Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình bậc nhất hai ẩn: +Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết( a 0 hoặc b 0) + Một nghiệm của phương trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c + Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. + Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c. Nếu a 0;b 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất: b c x b a y .
GV: PHẠM THỊ ÁNH – 0974115327 -VẤN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ I CÁC KHÁI NIỆM: Phương trình bậc hai ẩn: +Dạng: ax + by = c a; b; c hệ số biết( a b 0) + Một nghiệm phương trình cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c + Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c ln ln có vơ số nghiệm + Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng (d): ax + by = c Nếu a 0; b a b c b đường thẳng (d) đồ thị hàm số bậc nhất: y x Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: ax by c a ' x b ' y c ' Có dạng: (d ) (I) (d ') Các cách giải: *) Phương pháp đồ thị: - Hệ (I) vô nghiệm (d) // (d’) a b c a' b' c' - Hệ (I) có nghiệm (d) cắt (d’) - Hệ (I) có vơ số nghiệm (d) (d’) a b a' b' a b c a' b' c' Hệ phương trình tương đương: Hai hệ phương trình gọi tương đương với chúng có tập nghiệm II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Giải hệ phương trình phương pháp thế: a) Quy tắc thế: + Bước 1: Từ phương trình hệ cho, ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, thay vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ ẩn) + Bước 2: Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ (phương trình thứ thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước 1) HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI GV: PHẠM THỊ ÁNH – 0974115327 -Ví dụ: xét hệ phương trình: x y 1.(1) 3 x y 3.(2) + Bước 1: Từ phương trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gọi rút x) ta có: x y.(*) Thay x y.(*) vào phương trình (2) ta được: 3(1 y) y 3.(**) + Bước 2: Thế phương trình (**) vào phương trình hai hệ ta có: x y 3(1 y ) y b) Giải hệ : x y x y x y x 1 3(1 y ) y 3 y y y y 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x = 1; y = 0) Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số: a)Quy tắc cộng đại số: + Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ hệ phương trình cho để phương trình + Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (và giữ nguyên phương trình kia) Lưu ý: Khi hệ số ẩn đối ta cộng vế theo vế hệ Khi hệ số ẩn ta trừ vế theo vế hệ Khi hệ số ẩn không không đối ta chọn nhân với số thích hợp để đưa hệ số ẩn đối (hoặc nhau).( tạm gọi quy đồng hệ số) Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số phương pháp 1.- Vận dụng quy tắc quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình sau: Giải hệ phương trình phương Giải hệ phương trình phương pháp pháp cộng đại số HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI GV: PHẠM THỊ ÁNH – 0974115327 -3 x y 2 x y 3x 2(5 x) y 2x 3 x y 2 x y 3x 10 x 7 x 14 y 2x y 2x 3x y 7 x 14 4 x y 10 2 x y x 2.2 y x y x x y 2.2 y Vậy hệ phương trình cho có Vậy hệ phương trình cho có nghiệm nghiệm (x;y) = (2;1) (x;y) = (2;1) 2.- Bài tập: Bài 1: Giải hệ phương trình 4 x y 6 x y 1) 2 x y 4 x y 10 2) x (1 ) y 5) (1 ) x y 3 x y 5 x y 14 3) 0,2 x 0,1 y 0,3 6) 3 x y 2 x y 3 x y 14 4) x 7) y x y 10 Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 2( x y ) 3( x y ) ( x y ) 2( x y ) (3x 2)( y 3) xy (4 x 5)( y 5) xy 1) 2) (2 x 3)( y 4) x( y 3) 54 3) ( x 1)(3 y 3) y ( x 1) 12 y 27 y 5x 5 2x 4) x y y 5x 1 ( x 2)( y 3) xy 50 5) xy ( x 2)( y 2) 32 2 6) ( x 20)( y 1) xy ( x 10)( y 1) xy Bài 3: Giải hệ phương trình phương pháp 4 x y 8 x y 2 x y x y x y m 2 x y 2 x y 5 x y 3 x y x y 3 x y x y HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI GV: PHẠM THỊ ÁNH – 0974115327 - x y x y 3x y 2 x y 2x 3y 4x 6y Bài 4: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số 2 x y 3 x y 2 x 11 y 7 10 x 11 y 31 2 x y 3 x y 2 3 x y 3 6 x y 7 3 x y 2 x y 2 x y x y 2 x y 11 x y 2 x y 6 x 15 y 3 x y 6 x y Dạng Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn số phụ Bài 1: 1 1 x y 12 1) 15 x y x y y 2x 2) 1 x y y x 3x x 1 y 3) 2x x y x y 13 4) 2 3 x y 16 5) 6) 3x y 6 2 x y 11 2( x x) y 7) 3( x x) y 7 x y 18 3 x y 10 5 x y 8) 2 2 x x y y 13 Bài 2: Đặt ẩn phụ giải hệ phương trình sau 2( x y ) 3( x y ) ( x y ) 2( x y ) 1 x y 1 x y x x 2 y 1 1 y 1 Dạng Giải biện luận hệ phương trình Phương pháp giải: Từ phương trình hệ tìm y theo x vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI GV: PHẠM THỊ ÁNH – 0974115327 - Giả sử phương trình bậc x có dạng: ax = b (1) Biện luận phương trình (1) ta có biện luận hệ i) Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = hệ có vơ số nghiệm - Nếu b hệ vơ nghiệm ii) Nếu a (1) x = b , Thay vào biểu thức x ta tìm y, lúc hệ a phương trình có nghiệm mx y 2m(1) 4 x my m 6(2) Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình: Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) i) Nếu m2 – hay m x = Khi y = - (2m 3)(m 2) 2m m2 m2 m m 2m Hệ có nghiệm nhất: ( ;) m2 m2 m2 ii) Nếu m = (3) thỏa mãn với x, y = mx -2m = 2x – Hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với x R iii) Nếu m = -2 (3) trở thành 0x = Hệ vô nghiệm Vậy: - Nếu m hệ có nghiệm nhất: (x,y) = ( 2m m ;) m2 m2 - Nếu m = hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với x R - Nếu m = -2 hệ vơ nghiệm Bài tập: Giải biện luận hệ phương trình sau: mx y 10 m mx y 3m 2) x my x my m 1) x my 3m 4) mx y m x my m 5) 2 mx y m (m 1) x my 3m 2 x y m 3) 2 x y m 6) mx y (m 1) HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI GV: PHẠM THỊ ÁNH – 0974115327 -DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp giải: Giải hệ phương trình theo tham số Viết x, y hệ dạng: n + k với n, k nguyên f (m) Tìm m nguyên để f(m) ước k Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: mx y m 2 x my 2m HD Giải: 2mx y 2m mx y m 2 2 x my 2m 2mx m y 2m m (m 4) y 2m 3m (m 2)( 2m 1) 2 x my 2m để hệ có nghiệm m2 – hay m Vậy với m hệ phương trình có nghiệm (m 2)( 2m 1) 2m 2 y m2 m2 m 4 x m m2 m2 Để x, y số nguyên m + Ư(3) = 1;1;3;3 Vậy: m + = 1, => m = -1; -3; 1; -5 Bài Tập: Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: (m 1) x y m 2 m x y m m Bài 2: a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm (2; -1) HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI GV: PHẠM THỊ ÁNH – 0974115327 -2mx (m 1) y m n (m 2) x 3ny 2m HD: Thay x = ; y = -1 vào hệ ta hệ phương trình với ẩn m, n b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2 HD: thay x = x = -2 vào phương trình ta hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + HD: f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + nên Biết f(x) chia hết b a cho ax + b f(- ) = a b 3 f( ) 0 Giải hệ phương trình ta a = 2; b = 11 8 18a 3b f ( 3) d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + Xác định hệ số a b biết f(2) = , f(-1) = HD: f ( 2) 4a 2b f (1) a b 4 a 1 b Bài 3: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) HD: Đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình 2 a b a 1 b a b Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI GV: PHẠM THỊ ÁNH – 0974115327 -a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0) Bài 4: Định m để đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m x + 2y = đồng quy DH giải: - Tọa độ giao điểm M (x ; y) hai đường thẳng 3x + 2y = x + 2y = 3x y x 0,5 Vậy M(0,2 ; 1,25) x y y 1,25 nghiệm hệ phương trình: Để ba đường thẳng đồng quy điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m m = -0,85 Vậy m = -0,85 ba đường thẳng đồng quy Định m để đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m2 + ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước mx y x my Cho hệ phương trình: Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 2x + y + 38 =3 m 4 HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m - Giải hệ phương trình theo m 8m y mx y (m 4) y 8m mx y m 4 x my mx m y 8m x my x m 32 m2 HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI GV: PHẠM THỊ ÁNH – 0974115327 Thay x = 9m 32 8m ;y= vào hệ thức cho ta được: m 4 m 4 9m 32 8m 38 + + =3 m 4 m 4 m 4 => 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12 3m2 – 26m + 23 = m1 = ; m2 = Vậy m = ; m = 23 (cả hai giá trị m thỏa mãn điều kiện) 23 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: mx y 10 m (m tham số) x my Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x> 0, y > d) Với giá trị m hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương Bài 2: (m 1) x my 3m 2 x y m Cho hệ phương trình : a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho P = x + y2 đạt giá trị nhỏ Bài 3: HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI GV: PHẠM THỊ ÁNH – 0974115327 10 -3x y 2 x y m Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m nguyên cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < c) Với giá trị m ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = đồng quy Bài 4: mx y x my Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Với giá trị m hệ có nghiệm nhất, vơ nghiệm Bài 5: x my mx y Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m d) Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = 28 -3 m 3 Bài 6: mx y 3x my Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn m2 hệ thức x y m 3 Bài 7: - 10 HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI GV: PHẠM THỊ ÁNH – 0974115327 11 -3x my 9 mx y 16 Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = b) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) d) Tìm giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Oxy Với trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = mx y 2m x my m Bài tốn 8: Cho hệ phương trình a) Giải hệ m=-1 b)Tìm m để hệ có vơ số nghiệm có nghiệm x=1; y=1 mx y m 2 x my Bài tốn 9: Giải biện luận hệ phương trình sau theo m x my mx 3my 2m Bài toán 10: Cho hệ phương trình a) Giải hệ m=-3 b) Giải biện luận hệ cho theo m x my mx y Bài tốn 11: Cho hệ phương trình a) Giải hệ m=2 b)Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x,y) mà x>0; y0;y