    x = + k  16 C  (k    x = +k  16 )     x = 32 + k B  (k   x = 3 + k   32 ) )    x = + k  32 D  (k    x = +k  32 ) Đáp án D Ta có: 8cos 2x.sin 2x.cos x =  4sin x.cos x =  k  x = +  32  2sin x =  sin x =  ; ( k  )  x = 3 + k  32 Câu 19: (Đại Học Vinh 2018) Phương trình tan x = cot x có tất nghiệm là: A x = C x =   + k (k  4  + k2 ( k  ) ) B x = D x =   + k (k   + k ( k  ) ) Đáp án C Phương pháp: Sử dụng công thức nhân đôi sin2x = 2sin x cos x đưa phương trình ban đầu dạng phương trình tích sau giải phương trình tích tìm nghiệm đoạn 0;100 Tính tổng nghiệm vừa tìm được, sử dụng cơng thức tính tổng cấp số cộng Sn = ( u1 + u n ) n Cách giải: sin2x + 4sinx − 2cosx − =  2sinxcosx + 4sinx − 2cosx − =  2cosx(sinx −1) + 4(sinx − 1) =  (sin x −1)( cos x + 2) = sin x = sin x − =     x = + 2 ( k  cos x + = cos x = −2 ( ) ) Đáp án B  k   ; ( k  ) • tan x = tan  − x   x = + 2  Câu 20: (Chuyên Vĩnh Phúc – lần 2) Tính tổng tất nghiệm phương trình sin 2x + 4sin x − 2cos x − = đoạn 0;100 phương trình: A 2476 B 25 C 2475 D 100   Câu 21: (Chuyên Quang Trung -2018) Nghiệm phương trình cos  x +  = 4   x = k2  x = k  A B  (k  ) (k  )  x = −  + k  x = −  + k   2  x = k  x = k2  C D  (k  ) (k  )  x = −  + k2  x = −  + k2   Đáp án D Phương pháp Giải phương trình lượng giác Lời giải chi tiết    x + = + k2     4 Ta có cos  x +  = = cos →    4    x + = −  + k2  4  x = k2  (k   x = −  + k2  ) Câu 22: (Chuyên Quang Trung -2018) Phương trình cos2x + 4sin x + = có nghiệm khoảng ( 0;10) A Đáp án A B C D Phương pháp Dùng công thức cos2x=1 − 2sin x để đưa phương trình ban đầu đa thức bậc theo sin x Giải phương trình tìm x đối chiếu với yêu cầu X  ( 0;10 ) để tìm giá trị x Lời giải chi tiết cos2x + 4sin x + =  (1 − sin x ) + s inx + =  sin x − s inx − = Ta có   ( s inx + 1)( s inx − 3) =  s inx = −1  x = − + k2 ( k  )  21 Do x  ( 0;10 )   − + k2  10 ( k  )   k  ( k  )  k = 1, 2,3, 4,5 4 Do tập nghiệm phương trình cho ( 0;10)     3    ; − + 4; − + 6; − + 8; − + 10  2 2 2      Câu 23: (Chun Quang Trung -2018) Tìm góc    ; ; ;  để phương trình 6 2 cos2x + 3sin2x − 2cosx = tương đương với phương trình cos ( 2x −  ) = cosx A  =  B  =  C  =  D  =  Đáp án D Phương pháp Dùng công thức cosacosb+sinasinb=cos ( a − b ) để biến đổi phương trình khơng chứa  dạng giống phương trình có chứa  Lời giải chi tiết Ta có cos2x + sin 2x − cosx=0 2     cos cos2x + sin sin 2x = cosx  cos  2x −  = cosx 3 3  cos2x + sin 2x − 2cosx=0  Do để phương trình cos2x + sin 2x − 2cosx=0 tương đương với phương trình  cos ( 2x −  ) =cosx  = Câu 24: (Chuyên Quang Trung -2018) cos 2x + 3sin x − = là: Nghiệm phương trình cos x    x = + k2    x = + k   A  x = + k ( k  ) B  (k    x = 5 + k    x = 5 + k     x = + k    x = + k2   C  x = + k2 ( k  ) D  (k  )   x = 5 + k2    x = 5 + k2  Đáp án D ) Phương pháp Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa Sau sử dụng công thức 2cos2x=1 − 2sin x để đưa phương trình cho phương trình bậc sin x giải phương trình để tìm nghiệm Bước cuối đối chiếu điều kiện để kết luận nghiệm Lời giải chi tiết  Điều kiện cos x   x  + k ( k  )(1) Với điều kiện phương trình cho trở thành cos 2x + 3sin x − =  (1 − 2sin x ) + 3sin x − =  2sin x − 3sin x + =  2sin x − =  ( 2sin x − 1)( s inx − 1) =   s inx − = Nếu s inx − =  s inx =  cos x = 0, không thỏa mãn điều kiện (1)   x = + k2   Vậy 2sin x − =  sin x = = sin   (k   x =  −  + k2 = 5 + k2  6 ) Câu 25: (Chuyên Quang Trung -2018) Tập giá trị hàm số y = sin2x + 3cos2x+1 đoạn  a; b  Tính tổng T = a + b? A T = B T = Đáp án B C T = D T = −1 Phương pháp Dùng công thức sin a sin b + cos a cos b = cos ( a − b ) , −1  cos x  1, x, a, b  Lời giải chi tiết 1    cos2x  + = 2cos  2x −  + Ta có y = sin2x + 3cos2x+1 =  sin 2x + 6  2      Do −1  cos  2x −    −1  cos  2x −  +  Như a = −1, b = 3 3   Do T = a + b = ( −1) + = Câu 26: (Chuyên Quang Trung -2018) Nghiệm phương trình tan3x = tan x  A x = k , ( k  ) B x = k, ( k  )  C x = k2, ( k  ) D x = k , ( k  ) Đáp án A Phương pháp Tìm điều kiện để phương trình ban đầu có nghĩa Giải trực tiếp phương trình cho đối chiếu điều kiện để suy nghiệm cần tìm Lời giải chi tiết  k    x + 3x  + k   cos3x      Điều kiện  (k  ) cosx      x  + k  x  + k   2 m Ta có tan3x = tan x  3x = x + m  x = ( m  ) Đối chiếu với điều kiện  m x  + k   + k  m  2k + Khi m = 2k ( k  )  x = k ( m  ) 2  k  k n +  k  +  k  + Do vế phải biểu thức không số 6 ngun nên ln Vậy nghiệm phương trình tan3x = tan x x = k, ( k  ) Từ x  Câu 27: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Tìm nghiệm phương trình lượng giác cos x − cos x = thỏa mãn điều kiện  x   A x =  Đáp án A C x =  B x = D x = Phương pháp: Giải phương trình lượng giác sau kết hợp vào điều kiện đầu để tìm nghiệm thỏa mãn Cách giải: cos x − cos x =   x = + k cos x =  ,k   cos x ( cos x −1) =    cos x =  x = 2k     1 +) Với: x = + k :  x     + k    −  k 2   −  k  2 2 4 Mà k  nên k = ta có x =  +) Với: x = 2k :  x     2k     k  Mà k  nên giá trị k thỏa mãn Sai lầm ý: Đối với tốn giải phương trình lượng giác thỏa mãn điều kiện cho trước, ta cần tìm x sau cho x thỏa mãn điều kiện đầu lập k ta tìm giá trị nguyên k thỏa mãn tìm đc x Câu 28: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Phương trình sau vơ nghiệm? A tan x + = B sin x + = C 3sin x − = D cos x − cos x − = Đáp án B Phương pháp: Giải phương trình kết luận phương trình vơ nghiệm Chú ý tập giá trị hàm sin hàm cos : −1  sin x  1; −1  cos x  Cách giải: Xét đáp án B ta có sin x + =  sin x = −3 Phương trình vơ nghiệm Câu 29: (Chun Bắc Ninh-2018) Giải phương trình 2sin x + sin x =  5 2  + k + k A x = − + k B x = + k C x = D x = 3 3 Đáp án B Phương pháp: Sử dụng phương pháp giải phương trình đẳng cấp bậc sin cos cách chia vế phương trình cho cos x 2sin x + sin x =  2sin x + sin x cos x =  TH1: cos x =  x = + k ( k  ) , ta có sin x =  2.1 = (vô nghiệm)  TH2: cos x   x  + k chia vế phương trình cho cos x ta 2 tan x + tan x = (1 + tan x ) (  tan x − tan x + =  tan x − ) =0  + k ( k  )( tm ) Câu 30: (Chuyên Lam Sơn –Lần 2) Nghiệm phương trình 2sin x = có dạng sau đây?      x = + k 2  x = + k 2 A  B  (k  ) (k  )  x = 2 + k 2  x = 5 + k 2   3  tan x =  x =    x = + k 2 C  (k   x = 5 + k 2  Đáp án C )    x = + k 2 D  (k   x = −  + k 2   x =  + k 2 Phương pháp: Giải phương trình: sin    (k   x =  −  + k  Cách giải: Ta có phương trình: sin x =  sin x = sin ) )      x = + k 2  x = + k 2   (k  )  x =  −  + k 2  x = 5 + k 2   6 Chú ý: Học sinh nhầm lẫn chọn đáp án B với k  Câu 31: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Khẳng định sau khẳng định sai?  A cosx = −1  x =  + k2 B cosx =  x = + k  C cosx =  x = k2 D cosx =  x = + k2 Đáp án D Câu 32: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Giải phương trình cos2x − 5sinx − =   A x = + k B x = − + k C x = k2 2 Đáp án D D x =  + k2 sinx = Ta có PT  − 2sin x + 5sinx − =  2sin x + 5sinx − =   sinx = ( L )    x = + k2 2 Câu 33: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Giải phương trình cos5x.cosx = cos4x k k k k ) k ) A x = B x = C x = k ( k  ) D x = ( ( (k  Đáp án A Ta có ( cos6x + cos4x ) = cos4x  cos6x + cos4x = 2cos4x  x = k  cos6x = cos4x   k  )  x = k (  k Vậy phương trình có nghiệm x = (k  ) Câu 34: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Cho phương cos5x.cosx = cos4x  trình: ( cosx + 1)( cos2x − mcosx ) = msin x Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn  2  0;  khi: A m  −1 B m  −1 C −1  m  D −1  m  Đáp án D Ta có: PT  (1 + cos x )( cos2x − mcosx ) = m (1 − cos x ) = m (1 + cos x )(1 − cos x ) 1 + cos x = cos x = −1   cos2x − m cos x = m − m cos x cos2x = m −1 )   Với x  0;   cos x = −1( )  2  2   4  Với x  0;   2x  0;  dựa vào đường tròn lượng giác suy PT có hai  2  3 nghiệm −1  m  cos 4 −1  −1  m  Câu 35: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Cho phương trình cos x + sin 2x + = cos3x Khẳng định đúng? A Phương trình cho vơ nghiệm B Nghiệm âm lớn phương trình x = −  C Phương trình tương đương với phương trình ( sinx −1)( 2sin x −1) = D Điều kiện xác định phương trình cosx(3 + 4cos x)  Đáp án A cos ( 4cos x − 3)  cos3x  cos3x  PT     cos x + sin 2x + cos3x = 2cos2x cos x + 2sin x cos x = 2 cos x ( cos2x + s inx ) = cos ( − 4sin x − 3)  cos x (1 − 2sin x )(1 + 2sin x )      PTVN cos x ( 2sin x + 1)( s inx − 1) = 2 cos x ( −2sin x + sin x + 1) = Câu 36: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Phương trình cos4x = tan 2x có số cos2x   nghiệm thuộc khoảng  0;  là:  2 A B C D Đáp án D ĐK: cos2x  Khi  sin 2x = cos4x sin 2x  PT  =  − 2sin 2x = sin 2x   cos2x cos2x sin 2x = −1  cos2x = ( loai )     2x = + k2 x = + k   12 Do PT  sin 2x =     2x = 5 + k2  x = 5 + k   12   Do PT có nghiệm thuộc khoảng  0;   2 Câu 37: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2)Khẳng định sau đúng:  + k2; k  A c osx = −1  x =  + k2; k  B c osx =  x = C sin x =  x = k2; k  D tan x =  x = k2; k  Đáp án A Câu 38: (Viên Khoa Học Thương Mại Quốc Tế)Tìm số đo ba góc tam giác cân biết số đo góc nghiệm phương trình cos x = −  2        A  ; ;  B  ; ;   6 3 3       2            C  ; ;  ;  ; ;  D  ; ;  ;  ; ;  3 3  6 3 3 4 2 Đáp án D Phương pháp: Giải phương trình cos2x = − , tính góc suy góc lại tam giác cân 2  + k2  x =  + k Cách giải: cos2x = −  2x =  3   x = Vì x số đo góc tam giác cân nên  x      x = 2      Với x = => tam giác cân trở thành tam giác => góc tam giác  ; ;  3 3 2   góc lại tam giác cân Với x =  góc tam giác  2     ; ;   6 Câu 39: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Có giá trị nguyên tham số m để phương trình sin 2x + cos2x + sin x + cosx − cos2 x + m − m = có nghiệm thực? A 9B C D Đáp án Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu hàm số, đánh giá số nghiệm phương trình Cách giải: sin 2x + cos2x + sin x + cosx − cos x + m − m =  sin 2x − 2cos x + + sin x + cosx − cos x + m − m =  sin 2x + + sin x + cosx = 2cos x + cos x + m + m  sin x + cosx + sin x + cosx = 2cos x + cos x + m + m (1) Xét hàm số y = f ( t ) = t + t, t  0, ta có y' = f ' ( t ) = 2t +  0, t   y = f ( x ) đồng biến khoảng 0; + ) (1)  f ( sin x + cosx ) = f ( ) cos x + m  sin x + cosx = cos x + m  + sin x cos x = cos x + m    m = sin 2x − cos2x  m = sin  2x −  4  ( 2)     mà −1  sin  2x −   1, x  −  sin  2x −   , x 4 4    Để phương trình (2) có nghiệm m   − 2;  m   m −1;0;1 Vậy, có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề Câu 40: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình sinx = 0? A cos x = −1 B cos x = C tanx=0 D cot x = Đáp án C Câu 41: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Phương trình 2log3 ( cot x ) = log ( cos x ) có nghiệm khoảng A 2018 nghiệm Đáp án D ( 0;2018) ? B 1008 nghiệm C 2017 nghiệm cot x  Ta có Điề u kiê ̣n:  cos x  log ( cot x ) = log ( cos x )  log ( cot x ) = log ( cos x ) = t D 1009 nghiệm Suy  cos x t cot x = 3t = 3t 4t  4 t t t t t   =  + 12 − =   1 − cos x   + − = t t 1− 3 cos x = cos x = 4t  t t 4 4 Xét hàm số f ( t ) =   + 4t − , có f ' ( t ) =   ln + t.ln  0; t  3 3 mà  f ( t ) là hàm số đồ ng biế n  f ( −1) =  t = −1  cos x =  x = + k2 k → Có 1009 nghiê ̣m Kế t hơ ̣p với điề u kiê ̣n x  ( 0; 2018 )  −  k  1008,83 ⎯⎯⎯ Câu 42: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Tìm tất giá trị m để phương trình    sin x + cos x + cos 4x = m có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn − ;   4 47 47 47 m A m  hoă ̣c m  B 64 64 64 47 47 3 m m C D 64 64 2 Đáp án C Ta có sin x + cos x = + cos4x, đó phương trình đã cho trở thành: 4 cos 4x + cos 4x + = m  cos 4x + cos4x + = 4m (*) 4 Đă ̣t t = cos4x mà 4x  −;   t  −1;0 , đó (*)  4m = 4t + t + Xét hàm số f ( t ) = 4t + t +  −1;0 , có f ' ( t ) = 8t + =  t = − 47   47 Tiń h f ( −1) = 6; f  −  = ; f ( ) = → minf ( t ) = ; max f ( t ) = 16   16 47 47     4m   m Để phương triǹ h đa cho có nghiê ̣m thuô ̣c  − ;   16 64  4 Câu 43: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Giải phương trình cos3x.tan 4x = sin5x k2  k  k ,x = + A x = B x = k, x = + ( k  ) (k  ) 16 16 k  k3  k3 ,x = + C x = k2, x = + D x = (k  ) (k  ) 16 16 8 Đáp án B Phương pháp giải: Quy đồng, đưa dạng tích sử dụng cơng thức tích thành tổng  k + Ta có cos3x.tan 4x = sin 5x  cos3x.sin 4x = cos4x.sin 5x Lời giải: Điều kiện: cos4x   x   x = k 9x = 7x + k2 1  ( s inx + sin 7x ) = ( s inx + sin 9x )  sin 7x = sin 9x    ( tm )  x =  + k 9x =  − 7x + k2  2  16  Câu 44: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình cos 2x + m sin x − m = có nghiệm? A B C D vô số : Đáp án B PT  − 2sin x + m sin x − m =  2sin x − m sin + m −1 = (1) Đặt t = sin x , (  t  1)  (1)  2t − mt + m −1 = ( 2) Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t 0;1  2t −1 = m ( t −1) có nghiệm t  0;1 Suy 2t − = m có nghiệm t  0;1 t −1 Xét hàm số f ( t ) = 2t − 2t − 4t + 2− , f '(t ) =  f '(t ) =  t = t −1 ( t − 1) Lập bảng biến thiên hàm số f ( t )  f ( t )  − 2  m  − 2  m = 0;1) Câu 45: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Gọi S tập hợp tất nghiệm phương trình     tan  − x  + tanx.tan  − x  + tan x = tan 2x đoạn 0;10 Số phần tử 6  6  S là: A 19 B 20 C 21 Đáp án B Phương pháp: Sử dụng công thức tan ( a + b ) = Cách giải: tan a + tan b − tan a tan b D 22     tan  − x  + tan x.tan  − x  + tan x = tan 2x 6  6     tan  − x  + tan x + tan x = tan 2x 6  ( )   + tan x  tan  − x  − tan x + tan x = tan 2x 6  − tan x ( )      tan  − x  tan  x +  − tan x + tan x = tan 2x 3 6        tan  − x  c ot  − x  − tan x + tan x = tan 2x 6  6    1 − tan x + tan x = tan 2x  tan 2x =  2x = + k, k     x = + k ,k   x   0;10   + k  10, k  79  −  k  , k   k  0;1; 2; ;19 4 ( ( ) ( ) ) Ứng với giá trị k ta có nghiệm x Vậy số phần tử S 20 Câu 46: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Tính tổng tất nghiệm phương trình cos x − sinx = đoạn  0; 2 A 5 B 11 C  D 3 Đáp án A PT  1    cos x − s inx =  sin  − x  = sin 2 3       − x = + k2  x = + k2   (k    − x = 5 + k2  x = −  + k2   )   11    0  + k2  2  − 12  k  12  k =  x = 5 x   0; 2       x1 + x = k = 0  −  + k2  2  x = 3 1  k     4  Câu 47: (Chun Lê Q Đơn-Lần 3) Có tất số nguyên dương m để phương trình cos2 x + A m + cos x = m có nghiệm thực? B C D Đáp án C Phương pháp giải: Đưa phương trình lượng giác bản, biện luận tìm tham số m Lời giải: Ta có ( cos x + m ) + cos x + m = cos x + m ) + cos x + cos x + m = cos x + m + cos x = m  cos x + cos x − ( )(  cos x + cos x + m cos x −  cos x + m = cos x +  cos x − cos x + m + cos x + cos x + m =   (* )  cos x + m = − cos x ( )( )  t + m = t + 1(1) Đặt t = cos x  −1;1 , (*)    t + m = − t ( ) Giải (1) ta có m = t + t + có nghiệm t   −1;1   m  Giải (2) ta có m = t − t có nghiệm t   −1;1  −  m  + Kết hợp với m  , ta m = {1; 2; 3} giá trị cần tìm Câu 48: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Tìm số tất giá trị nguyên tham số thực   m để phương trình 2sin 2x + m sin 2x + 2m + = 4cos 2x có nghiệm thuộc  0;   6 A B C D Đáp án C 2sin 2x + m sin 2x + 2m + = 4cos 2x  2sin 2x + m sin 2x + 2m + = (1 − sin 2x )  2sin 2x + 4sin 2x + m sin 2x + 2m =  3   Đặt t = sin 2x  t   0;   t   0;  , ta  6   2  2t + 4t + mt + 2m =  ( t + ) ( 2t + m ) =  3 Vì t   0;   t +  0,   ( t + ) ( 2t + m ) =  2t + m =  t = −m  3 Với t   0;    t  , để phương trình có nghiệm   −m 3 0  − m0  m = −1( m  )  Có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 49: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Số nghiệm thuộc khoảng trình cos2 x + cos x + = A B Đáp án C C ( 0;3) phương D 1 2 x= + k2 ( k  ) 2   0  + k2  3  −  k   k  0;1 x  ( 0;3 )    0  − 2 + k2  3   k  11  k =   3 Câu 50: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ) Nghiệm phương trình 2sin x + = biểu diễn đường tròn lượng giác hình bên điểm nào? A Điểm E, điểm D B Điểm C, điểm F C Điểm D, điểm C D Điểm E, điểm F Đáp án D PT  ( cos + 1)( cos x + ) =  cos x = −   x = − + k2  Ta có 2sin x + =  sin x =   (k  )  x = 7 + k2  Vậy có hai điểm E F thỏa mãn Câu 51: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Tổng tất nghiệm phương trình 3cos x −1 = đoạn 0;4 15 C Đáp án D A B 6 C 17  D 8 D Phương trình 3cos x − =  x = , x = 2 − , x = 2 + , x = 4 −  với cos  =       0;   2 Vậy tổng nghiệm phương trình cho đoạn 0;4 8 Câu 52 (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) : Khẳng định sau phương trình 80  x    sin   + cos  +  = 0? x + 32 x + 332   x +6  A Số nghiệm phương trình B Tổng nghiệm phương trình 48 C Phương trình có vơ số nghiệm thuộc D Tổng nghiệm phương trình Do đó, lim Sn = Đáp án B Phương trình cho tương đương với 80  x    sin   = sin    x +6  x + 32 x + 332  (5)    Ta biết hàm số y = sin x đồng biến khoảng  − ;  Ta  2 hàm số f ( x) = Thật x x +6 x x +6 Mặt khác   g ( x) = x x2 80 = 60 = 80 x + 32 x + 332 ( x + 16) + 76 Từ đánh giá trên, (5) xảy x = 60 nhận giá trị khoảng x + 32 x + 332 2  80   76  x3 − 48x2 + 332 x − 480 =  x =  x =  x = 40 x + x + 32 + 332 Tổng nghiệm phương trình cho + + 40 = 48 Câu 53: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Có giá trị nguyên tham số m m để phương trình sin x + cos x + 3sin x cos x − + = có nghiệm thực? A 13 B 15 C D Đáp án A 2 Câu 54: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Có giá trị nguyên tham số m sin x + m để giá trị lớn hàm số y = nhỏ 2? cos x + A B C D Đáp án A Giả sử giá trị lớn m sin x + = M  m sin x + = M cos x + 2M cos x + hàm số M Khi  msin x − Mcos x = 2M −1 có nghiệm  m2 + M  ( 2M − 1)  3M − 4M + − m2  ( ) xét f ( M ) = 3M − 4M + − m2 , Có  ' = − 1− m2 = 3m2 +  0; m Suy f ( M ) = có nghiệm phân biệt M 1,M  f ( M )   M  M  M 2 − 3m2 + + 3m2 + + 3m2 + Ta có M = suy M max =  M2 = 3 Yêu cầu toán  ymax = + 3m2 +   3m2 +   −  m  ... Từ x  Câu 27: (Chuyên Bắc Ninh -2018) Tìm nghiệm phương trình lượng giác cos x − cos x = thỏa mãn điều kiện  x   A x =  Đáp án A C x =  B x = D x = Phương pháp: Giải phương trình lượng giác. .. k2  x = + k ( k  )  Có x   0; 2018    + k  2018  −  k  2017,5 2 Suy PT có 2018 nghiệm thỏa mãn đề 2 trình Câu 9: ( Chuyên Thái Bình Lần 3 -2018) Giải phương trình 2sin x + sin 2x... cầu đề Câu 40: ( Chuyên Tiền Giang -2018) Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình sinx = 0? A cos x = −1 B cos x = C tanx=0 D cot x = Đáp án C Câu 41: ( Chuyên Tiền Giang -2018)