Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN TRƯÍNG Đ„I HÅC SƯ PH„M ————————————————— TRÀNH SAO LINH KÌ DÀ CÕA ĐƯÍNG CONG PHNG LUŠN VĂN TH„C SĨ TOÁN HÅC Thái Nguyên – 2016 Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN TRƯÍNG Đ„I HÅC SƯ PH„M ————————————————— TRÀNH SAO LINH KÌ DÀ CÕA ĐƯÍNG CONG PHNG Chun ngành: Đ„I SÈ VÀ LÝ THUY˜T SÈ Mã sè: 60.46.01.04 LUŠN VN THC S TON HC Ngới hợng dăn khoa hồc TS ĐỒN TRUNG CƯÍNG Thái Ngun – 2016 Líi cam đoan Tơi xin cam đoan r¬ng nëi dung trình bày luªn văn trung thüc, khơng trùng l°p vỵi đ· tài khác thơng tin trích dăn luên ó ủc ch rừ nguỗn gốc Thỏi Nguyờn, thỏng nm 2016 Ngới viát luên Trành Sao Linh i Líi c£m ơn Luªn văn đưđc hon thnh khúa 22 o tÔo ThÔc s cừa trớng Ôi hồc S phÔm Ôi hồc Thỏi Nguyờn, dợi sỹ hợng dăn cừa TS on Trung Cớng, Viằn Tốn håc Tơi xin bày tä lòng bi¸t ơn chân thnh tợi thƯy hợng dăn, ngới ó tÔo cho tụi mët phương pháp nghiên cùu khoa håc, tinh th¦n làm vi»c nghiêm túc dành nhi·u thíi gian, cơng sực hợng dăn tụi hon thnh luên Tụi cng xin bày tä lòng c£m ơn sâu sc tỵi thƯy cụ giỏo cừa trớng Ôi hồc Thỏi Nguyờn, Viằn Toỏn hồc, nhỳng ngới ó tên tỡnh giÊng dÔy, khớch l», đëng viên tơi vưđt qua nhúng khó khăn håc tªp Tơi xin chân thành c£m ơn Ban lãnh Ôo Khoa Sau Ôi hồc, Trớng Ôi hồc S phÔm Ôi hồc Thỏi Nguyờn ó tÔo mồi iãu kiằn thuªn lđi, giúp đï tơi st thíi gian tơi håc tªp Ci cùng, tơi xin c£m ơn gia đình, ngới thõn v bÔn bố ó ởng viờn, ừng hở tơi đº tơi có thº hồn thành tèt khóa håc luªn văn cõa Thái Ngun, tháng năm 2016 Ngới viát luên Trnh Sao Linh ii Mửc lưc Líi cam đoan i Líi c£m ơn ii Mưc lửc iii M Ưu 1 Kián thực chuân b 1.1 Mi·n phân tích nh§t Đưíng cong affin v xÔ Ênh 1.2 Kát thực 11 2.1 Đưíng cong Ôi số affin 11 2.2 ớng cong xÔ Ênh 18 2.3 Bëi giao c§p 22 2.4 Tªp điºm kì dà đưíng th¯ng ti¸p xúc 26 Đưíng cong ph¯ng bªc 32 iii 3.1 Đưíng cong ph¯ng suy rëng 32 3.2 Bëi giao cõa đưíng cong suy rëng 35 3.3 Đưíng cong bêc bĐt khÊ quy 40 3.4 Phõn loÔi ớng cong trn bêc 42 Kát luên 50 Ti liằu tham khÊo 51 iv M Ưu Hỡnh hồc Ôi sè mët nhánh cõa toán håc, nghiên cùu v· nghi»m cõa phương trình đa thùc Đa thùc mët bi¸n có nghi»m? Câu häi đưđc tr£ líi mët cách rõ ràng bði "Đành lý b£n cừa Ôi số" Nhng náu ta xột trớng hủp a thực hai bián thỡ têp nghiằm l vụ hÔn Nhúng tªp vªy, có thº đưđc xem đèi tưđng cõa hình håc Chính xác đưíng cong phng Ôi số Vỡ vêy, cú hai ớng đº xét tính giao ð Mët tø Ôi số, v mởt l tứ hỡnh hồc nờn nú khụng ỏng ngÔc nhiờn cỏc tớnh chĐt cừa ớng cong đưđc nghiên cùu nhi·u th¸ k Mửc ớch cừa luên ny l trỡnh by lÔi mët sè k¸t qu£ v· đưíng cong ph¯ng düa theo tài li»u "Plane Algebraic Curves" cõa Gerd Fischer "Elementary Algebraic Geometry" cõa Klaus Hulek Luªn văn chia làm ba chương: Chương 1, trình bày mët sè ki¸n thùc vã miãn phõn tớch nhĐt v kát thực õy cơng cư b£n dùng cho đành nghĩa chùng minh ð chương sau Chương 2, đưñc dành đº trình bày v· khái ni»m đưíng cong affine v ớng cong xÔ Ênh, lý thuyát giao Ngồi ra, trình bày v· khái ni»m điºm kì dà, điºm trơn, đưíng th¯ng ti¸p xúc cõa đưíng cong Chng 3, trỡnh by sỹ phõn loÔi ớng cong bêc qua tng ng xÔ Ênh cng nh sỹ phõn loÔi ớng cong bêc trn bơng cỏch sỷ dửng J bĐt bián Thỏi Nguyờn, thỏng nm 2016 Ngới viát luên Trnh Sao Linh Chng Kián thực chuân b 1.1 Miãn phõn tớch nhĐt Mửc ny ủc dnh nhc lÔi nh nghĩa mët sè k¸t qu£ b£n v· mi·n phõn tớch nhĐt Trợc hát ta cú nh ngha phƯn tỷ bĐt khÊ quy nh ngha 1.1.1 Cho A mët mi·n nguyên Mët ph¦n tû a ∈ A l bĐt khÊ quy náu tứ mồi phõn tớch a = bc vỵi b, c ∈ A, ho°c b ho°c c ph¦n tû kh£ nghàch A n Xét mët ph¦n tû = a ∈ A Mët phân tích a = a anr vỵi a1 , , ar ∈ r A l cỏc phƯn tỷ bĐt khÊ quy v n1 , , nr ∈ N đưñc gåi mët phân tích b§t kh£ quy Ta nói phõn tớch bĐt khÊ quy ú l nhĐt náu trưíng hđp a có phân tích b§t kh£ quy khác m a = b1 bsms , vỵi b1 , , bs ∈ A l cỏc phƯn tỷ bĐt khÊ quy, m1 , , ms N, s = r v sau mởt cỏch ỏnh số lÔi, ta ủc ni = mi , bi = λi , i = 1, , r vỵi λi ph¦n tû kh£ nghàch A Đành nghĩa 1.1.2 Mët mi·n ngun A mët mi·n phân tích nh§t náu mồi phƯn tỷ khỏc v khụng khÊ nghàch A đ·u có mët phân tích b§t kh£ quy nh§t Ví dư 1.1.3 Cho k mët trưíng Vành đa thùc mët bi¸n k[x] mët mi·n phõn tớch nhĐt Bơng cỏch phõn tớch mởt a thực thnh tớch cỏc a thực cú bêc thĐp hn, ta th§y mët đa thùc ln có phân tích b§t kh£ quy Sü nh§t cõa phân tích hằ quÊ cừa thuêt toỏn chia Euclid Tớnh chĐt phõn tớch nhĐt khỏ phờ bián v cú ựng dửng quan trång toán håc Mët nhúng lý đành lý sau Đành lý 1.1.4 Vành đa thùc mët mi·n phân tích nh§t mët mi·n phân tích nh§t Ví dư 1.1.3 trưíng hđp riêng cõa đành lý Thªt vªy, mët trưíng k ln mët mi·n phân tích nh§t Do đó, k[x] mi·n phân tích nh§t theo Đành lý 1.1.4 Tø Ví dư 1.1.3 Đành lý 1.1.4, ta cú hằ quÊ quan trồng sau ối vợi phƯn cuèi cõa luªn văn H» qu£ 1.1.5 Cho k mët trưíng, vành đa thùc hai bi¸n k[x, y] mët mi·n phân tích nh§t Chùng minh Ta có thº coi k[x, y] = k[x][y] vành đa thùc theo bián y trờn vnh k[x] Do ú, kát luên h» qu£ trüc ti¸p cõa Ví dư 1.1.3 Đành lý 1.1.4 e0 x3 1 Vì f b§t kh£ quy , b0 e0 = Đ°t c0 d0 0 x2 = βγ (x − 6x ) + (x + x ) + (x − x0 ) β γ 0 0 1 x0 = − (x00 + x ) β x1 = − (x00 − x10 ) γ Suy C tương đương xÔ Ênh vợi x21x2 x20x2 x03 +) TH2: l0 (x0 , x1 ) = cl1 (x0 , x1 ) Ta gi£ sû r¬ng l0 (x0 , x1 ) = cl1 (x0 , x1 ) = x1 cho f = x2 x21 + b0 x03 + c0 x02 x1 + d0 x0 x1 + e0 x1 Ta có b0 = 0, hay nói cách khác x1 chia h¸t f Đ°t x0 = x0 c0 − x1 3b cho bði f = x2 x21 + b0 (x00 )3 + d00 x00 x12 + e00 x13 ; b0 = 0, đ°t x2 = −b0 x20 − d00 x00 − e00 x1 suy f = −b0 (x20 x21 − (x00 )3 ), Vêy C l tng ng xÔ Ênh vợi x2 x12 x03 3.4 Phõn loÔi ớng cong trn bêc Trong ti¸t cuèi s³ xét toỏn phõn loÔi cỏc ớng cong bêc trn thụng qua mởt số bĐt bián số nh ngha 3.4.1 Cho C l mởt ớng cong phng vợi bêc tựy ý Mët điºm trơn P ∈ C đưñc gåi điºm uèn cõa C n¸u IP (C, TP C ) Tiáp tuyán TP C tợi C tÔi im n P đưđc gåi đưíng ti¸p tuy¸n n cõa C Điºm uèn cõa C đưñc xác đành bði giao cõa C vỵi Hessian cõa nó, ta đành nghĩa sau Đành nghĩa 3.4.2 Cho đưíng cong ph¯ng C = {f = 0}, Hessian cõa C đưñc cho bði Hf = det ∂ 2f ∂xi ∂xj 0≤i,j≤2 N¸u Hf khụng triằt tiờu, Hf l a thực thuƯn nhĐt vợi bªc 3(d − 2) Cho H = {Hf = 0} ⊂ P2k N¸u d = H = ∅ Nói cách khác, H = P2 ho°c H đưíng cong ph¯ng bªc 3(d − 2) đưđc gåi đưíng cong Hessian cõa C M»nh đ· 3.4.3 Cho C đưíng cong ph¯ng trơn có bªc d ≥ đưíng cong Hessian H Khi đó, H C bơng vợi têp cỏc im trn cừa C Chùng minh Xét phép bi¸n đêi     x0   x0        A : x1  7→ A x1  , A ∈ Gl(3, C)     x2 x2 vỵi f ∈ k[x0 , x1 , x2 ] Ký hi»u phép bi¸n đêi f oA bði f Sỷ dửng quy tc chuội, thĐy Hf ∗ = (det A)2 (Hf ) ∗ Ta chùng minh nú bĐt bián vợi sỹ thay ời tồa Gi£ sû r¬ng: P = (0 : : 1) TP C = {x1 = 0} Tåa đë affine x = x0 /x2 y = x1 /x2 , ta có f (x, y) = y(a + bx + cy + g(x, y)) + ex2 + h(x) a, b, c, e ∈ k, a = 0, Ord(g(x, y)) ≥ Ord(h) ≥ Ta có f (x0 , x1 , x2 ) = ax2d−1 x1 + bx2d−2 x0 x1 + cx2d−2 x12 + ex2d−2x02 + bªc ≥ theo x0 , x1 Như vªy, ta có   b   2e    Hf (0 : : 1) = det  2c (d − 1)a  b   (d − 1)a = −2ea2 (d − 1)2 tø a = 0, ta có Hf (0 : : 1) = tương đương vỵi e = Khi đó, OP2 ,P /(f, x1 ) ∼= OA2 ,0 /(ex2 + h(x), y), suy IP (C, TP C ) ≥ ch¿ e = ch¿ P ∈ H Bây gií, ta ch¿ tỗn tÔi ớt nhĐt mởt im uốn ớng cong trn bêc d Tực l, ta cƯn ch giao cừa ớng cong trn vợi bêc d ≥ đưíng Hessian tªp khơng réng Đi·u ny l tƯm thớng náu Hessian l P2 Náu khụng ta s sỷ dửng dÔng yáu cừa nh lý Bezout Bê đ· 3.4.4 Giao cõa hai đưíng cong phng C v C bơng têp khụng rộng chùng minh bê đ·, ta dùng k¸t qu£ sau Bê đ· 3.4.5 Ph¦n bù P2 \C cõa đưíng cong ph¯ng C l affine Chựng minh Xột ỏnh xÔ d+  − 1, N = vd : P2 → PN , cho bði vd (x0 : x1 : x2 ) = (xd0 : x0d−1 x1 : : x2d ) = ( : xI : )I ∈Λd i i i Λd = {(i0 , i1 , i2 ) ∈ N3 |i0 + i1 + i2 = d} xI = x(i ,i ,i ) = x x x 0 2   d+  Kí hi»u tåa đë cõa PN zI vỵi I d , vd l Dạ thĐy, |d | = ỏnh xÔ nhỳng vợi Ênh cho bi phng trình zI zJ = zK zL vỵi ≤ |I |, |J |, |K |, |L| ≤ d |I | + |J | = |K | + | L| Cho f l phng trỡnh vợi bêc d Ta viát X f = a I xI I ∈Λd Xét siêu ph¯ng nX H = o a I zI = PN Ta có vd (C ) = vd (P2 ) ∩ H Vªy P2 \C affine Chùng minh Bê đ· (3.4.4) Cho C đưíng cong bªc d Theo Bê đ· (3.4.5), P2 \C affine N¸u C ∩ C = d, ta có C ⊂ P2 \C ⊂ AN Khi đó, C không chùa điºm, hàm tåa đë AN , ủc hÔn chá v khụng liờn tửc C H» qu£ 3.4.6 Måi đưíng cong trơn C vợi bêc d v Hessian cừa C cú nh§t mët giao điºm Chùng minh Tø Bê đ· (3.4.4) ta có C ∩ H = ∅ Chùng minh đưđc suy tø M»nh đ· (3.4.3) Nhªn xét 3.4.7 Phát biºu cõa h» qu£ nói chung cho måi đưíng cong trn bêc d trờn trớng úng Ôi sè Tuy nhiên, ta ch¿ sû döng H» qu£ (3.4.6) cho đưíng bªc Nhªn xét 3.4.8 Sû dưng Đành lý Bezout chùng minh H» qu£ (3.4.6), ta có k¸t qu£ xác hơn, cho H = P2 , ≤ Sè giao điºm ≤ 3d(d − 2) Cỏc dÔng Weierstra cừa ớng bêc cho bi tồa đë affine y = 4x3 − g2 x − g3 Ta xột ớng cong xÔ Ênh tng ựng Cg2 ,g3 : x0 x22 − 4x31 + g2 x1 x20 + g3 x20 = Đành nghĩa 3.4.9 Bi»t sè Disc(f ) cõa đa thùc n f = αn x + αn−1 x n−1 n Y (x − αi ) + + α0 = αn i=1 vỵi αn = đưñc đành nghĩa bði Disc(f ) = αn2n−2 Y (αi − αj ) i=j có thº biºu di¹n đa thùc cõa h» sè cõa f Ta đành nghĩa bi»t sè cõa Cg2 ,g3 bi»t sè cõa 4x3 − g2 x − g3 ta d¹ tính đưđc ∆ = g23 − 27g32 M»nh đ· 3.4.10 Cg2 ,g3 trơn ch¿ ∆ = Chùng minh Ta xét f (x0 , x1 , x2 ) = x0 x2 − 4x3 + g2 x1 x2 + g3 x v cỏc Ôo hm riờng f = x22 + 2g2 x1 x0 + 3g3 x0 , ∂x0 ∂f = −12x12 + g2 x02 , (2) ∂x1 ∂f (3) = 2x0 x2 x2 (1) ỗng nhĐt thực Euler X ∂f 3f = xi , ∂x i i=0 suy r¬ng, điºm P kì dà cõa Cg2 ,g3 ch¿ đa thùc (1), (2), (3) bơng tÔi P Tứ (3) thỡ x0 = ho°c x2 = +) N¸u x0 = (2) suy x1 = P = (0 : : 1) P không ∂f điºm kì dà (P ) = = Như vªy x2 = 0, phương trình (1) (2) trð ∂x0 thành (1)0 2g2 x1 x0 + 3g3 x20 = (2)0 − 12x2 + g2 x2 = +) N¸u g2 = g3 = P = (1 : : 0) điºm kì dà +) N¸u g3 = 0, g2 = 0, ta ch¿ r¬ng x0 = 0, tø (1)0 rút gån x1 = Nhưng (2)0 P = (1 : : 0) điºm trơn +) N¸u g2 = 0, g3 = tø (1)0 ta có x0 = ta gi£i quy¸t xong Bây giớ giÊ sỷ, g2 g3 = ta thĐy rơng x0 = Tø (2)0 ta có x1 = Tø (1)0 ta có x0 = − g2 x1 g3 Thay vào (2)0 , ta đưñc 43g2 x2 = −12x + 1 g3 Phương trình có nghi»m khơng t¦m thưíng ch¿ g2 −12 + g32 = 0, hay ∆ = M»nh đ· 3.4.11 Cho C đưíng bªc trơn Khi đó, C tương ng xÔ Ênh vợi ớng cong Cg2 ,g3 Chựng minh Theo H» qu£ (3.4.6), C có mët điºm uèn P Gi£ sû r¬ng P = (0 : : 1) v ớng tiáp tuyán uốn tÔi P l {x0 = 0} Ngha l, phng trỡnh f C hÔn chá tợi {x0 = 0}, tÔi (0 : : 1), ta có phép nhân vơ hưỵng f = −x13 + x0 (ax02 + bx12 + cx22 + dx0 x1 + ex0 x2 + gx1 x2 Do (0 : : 1) điºm trơn cõa C, c = Đ°t x02 = √ cx2 + √ (ex0 + gx1 ) c bi¸n đêi f đº f = x0 (x20 )2 − (x13 + b0 x12 x0 + d0 x1 x0 + a0 x ) g2 eg e2 − d; a0 = − a − b; d0 = 2c 4c 4c Đ°t x01 = x1 + b0 x0 , bi¸n đêi f đº vỵi b0 = f 00 = x0 (x0 )2 2− ((x0 )3 1+ d00 x0 x21 +0 a00 x3 ) vỵi a00 = a0 − 27 (b0 ) − 00 b d ; d00 = d0 − (b20 ) Cuèi cùng, đ°t x001 = ← √← x1 ta cú dÔng tiờu chuân Weierstra f 000 = x0 (x20 )2 − 4(x100 )3 + d000 x100 x02 + a000 x03 000 00 000 vỵi a = a ; d = Cho C C √3 4d00 đưíng bªc trơn ϕ phép bián ời xÔ Ênh tứ C vo C cho l ỏnh xÔ tứ im uốn P C vào điºm uèn P C Ta gi£ sû C vào C đưíng cong dÔng Weierstra vợi P = P = (0 : : 1) Khi ú, ỏnh xÔ cng tø đưíng ti¸p tuy¸n n {x = 0} vào chớnh nú Phộp bián ời giỳa cỏc ớng bêc dÔng tiờu chuân Weierstra, ta thu hàp dÔn cỏc bián đêi affine Bê đ· 3.4.12 Mët phép bi¸n đêi affine l ỏnh xÔ i tứ ớng cong Weierstra y = 4x3 − g2 x − g3 tỵi đưíng cong Weierstra khỏc cú dÔng x u2 x; y 7→ u3 y, vỵi u ∈ k∗ Đành nghĩa 3.4.13 Mởt phộp bián ời xÔ Ênh l ỏnh xÔ tø đưíng bªc Weierstraβ Cg2 ,g3 vào đưíng bªc Weierstraβ khác Cg20,g03 thäa mãn ϕ(0 : : 1) = (0 : : 1) Khi ú ủc gồi l phộp bián ời chĐp nhên ủc nh ngha 3.4.14 J -bĐt bián cừa ớng bêc trơn Cg2 ,g3 đưñc đành nghĩa bði J (g2 , g3 ) = g3 = ∆ g 3g−2 27g Đành lý 3.4.15 Hai đưíng cong bªc trơn Cg2 ,g3 Cg20 ,g03 tng ng qua phộp bián ời chĐp nhên ủc ch¿ J (g2 , g3 ) = J (g20 , g3 ) Chùng minh N¸u ϕ : Cg2 ,g3 Cg02 ,g03 l phộp bián ời chĐp nhªn đưđc g20 = g2 ; u4 g30 = g3 u6 Do đó, J (g2 , g3 ) = J (g , g ) Gi£ sû J (g2 , g3 ) = J (g , g ) Xét trưíng hđp: 3 +TH1: J (g2 , g3 ) = Trong trưíng hđp g2 = = g3 L§y u cho g3 = Khi đó, ta có phép bián ời chĐp nhên ủc x u2 x, y 7→ u3 y tø Cg ,g Cg20 ,g03 g3 u6 tỵi g2 u4 + TH3: J (g2 , g3 ) = 0, g2 , g3 = Đi·u ki»n J (g2 , g3 ) = J (g2 , 3g ) ⇔ g 32 (g 2)3 = g32 (g 3) N¸u g2 = αg 20 ; g3 = βg 03 có nghĩa α3 = β tùc α = v , β = v vỵi β g g v = Chån u, vỵi u2 = v cho g20 = 42 ; g30 = 63 phép bi¸n u u α đêi x 7→ u x, y 7→ u y đi·u c¦n tìm + TH2: J (g2 , g3 ) = ⇔ g3 = = g2 Chồn u cho g20 = Kát luên Túm lÔi, luên ó trỡnh by lÔi cỏc chựng minh chi ti¸t v· k¸t qu£ v· kì dà cõa đưíng cong phng Luên gỗm nhỳng nởi dung chớnh sau: Nhc lÔi mởt số kián thực miãn phõn tớch nhĐt, kát thực Trỡnh by kián thực vã đưíng cong ph¯ng: Đành nghĩa đưíng cong ph¯ng affine ớng cong xÔ Ênh, chựng minh Bờ ã Study, thnh phƯn bĐt khÊ quy Trỡnh by lý thuyát giao: bëi giao, đành lý Bezout • Đành nghĩa điºm trơn, điºm kì dà, đưíng th¯ng ti¸p xúc cõa đưíng cong • Mð rëng khái ni»m k¸t qu£ cho cỏc ớng cong m rởng Phõn loÔi cỏc ớng cong bêc qua tng ng xÔ Ênh Phõn loÔi cỏc ớng cong bêc trn bơng cỏch sỷ dửng J bĐt bián Ti liằu tham khÊo [1] Gerd Fischer, Plane Algebraic Curves Translated by Leslie Kay Student Mathematical Library 15 American Mathematical Society 2001 [2] Klaus Hulek, Elementary Algebraic Geometry Translated by Helena Verrill Student Mathematical Library 20 American Mathematical Society 2003 ...Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN TRƯÍNG Đ„I HÅC SƯ PH„M ————————————————— TRÀNH SAO LINH KÌ DÀ CÕA ĐƯÍNG CONG PHNG Chun ngành: Đ„I SÈ VÀ LÝ THUY˜T SÈ Mã sè: 60.46.01.04 LUN VN THC S TON... ớng cong xÔ Ênh 18 2.3 Bëi giao c§p 22 2.4 Tªp điºm kì dà đưíng th¯ng ti¸p xúc 26 Đưíng cong ph¯ng bªc 32 iii 3.1 Đưíng cong ph¯ng suy rëng... khái ni»m ớng cong affine v ớng cong xÔ Ênh, lý thuyát giao Ngồi ra, trình bày v· khái ni»m điºm kì dà, điºm trơn, đưíng th¯ng ti¸p xúc cõa đưíng cong Chương 3, trình bày sü phân loÔi ớng cong