http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I Định nghĩa Giả sử A B hai biểu thức số chữ Khi + A  B; A  B; A  B; A  B gọi bất đẳng thức + Các bất đẳng thức viết lại sau A  B  0; A  B  0; A  B  0; A  B  + Một bất đẳng thức đúng, sai Quy ước: Khi nói bất đẳng thức mà khơng nói thêm ta hiểu bất đẳng thức II Tính chất bất đẳng thức + Tính chất giao hốn Với số thực A B bất kì, ta ln có A  B  B  A + Tính chất bắc cầu Với số thực A, B, C bất kì, ta ln có A  B, B  C  A  C + Tính chất liên hệ với phép cộng - Với số thực A, B M bất kì, ta ln có A  B  AM BM - Với số thực A, B, C, D , ta ln có  A  B; C  D  A  C  B  D  A  B; C  D  A  D  B  C + Tính chất liên hệ với phép nhân - Với số thực A, B bất kì, ta ln có  A  B; M   A.M  B.M  A  B; M   A.M  B.M - Với số thực A, B, C, D , ta ln có  0  A  B      A.C  B.D  0CD   + Tính chất liên hệ với lũy thừa - Với số thực A, B bất kì, ta ln có  A  B   An  Bn  , với n số thực dương  A  B  An  Bn , với n số tự nhiên lẻ  A  B  An  Bn  , với n số tự nhiên chẵn  m  n  0; A   Am  An  m  n  0;  A   Am  An + Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo - Với số thực dương A, B bất kì, ta ln có A  B  1  A B III Một số bất đẳng thức cần nhớ http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí + A2  với  A + A2k  với  A k số tự nhiên + A 0 với A + AB  A  B + AB  A  B http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí Chƣơng I – MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nội dung chương I gồm:  Giới thiệu phương pháp chứng minh bất đẳng thức  Nêu số tính chất liên quan, số lưu ý phương pháp chứng minh bất đẳng thức  Giới thiệu tập mẫu q trình phân tích, suy luận để tìm lời giải lời giải trình bày cụ thể  Giới thiệu số tập tự luyện Chủ đề MỘT SỐ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG Kiến thức cần nhớ Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức A  B Tư tưởng phương pháp biến đổi tương đương bất đẳng thức thành bất đẳng thức mà phổ biến dạng sau: + Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức: A  B  A  B  + Dạng tổng bình phương: A  B  mX2  nY2  kZ2  , với số m, n, k dương + Dạng tích hai thừa số dấu: A  B  X.Y  A  B  X2n Y  + Xây dựng bất đẳng thức từ điều kiện ban đầu: Nếu x, y, z  [a, b] ta nghĩ tới bất đẳng thức sau  x  a  x  b  0;  x  a  y  a  z  a   0;  x  b y  b z  b   Một số đẳng thức cần nhớ a  b  a  b   + ab   a  2ab  b2 ; a  b2 2    a  b  c  2ab  2bc  2ca +  a  b  b  c  c  a   a b  ab  b c  bc  c a  ca  2abc +  a  b  c ab  bc  ca   a b  ab  b c  bc  c a  ca  3abc +  a  b  b  c  c  a   abc  a  b  c ab  bc  ca  +  a  1 b  1 c  1  abc  ab  bc  ca  a  b  c  +  a  1 b  1 c  1  abc  ab  bc  ca   a  b  c  + a  b  c  3abc  a  b  c  a  b  c  ab  bc  ca  + abc 2 2 2 2 3     + abc 2  2  2 2 2   a  b3  c  a  b b  c c  a   + a  b  c a  b2  c2  a  b3  c3  a 2b  ab2  b2c  bc2  c2a  ca Một số bất đẳng thức http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí    + a2  b2  2ab; a  b2  a  b + a  b2  ab   ab   4ab  + a2  b2  c2  ab  bc  ca  + a   ab  bc  ca     c   ab  bc  ca   3abc a  b  c  + a2  b2  c2  a  b  c  b4 2 + Bất đẳng thức tam giác b  c  a  b  c a  b  c     c  a  b  c  a  b  c  a  a  b  c  a  b c  a  b    Với a, b, c ba cạnh tam giác Một số kỹ thuật phép biến đổi tƣơng đƣơng + Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức + Kỹ thuật sử dụng đẳng thức + Kỹ thuật thêm bớt số, biểu thức + Kỹ thuật đặt biến phụ + Kỹ thuật thứ tự biến + Kỹ thuật khai thác tính bị chặn biến Một số ví dụ minh họa Ví dụ Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng: a) a  b2  c2  ab  bc  ca  b) a  b2  c2   a  b  c  Phân tích: Các bất đẳng thức quen thuộc, ta giải cách xét hiệu vế trái vế phải phân tích thành tổng bình phương Lời giải a) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức a b c 2 a  2ab  b2  b2  2bc  c2  c2  2ca  a  ab  bc  ca  2 2 a b  bc  ca  0          Suy a2  b2  c2  ab  bc  ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c b) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức a     b2  c2   a  b  c  a  2a   b2  2b   c2  2c       2  a 1  b 1  c 1 Suy  a2  b2  c2   a  b  c  0  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí Ví dụ Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng: a  b2  c2  a  b  c    3   Phân tích: Đây bất đẳng thức quen thuộc, ta giải cách xét hiệu vế trái vế phải phân tích thành tổng bình phương Lời giải Xét hiệu hai vế bất đẳng thức     a  b2  c  a  b  c a  b2  c  a  b  c  a    3   2 ab  bc  ca        a  b2  c2  a  b  c   Suy  3   Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Nhận xét: Qua hai ví dụ ta nhận thấy biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc hai thường xuất      2 đại lượng a  b ; b  c ; c  a  với điều kiện dấu đẳng thức xẩy a  b  c Do trước biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xẩy để từ có hướng hợp lí Ví dụ Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng:  a2  b2  c2  d2  e2  a b  c  d  e  Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự bất đẳng thức trên, ta giải cách xét hiệu vế trái vế phải phân tích thành tổng bình phương Để tích ab, ac, ad, ae vào bình phương ta cần ghép a với b, c, d, e, vai trò b, c, d, e nên ta nghĩ đến việc biến đổi sau  a  b2  c2  d2  e2  a b  c  d  e   a  kb    a  kc   a  kd   a  ke  2 2 0 Trong trường hợp ta chọn k  , tức ta phải nhân hai vế với Lời giải Xét hiệu hai vế bất đẳng thức  a2  b2  c2  d2  e2  a b  c  d  e       a  b2  c2  d2  e2  ab  ac  ad  ae a  4ab  4b  a  4ac  4c2  a  4ad  4d2  a  4ae  4e2      a  2e  a  2b    a  2c   a  2d    2 Suy      0  a2  b2  c2  d2  e2  a b  c  d  e  http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  2b  2c  2d  2e Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, phép biến đổi tương đương ta dùng tính chất tam thức bậc hai để chứng minh Ví dụ Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện a, b, c  Chứng minh rẳng: 1 1   b)    2 3  ab  abc 1a 1b 1a 1b 1c Phân tích: Để ý ta thấy, mẫu biểu thức xuất hiệt bình phương, ý tưởng chứng minh bất đẳng a) thức xét hiệu phân tích làm xuất bình phương Chú ý đến giả thiết a, b   ab   Lời giải a) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức 1 1 1       2 2  ab  a  ab  b  ab 1a 1 b a  b ab   0 a  b2  ab         1   2  ab 1a 1b Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  Suy b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 1 1         3 3 3  abc  abc  abc 1a 1b 1 c 1a 1b 1c Áp dụng bất đẳng thức câu a ta 1 1 2      3 3  abc  a b 1a 1 b 1c  abc4 4    abc  a 3b3 abc4 1    3  abc 1a 1 b 1c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Suy Ví dụ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b3  a  b Chứng minh rẳng: a2  b2  ab  Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy có biểu thức a2  b2  ab Trong giả thiết lại xuất biểu thức a  b Vậy mối liên hệ hai biểu thức nào? Dễ thấy    đẳng thức a  b a2  b2  ab  a  b3 Do cách tự nhiên ta nhân hai vế giả thiết với biểu thức a  ab  b2  a2  b2  ab để làm xuất a  b3 a2  b2  ab , ta a  b3 a  b3  xong Tới cần chứng minh a  b3 a  b3 Lời giải Biến đổi giả thiết ta http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí   a   b  a    ab  b   a  a  b3  a  b  a  b3 a  ab  b2  a  b a  ab  b2 3 2   b3  a  ab  b2  a  b3 a  b3 Ta cần chứng minh a  b3   a  b3  a  b3   2b3   b 3 a b Do b  hiển nhiên Nên bất đẳng thức chứng minh Ví dụ Cho a, b số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b Chứng minh rằng: a2  b2  2ab  b2  a Phân tích: Bất đẳng thức có chứa bậc hai biểu thức có chứa bình phương, lại có thêm điều kiện a  b  , nên ta bình phương hai vế để biến đổi bất đẳng thức Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:  a  b2  2ab  b2   a2  a  b2  a  b2 2ab  b2  2ab  b2  a    2b a  b  a  b2 2ab  b2    Vì a  b  nên b a  b  Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:  a  b4  c4  abc a  b  c  Phân tích: Bất đẳng thức bất đẳng thức có vế trái lũy thừa bậc chẵn Để ý ta   thấy abc a  b  c  ab.bc  bc.ca  ca.ab , tự nhiên ta nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng bình phương Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a  b4  c4  a 2bc  b2ac  c2ab   2a  2b4  2c4  2a 2bc  2b2ac  2c2ab    a   2a b   b  c   2b c   c  a   2a c  2a bc  2b ac  2c ab   b    b  c    c  a    ab  bc    bc  ac    ab  ac    a  b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  a  b4  c4  abc a  b  c Suy 2  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Ví dụ Cho a, b số thực dương tùy ý Chứng minh rẳng: a 10      b10 a2  b2  a  b8 a  b4  Phân tích: Để ý ta thấy a10 a2  a a 4, b10 b2  b8 b4 , ta biến đổi tương đương để thu gọn chứng minh bất đẳng thức Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí a 10      b10 a  b2  a  b8 a  b4   a  a b  a b  b  a  a b  a b8  b12 12 10 2 10 12   a b a 12 4     b   a   a b  b       a b2 a  b2  a 2b8 b2  a   a 2b2 a  b2 a  b6   2 2 2 Bất đẳng thức cuối Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  Chứng minh rằng: ab  2bc  3ca  Phân tích: Từ giả thiết a  b  c  ta rút biến theo biến lại, chẳng hạn c  a  b , thay vào biểu thức bất đẳng thức ta 3a2  4ab  2b2 biểu thức chứa hai biến xuất bình phương Đến ta tìm cách phân tích thành tổng bình phương để chứng minh bất đẳng thức Lời giải   Theo giả thiết c   a  b , nên bất đẳng thức cho tương ứng với      ab  c 2a  3a   ab  a  b 2b  3a    ab  2ab  3a  2b2  3ab   3a  4ab  2b2   a  a  b  0 Từ ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a  b  c    a2  a 11   Ví dụ 10 Chứng minh với số thực a dương, ta có: 2a a 1 Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh chứa biến a, nên thông thường ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh Để ý thêm ta thấy, bất đẳng thức chứa đại lượng   a2  2a làm ta liên tưởng đến đẳng thức a  , lại thấy đẳng thức xẩy a  nên suy   nghĩ tự nhiên biến đổi tương đương bất đẳng thức làm xuất đại lượng a   xem  a a 1 11  ;    nên chứng minh toán khơng Với a  ta có 2a 2 a 1 ta chuyển vế để biến đổi bất đẳng thức Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức     a2  a 11 a a 1      5 2a 2a a2  a 1 2 2  a 1 a 1 a 1 5    0   0 2a 2 a 1  a a  1     a  1   2   5a  a   a a2      a  1  a  1 0 2    a2  a2   0 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí Đẳng thức xảy a  Ví dụ 11 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a  b3 b3  c c  a   2 abc ab bc ca Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy đặc điểm sau:   + Hai vế bất đẳng thức có bậc + Bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến bất bất đẳng thức hay dùng   x  y3  xy x  y Lời giải   Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức x  y3  xy x  y với x, y số dương Thật           x3  y3  xy x  y  x  y x2  y2  xy  xy x  y  x  y Áp dụng bất đẳng thức ta      0 bc b  c ca c  a a  b3 b3  c3 c3  a ab a  b      2 abc ab bc ca ab bc ca   a  b3 b3  c c  a Suy   2 abc ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c   Ví dụ 12 Chứng minh với số thực x ta ln có 2x  1   x2  x   2x  x2  x  Phân tích: Bất đẳng thức chứa biến có chứa bậc hai Trước hết ta kiểm tra điều kiện xác định thức 2   1 1 3 x  x    x     x2  x    x     2 2 4   Nên bất đẳng thức xác định với x Quan sát bất đẳng thức ta thấy thay x x vế trái bất đẳng thức trở  2x  1   x2  x  vế phải bất đẳng thức 2x  x2  x  , nhân hai vế với 1 2x  1 x2  x   2x  1 x2  x  , tức bất đẳng thức khơng thay đổi Như ta cần xét trường hợp x không âm Với  x  , ta thấy vế trái dương vế phải nhỏ khơng nên ta chia nhỏ trường hợp  x  1 x  để chứng minh bất đẳng thức 2 Lời giải   1 Vì x  x    x     x2  x    x  2   Nên bất đẳng thức xác định với x 2 1   0 2 http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí Nếu x  , ta đặt x  t, t  bất đẳng thức trở thành  2t  1 t  t    2t  1   2t  1 t  t   2t  1 t t2  t  2  t1 Bất đẳng thức cuối có dạng bất đẳng thức đề quan trọng lúc ta lại có t  Như vậy, với lập luận ta thấy cần xét toán trường hợp x  đủ Lúc có hai khả xảy : + Nếu  x  2x  x2  x   0; 2x  x2  x      suy 2x  + Nếu x      x2  x   2x   x2  x  Nên bất đẳng thức hai vế dương, nên bình phương hai vế ta 2x  1  x 2    x   2x   x 2  x 1   4x  x  3x   4x  x  3x   x  4 nên bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Mà x  Ví dụ 13 Cho số thực a, b, c  [0, 1] Chứng minh rằng: a  b3  c2  ab  bc  ac  Phân tích: Từ giả thiết a, b, c  [0, 1] ta  a, b, c  , theo tính chất lũy thừa ta a  a ; b  b3 ; c  c2 Biểu thức vế trái bất đẳng thức thay đại lượng a  b  c  ab  bc  ca Cũng từ giả thiết a, b, c  [0, 1] biểu thức bên làm ta liên tưởng đến tích 1  a 1  b1  c  Do ta sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức Lời giải Theo giả thiết a, b, c  [0, 1] ta có 1  a 1  b 1  c      a  b  c   ab  bc  ac  abc    a  b  c  ab  bc  ac  abc Cũng từ giả thiết a, b, c  [0, 1] nên abc  a  a ; b  b3 ; c  c2 Do ta suy  a  b  c  ab  bc  ac  a  b3  c2  ab  bc  ac Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  a  1; b  c  hoán vị a b2 a b Ví dụ 14 Chứng minh với số thực khác không a, b ta có:    b a b a http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí ...  + Hai vế bất đẳng thức có bậc + Bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến bất bất đẳng thức hay dùng   x  y3  xy x  y Lời giải   Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức x  y3... 2 Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b Cách 2: Bất đẳng thức viết lại thành 4a 2b2 a b  a  a  , ta  t  Suy  2ab Đặt t   2  a  b  Bất đẳng thức. ..  y  x  y  2 2 2      y2  x  2 Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x  y  hay a  b  Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc ta a 1  b 1  a  1 