AF T Michèle Audin DR HÌNH HỌC Những người dịch: Sinh viên K58 CNTN (Nguyễn Tú Anh, Phùng Lâm Bình, Phạm Minh Hoàng, Trần Minh Tâm, Nguyễn Thụy Trung, Lê Quốc Tuấn), Lê Minh Hà, Phó Đức Tài Dịch từ nguyên tiếng Pháp "Géométrie", in lần thứ hai, NXB EDP Sciences xuất năm 2006 AF T Mục lục I Mục lục Hình học affine I.1 Tiên đề đường thẳng song song I.2 Không gian affine 6 Ánh xạ affine Ba định lý hình học phẳng Phụ lục: Tâm tỉ cự Phụ lục: Tính lồi Phụ lục: Hệ tọa độ Đề-các 13 24 26 28 30 II Hình học Euclid, lý thuyết chung II.1 Không gian Euclid II.2 Cấu trúc phép đẳng cự II.3 Nhóm đẳng cự tuyến tính 47 47 50 54 III Hình học Euclid mặt phẳng III.1 Góc III.2 Phép đẳng cự dời hình mặt phẳng III.3 Phép đồng dạng mặt phẳng III.4 Phép nghịch đảo chùm đường tròn 67 67 78 81 85 DR I.3 I.4 I.5 I.6 I.7 V Hình học Euclid không gian 99 V.1 Các phép đẳng cự dời hình khơng gian 99 V.2 Tích véctơ, tính diện tích 103 MỤC LỤC V.3 Mặt cầu, tam giác cầu 106 V.4 Đa diện, công thức Euler 109 V.5 Đa diện 112 129 129 135 145 154 154 164 177 DR AF T VIIConic Quadric VII.1Quadric conic affine, lý thuyết chung VII.2Phân loại tính chất conic affine VII.3Quadric conic xạ ảnh VII.4Phân loại xạ ảnh VII.5Nhắc lại dạng toàn phương VII.6Bài tập Danh mục từ khóa AF T Chương I Hình học affine Một không gian affine tập hợp điểm, chứa đường thẳng, mặt phẳng, hình học affine1 thảo luận, chẳng hạn quan hệ điểm đường thẳng (các điểm thẳng hàng, đường thẳng song song hay đồng qui ) Để định nghĩa đối tượng này, có thể: • Phát biểu danh sách tiên đề, mô tả tính chất liên DR thuộc2 , chẳng hạn "qua hai điểm kẻ đường thẳng" Đó quan điểm Euclide (và gần Hilbert) Ngay trình thân tiên đề khơng phát biểu cách tường minh cách thức sử dụng trường trung học • Ta định điều quan trọng hai điểm xác định véctơ, định nghĩa thứ sử dụng đại số tuyến tính, tức từ tiên đề không gian véctơ Tôi định sử dụng phương pháp thứ hai trừu tượng gọn gàng hơn, tất nhiên, lý cho thời điểm cần chứng tỏ cho sinh viên thấy kiến thức đại số tuyến tính mà họ cung cấp tỏ hữu ích Ở ta nói đến hình học affine "nguyên gốc", tức chưa có khái niệm khoảng cách, góc, tính vng góc hình học Euclid mà ta thảo luận chương incidence properties I.1 Hình học affine Tiên đề đường thẳng song song AF T Nhưng, để bắt đầu, ta nhắc lại vài khía cạnh phương pháp thứ Đầu tiên, có tiên đề Euclide, xác lập quan hệ đối tượng, gọi "điểm", đối tượng khác, gọi "đường thẳng" Ví dụ, Tiên đề I.1.1 Qua hai điểm kẻ đường thẳng Các điểm nằm đường thẳng, đường thẳng bao gồm điểm Đối với ta quan tâm đến hai đường thẳng không cắt (hoặc trùng nhau) gọi song song (ký hiệu D D ) Và có tiên đề tiếng, tiên đề thứ năm Euclide, mà ta phát biểu (măc dù không phát biểu Euclide tương đương với nó) Tiên đề I.1.2 Qua điểm nằm ngồi đường thẳng, có đường thẳng song song với đường thẳng cho Sở dĩ tiên đề thứ năm Euclide trở nên tiếng phụ thuộc vào tiên đề khác nguồn gốc hình học phi-Euclide Một điểm thú vị tiên đề thứ năm dẫn đến hệ quả: DR Mệnh đề I.1.3 Quan hệ "song song với" quan hệ tương đương tập hợp đường thẳng mặt phẳng Chứng minh Theo định nghĩa, có tính chất phản xạ đối xứng Ta chứng minh có tính chất bắc cầu Giả sử ba đường thẳng D, D , D thỏa mãn D D D D , ta cần chứng minh D D song song với Giả sử D ∩ D khác rỗng, lấy A ∈ D ∩ D Đường thẳng D qua A song song với D với D , D = D nhờ tính mà tiên đề thứ năm khẳng định I.2 Không gian affine Định nghĩa I.2.1 Một tập hợp E trang bị cấu trúc ( không gian affine) liệu bao gồm không gian véctơ E ánh xạ Θ cho tương ứng với cặp điểm E véctơ E −→ Θ : E × E → E; (A, B) → AB, I.2 Không gian affine cho −→ (i) Với A ∈ E , ánh xạ ΘA : B → AB song ánh từ E vào E (ii) Với điểm A, B, C ∈ E , quan hệ Chasles thỏa mãn: AF T −→ −→ −−→ AB = AC + CB Không gian véctơ E gọi không gian phương hay (không gian) hướng E Các phần tử E gọi điểm, số chiều không gian véctơ E gọi chiều E Ví dụ I.2.2 (1) Với định nghĩa trên, tập rỗng không gian affine (định hướng không gian véctơ bất kỳ), ta xem khơng có chiều (2) Mọi khơng gian véctơ có cấu trúc tự nhiên3 khơng gian affine: ánh xạ Θ : E × E → E đơn giản gán cặp xếp thứ tự (u, v) với véctơ v − u (3) Nếu E1 E2 hai không gian affine định hướng E1 E2 , tích Đề E1 × E2 khơng gian affine định hướng E1 × E2 : ánh xạ Θ : (E1 × E2 ) × (E1 × E2 ) → E1 × E2 DR gán cặp xếp thứ tự ((A1 , A2 ), (B1 , B2 )) với cặp véctơ −−−→ −−−→ (A1 B1 , A2 B2 ) Tính chất −→ −→ −→ −→ −−→ Từ quan hệ Chasles ta suy AA = AB = −BA Luật hình bình hành Luật hình bình hành phát biểu hai đẳng thức AB = A B −−→ −−→ AA = BB tương đương với Có thể chứng minh kết nhờ quan hệ Chasles Khi hai đẳng thức thỏa mãn, ta nói AA BB hình bình hành Gọi tự nhiên định nghĩa cấu trúc thơ khơng gian véctơ Chính xác hơn, "tự nhiên" hơn, gọi cấu trúc "chính tắc" Hình học affine Nhận xét I.2.3 Nếu A điểm không gian affine E u véctơ khơng gian E liên kết với tồn điêm −→ B thỏa mãn AB = u, viết AF T B = A + u Ký hiệu qn ta có (A + u) + v = A + (u + v) (đó cách diễn đạt quan hệ Chasles) Bài tập I.63 giải thích thêm ký hiệu Véc tơ hóa khơng gian affine Một ta chọn điểm A khơng gian affine E E trang bị cấu trúc không gian véctơ, ký hiệu EA Ánh xạ −−→ ΘA : E → E , M → AM song ánh, cho phép ta mang cấu trúc khơng gian véctơ từ E sang E : Ta nói M + N = Q −−→ −−→ −→ AM + AN = AQ Lưu ý cấu trúc không gian véctơ định nghĩa rõ ràng phụ thuộc vào cách chọn điểm A Điểm trở thành véctơ −→ khơng khơng gian véctơ EA , AA = DR Nhận xét I.2.4 Từ phân tích trên, ta kết luận không gian véctơ E có cấu trúc tự nhiên khơng gian affine, khơng thể kết luận khơng gian affine E có cấu trúc tự nhiên không gian véctơ Không gian affine Một tập F E gọi khơng gian affine tập rỗng, chứa điểm A cho ΘA (F) không gian véctơ E Dễ thấy không gian véctơ không phụ thuộc vào cách chọn điểm A Cụ thể Mệnh đề I.2.5 Cho F không gian affine E Tồn không gian F E cho với B ∈ F , ΘB (F) = F Không gian F không gian affine định hướng F I.2 Không gian affine Chứng minh Xem Bài tập I.2 −−→ Nhận xét I.2.6 Nếu M, N hai điểm thuộc F M N ∈ F AF T Ngược lại, ta có kết suy từ định nghĩa sau Mệnh đề I.2.7 Cho F không gian véctơ E A điểm E Khi tồn không gian affine định hướng F qua điểm A Chứng minh Nếu F không gian affine qua A, định hướng F ΘA (F) = F −−→ F = {M ∈ E|AM ∈ F } Ngược lại, đẳng thức xác định không gian affine định hướng F qua A Ví dụ I.2.8 (1) Một không gian affine chiều bao gồm điểm (vì sao?) Mọi điểm khơng gian affine E không gian affine Ta nói đường thẳng, tương ứng mặt phẳng, không gian affine không gian affine chiều, tương ứng chiều DR (2) Cho E F hai không gian véctơ, f : E → F ánh xạ tuyến tính Với v ảnh f F , nghịch ảnh f −1 (v) không gian affine E (ở đây, ta coi E không gian affine với cấu trúc affine tự nhiên) có khơng gian phương hạt nhân ker f f Chứng minh Xét v ∈ Imf , ta phải chứng minh rằng, với u F = f −1 (v), ta có Θu (f −1 (v)) = ker f Theo định nghĩa, Θu (x) = u − x Nếu y ∈ ker f , với x = y + u ta có f (x) = f (u) = v , x ∈ F y = x − u = Θu (x) với x ∈ F Từ ker f ⊂ Θu (F) Ngược lại, y ∈ Θu (F), y = x − u với x ∈ F đó, f (y) = 10 Hình học affine AF T Ví dụ, tập hợp nghiệm hệ phương trình tuyến tính, khác rỗng, lập thành khơng gian affine định hướng tập hợp nghiệm hệ phương trình tuyến tính liên kết Phương trình n1 xi = b xác định không gian affine không gian véctơ Rn (hoặc Cn , hay Kn ) (3) Tổng quát hơn, không gian affine không gian véctơ E khơng gian có dạng F + u0 , F khơng gian véctơ u0 véctơ E Các không gian véctơ không gian affine chứa Giao không gian affine con, không gian sinh tập E Mệnh đề I.2.9 Giao họ tùy ý không gian affine không gian affine DR Chứng minh Giả sử (F)i , i ∈ I , họ không gian affine E F giao chúng Nếu giao tập rỗng khơng gian affine Nếu khơng, ta chọn điểm A Với i ∈ I ΘA (Fi ) khơng gian véctơ Fi hướng E E Ký hiệu F giao tất Fi Đó khơng gian F không gian affine qua A định hướng F : điểm M ∈ E nằm F thuộc vào Fi với i, tức −−→ −−→ AM ∈ Fi với i, AM ∈ F Mệnh đề I.2.10 Cho S tập E Giao tất không gian affine chứa S không gian affine nhỏ chứa S Không gian không gian căng (hay gọi sinh bởi) S, ký hiệu < S > Ví dụ, S = {A0 , , Ak } tập hợp hữu hạn < A0 , , Ak > không gian affine chứa A0 định hướng −−−→ −−−→ không gian véctơ căng véctơ A0 A1 , , A0 Ak Nói riêng, chiều không vượt k Định nghĩa I.2.11 Hệ (k + 1) điểm A0 , , Ak gọi độc lập affine chiều không gian < A0 , , Ak > k Nếu k = dim E ta nói (A0 , , Ak ) khung affine E affine frame I.2 Khơng gian affine 11 AF T Ví dụ, khung affine đường thẳng gồm có hai điểm phân biệt Độc giả cần tự đảm bảo biết cách chứng minh qua hai điểm có đường thẳng5 (Bài tập 1.3) Ba điểm độc lập chúng không nằm đường thẳng, tổng quát hơn, (k + 1) điểm độc lập không điểm nằm không gian căng điểm khác (Bài tập 1.9) Nhận xét I.2.12 Một khung affine (A0 , , Ak ) không gian E có −−−→ −−−→ thể xem bao gồm điểm gốc A0 sở (A0 A1 , , A0 Ak ) khơng gian hướng Ký hiệu Ký hiệu < A, B > chỉ, A B hai điểm phân biệt, đường thẳng qua A B Ta ký hiệu AB Ta giới thiệu ký hiệu cho đoạn thẳng khong gian affine thực Nếu A B hai điểm, tập hợp điểm M đường thẳng AB thỏa mãn −−→ −→ AM = λAB , ≤ λ ≤ 1, ngôn ngữ tự nhiên đoạn thẳng AB, ta ký hiệu [AB] trường hợp bị nhầm lẫn Tôi viết "đường thẳng AB" hay "đoạn thẳng AB" Vị trí tương đối hai không gian affine con, song song DR Định nghĩa I.2.13 Hai không gian affine F G E song song (ký hiệu F G đọc F song song với G ) chúng có hướng Vì tính song song định nghĩa từ "cùng" nên quan hệ tương đương Nhận xét I.2.14 Với định nghĩa hai khơng gian rời (tức F ∩ G = ∅) mà khơng song song với Ví dụ, đường thẳng không song song với mặt phẳng Mặt khác, mặt phẳng hai đường thẳng không giao song song Một số tác giả sử dụng thuật ngữ song song yếu để tình có hai khơng gian affine F G mà hai không gian phương tương ứng thỏa mãn F ⊂ G Tính chất này, mà phương pháp tiên đề phát biểu tiên đề hệ cấu trúc khơng gian véctơ sao? VII.5 Nhắc lại dạng toàn phương 163 AF T f, để thác triển f −1 ◦ f , ta (và sẽ) giả sử f |F1 = IdF1 Ta xét vector x1 ∈ F1⊥ Áp dụng trường hợp r=1 nguyên lí quy nạp cho < x1 >⊂ F1⊥ , ta dẫn đẳng cự f2 ◦ f q|F1⊥ ánh xạ IdF1 ⊕ f2 thác triển mong muốn IdF1 Điều kết thúc chứng minh cho trường hợp q|F không suy biến Bây ta xét trường hợp ngược lại Gọi K0 kernel q|F , F0 không gian bù F = K ⊕ F0 Gọi x1 , xs sở K0 Ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề VII.5.11 Tồn vector y1 , , ys ∈ E cho phẳng Pi =< xi , yi >, hạn chế q có ma trận 1 Các không gian F0 , P1 , , Ps đội trực giao nằm tổng trực tiếp E Tạm thời chưa xét đến chứng minh bổ đề, ta hoàn thành chứng minh định lí Witt: ta đặt xi = f (xi ) ∈ F Do f đẳng cự q|F , không gian < x1 , , xs > kernel q|F Áp dụng bổ đề cho F’, ta có vector y1 , , ys ta thác triển f lên P1 ⊕ · · · ⊕ Ps ⊕ F0 đơn giản việc kiểm tra f (yi ) = yi Bây ta có đẳng cự hạn chế q: DR f : F = P1 ⊕ · · · ⊕ Ps ⊕ F0 −→ F = P1 ⊕ · · · ⊕ Ps ⊕ F0 đó, q|F khơng suy biến theo cách xây dựng, ta áp dụng trường hợp Chứng minh bổ đề Ta xây dựng vector y1 , , ys quy nạp Ta bắt đầu với y1 x1 vector khác không K0 Chú ý dạng toàn phương q hạn chế lên F0⊥ không suy biến, nên tồn vector y F0⊥ cho ϕ(x1 , y) = a = 0, suy tồn vector y’ cho ϕ(x1 , y ) = q(y) y1 = y − x1 có tính chất mà ta cần Đặt P1 =< x1 , y1 >, ta xét tiếp F1 = P1 ⊕ < x2 , , xs > ⊕F0 Đây tổng trực giao, kernel q|F1 < x2 , , xs > Kết thu quy nạp 164 Conic Quadric VII.6 Bài tập Bài tập VII.1.Chứng minh n yi ∂q (x1 , , xn ) ∂xi AF T ϕ(x, y) = i=1 ϕ(x, y) = (d2 q) ◦ (x, y) Bài tập VII.2.Giả sử Q(E) tập hợp tất dạng tồn phương khơng gian véctơ n chiều Chứng minh Q(E) không gian véctơ có số chiều n(n + 1)/2 Bài tập VII.3.Giả sử f g hai dạng tuyến tính khơng gian véctơ E có chiều n Chứng minh rằng, với n ≥ 3, dạng toàn phương q(x) = f (x)g(x) suy biến DR Bài tập VII.4.Giả sử (e1 , , en ) sở E ϕ dạng song tuyến tính đối xứng có ma trận sở A Tìm ma trận ϕ : E → E ∗ với E ∗ khơng gian đối ngẫu có sở sở đối ngẫu (e1 , , en ) Chứng minh ϕ không suy biến A khả nghịch Bài tập VII.5.(Chéo hóa ma trận đối xứng thực) Giả sử A ma trận đối xứng thực cỡ n × n Chứng minh A chéo hóa ma trận trực giao Bài tập VII.6.(Trực giao hóa đồng thời) Cho q q hai dạng toàn phương không gian véctơ n chiều E Giả sử tự đồng cấu hợp thành ϕ−1 ◦ ϕ E có n giá trị riêng phân biệt Chứng minh tồn sở E trực giao hóa đồng thời q q Bài tập VII.7.Chứng minh hạng dạng toàn phương q hạng ánh xạ tuyến tính ϕ Xác định hạng dạng toàn phương đây: VII.6 Bài tập 165 (a)x21 , x21 − x22 , x21 + x22 2x1 x2 không gian véctơ n chiều, với n ≥ 2; (b) r i=1 λi xi không gian véctơ n chiều, với n ≥ r AF T Bài tập VII.8.Đưa dạng cực rút gọn dạng toàn phương đây: (a)Trong R4 , x2 + y + 2(z + t2 ) + xz + zt + tx; (b)Trong R3 , xy + yz + zx Các tập đường mặt bậc hai không gian affine không gia Euclid Bài tập VII.9.(Paraboloid hyperbolic.) Liệu mặt bậc hai R3 định nghĩa phương trình z = xy có tâm đối xứng? Vẽ mặt chứng minh hợp họ đường thẳng (hay gọi mặt kẻ) Bài tập VII.10.Trong R3 lấy ví dụ mặt bậc hai có vơ số tâm đối xứng Câu hỏi tương tự với khơng có tâm đối xứng DR Bài tập VII.11.(Mặt affine bậc hai khơng gian chiều) Giả sử phần tồn phương q mặt affine bậc hai dạng tồn phương khơng suy biến Giả sử Ω tâm mặt bậc hai Hãy điền vào bảng sau vào dấu Điền vào chỗ trống bảng q = Ω ∈ /C Ellipsoid Hyperboloid tầng Hyperboloid tầng Tập rỗng dấu q (3, 0) (2, 1) (1, 2) (0, 3) Ω∈C dấu q (3, 0) (2, 1) (1, 2) (0, 3) để hoàn thành phân loại mặt affine bậc hai không gian chiều Bài tập VII.12.Hãy phân loại đường bậc hai mặt affine phức Bài tập VII.13.Xét mặt phẳng Euclid Mô tả tập định nghĩa phương trình hệ trực chuẩn x2 − 2xy + y + λ(x + y) = 0, x2 + xy + y = 1, xy + λ(x + y) + = 0, 166 Conic Quadric Hạng q Ω, tâm Vị trí Ω đường thẳng D⊂C D Ω D⊂C Mặt bậc hai AF T khơng có Ω mặt phẳng P ⊂C P Ω P ⊂C khơng có Ω y = λx2 − 2x, x2 + xy − 2y + λx + = Bài tập VII.14.Cho trước hyperbola Viết phương trình hệ trực chuẩn với tâm gốc tọa độ tiệm cận trục Bài tập VII.15.Trong mặt phẳng affine trang bị hệ trực chuẩn với gốc tọa độ O, viết phương trình parabola biết rằng: (a)Đỉnh O, trục đối xứng trục Ox, tham số DR (b)Tiêu điểm F = (4, 3), đường chuẩn D : y = −1 Xác định đỉnh tham số Bài tập VII.16.Trong mặt phẳng affine thực, cho trước đường conic C thật Xác định điểm mặt phẳng mà từ kẻ hai (tương ứng, một, khơng) tiếp tuyến đến C Bài tập VII.17.Ảnh đường ellipse qua ánh xạ affine hình gì? Câu hỏi tương tự cho đường tròn Bài tập VII.18.Cho đường tròn nằm mặt phẳng khơng gian Euclid ba chiều Chiếu không gian lên mặt phẳng Hãy xác định ảnh đường tròn Bài tập VII.19.Chứng minh đường thẳng qua tâm ellipse trung điểm dây cung M N qua gia điểm hai tiếp tuyến với ellipse M N VII.6 Bài tập 167 Bài tập VII.20.Trong mặt phẳng affine trang bị hệ trực chuẩn với gốc tọa độ O, xét dạng toàn phương x2 y + a2 b AF T q(x, y) = (với < b < a) Nếu (u, v) sở trực chuẩn q , ta gọi u v −−→ −−→ cặp đường kính liên hợp ellipse C cho q = Giả sử OM ON cặp đường kính liên hợp C Gọi P giao điểm hai tiếp tuyến với C M N Chứng minh (a)Tứ giác OM P N hình bình hành có diện tích khơng đổi ab (định lý Apollonius thứ nhất) (b)Đại lượng OM + ON luôn a2 + b2 (định lý Apollonius thứ hai) Bài tập VII.21.Viết phương trình tham số nhánh hyperbola xác định phương trình x2 y − =1 a2 b sử dụng hàm hyperbolic (sinh, cosh, hay coth) DR Bài tập VII.22.Chứng minh parabola nằm nửa mặt phẳng xác định tiếp tuyến Bài tập VII.23.Chứng minh mặt phẳng Euclid hai parabola đồng dạng với Khi hai conic thật đồng dạng với nhau? Bài tập VII.24.Cho conic thật C mặt phẳng Euclid Xác định nhóm phép đẳng cự bảo tồn C Bài tập VII.25.Giả sử M điểm nằm parabola P có đỉnh S Pháp tuyến tiếp tuyến P M cắt trục đối xứng N T Gọi H hình chiếu M lên trục đối xứng (a)Chứng minh độ dài HN không phụ thuộc vào điểm M Xác định giá trị (b)Chứng minh S trung điểm đoạn thẳng HT Xác định trung điểm đoạn thẳng N T 168 Conic Quadric Bài tập VII.26.Chứng minh đường conic thật đưa phương trình hệ trực chuẩn AF T y = 2px + qx2 với q thực p > Bài tập VII.27.Viết phương trình conic có tiêu điểm F trùng với gốc tọa độ hệ tọa độ cực Bài tập VII.28.Trong mặt phẳng Euclid cho điểm F không nằm đưowngf thẳng D Với số không âm e, xác định tập hợp {M | M F ≤ ed(M, D)} Bài tập VII.29.Trong mặt phẳng Euclid cho hai điểm F F Đặt a = 21 F F Tìm tập hợp điểm M hai trường hợp sau: M F + M F = 2a; M F − M F = 2a Bài tập VII.30.Trong mặt phẳng Euclid cho hai điểm F F Với số thực a cho trước, xác định tập hợp điểm DR {M | M F + M F ≤ 2a}, {M | M F − M F ≤ 2a} Bài tập VII.31.Cho A điểm nẳm đường tròn C tâm F Hãy xác định tập tất tâm đường tròn tiếp xúc với C qua A Câu hỏi tương tự cho trường hợp A nằm C Bài tập VII.32.Cho hyperbola C với tâm sai e, điểm F tiêu điểm D đường chuẩn tương ứng Giả sử ∆ đường thẳng song song với tiệm cận C Gọi N điểm thuộc ∆ H hình chiếu lên D Chứng minh tỉ lệ N F/N H dần tới e N dần vô Nếu M điểm thuộc C Đường vng góc với M F F cắt D P Chứng minh M P không song song với tiệp cận C Bài tập VII.33.(Chuyển động hành tinh) Theo định luật Kepler, hành tinh chuyển động quĩ đạo phẳng xác định VII.6 Bài tập 169 phương trình ρ = f (θ) hệ tọa độ cực (ρ, θ), hàm f thỏa mãn phương trình vi phân AF T d2 + =c f dθ f (c = số phụ thuộc vào khối lượng số vật lý khác) Hãy xác định quĩ đạo Bài tập VII.34.Cho trước đường thẳng ví trí tổng qt (khơng đồng qui khơng có đường song song với nhau) mặt phẳng Euclid Giả sử parabola P tiếp xúc với đường thẳng Chứng minh chân đường vng góc hạ từ tiêu điểm F xuống đường thẳng nằm tiếp tuyến qua đỉnh Hãy chứng tỏ F nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo đường thẳng cho Bạn có nhận xét tiếp tuyến đỉnh? đưởng chuẩn? Tìm quĩ tích tiêu điểm parabola tiếp xúc với đường thẳng (cẩn thận với đỉnh tam giác) Bài tập VII.35.Cho đường thẳng vị trí tổng quát mặt phẳng Euclid Chứng minh tồn parabola tiếp xúc với đường thẳng DR Bài tập VII.36.(Các giao tuyến conic) Khảo sát giao mặt phẳng affine với nón tròn xoay x2 + y = z Có mặt cầu nội tiếp nón tiếp xúc với mặt phẳng? Tìm hiểu tính chất điểm tiếp xúc mặt cầu mặt phẳng Các tập conic quadric xạ ảnh Bài tập VII.37.Giả sử D đường thẳng không gian affine D cắt với quadric điểm (đơn nhất) Chứng minh rằng, xạ ảnh, D cắt quadric vơ Trong mặt phẳng affine, kiểm tra cát tuyến -các đường thẳng song song với tiệp cận conic hyperbola; -các đường thẳng song song với trục conic parabola 170 Conic Quadric AF T Bài tập VII.38.Chứng minh giao quadric affine C với siêu phẳng vô quadric có phương trình phần bậc hai phương trình định nghĩa C Diễn giải với phương trình tiệm cận hyperbola Bài tập VII.39.(Nullstellensatz/Định lý không điểm) Giả sử K = C Giả sử hai đa thức bậc hai n ẩn K có nghiệm giống nhau, hai đa thức sai khác tỉ lệ số Tìm hiểu trường hợp K = R Bài tập VII.40.Chứng minh mặt bậc hai thật khác rỗng không gian xạ ảnh thực chiều đồng phôi với mặt cầu S tích Descarte hai đường tròn Bài tập VII.41.(Các đường thẳng nằm mặt bậc hai) Giả sử C mặt bậc hai thật không gian xạ ảnh phức chiều Chứng minh C hợp họ đường thẳng C đồng phôi với P1 (C) × P1 (C) Chứng minh mặt bậc hai phức (affine xạ ảnh) chứa đường thẳng Chúng ta phát biểu trường hợp thực? Bài tập VII.42.Chứng minh tồn quadric chứa đường thẳng cho trước tùy ý không gian chiều DR Bài tập VII.43.(Chùm conic) Xét chùm conic định nghĩa cặp conic Hình vẽ 15 (vị trí tương đối conic thật cặp hai đường thẳng) Hai cặp số cặp định nghĩa chùm? Bài tập VII.44.(Phương trình bậc 4) Chúng ta muốn chứng minh giải thích để giải phương trình bậc x4 + ax3 + bx2 + cx + d = phải giải phương trình bậc vài phương trình bậc (điều cho bạn cách giải phương trình bậc theo thức bạn biết giải phương trình bậc theo thức) Đặt y = x2 ý nghiệm phương trình cho tọa độ giao điểm hai đường conic phẳng Hãy tìm hiểu chùm sinh hai conic tìm câu trả lời VII.6 Bài tập 171 Bài tập VII.45.Giả sử C đường conic suy biến gồm hai đường thẳng mặt phẳng Giả sử M điểm mặt phẳng Có thể nói hệ trực giao từ M C ? AF T Bài tập VII.46.(Xây dựng đường cực) Giả sử C conic M điểm nằm mặt phẳng Hai đường thẳng qua M cắt C X, Y (đường đầu tiên), Z, T (đường thứ hai) Hai đường thẳng XZ Y T cắt điểm N Chứng minh N thuộc đường cực M C Hơn N giao điểm XT Y Z N N đường cực M Bài tập VII.47.(Định lý Lamé) Giả sử F chùm conic A điểm mặt phẳng Chứng minh đường cực A đường conic đồng qui Bài tập VII.48.Giả sử C conic suy biến gồm hai đường thẳng D D Định lý Pascal nói điểm A, C, E D điểm B, D, F D? DR Bài tập VII.49.Giả sử C conic mặt affine giả sử D1 , D2 , D3 ba đường thẳng khác phương cho trước Giả sử M0 điểm thuộc C , M1 giao điểm thứ hai với C đường thẳng qua M0 song song với D1 , M2 giao điểm thứ hai với C đường thẳng qua M1 song song với D2 , v.v Bằng cách tương tự định nghĩa điểm Mi với i ≥ Chứng minh M6 = M0 Bài tập VII.50.Trong mặt phẳng cho điểm A, B, C, D E Giả sử có conic qua điểm Dựng thước kẻ điểm F tùy ý thuộc C tiếp tuyến với C F Bài tập VII.51.Trong mặt phẳng cho điểm A, B, C D, khơng có điểm chúng thẳng hàng Với số k cho trước, xác định tập hợp {M ∈ P | [M A, M B, M C, M D] = k} Bài tập VII.52.Trong chùm đường tròn, có đường thẳng trục (the radical axis) Trong chùm conic chứa conic Liệu có điều mâu thuẫn? 172 Conic Quadric Bài tập VII.53.Giả sử C đường conic mặt phẳng Euclid Có thể nói C biết hai điểm I J liên hợp C (tức là, biết đường thẳng IJ cắt C A B với [I, J, A, B]=-1)? AF T Bài tập VII.54.Chứng minh tất khẳng định đường tròn, chùm nghịch đảo §7 mà bạn cảm thấy chứng minh chưa đầy đủ Bài tập VII.55.Khảo sát, theo §7, khả khác ảnh chùm qua phép lấy nghịch đảo liệt kê §III-4 Bài tập VII.56.("Bất biến Anallagmatic", tiếp tục) Trong mặt phẳng P cho hai đường tròn C C với bán kính tương ứng R R Chùm F chứa hai điểm-đường tròn Γ Γ , hai giao điểm (có thể ảo, trùng nhau) F quadric P Tính tỉ số kép điểm [C, C , Γ, Γ ] đường thẳng F theo R, R khoảng cách d hai tâm C C Chứng tỏ tỉ số R2 + R − d2 2RR bất biến phép nghịch đảo (xem thêm Bài tập III.54) Các tập lý thuyết khác DR Bài tập VII.57.(Trên Q) Chứng minh Q khơng gian véctơ chiều có vơ số dạng tồn phương khơng tương đương Bài tập VII.58.(Biệt thức) Giả sử q dạng toàn phương không suy biến K không gian véctơ hữu hạn chiều Chứng minh định thức ma trận q sở định nghĩa phần tử δ(q) ∈ K∗ /(K∗ )2 bất biến đẳng cấu q Bài tập VII.59.(Trên Fq ) Giả sử Fq trường hữu hạn có đặc số khác Có số phương Fq ? Với a, b ∈ F∗q , chứng tỏ tồn x, y ∈ Fq thỏa mãn ax2 + by = Giả sử E không gian véctơ n chiều Fq Q dạng tồn phương khơng suy biến E Với a ∈ F∗q tùy ý khơng phương VII.6 Bài tập 173 F∗q , chứng minh Q tương đương với hai dạng toàn phương x21 + · · · + x2n−1 + x2n , x21 + · · · + x2n−1 + ax2n AF T Cho trước dạng tồn phương khơng suy biến, làm bạn nhận biết thuộc dạng hai dạng trên? Bài tập VII.60.(Căn bậc hai ma trận thực đối xứng xác định dương) Giả sử A ma trận đối xứng thực dạng song tuyến tính liên kết với φ định nghĩa φ(x, y) = xt Ay xác định dương (a)Chứng minh giá trị riêng λ1 , , λn A số thực dương (b)Xét P đa thức thỏa mãn P (λi ) = λi , ≤ i ≤ n Chứng minh S = P (A) ma trận đối xứng xác định dương thỏa mãn S = A DR Bài tập VII.61.(Phân tích dạng cực GL(n; R)) Chứng minh với ma trân thực khả nghịch M ln viết dạng tích M = ΩS Ω ∈ O(n) ma trận trực giao S ma trận đối xứng xác định dương Chứng minh phân tích Bài tập VII.62.(Phân tích Cartan) Chứng minh ma trận thực khả nghịch ln viết dạng tích M = Ω1 DΩ2 D ma trận đường chéo với giá trị riêng dương Ω1 , Ω2 ma trận trực giao Bài tập VII.63.Giả sử Q dạng toàn phương không gian véctơ E F không gian véctơ E Giả sử F không chứa véctơ đẳng hướng (isotropic ) Q Xác định giao quadric Người dịch: Các véctơ v mà Q(v) = 174 Conic Quadric định nghĩa Q với P (F ) Hãy đưa nhận xét trường hợp tất véctơ F đẳng hướng? AF T Giả sử D đường thẳng xạ ảnh Bạn có nhận xét giao D quadric định nghĩa Q? Bài tập VII.64.Trong R3 xét dạng toàn phương q(x, y, z) = x2 + y − z Giả sử O(q) nhóm đẳng cự, tức là, O(q) = {f ∈ GL(3; R) | q ◦f = q} Xác định quĩ đạo tác động lên P2 (R) (như nhóm GL(3; R))? Bài tập VII.65.(Quadric đối ngẫu xạ ảnh) Giả sử C đường cong mặt phẳng xạ ảnh P (E), ta định nghĩa C ⊂ E v ∈ C p(v) ∈ C (a)Chứng tỏ C nón8 Một đường thẳng xạ ảnh d P (E) tiếp tuyến C m d = P (F ) với F mặt E tiếp xúc với C dọc theo đường thẳng m E Chứng minh C conic thị tiếp tuyến m C định nghĩa trùng với định nghĩa §3 DR (b)Tập hợp tiếp tuyến xạ ảnh C tạo thành đường cong C ∗ P (E ∗ ) Chứng minh C conic thật C ∗ conic Tổng quát, C quadric khơng gian xạ ảnh P (E) n-chiều, họ tất siêu phẳng tiếp xúc với C quadric không gian xạ ảnh P (E ∗ ) (xem thêm Bài tập V.2 cần thiết) (c)Trở lại trường hợp mặt phẳng, tính chất giao C ∗ với đường thẳng P (E ∗ ) phiên dịch P (E)? Chứng minh định lý Brianchon: Nếu tất cạnh lục giác tiếp xúc với conic thật đường chéo lục giác đồng qui (d)Cho đường thẳng vị trí tổng quát mặt phẳng xạ ảnh Có conic tiếp xúc với đường thẳng này? Cho đường thẳng vị trí tổng qt mặt phẳng affine Có parabola tiếp xúc với đường thẳng (xem thêm Bài tập VI.35)? Bài tập VII.66.(Họ tiêu điểm) Trong mặt phẳng Euclid trang bị hệ trực chuẩn, cho hai số thực α β với < α < β Tức là, C chứa v chứa đường thẳng sinh v VII.6 Bài tập 175 Xét conic Cλ định nghĩa x2 y2 + = α−λ β−λ AF T Vẽ đường cong Cλ hình, với λ < α, α < λ < β, β < λ Chứng minh tất Cλ có tiêu điểm Xét họ conic đối ngẫu Cλ mặt phẳng xạ ảnh (xem Bài tập VI.65) Chứng minh chùm (tuyến tính) conic Tổng quát hơn, xét không gian Euclid n-chiều, quadric Cλ định nghĩa x21 x2n + ··· + = 1, α1 − λ αn − λ αi số thực cố định với < α1 < · · · < αn Chứng minh họ đối ngẫu chùm quadric Chứng minh điểm không gian thuộc n quadric họ quadric trực giao với (đây định lý Jacobi) Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với n−1 quadric họ siêu phẳng tiếp xúc với quadric điểm tiếp xúc trực giao với (đây mộtđịnh lý Chasles) DR Bài tập VII.67.(Các đường bậc thực) Như ta biết phần bù đường thẳng P2 (R) liên thơng Bạn có khẳng định phần bù đường conic P2 (R)? Bài tập VII.68.(Các đường bậc thực) Trong R2 xét đường cong định nghĩa y = P (x), P (x) đa thức bậc khơng có nghiệm bội Vẽ đường cong C cho biết đồ thị có thành phần liên thông? Chứng minh thành phần không bị chặn đồng phôi với đường thẳng, có thành phần khác đồng phơi với đường tròn Bây xét đường cong C xác định phương trình y z = P (x, z) (trong P đa thức bậc hóa P ) Chứng minh C thu từ C cách thêm vào điểm Đường cong C có thành phần liên thông? Các thành phần đồng phơi với gì? 176 Conic Quadric Chứng minh phần bù P2 (R) thành phần chứa điểm vô C liên thông Nếu C có thành phần liên thơng thứ hai có nhận xét phần bù thành phần P2 (R)? AF T Bài tập VII.69.Một dạng song tuyến tính ϕ gọi thay phiên ϕ(x, x) = với x Chứng minh rằng, đặc số trường khác điều tương đương với tính phản đối xứng ϕ, tức ϕ(x, y) = với x y Giả sử ϕ dạng song tuyến tính thay phiên Chứng minh tồn sở (e1 , , en , f1 , , fn ) E cho, với i j , ϕ(ei , ej ) = δi,j , ϕ(ei , ej ) = ϕ(fi , fj ) = Bạn có nhận xét chiều E ? Giả sử F không gian gồm véctơ đẳng hướng E Bạn có nhận xét chiều F ? DR Giả sử A ma trận phản đối xứng Chứng minh hạng A số chẵn 177 DR AF T Danh mục từ khóa ... hữu ích Ở ta nói đến hình học affine "nguyên gốc", tức chưa có khái niệm khoảng cách, góc, tính vng góc hình học Euclid mà ta thảo luận chương incidence properties I.1 Hình học affine Tiên đề đường... V Hình học Euclid không gian 99 V.1 Các phép đẳng cự dời hình khơng gian 99 V.2 Tích véctơ, tính diện tích 103 MỤC LỤC V.3 Mặt cầu,... Hình học affine I.1 Tiên đề đường thẳng song song I.2 Không gian affine 6 Ánh xạ affine Ba định lý hình học phẳng Phụ lục: