Phương pháp phần tử hữu hạn

65 10 0
  • Loading ...
1/65 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 02/10/2018, 21:43

Phương pháp phần tử hữu hạn Chương II: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG Ứng suất 1.1 Định nghĩa Xét hệ trục tọa độ trực giao Mxyz có gốc đặt M Các vectơ đơn vị ( i, j, k ) xác định M ba mặt phẳng vng góc với Các ứng suất sinh ba mặt phẳng hoàn toàn xác định thành phần chúng hệ tọa độ Mxyz (hình 1.1): z  zz  zx  xz  xx  zy  yx  yz  yy y  xy x Hình 1.1 − Mặt phẳng i (hoặc mặt x): T (M , i) =  xx i +  xy j +  xz k − Mặt phẳng j (hoặc mặt y): T (M , j ) =  yx i +  yy j +  yz k − Mặt phẳng k (hoặc mặt z): T (M , k ) =  yx i +  yy j +  yz k Ghi chú: Trên mặt phẳng i o Ứng suất pháp:  = i.T ( M , i ) =  xx o Vectơ ứng suất tiếp:  =  xy j +  xz k 1.2 Ứng suất mặt Xét mặt phẳng n M Gọi a, b c cosin hướng n Ứng suất bề mặt n xác định bởi: T (M , n) = aT (M , i) + bT (M , j ) + cT ( M , k ) + T ( M )n với T(M)_tensơ ứng suất M, xác định biểu thức:  xx  xy  xz T ( M ) =  yx  yy  yz  zx  zy  zz Ở đây, tính đối xứng ứng suất tiếp hướng dọc theo trục tọa độ, ta có: Trang: Phương pháp phần tử hữu hạn  xy =  yx , yz =  zy , zx =  xz 1.3 Trạng thái ứng suất điểm Sự phân bố ứng suất điểm M hoàn toàn xác định liệu sau đây: o Hệ tọa độ Mxyz o Sáu đại lượng ( xx , yy , zz , xy , yz , zx ) Ta gọi tập hợp trạng thái ứng suất điểm M Biến dạng Dưới tác dụng ngoại lực, vật rắn bị biến dạng Nói chung biến dạng gây chuyển điểm vật rắn mà khuôn khổ tài liệu giả thuyết chúng chuyển vị bé Một hệ giả thuyết xem điểm đặt tải trọng không thay đổi sau kết cấu bị biến dạng 2.1 Các định nghĩa z M’ M y x Hình 1.2 + Vectơ chuyển vị Xét điểm M Trong trình biến dạng, điểm M tiến đến M’ Vectơ MM ' gọi vectơ chuyển vị điểm M Gọi u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z) thành phần vectơ chuyển vị hệ tọa độ Oxyz + Biến dạng dài hay lượng giãn dài đơn vị Xét hai điểm M N nằm lân cận (hình 1.3) Trong trình biến dạng, điểm M tiến đến điểm M’ điểm N tiến đến N’ Đặt n vectơ đơn vị hướng MN z N’ M’ n N M x y Hình 1.3 Người ta ký hiệu biến dạng dài điểm M theo hướng n  (M , n) xác định bởi: Trang: Phương pháp phần tử hữu hạn  ( M , n) = lim N →M M ' N '− MN MN + Biến dạng góc hay độ trượt x M2’ n2 M2 M’ M1’ M1 n1 M x x Hình 1.4 Xét hai điểm M1, M2 lân cận với điểm M cho hướng MM1 MM2 vng góc với (hình 1.4) Gọi n1 n2 tương ứng vectơ đơn vị hướng MM1 MM2.Trong trình biến dạng điểm M tiến đến M’, điểm M1 tiến đến M1’ điểm M2 tiến đến M2’ Đặt  góc tạo hai vectơ M ' M ' M ' M ' Người ta ký hiệu biến dạng góc điểm M theo hướng n1 n2  (M , n1 , n2 ) =  / −  M1 M2 → M 2.2 Trạng thái biến dạng điểm Đặt điểm M hệ tọa độ trực giao Mxyz Gọi ( i, j, k ) vectơ đơn vị trục tọa độ Ký hiệu:  xx =  ( M , i ), xx =  ( M , j ), xx =  ( M , k ) 2 xy =  ( M , i, j ), 2 yz =  ( M , j , k ), 2 zx =  ( M , k , i ) Các đại lượng định bởi: u ( x, y, z ) x v( x, y, z )  yy = y w( x, y, z )  zz = x v( x, y, z ) u ( x, y, z )  xx = + x y w( x, y, z ) v( x, y, z )  xx = + y z u ( x, y, z ) w( x, y, z )  xx = + z x  xx = Trang: Phương pháp phần tử hữu hạn Suy tính chất đối xứng biến dạng góc:  xy =  yx ,  yz =  zy ,  xz =  zx Sự phân bố biến dạng xung quanh trạng thái biến dạng điểm M hoàn toàn xác định sáu đại lượng: (  xx ,  yy ,  zz , 2 xy , 2 yz , 2 zx ) Và gọi tập hợp trạng thái biến dạng điểm M Quan hệ biến dạng chuyển vị phương pháp phần tử hữu hạn Nếu biến dạng bé ta có biểu thức (II-1) biểu thị liên hệ biến dạng chuyển vị Với phương pháp phần tử hữu hạn, biểu diễn mối quan hệ dạng ma trận sau:   = Bu Ở đây:   =  xx T _vectơ biến dạng,   =  xx , yy , zz , 2 xy , 2 yz , 2 zx  [B]_ma trận đạo hàm ma trận hình học {u}_vectơ chuyển vị nút, gồm thành phần chuyển nút phần tử Việc xác định vectơ phụ thuộc vào trường hợp cụ thể Quan hệ ứng suất biến dạng Trong thực tế việc giải hầu hết tốn kết cấu đòi hỏi phải sử dụng luật vật liệu Ở nhiều trường hợp, xem vật liệu có tính chất đàn hồi tuyến tính (tn theo định luật Hooke) Đó giả thuyết mà áp dụng tài liệu Định luật Hooke tổng quát biểu thị mối quan hệ tuyến tính biến dạng ứng suất xác định hệ phương trình sau đây:        xx −  ( yy +  zz ) E  yy =  yy −  ( zz +  xx ) E  xx =  zz −  ( xx +  yy ) E 2(1 +  ) 2 xy =  xy =  xy E G 2(1 +  ) 2 yz =  yz =  yz E G 2(1 +  ) 2 zx =  zx =  zx E G  xx = Với: E_mô đun đàn hồi vật liệu (mô đun Young)  _hệ số Poisson G_mô đun đàn hồi trượt vật liệu Có thể viết biểu thức (II-3) dạng ma trận:   = C  Trang: Phương pháp phần tử hữu hạn Với:   =  T _vectơ ứng suất,   =  xx , yy , zz , xy , yz , zx  Từ suy ra:   = C −1   hoặc:   = D  với: [D]_ma trận đàn hồi Đây ma trận vuông đối xứng (do [D]T = [D]), xác định bởi:  0  1 −    −  0    − 0    − F 0   D = (1 +  )(1 − 2 )   −       ĐX  −    Trang: Phương pháp phần tử hữu hạn PHẦN BÀI TẬP Bài 1: Bài tập Giải hệ phương trình tuyến tính sau: 2 x1 + x2 + x3 = 4   3 x1 + x2 − x3 = −  4 x + 11 x + x =    Ta có: −2 −2 11 7 Giữ nguyên hàng 1, lấy hàng nhân với trừ hàng sau nhân hàng với 3, lấy hàng trừ hàng sau nhân hàng với 2, ta 4 10 13 16 −1 Tiếp tục, lấy hàng nhân với 10 trừ hàng sau nhân hàng với 10, ta 4 10 13 16 0 29 58 58 x3 = =2 29 16 − 13.2 Dễ dàng tính được: x2 = = −1 10 − 3.2 − 4.( −1) x1 = =1 Vậy: x1 = 1; x2 = −1; x3 = Bài 2: Bài tập Tính tích phân sau phương pháp giải tích phương pháp tích phân số Newton-Cơtes: +1 a/ +1  (30x + 40x − 5)dx b/ +1 +1 −1 c/  (60x + 40x + 80x + x − 5)dx −1  (x + x − x + 15)dx −1 d/  (340x + 15x + 200x + 27)dx −1 +1 a/  (30x + 40x − 5)dx −1 + Phương pháp giải tích: Trang: Phương pháp phần tử hữu hạn I1 = 10x + 20x − x −1 = 10(1) + 20(1) − 5.1 − 10(−1) + 20(−1) − 5.( −1) = 10 +1 + Phương pháp Newton-Cơtes: Hồnh độ điểm lấy tích phân trọng số tương ứng x1 = −1, w1 = ; x2 = 0, w2 = ; x3 = 1, w3 = 3 I = 30(−1) + 40(−1) − + 30(0) + 40(0) − + 30(1) + 40(1) − 3 30 = 50 + ( −5) = = 10 3       +1  (x b/ + x − x + 15)dx −1 + Phương pháp giải tích: +1 7 I1 = x + 3x − x + 15x = (1) + 3(1) − (1) + 15.1 4 −1 1  −  ( −1) + 3(−1) − (−1) + 15.(−1) = + 30 = 36 4  + Phương pháp Newton-Cơtes: Hồnh độ điểm lấy tích phân trọng số tương ứng x1 = −1, w1 = ; x2 = 0, w2 = ; x3 = 1, w3 = 3 I = (−1) + 9(−1) − 7(−1) + 15 + (0) + 9(0) − 7(0) + 15 3 + (1) + 9(1) − 7(1) + 15 = (18 + 30) + 15) = 16 + 20 = 36 3       +1 c/  (60x + 40x + 80x + x − 5)dx −1 + Phương pháp giải tích: I = 10x + x + 20x + x + 14x  +1 −1 = 10(1) + 8(1) + 20(1) + (1) + 15  − 10(−1) + 8(−1) + 20(−1) + (−1) + 15 = 16 + 28 = 44 + Phương pháp Newton-Cơtes: Hồnh độ điểm lấy tích phân trọng số tương ứng x1 = −1, w1 = 32 32 ; x = − , w2 = ; x3 = 0, w3 = ; x = −1, w4 = ; x5 = − , w5 = 45 45 15 45 45 Trang: Phương pháp phần tử hữu hạn   60(−1) + 40(−1) + 80(−1) + 2(−1) + 14 45 32  1 1  + 60(− ) + 40(− ) + 80(− ) + 2(− ) + 14  45  2 2  + 60(0) + 40(0) + 80(0) + 2(0) + 14 15 32  1  + 60( ) + 40( ) + 80( ) + 2( ) + 14  45  2 2  + 60(1) + 40(1) + 80(1) + 2(1) + 14 45 32 660 = 108 + 33 + 14 = = 44 45 45 15 45 I2 =     +1 d/  (340x + 15x + 200x + 27)dx −1 + Phương pháp giải tích: +1 15 15 I = 68x + x + 100x + 27 x = 68(1) + (1) + 100(1) + 27.1 4 −1 15   − 68(−1) + (−1) + 100(−1) + 27.( −1) = 136 + 54 = 190   + Phương pháp Newton-Côtes: Hồnh độ điểm lấy tích phân trọng số tương ứng x1 = −1, w1 = 32 32 ; x = − , w2 = ; x3 = 0, w3 = ; x = −1, w4 = ; x5 = − , w5 = 45 45 15 45 45   340(−1) + 15(−1) + 200(−1) + 27(−1) 45 32  1 1  + 340(− ) + 15(− ) + 200(− ) + 27(− )  45  2 2  + 340(0) + 15(0) + 200(0) + 27(0) 15 32  1 1  + 340( ) + 15( ) + 200( ) + 27( )  45  2 2  + 340(1) + 15(1) + 200(1) + 27(1) 45 8550 = 734 + 1544 + 27 = = 190 45 45 15 45 I2 =     Bài 3: Bài tập 12 Tính tích phân sau phương pháp giải tích (I1) phương pháp tích phân số (I2): Trang: Phương pháp phần tử hữu hạn 1− 1 a/    d d d b/ −1 −1 −1 1− −   d d d 0 1 a/    d d d −1 −1 −1 + Phương pháp giải tích: 1 I1 =    −1 −1 +1 1 −1 −1 −1 +1 d d =   d d =   −1 d =  d =  −1 −1 +1 −1 = 4.2 = + Phương pháp tích phân số: Tra bảng ta có:    ; w1 = (1 ,1 ,  ) =  0, ,− 3     ; w2 = ( , ,  ) =  0, − ,− 3    ( , ,  ) =     , 0, 3  ; w3 =    ; w4 = ( , ,  ) =  − , 0,  3   Suy I = 2.1 + 2.1 + 2.1 + 2.1 = 1− b/  1− −   d d d 0 + Phương pháp giải tích: 1− I1 =   1− − 1 1− d d =  0 1 0 (1 −  −  ) d d = 0  −  −  1− d 1   =  1 −  −  (1 −  ) − (1 −  )  d =  (1 − 2 +  )d 20  0 1 = 1 1  −  +  = (1 − 12 + 13 ) = 3 + Phương pháp tích phân số: Tra bảng ta có: 1 1 (1 ,1 ,  ) =  , ,  ; w1 = 4 4 1 Suy ra: I = 1 = 6 Chương III: CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN Trang: Phương pháp phần tử hữu hạn TRONG TÍNH TỐN KẾT CẤU PPPTHH giới thiệu kỹ thuật dùng để giải phương trình vi phân đạo hàm riêng (PTVPĐHR) đặt dạng biến phân Đối với toán kết cấu, PTVPĐHR nói phương trình cân vật rắn biến dạng viết dạng số hạng chuyển vị Tạo lưới phần tử Trước tiên kết cấu phải “rời rạc hóa” thành số phần tử có kích thước hữu hạn (hoặc phần tử hữu hạn) cho khơng có lỗ hổng phủ lên phần tử Người ta mong muốn có sai số nhỏ thể miền biên kết cấu Kết rời rạc hóa nêu tạo nên lưới phần tử hữu hạn Thường kết cấu (miền khảo sát) cho, người ta có khuynh hướng dùng phần tử có dạng hình học tam giác, chữ nhật,… Tuy nhiên điều bắt buộc Rõ ràng phần tử thuộc loại khác miền cần rời rạc hóa đường, bề mặt khối Hình vẽ 3.1 trình bày loại phần tử thông dụng sử dụng việc tạo lưới miền chiều (R), hai chiều (R2) ba chiều (R3) Tuyến tính Bậc Tam giác Tứ diện Bậc Tứ giác Lăng trụ Khối mặt Khối có biên bậc Phần tử đối xứng trục Hình 3.1 Ma trận độ cứng phần tử 2.1 Khái niệm Độ cứng biểu thị khả mà kết cấu chống lại biến dạng tác dụng ngoại lực Ma trận độ cứng ma trận phương pháp phần tử hữu hạn 2.2 Thành lập biểu thức tổng quát ma trận độ cứng phần tử Trang: 10 Phương pháp phần tử hữu hạn d  d  d  d   +S =0   +  dx  dx  dy  dy  (4.8) d  d  d  d   d  d    +    +  +S =0 dx  dx  dy  dy  dz  dz  T N N e n W PP e w E y n w s W s y S b z S x E t x B Hình 4.3 Sơ đồ lưới 2D Hình 4.4 Phần tử khối hệ tọa độ 3D nút kề Đối với phương trình chiều: Bên cạnh điểm kề E W điểm nút P, lúc có them điểm kề phía bắc (N) phía nam (S) Đối với phươnng trình chiều, chứa điểm nút P có điểm nút kề ký hiệu W, E, S, N, B, T bề mặt biên thể tích kiểm tra w, e, s, n, b, t Tiến hành tích phân phương trình trên thể tích kiểm tra sau biến đổi thêm nhận phương trình rời rạc dạng tổng quát điểm trong: aP  P = aw w + aE  E + aS  S + a N  N + Su a P  P = a w  w + a E  E + a S  S + a N  N + a B  B + aT  T + S u (4.9) Phương trình kết hợp với điều kiện biên cho ta phân bố  điểm nút biên Trang: 51 Phương pháp phần tử hữu hạn CHƯƠNG VI: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN ÁP SUẤT-VẬN TỐC TRONG DỊNG CHẢY ỔN ĐỊNH 6.1 GIỚI THIỆU Quá trình đối lưu biến số vô hướng  phụ thuộc vào phương độ lớn vận tốc vị trí khảo sát Trong phần trước trường vận tốc giả thiết biết Tuy nhiên thực tế, trường vận tốc chưa biết phần lời giải chung tất biến số khác dòng chảy Xét phương trình dòng chảy tầng phẳng: Phương trình động lượng theo phương x, phương y phương trình liên tục:  (uu ) +  (vu) =    u  +    u  − p + S u x y x  x  y  y  x  (uv) +  (vv) =    v  +    v  − p + S v x y x  x  y  y  y  (u ) +  (v ) = x y (6.1) Hệ phương trình đặt hai vấn đề cần giải quyết, là: − Trong biểu thức đối lưu phương trình động lượng có chứa đại lượng khơng tuyến tính − Tất ba phương trình có dạng phức tạp thành phần vận tốc xuất phương trình phương trình liên tục Áp suất xuất hai phương trình động lượng khơng có phương trình riêng biệt Cả hai vấn đề liên quan tới khơng tuyến tính hệ phương trình mối quan hệ áp suất-vận tốc giải phương pháp giải lặp Trong thuật tốn này, thơng lượng đối lưu đơn vị khối lượng F ngang qua bề mặt thể tích kiểm tra đánh giá đại lượng gọi vận tốc sơ Đồng thời trường áp suất sơ sử dụng để giải phương trình động lượng phương trình hiệu chỉnh áp suất (được suy từ phương trình liên tục) giải để nhận trường áp suất hiệu chỉnh, sau chúng sử dụng để cập nhật trường vận tốc áp suất Thuật toán trường vận tốc áp suất sơ ban đầu tăng dần bậc để hoàn thiện trường sơ này, trình lặp lại đạt tới giá trị hội tụ trường vận tốc áp suất 6.2 HỆ LƯỚI CHỮ CHI Trong trường hợp áp dụng cách máy móc thao tác phần trước dẫn đến kết trường áp suất tạo cho biểu thức nguồn phương trình động lượng rời rạc giá trị khơng trường hợp áp suất khơng đổi Tính chất không phù hợp với quy luật tự nhiên Để khắc phục vấn đề nêu trên, người ta sử dụng lưới chữ chi thành phần vận tốc, theo đại lương vơ hướng áp suất, khối lượng riêng, nhiệt độ,…sẽ đánh giá điểm nút thơng thường việc tính tốn thành phần vận tốc lưới chữ chi-có tâm (nút lưới) nằm bề mặt ô kiểm tra Sơ đồ tính tốn tốn phẳng thể hình 6.2 Trang: 52 Phương pháp phần tử hữu hạn Các biến số vô hướng, kể áp suất, lưu giữ điểm nút ký hiệu (•) Các vận tốc xác định bề mặt ô vô hướng nằm điểm nút ký hiệu nét đứt ( ), đường ngang dùng để vị trí thành phần vận tốc u đường thẳng đứng biểu thị thành phần vận tốc v Cần ý rằng: thể tích kiểm tra u v khác với thể tích kiểm tra đại lượng vơ hướng chúng khác Trong hệ lưới chữ chi, điểm nút áp suất trùng với bề mặt thể tích kiểm tra đại lượng u, biểu thức gradient áp suất biểu diễn bởi: p p p − p w = x xu (6.2) xu chiều rộng thể tích kiểm tra u, tương tự p/y thể tích kiểm tra v cho bởi: p p p − p s = x y v (6.3) với yv chiều rộng thể tích kiểm tra thay giá trị tương ứng trường áp suất vào phương trình trên, ta nhận thành phần quan trọng gradient áp suất khác không Như vậy, việc thành lập hệ lưới chữ chi thành phần vận tốc áp suất loại trừ tác động không thực tế phương trình động lượng dạng rời rạc lên dao động trường áp suất Đồng thời xác định vận tốc vị trí cần thiết cho tính tốn truyền dẫn đại lượng vơ hướng đối lưu-khuếch tán, khơng cần thiết dùng phép nội suy để tính tốn vận tốc bề mặt vơ hướng 6.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG Trên sơ đồ lưới, đường nét liền đánh số thứ tự chữ in, theo trục tọa độ x, số thứ tự (I-1), I, (I+1), …và theo trục y: (J-1), J, (J+1)… Các đường không liên tục ký hiệu chữ thường tương ứng theo phương x y Các nút vô hướng, nằm giao điểm hai đường lưới ký hiệu hai chữ in Thành phần vận tốc u xác định bề mặt “e” “w” thể tích kiểm tra vơ hướng Tại giao điểm bề mặt ô với đường lưới đại lượng ký hiệu cách kết hợp chữ thường chữ in,… Chúng ta sử dụng lưới vận tốc chữ chi lệch trái hay lệch phải Lưới chữ chi lệch trái giá trị thành phần vận tốc ui,J xác định khoảng cách (-0,5xu) từ điểm vô hướng (I, J) Tương tự thành phần vận tốc vI,j xác định khoảng cách (-0,5xv) từ điểm nút (I, J) Biểu diễn hệ tọa độ mới, phương trình động lượng rời rạc thành phần vận tốc u vị trí (i, J) cho bởi: , J u i , J =  a nb u nb − hay : p I , J − p I −1, J xu Vu + SVu , J u i , J =  a nb u nb + ( p I , J − p I −1, J )Ai , J + bi , J (6.4) Vu thể tích ô vận tốc, bi,J = S Vu biểu thức nguồn động lượng, Ai,J diện tích tiết diện bề mặt (phía đơng hay phía tây) thể tích kiểm tra Trang: 53 Phương pháp phần tử hữu hạn thành phần vận tốc u Biểu thức nguồn gradient áp suất (6.4) rời rạc hóa phép nội suy tuyến tính điểm nút áp suất, nằm biên thể tích kiểm tra thành phần vận tốc u Áp dụng hệ thống ký hiệu mới, ta có giá trị thơng lượng đối lưu qua đơn vị khối lượng F độ dẫn D tiết diện bề mặt e, w, n s thể tích kiểm tra u: Fw = (u )w = Fw =   I , J +  I −1, J   Fe = (u )e = Fe = Fi , J + Fi −1, J Fi +1, J +  I − 2, J   u i , J +  I −1, J   + Fi , J   I +1, J +  I , J   Fs = (u )s =   u i −1, J       +  I −1, J u i +1, J +  I , J     u i , J    FI , j + FI −1, j  +  I −1, J −1     I , J +  I , J −1  u I , j +  I −1, J v I −1, j    2     FI , j +1 + FI −1, j Fn = (u )n =  +  I −1, J     I , J +1 +  I , J  v I , j +1 +  I −1, J +1 v I −1, j +1  Fn =   2     I −1, J Dw = xi − xi −1 Fs = De = Ds = Dn = (6.5) I , J xi +1 − xi I −1, J + I , J + I −1, J −1 + I , J −1 (6.6) 4( y J − y J −1 ) I −1, J +1 + I , J +1 + I −1, J + I , J 4( y J +1 − y J ) Tương tự với thành phần vận tốc v ta có: a I , j u I , j =  anb vnb + ( p I , J −1 − p I , J )AI , j + bI , j (6.7) Trang: 54 Phương pháp phần tử hữu hạn Fi , J + Fi , J −1 Fw = (u )w = Fw =   I , J +  I −1, J   Fe = (u )e = Fe = Dw = De = Ds = Dn =  +  I +1, J −1    u i +1, J +  I , J −1 u i +1, J −1      FI , j −1 + FI , j   I , J −1 +  I , J −   Fn = (u )n = Fn = Fi +1, J  +  I , J −1    u i , J +  I −1, J −1 u i , J −1      + Fi +1, J −1   I +1, J +  I , J   Fs = (u )s = Fs =    +  I , J −1   v I , j −1 +  I , J v I , j      FI , j + FI , j +1   I , J +  I , J −   +  I ,J   v I , j +  I , J +1   I −1, J −1 + I , J −1 + I −1, J + I , J   v I , j +1    (6.8) 4( x I − x I −1 ) I , J −1 + I +1, J −1 + I , J + I +1, J 4( x I +1 − x I ) I , J −1 (6.8) y j − y j −1 I , J y j +1 − y i mức phép lặp giá trị F tính tốn dựa giá trị vận tốc u v nhận từ phép lặp trước Nếu cho giá trị trường áp suất p, phương trình động lượng dạng (6.4) (6.7) viết cho thể tích kiểm tra u v, sau giải để có trường vận tốc Nếu trường áp suất hợp lý, trường vận tốc nhận thỏa mãn điều kiện liên tục Nếu trường áp suất chưa biết, ta cần có phương pháp tính tốn áp suất 6.4 THUẬT TỐN NỬA ẨN SỬA ĐỔI (SIMPLER) Thuật toán nửa ẩn sửa đổi phiên thuật tốn nửa ẩn hồn thiện Trong thuật tốn phương trình liên tục dạng rời rạc (6.9) (uA)i+1,J − (uA)i,J + (vA)I , j+1 − (vA)I , j  = sử dụng để tính tốn áp suất thay tính tốn giá trị hiệu chỉnh áp suất thuật toán nửa ẩn Do trường áp suất trung gian nhận trực tiếp Trang: 55 Phương pháp phần tử hữu hạn mà không sử dụng hiệu chỉnh Giá trị vận tốc nhiên nhận thơng qua phương trình hiệu chỉnh vận tốc thuật tốn nửa ẩn Phương trình động lượng dạng rời rạc xếp lại: ui, J = vi , J = a nb u nb + bi , J , J  anb u nb + bI , j aI , j + + Ai , J , J (p AI , j aI , j (p I −1, J I , J −1 − pI ,J ) − pI ,J ) (6.10)   Biểu thức đầu bên vế phải (6.10) gọi vận tốc giả định U V  u i,J =  v i,J a nb u nb + bi , J , J a = nb u nb + bI , j (6.11) aI , j Các phương trình (6.10) viết lại sau: u i , J = u i , J + d i , J ( p I −1, J − p I , J )  v I , j = v I , j + d I , j ( p I , J −1 − p I , J )  (6.12) Giá trị d xác định từ cơng thức phần thuật tốn nửa ẩn Thay ui,J vI,j từ phương trình vào phương trình liên tục rời rạc (6.9), sử dụng dạng tương tự ui+1,J vI,j+1, sau xếp lại, ta nhận phương trình rời rạc áp suất: aI , J pI , J = aI +1, J pI +1, J + aI −1, J pI −1, J + aI , J +1 pI , J +1 + aI , J −1 pI , J −1 + bI , J (6.13) Trong đó: aI , J = aI +1, J + aI −1, J + aI , J +1 + aI , J −1 hệ số khác cho bảng đây: Tồn trình tự tính tốn sơ đồ hình (6.1) 6.5 THUẬT TỐN NỬA ẨN ỔN ĐỊNH (SIMPLEC) Thuật toán nửa ẩn ổn định Van Doormal (1984) tiến hành theo bước thuật toán nửa ẩn với khác phương trình động lượng thao tác để biểu thức bỏ qua phương trình hiệu chỉnh vận tốc thuật toán nửa ổn định cho bởi: ui' , J = d i , J ( p I' −1, J − p I' , J ) (6.14) Trong đó: d i , J = Ai , J , J −  anb (6.16) Tương tự phương trình hiệu chỉnh vận tốc v xác định bởi: v I' , j = d I , j ( p I' , J −1 − p I' , J ) (6.17) Trong đó: d I , j = AI , j a I , j −  a nb (6.18) Trang: 56 Phương pháp phần tử hữu hạn Start Giá trị sơ ban đầu p* , u * , v* , * Bước 1: Xác định vận tốc giả tạo  u i,J a = nb u nb + bi , J ; vi,J =   , J anbunb + bI , j aI , j   u, v Bước 2: Giải phương trình áp suất aI , J pI , J = aI +1, J pI +1, J + aI −1, J pI −1, J + aI , J +1 pI , J +1 + aI , J −1 pI , J −1 + bI , J p Cho p* = p p* Bước 3: Giải phương trình động lượng rời rạc ( + (p ) )A * , J ui*, J =  anbunb + pI*−1, J − pI*, J Ai , J + bi , J Cho * , J vi*, J =  anbvnb p* = p u* = u v* = v * =  * I , J −1 − pI*, J + bi , J i, J u* , v* Bước 4: Giải phương trình hiệu chỉnh áp suất aI , J pI , J = aI +1, J pI' +1, J + aI −1, J pI' −1, J + aI , J +1 pI' , J +1 + aI , J −1 pI' , J −1 + bI' , J p' Bước 5: Hiệu chỉnh vận tốc ( ) ( ui ,J = ui*, J + di ,J pI' −1,J − pI' , J ; vi , J = vi*,J + di , J pI' ,J −1 − pI' ,J ) p , u , v,  * Bước 6: Giải tất phương trình truyền dẫn khác aI , J  I , J = aI +1, J  I +1, J + aI −1, J  I −1, J + aI , J +1 I , J +1 + aI , J −1 I , J −1 + b I , J Khơng ?  Hội tụ? Có ? STOP Hình 6.1 Trình tự tính tốn theo sơ đồ nửa ẩn sửa đổi Trang: 57 Phương pháp phần tử hữu hạn Phương trình hiệu chỉnh áp suất rời rạc tương tự thuật tốn nửa ẩn với d tính từ phương trình (6.16) (6.18) Trình tự tính tốn thuật tốn nửa ẩn ổn định hồn tồn trình tự tính tốn thuật tốn nửa ẩn BÀI TẬP Bài 1: Bài tập Giải hệ phương trình tuyến tính sau: 2 x1 + x2 + x3 = 4   3 x1 + x2 − x3 = −  4 x + 11 x + x =    Ta có: −2 −2 11 7 Giữ nguyên hàng 1, lấy hàng nhân với trừ hàng sau nhân hàng với 3, lấy hàng trừ hàng sau nhân hàng với 2, ta 4 10 13 16 −1 Tiếp tục, lấy hàng nhân với 10 trừ hàng sau nhân hàng với 10, ta 4 10 13 16 0 29 58 58 x3 = =2 29 16 − 13.2 Dễ dàng tính được: x2 = = −1 10 − 3.2 − 4.( −1) x1 = =1 Vậy: x1 = 1; x2 = −1; x3 = Bài 2: Bài tập Tính tích phân sau phương pháp giải tích phương pháp tích phân số Newton-Cơtes: Trang: 58 Phương pháp phần tử hữu hạn +1 a/ +1  (30x + 40x − 5)dx b/ +1 +1 −1 c/  (60x + x − x + 15)dx −1 + 40x + 80x + x − 5)dx  (x d/ −1  (340x + 15x + 200x + 27)dx −1 +1 a/  (30x + 40x − 5)dx −1 + Phương pháp giải tích: I1 = 10x + 20x − x −1 = 10(1) + 20(1) − 5.1 − 10(−1) + 20(−1) − 5.( −1) = 10 +1 + Phương pháp Newton-Cơtes: Hồnh độ điểm lấy tích phân trọng số tương ứng x1 = −1, w1 = ; x2 = 0, w2 = ; x3 = 1, w3 = 3 I = 30(−1) + 40(−1) − + 30(0) + 40(0) − + 30(1) + 40(1) − 3 30 = 50 + ( −5) = = 10 3       +1  (x b/ + x − x + 15)dx −1 + Phương pháp giải tích: +1 I1 = 7 x + 3x − x + 15x = (1) + 3(1) − (1) + 15.1 4 −1 1  −  ( −1) + 3(−1) − (−1) + 15.(−1) = + 30 = 36 4  + Phương pháp Newton-Cơtes: Hồnh độ điểm lấy tích phân trọng số tương ứng x1 = −1, w1 = ; x2 = 0, w2 = ; x3 = 1, w3 = 3 I = (−1) + 9(−1) − 7(−1) + 15 + (0) + 9(0) − 7(0) + 15 3 + (1) + 9(1) − 7(1) + 15 = (18 + 30) + 15) = 16 + 20 = 36 3       +1 c/  (60x + 40x + 80x + x − 5)dx −1 + Phương pháp giải tích: I = 10x + x + 20x + x + 14x  +1 −1 = 10(1) + 8(1) + 20(1) + (1) + 15  − 10(−1) + 8(−1) + 20(−1) + (−1) + 15 = 16 + 28 = 44 Trang: 59 Phương pháp phần tử hữu hạn + Phương pháp Newton-Cơtes: Hồnh độ điểm lấy tích phân trọng số tương ứng 32 32 ; x = − , w2 = ; x3 = 0, w3 = ; x = −1, w4 = ; x5 = − , w5 = 45 45 15 45 45 I2 = 60(−1) + 40(−1) + 80(−1) + 2(−1) + 14 45 32  1 1  + 60(− ) + 40(− ) + 80(− ) + 2(− ) + 14  45  2 2  + 60(0) + 40(0) + 80(0) + 2(0) + 14 15 32  1  + 60( ) + 40( ) + 80( ) + 2( ) + 14  45  2 2  + 60(1) + 40(1) + 80(1) + 2(1) + 14 45 32 660 = 108 + 33 + 14 = = 44 45 45 15 45 x1 = −1, w1 =       +1 d/  (340x + 15x + 200x + 27)dx −1 + Phương pháp giải tích: +1 15 15 I = 68x + x + 100x + 27 x = 68(1) + (1) + 100(1) + 27.1 4 −1 15   − 68(−1) + (−1) + 100(−1) + 27.( −1) = 136 + 54 = 190   + Phương pháp Newton-Cơtes: Hồnh độ điểm lấy tích phân trọng số tương ứng 32 32 ; x = − , w2 = ; x3 = 0, w3 = ; x = −1, w4 = ; x5 = − , w5 = 45 45 15 45 45 I2 = 340(−1) + 15(−1) + 200(−1) + 27(−1) 45 32  1 1  + 340(− ) + 15(− ) + 200(− ) + 27(− )  45  2 2  + 340(0) + 15(0) + 200(0) + 27(0) 15 32  1 1  + 340( ) + 15( ) + 200( ) + 27( )  45  2 2  + 340(1) + 15(1) + 200(1) + 27(1) 45 8550 = 734 + 1544 + 27 = = 190 45 45 15 45 x1 = −1, w1 =       Trang: 60 Phương pháp phần tử hữu hạn Bài 3: Bài tập 12 Tính tích phân sau phương pháp giải tích (I1) phương pháp tích phân số (I2): 1− 1 a/    d d d b/ −1 −1 −1 1− −   d d d 0 1 a/    d d d −1 −1 −1 + Phương pháp giải tích: 1 I1 =    −1 −1 +1 1 −1 −1 −1 +1 d d =   d d =   −1 d =  d =  −1 −1 +1 −1 = 4.2 = + Phương pháp tích phân số: Tra bảng ta có:    ; w1 = (1 ,1 ,  ) =  0, ,− 3     ; w2 = ( , ,  ) =  0, − ,− 3    ( , ,  ) =     , 0, 3  ; w3 =    ; w4 = ( , ,  ) =  − , 0,  3   Suy I = 2.1 + 2.1 + 2.1 + 2.1 = 1− b/  1− −   d d d 0 + Phương pháp giải tích: 1− I1 =   1− − 1 1− d d =  0 1 0 (1 −  −  ) d d = 0  −  −  1− d 1   =  1 −  −  (1 −  ) − (1 −  )  d =  (1 − 2 +  )d 20  0 1 = 1 1  −  +  = (1 − 12 + 13 ) = 3 + Phương pháp tích phân số: Tra bảng ta có: 1 1 (1 ,1 ,  ) =  , ,  ; w1 = 4 4 Trang: 61 Phương pháp phần tử hữu hạn Suy ra: I = 1 = HÀM DẠNG Trong khuôn khổ phần nghiên cứu này, phần tử đẳng tham số (isoparametric) khảo sát Do vậy, hàm dạng (shape function) N i hàm nội suy (interpolation) Ni xem 2.1 Tóm tắt lý thuyết 2.1.1 Đa thức Lagrange Phần lớn hàm dạng xây dựng từ đa thức Lagrange sau: n Lk ( x) =  m =0 k m x − xm xk − xm Với n số nút, xm tọa độ nút thứ m 2.1.2 Tính chất hàm dạng ➢ Tính chất Hàm dạng có giá trị nút tương ứng nút khác 1 i  j N i ( i ) =  0 i  j ➢ Tính chất Các hàm dạng thỏa biểu thức sau n N i =1 i =1 với n số nút 2.2 Bài tập 2.2.1 Bài tập Tìm hàm dạng phần tử tứ giác nút sau: y b=4 a=9 x2 x Áp dụng cơng thức Lagrange ta có: Trang: 62 Phương pháp phần tử hữu hạn x − x2 y − y x − y − ( x − )( y − ) = = x1 − x2 y1 − y −9 −4 36 N1 ( x, y ) = L1x L1 y = N ( x, y ) = L2 x L2 y = x − x1 y − y3 x − y − x(4 − y ) = = x2 − x1 y − y3 −4 36 N ( x, y ) = L3 x L3 y = x − x4 y − y x y xy = = x3 − x4 y3 − y 36 N ( x, y ) = L4 x L4 y = x − x3 y − y1 x − y ( x − ) y = = x4 − x3 y − y1 36 2.2.2 Bài tập Tìm hàm dạng cho phần tử chiều bậc sau: 14 15 13 16 18 17 14 25 14 23 22 12 27 21 26 20 10 19 Để dễ dàng thao tác thiết lập hàm dạng, trước tiên ta liệt kê tọa độ điểm nút: 1(-1,-1,-1) 14(1,1,0) 27(0,0,1) 2(0,-1,-1) 15(0,1,0) 3(1,-1,-1) 16(-1,1,0) 4(1,0,-1) 17(-1,0,0) 5(1,1,-1) 18(0,0,0) 6(0,1,-1) 19(-1,-1,1) 7(-1,1,-1) 20(0,-1,1) 8(-1,0,-1) 21(1,-1,1) 9(0,0,-1) 22(1,0,1) 10(-1,-1,0) 23(1,1,1) 11(0,-1,0) 24(0,1,1) 12(1,-1,0) 25(-1,1,1) 13(1,0,0) 26(-1,0,1) Trang: 63 Phương pháp phần tử hữu hạn − (1 −  )(1 −  )(1 −  ) −1− −1−1 −1− −1−1 −1− −1−1  − (−1)  −  −  −  −  − 1 −  (1 −  )(1 −  ) N = L2 L2 L2 = = − (−1) − − − − − − − − −  − (−1)  −  −  −  −  − (1 +  )(1 −  )(1 −  ) N = L3 L3 L3 = = − (−1) − − − − − − − − −  −  −1  −  −1  −  −1 N = L1 L1 L1 = = (  − (−1)  −  − (−1)  −  −  − = ) ( ) − −  (1 +  )(1 −  ) − (−1) − 1 − (−1) − − − − −  −  −  − (−1)  −  −  − (1 −  )(1 +  )(1 −  ) = = − − − − 1 − (−1) − − − − − N = L6 L6 L6 = N = L7 L7 L7 ( − (1 +  ) −  (1 −  ) − (−1) − 0 − (−1) − − − − −  − (−1)  −  − (−1)  −  −  − − (1 +  )(1 +  )(1 −  ) = = − (−1) − − (−1) − − − − − N = L4 L4 L4 = N = L5 L5 L5 ) N = L8 L8 L8 = N = L9 L9 L9 =  − (−1)  −  − (−1)  −  −  − =  −  −  − (−1)  −  − (−1)  − (−1) − − − − − (−1) − − − (−1) − − (−1)  − (−1)  −  − (−1)  −  −  − − (−1) − − (−1) − − − − − N 10 = L10 L10 L10 = N11 = L11 L11 L11 = N12 = L12 L12 L12 = N13 = L13 L13 L13 = =  −  −  −  −  − (−1)  − − − − − − − − − − (−1) −  − (−1)  −  −  −  − (−1)  − − (−1) − − − − − 0 − (−1) − ( =  − (−1)  −  − (−1)  −  − (−1)  − )( ) ( −  )(1 −  )(1 −  ) = − (−1) − − − − − − (−1) − (1 −  )(1 −  )(1 −  ) − −  −  (1 −  )  − (−1)  −  −  −  − (−1)  − = − (−1) − 0 − (−1) − − (−1) − ( − 1− )(1 −  )(1 −  ) 2 ( ) = − (1 −  )(1 −  ) −   = − (1 −  ) −  −   ( )( ) Trang: 64 Phương pháp phần tử hữu hạn N 14 = L14 L14 L14 = N 15 = L15 L15 L15 = N 16 = L16 L16 L16 = N 17 = L17 L17 L17 = N 18 = L18 L18 L18 N 19 = L19 L19 L19 − − (−1) − (−1) − 0 − (−1) −  −  − (−1)  − (−1)  −  − (−1)  −  −  −  − (−1)  −  − (−1)  − − − − − − (−1) − − 0 − (−1) − (1 −  )(1 +  )(1 −  ) = 2 =  −  −  − (−1)  −  − (−1)  − = − − (−1) − (−1) − 0 − (−1) − (1 +  )(1 +  )(1 −  ) = ( ) )( ) − (1 −  )(1 +  ) −   ( − (1 −  ) −  −   − − − − 0 − (−1) − − (−1) −  −  − (−1)  − (−1)  −  − (−1)  − = = −  − −  − − (−1) − (−1) − − (−1) −  −  −  −  −  − (−1)  − (1 −  )(1 −  )(1 +  ) = = − − − − − − − − − (−1) − ( N 20 = L20 L20 L20 = N 21 = L21 L21 L21 = N 22 = L22 L22 L22 = N 23 = L23 L23 L23  −  − (−1)  − (−1)  −  − (−1)  −  − (−1)  −  −  −  − (−1)  − = − (−1) − − − − − − (−1) −  − (−1)  −  −  −  − (−1)  − = − (−1) − − − − − − (−1) −  − (−1)  −  − (−1)  −  − (−1)  − )( )( ) − (1 −  )(1 −  )(1 +  ) − (1 +  )(1 −  )(1 +  ) = (1 +  )(1 −  )(1 +  ) − (−1) − 0 − (−1) − 1 − (−1) −  −  − (−1)  − (−1)  −  − (−1)  − (1 +  )(1 +  )(1 +  ) = = − − (−1) − (−1) − − (−1) − N 24 = L24 L24 L24 = N 25 = L25 L25 L25 = N 26 = L26 L26 L26 = N 27 = L27 L27 L27 =  −  − (−1)  − (−1)  −  − (−1)  − − − (−1) − (−1) − − (−1) −  −  −  − (−1)  −  − (−1)  − − − − − − (−1) − − (−1) −  −  −  − (−1)  −  − (−1)  − − − − − 0 − (−1) − 1 − (−1) −  −  − (−1)  − (−1)  −  − (−1)  − − − (−1) − (−1) − 1 − (−1) − (1 −  )(1 +  )(1 +  ) = = = ( − 1− )(1 +  )(1 +  ) ( − 1− )(1 −  )(1 +  ) (1 −  )(1 −  )(1 −  ) = 2 Trang: 65 ... độ cứng phần tử Trang: 10 Phương pháp phần tử hữu hạn Ma trận độ cứng phần tử xây dựng dựa cân tĩnh thân phần tử Khi phần tử bị biến dạng tác dụng vectơ ngoại lực {Fe} đặt nút nó, ta có phương. .. viết dạng số hạng chuyển vị Tạo lưới phần tử Trước tiên kết cấu phải “rời rạc hóa” thành số phần tử có kích thước hữu hạn (hoặc phần tử hữu hạn) cho khơng có lỗ hổng phủ lên phần tử Người ta mong... + Phương pháp tích phân số: Tra bảng ta có: 1 1 (1 ,1 ,  ) =  , ,  ; w1 = 4 4 1 Suy ra: I = 1 = 6 Chương III: CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN Trang: Phương pháp phần tử hữu
- Xem thêm -

Xem thêm: Phương pháp phần tử hữu hạn, Phương pháp phần tử hữu hạn

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay