Đang tải... (xem toàn văn)
Đề tài tiểu luận tìm hiểu về Kí hiệu Jacobi Trong quá trình Công nghiệp hóa – Hiện đại hóa đất nước, con người luôn phát triển theo thời đại. Kiến thức từ đó cũng được con người khai phá nhiều hơn, nhất là về mảng Toán học. Có thể nói rằng: Ký hiệu Jacobi là mảng kiến thức rất hay và khó, liên quan đến lý thuyết đồng dư. Ký hiệu Jacobi được sử dụng chính trong lý thuyết số tính toán, kiểm tra các số nguyên tố và phân tích thành nhân tử nguyên tố, những ứng dụng trong lý thuyết mật mã. Đặc biệt trong học phần “Toán học 3” mà chúng tôi đang học thì chúng ta có thể sử dụng ký hiệu Jacobi thay vì sử dụng ký hiệu Lengendre. Nhờ ký hiệu Jacobi, chúng ta có thể tìm nghiệm của phương trình bậc 2 đơn giản hơn so với sử dụng ký hiệu Legendre.
1 Lời cảm ơn Trong suốt trình thực đề tài “Ký hiệu Jacobi”, nỗ lực thân: Chúng xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Lê Văn An trực tiếp hướng dẫn, bảo giúp đỡ trình thực đề tài Cảm ơn thầy trang bị cho chúng tơi kiến thức bổ ích, kỹ để thực đề tài Chúng xin cảm ơn LCĐ khoa Sư phạm Tiểu học – Mầm non tạo điều kiện giúp chúng tơi hồn thành đề tài Trong trình làm đề tài, hạn chế mặt thời gian kiến thức, nên mong nhận đóng góp quý thầy cô tất bạn, để đề tài hồn thiện Một lần chúng tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Tĩnh, ngày tháng 01 năm 2016 Sinh viên Trần Thị Thúy Ngân Lưu Thị Thùy MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU: Lý chọn đề tài Lịch sử nghiên cứu vấn đề Mục tiêu nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu, ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc tiểu luận CHƯƠNG 1: KÝ HIỆU JACOBI VÀ MỘT SỐ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ, CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CỦA KÝ HIỆU JACOBI CHƯƠNG 3: MỘT SỐ GIẢI PHÁP NÂNG CAO KIẾN THỨC, ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TẬP CHO HỌC SINH, SINH VIÊN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong q trình Cơng nghiệp hóa – Hiện đại hóa đất nước, người ln phát triển theo thời đại Kiến thức từ người khai phá nhiều hơn, mảng Tốn học Có thể nói rằng: Ký hiệu Jacobi mảng kiến thức hay khó, liên quan đến lý thuyết đồng dư Ký hiệu Jacobi sử dụng lý thuyết số tính tốn, kiểm tra số nguyên tố phân tích thành nhân tử nguyên tố, ứng dụng lý thuyết mật mã Đặc biệt học phần “Toán học 3” mà chúng tơi học sử dụng ký hiệu Jacobi thay sử dụng ký hiệu Lengendre Nhờ ký hiệu Jacobi, tìm nghiệm phương trình bậc đơn giản so với sử dụng ký hiệu Legendre Vì lý mà chọn đề tài: “Ký hiệu Jacibi” Lịch sử nghiên cứu vấn đề Với đề tài liên quan đến “Ký hiệu Jacobi”, qua tìm hiểu biết tác giả sau nghiên cứu 2.1 Sinh viên: Triệu Thị Vy Vy Sinh viên Triệu Thị Vy Vy, tóm tắt luận văn thạc sĩ khoa học với đề tài: “Thặng dư phương, ký hiệu Legendre, ký hiệu Jacobi ứng dụng” (năm 2011) Tại trường Đại học Đà Nẵng 2.2 Sinh viên: Hoàng Thị Hải Yến Sinh viên Hồng Thị Hải Yến, khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Ký hiệu Legendre, ký hiệu Jacobi vài cách chứng minh luật thuận nghịch bậc 2” (năm 2015) Tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội → Các đề tài hầu hết giải vấn đề đặt cho bạn đọc biết đến ký hiệu Legendre, ký hiệu Jacobi ứng dụng cuả chúng Qua giúp học sinh, sinh viên phần giải tốn liên quan Nhưng chưa có đề tài sâu vào việc nghiên cứu “Ký hiệu Jacobi” Mục tiêu nghiên cứu Ở chương chương tiểu luận, theo cách hiểu chúng tôi, nêu số khái niệm, lý thuyết liên quan; đồng thời nêu toán cách giải lý thuyết đồng dư Trong chương chúng tơi tìm cách đưa ứng dụng Jacobi vào số tốn, từ đưa cách giải hợp lý nhất, góp phần giúp bạn học sinh, sinh viên có định hướng đắn giải tập liên quan đến lý thuyết đồng dư, ký hiệu Jacobi Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết ứng dụng ký hiệu Jacobi dựa lý thuyết đồng dư toán liên quan Đối tượng nghiên cứu, ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài 5.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu ký hiệu Jacobi ứng dụng toán liên quan đến lý thuyết đồng dư 5.2 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Xây dựng tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên học sinh, sinh viên mảng ký hiệu Jacobi, có áp dụng vào tốn, ví dụ minh họa Cấu trúc tiểu luận Ngoài phần mở đầu kết luận, tiểu luận gồm có chương: Chương 1: Ký hiệu Jacobi lý thuyết liên quan Chương 2: Lý thuyết đồng dư, toán phương pháp giải ký hiệu Jacobi Chương 3: Một số giải pháp nâng cao kiến thức, định hướng giải tập cho học sinh, sinh viên CHƯƠNG 1: KÝ HIỆU JACOBI VÀ MỘT SỐ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN Đôi nét nhà toán học Carl Gustav Jakob Jacobi Carl Gustav Jacob Jacobi (10/12/1804 – 18/02/1851) nhà toán học người Đức, xem nhà toán học lớn thời đại Ơng người tơn giáo từ đạo Do Thái chsuyển sang Kito giáo, ông học đại học Berlin – nơi ông đậu Ph.D vào năm 1825, luận văn ơng giải tích phân số Nhắc đến ông, người ta liền liên tưởng đến Jacobian Ơng xem nhà tốn học lớn thời đại Vào năm 1827, ông trở thành giáo sư toán đại học K , vị trí ơng nắm năm 1842 Jacobi bị ngã quỵ làm việc căng thẳng vào năm 1843 Sau ơng ghé thăm Ý vài tháng để lấy lại sức khỏe Khi trở lại Berlin, ông sống tiền lương hưu hoàng gia đến qua đời Jacobi chôn cất nghĩa trang khu Kreuzberg thành phố Berlin Mộ ông gần mộ Johann Encke – nhà thiên văn học Trong cách mạng 1848 Jacobi có dính đến trị khơng thành cơng việc trở thành nghị sĩ đại diện cho nhóm Tự Điều dẫn đến việc ông bị tiền hưu hoàng gia sau cách mạng bị dập tắt, uy tín tiếng tăm ơng lớn tiền hưu nối lại khơng lâu sau • Đóng góp cho Tốn học Ơng có đóng góp cho lĩnh vực: hàm elliptic, động lực học, phương trình vi phân, lý thuyết số Jacobi viết sách kinh điển (năm 1829) hàm số elliptic với nhiều ứng dụng quan trọng toán lý Phương trình chuyển động dạng quay tích phân Jacobi ba trường hợp: lắc, phần đỉnh đối xứng trường trọng lực vật xoay tự do, tất nghiệm viết dạng hàm số elliptic Jacobi nhà toán học áp dụng hàm số elliptic vào số học, ví dụ chứng minh định lý Fermat tổng bình phương định lý Lagrange tổng bình phương Ơng chứng minh kết tương tự cho hay bình phương Hàm số Theta Jacobi, thường dùng chuỗi hypergeometric đặt theo tên ông Ký hiệu Jacobi Ký hiệu Jacobi mở rộng ký hiệu Legendre, sử dụng để tính ký hiệu Legendre, nhiều vấn đề nghiên cứu số giả nguyên tố 2.1 Định nghĩa tính chất 2.1.1 Định nghĩa: Cho a số nguyên, m mộ số tự nhiên lẻ, Gỉa sử ( ) a m m J có cơng thức tiêu chuẩn = m = p1s1 p2s2 p3s3 pksk Ký hiệu gọi ký hiệu Jacobi tính sau: ( ) ( ) ( ) ( ) a m J m > a p1 s1 a p2 s2 phân tích tiêu chuẩn pi ( i = 1, 2, , k ) a p2 sk (*) Cần lưu ý bạn đọc: m lẻ => Trong m = p1s1 p2s2 p3s3 pksk số nguyên tố Là lẻ nên ký hiệu vế phải (*) hiểu ký hiệu Legendre Như ký hiệu Legendre ký hiệu Jacobi đặc biệt, số lẻ m số ngun tố Vì ta tính ký hiệu Jacobi ta tính ký hiệu Legendre Ví dụ: ( ) = ( ) ( ) = ( − 1) ( − 1) = −1 15 J −1 −1 Tuy nhiên cần ý khác với ký hiệu Legendre, n hợp số, ký hiệu Jacobi khơng cho ta biết phương trình đồng dư x ≡ a ( mod p ) có nghiệm hay khơng.Mặc dù ký hiệu Jacobi có nhiều tính chất tương tự với ký hiệu Legendre Nhận xét: • Từ (*) ta suy ra: Nếu a m J i = (1, 2, , k ) ( ) a ● Từ (*) , m J Pi ( ) = = − a khơng thặng dư bậc pi ( ) a p1 si = ( m ) = a suy a thặng dư bậc hai (i=1,2, ,k) Bởi ký hiệu Jacobi tích ký hiệu Legendre, nên có hai ký hiệu Legendre −1 ký hiệu Jacobi • Nếu a số phương mơ đun m ta kí hiệu : ( ) a m J =1 • Nếu a số phi phương mơ đun m ta kí hiệu: ( ) = −1 • Nếu số ngun dương lẻ m ước số a kí hiệu : ( ) =0 a m J a m J 2.1.2 Tính chất Gỉa sử P số nguyên dương lẻ, a b số nguyên tố với P Khi đó: (i) Nếu a ≡ b(mod P) Chứng minh: ta có ( )=( ) a p b p a ≡ b(mod P) ta có a ≡ b(mod Pi ) , i = 1,2,…,r Từ theo tính chất ký hiệu Legendre ta ( ) =( ) a pi b pi i = 1,2,…,r Do ( ) ( ) = ( ) ( ) a p1 a px b p1 Nghĩa ( ) =( ) a p b p b px 10 (ii) (iii) ( ) =1 p (hiển nhiên) ( ) = (−1) −1 p P −1 Chứng minh: Theo tính chất ký hiệu Legendre ( ) = (−1) −1 pi pi −1 I = 1,2…,r Do ta có x ( ) =(−1) − pi p − ∑i2 i= Vậy để chứng minh tính chất, ta chứng minh : p − x pi − ≡∑ (mod 2) 2 i =1 Ta có p −1 p1 p2 px −1 = = 2 12 Bằng cách đổi lấy tích dựa vào định nghĩa ký hiệu Jacobi ta được: ( a1a2 as p ) s = ∏∏ j =1 i =1 ( ) =( −1) p (iiiii) ( ) x aj pi x ( ) =∏ j =1 aj p p −1 Chứng minh: Theo định nghĩa ký hiệu Jacobi tính chất ký hiệu legendre ta có ( ) = ( ) ( ) ( ) p p1 p2 px x ( ) = ( −1) ∑ p i =1 pi2 −1 Để chứng minh tính chất này, ta chứng minh p − r pi2 − ≡∑ (mod 2) 8 i =1 Thật vậy, ta có p − ( p1 p2 pr ) = 8 − p12 p22 pr2 − = ÷= 13 p12 − p22 − pr2 − 1+ ÷ + ÷ + ÷− ÷ ÷ = = ÷ ÷÷ pi2 −1 =∑ +8m i= r Do ta r pi2 −1 p −1 =∑ (mod 2) (đpcm) 8 i= (iiiiii) Nếu P Q hai số tự nhiên lẻ (lớn 1) nguyên tố ta có ( ) = ( −1) Q P P −1 Q −1 2 ( ) P Q Chứng minh: Ta giữ nguyên giả thiết P giả sử Q có dạng Q = q1q2 qs q j , j = 1, 2, , s số nguyên tố lẻ Ta có ( ) Q P r =∏ i =1 ( ) Q Pi r s = ∏∏ i =1 j =1 ( ) qj pi 14 pi q j số nguyên tố lẻ, ký hiệu Legendre cho Vì ta ( ) qj pi = ( −1) pi −1 q j −1 2 ( ) pi qj Từ ta r s i =1 j =1 ( ) =∏∏( −1) Q P r pi −1 qi −1 2 pi −1 q j −1 2 s ∑∑ = ( −1) i=1 j =1 ( )= pi qj ∏∏( qpij ) r s i −1 j −1 Hay ( ) Q P r ∑ = ( −1) i=1 pi −1 s q j −1 ∑ j =1 ( ) P Q Trong chứng minh ta có r P −1 p −1 ≡∑ i (mod 2) 2 i =1 Và tương tự 15 Q −1 s q j −1 ≡∑ (mod 2) 2 j =1 Cho nên ta P − Q − r pi − s q j − ≡∑ ∑ (mod 2) 2 j =1 i =1 Do ta có ( ) Q P = ( −1) P −1 Q −1 2 ( ) P Q (ĐPCM) Các tính chất cho phép tính ký hiệu Jacobi ( tính ký hiệu Legender, cách đưa dần ký hiệu mà số xác định nhỏ ( 3,5,7 chẳng hạn) mà ta thấy giá trị cuả 2.1.3 Luật thuận nghịch bình phương ký hiệu Jacobi Gỉa sử m, n số nguyên dương lẻ, nguyên tố nhau, đó: ( ) ( ) = ( −1) n m m n m −1 n −1 ÷ ÷ Chứng minh: Gỉa sử m ,n có phân tích ngun tố dạng: 16 m = pa1 p a22 psas , n = q b11 q2b2 qrbr , dùng định nghĩa luật thuận nghịch bình phương ký hiệu Legendre, ta được: r s i =1 j =1 ( −1) ( ) ( ) = ∏∏ n m m n aj p j −1 qi −1 bi 2 s aj r = ( −1) ∑∑ i =1 j =1 p j −1 qi −1 bi 2 Như chứng minh tính chất (iii) ta có: s ∑ aj j =1 r ∑ bi i=1 pj −1 ≡ m −1 (mod 2) qi − n − ≡ (mod 2) 2 Từ suy (đpcm) Luật thuận nghịch bình phương ( ) ( ) p Định lý sau cho ta mối liên hệ ký hiệu Legendre q q p Định lý thương sử dụng tính toán với ký hiệu Legendre Định lý 1: ( Luật thuận nghịch bình phương) Gỉa sử p q số nguyên tố lẻ, ta có: ( ) ( ) = ( −1) p q q p p −1 q −1 ÷ ÷ 17 Nhận xét: Định lý luật thuận nghịch bình phương thường dùng để tính ký hiệu Legendre Chẳng hạn, từ định lý ta suy rằng, ( ) ( ) = −1 p ≡ q ≡ 3(mod 4) , p q q p trường hợp lại, tức ( ) =( ) p q q p ( ) = ( ) p ≡ q ≡ 3(mod 4) −q p p q trường hợp có hai số p q đồng dư với modulo Ta xét ví dụ sau đây: ( ( 713 1009 1009 ≡ ( mod 4) Mặt khác, 713 1009 ) 23.31 23 31 = = ) ( 1009 ) ( 1009 ) ( 1009 ) nên ta có: ( 23 1009 1009 31 1009 , = = ) ( 23 ) ( 1009 ) ( 31 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= 1009 23 = 20 23 = 22.5 23 = 22 23 23 = = ( 523 ) = ( 35 ) = ( 53 ) = ( 32 ) = − 23 18 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = 1009 31 = = 17 31 31 17 = 14 17 = 17 17 = 17 ( ) = ( ) = − ( ) = − ( ) = − ( ) = −1 Vậy 17 ( 713 1009 22 ) = (−1).(−1) = Luật thuận nghịch bình phương dùng kiểm tra nguyên tố Ta có định lý sau: Định lý 2: ( Kiểm tra Pepin) Số Fermat Fm số nguyên tố Trong Fm −1 ≡ − 1(mod Fm ) Fm = 22 m + Nhận xét: Dùng tiêu chuẩn Pepin, dễ kiểm tra số nguyên tố, F5 hợp số Thặng dư bậc Ta xét phương trình: ( x ) ≡ a(mod p) (1) Trong p số nguyên tố lẻ a nguyên tố với p 4.1 Định nghĩa: F1 , F2 , F3 , F4 19 Ta gọi a thặng dư bậc modulo p phương tình (1) có nghiệm, a bất thặng dư bậc modulo p phương trình (1) khơng có nghiệm Ví dụ: thặng dư bậc hai modulo (2,7)=1 phương trình x ≡ 2(mod 7) có nghiệm, cụ thể nghiệm x ≡ ±3(mod 7) bất thặng dư modulo (3,7)=1 phương trình x ≡ 3(mod 7) khơng có nghiệm 4.2 Hệ qủa - Nếu a thặng dư bậc modulo p số lớp thặng dư a(mod p ) Cũng thặng dư bậc modulo p - Nghiệm phương trình (1), có, ngun tố với p 4.3 Định lý 1: Nếu a thặng dư bậc modulo p phương trình (1) có hai nghiệm 4.4 Định lý 2: Trong hệ thặng dư thu gọn modulo p có p −1 thặng dư 2 p −1 p −1 bậc hai tương ứng lớp với thặng dư , , , có ÷ Bất thặng dư bậc hai 20 4.5 Định lý 3:Nếu a thặng dư bậc hai modulo p a bất thặng dư bậc hai modulo p a p −1 a p −1 ≡ −1(mod p ) 4.6 Hệ quả: a thặng dư bậc hai modulo p A bất thặng dư bậc modulo p ≡ 1(mod p ) a p −1 a p −1 ≡ 1(mod p) ≡ −1(mod p) 21 CHƯƠNG 2: THUẬT TỐN TÍNH KÝ HIỆU JACOBI VÀ CÁCH TÍNH KÝ HIỆU JACOBI TRÊN MÁY TÍNH 2.1 Thuật tốn tính ký hiệu Jacobi Gỉa sử a,b hai số nguyên dương nguyên tố nhau, a>b.Đặt R1 = a, R2 = b Dùng thuật chia Euclid tách lũy thừa cao phần dư, ta được: R0 = R 1q1 + 2s1 R2 R1 = R q2 + s2 R3 ……………… Rn − = R n − qn − + 2sn−2 Rn −1 Rn − = R n−1qn−1 + 2sn−1.1 Trong S j số ngun khơng âm, R j số nguyên lẻ bé R j −1 Ta ý số phép chia đòi hỏi thuật tốn khơng vượt q số phép chia cần thiết dùng thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn a b Đặt: Rn2− − R12 − R22 − R ( a, b ) = s1 + s2 + + sn− + 8 22 R1 − R2 − Rn − − Rn −1 − + + + 2 2 Ta có định lý sau 2.1.1 Định lý Gỉa sử a,b số nguyên dương a>b Khi ta có ( ) = ( − 1) a b R ( a ,b ) Chứng minh: Theo phần (i),(iiiii) tính chất Jacobi ta có: ( ) ( ) a b = R0 R1 = ( ) ( )( ) 2S1 R2 = R1 R1 s1 R2 R1 = ( − 1) R12 −1 s1 ( ) R2 R1 Dùng luật thuận nghịch bình phương ký hiệu Jacobi ta được: ( ) = ( −1) R2 R1 R −1 R2 −1 2 ( ) R1 R2 Như vậy, ( ) a b = ( −1) R −1 R2 −1 R12 −1 + s1 2 ( ) R1 R2 Tiếp tục q trình ta đến cơng thức cần chứng minh 2.1.2 hệ Gỉa sử a b số nguyên dương nguyên tố nhau, a>b Khi đó,Ký hiệu Jacobi ( ) a b tính với O ((log b2 )3 ) phép tính bit/ 23 Chứng minh: Như ta nhận xét, số phép chia thuật tốn xác định R(a,b) khơng vượt q số phép chia thuật tốn Euclid để tính ước chung lớn a b.Theo định lý Lame, cần có R j , s j phép chia Mỗi phép chia cần không O ((log b2 ) ) phép tính bit Sau phép chia, cặp số R j , s j tìm O (log b2 ) phép tính bit( cần phép dịch chuyển).Như vậy, biết a,b cần O ((log b2 )3 ) phép tính bit để xác định số R j , s j Để nâng (-1) lên lũy thừa R(a,b), định lý ta cần sử dụng chữ số nhị phâ R j , s j n cuối R j chữ số nhị phận cuối s j , giá trị lũy thừa (-1) phụ thuộc vào tính chẵn lẻ số mũ Như vậy, có R j , s j ta cần O (log b2 ) để xác định 2.1.4 Thuật tốn tính ký hiệu Jacobi ( ) a b ( ) a b (đpcm) ( tính ký hiệu Legendre b số nguyên tố) J1 (Kiểm tra B ≠ ) Nếu b=0, in a ≠ , in a=1 kết thúc thuật toán J2 (Tách lũy thừa khỏi b) Nếu a b chẵn, in kết thúc thuật toán Ngược lại đặt v ¬ , b chẵn, v ¬ v + 1, b ¬ chẵn k ¬ , ngược lại, đặt k ¬ nữa, a1, in k b=1 kết thúc thuật toán Ngược lại, đặt v ¬ a chẵn, đặt a v ¬ v + 1, a ¬ Nếu v lẻ, đặt k ¬ ( −1) b −1 J4 ( Sử dụng luật thuận nghịch) Đặt k ¬ k ( −1) ( a −1) ( b −1) k Nhận xét: Ở ta cần lưu ý điều Mặc dù thuật tốn có xuất phép chia a −1 b −1 , , ( a −1) ( b −1) , phép nâng (-1) lên lũy thừa đó, ta không cần làm phép chia nâng lên lũy thừa, đòi hỏi q nhiều phép tính bit Vì giá trị lũy thừa (-1) phụ thuộc vào tính chẵn lẻ đại lượng trên, nên chẳng hạn ( −1) a2 − , giá trị phụ thuộc a modulo số dãy sau đây: { 0,1, 0, −1, 0, −1, 0,1} 2.2 Tính lý hiệu Jacobi máy tính 2.2.1 Kiểm tra số thặng dư bình phương Cho a,b số nguyên, để kiểm tra xem a có phải thặng dư bình phương b hay khơng ta thực dòng lênh sau: >quadres ( a,b ) ; Sau dấu (;) ấn phím “enter” Nếu hình lên số a thặng dư bậc b, hình lên số -1 khơng phải 25 Ví dụ: 74 có phải thặng dư bậc hai 101 hay không? Ta thực lệnh >quadres ( 74,101) ; -1 ⇒ 74 bất thặng dư bậc cảu 101 2.2.2 Tính ký hiệu Jacobi Cho b số nguyên dương lẻ, a nguyên tố với b Để tính ký hiêu Jacobi a b ta thực dòng lệnh sau: > jacobi ( a,b ) ; Sau dấu (;) ấn phím “enter” hình xuất kết Ví dụ: Tính ( ) 26 35 Ta thực lệnh > jacobi ( 26,35 ) ; -1 Ví dụ: Tính ( ) 28 21 Ta thực lệnh > jacobi ( 28,21) ; Nếu kết a b khơng nguyên tố nhau.s 26