Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu được mình biên soạn theo chương trình đại số lớp 9 nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi vào lớp 10 chuyên, bản word phù hợp với học sinh ôn thi học sinh giỏi và giáo viên soạn giáo án ôn luyện cho học sinh.
Tài LiệuPage “Tài Liệu Toán Học” CHUYÊN ĐỀ: ĐẠI SỐ LỚP Thứ 18 12 CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN THỨC VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I LÝ THUYẾT Các đẳng thức đáng nhớ thường sử dụng a b a 2ab b a b a b a 3ab( a b) b a 2ab b (a b)(a b) a b a b a b3 (a b)(a ab b ) a3 3a 2b 3ab b3 a b (a b)(a ab b ) Các đẳng thức mở rộng thường sử dụng (a b c) a b c ab bc ca (a b c ) a b c a b b c c a Các phép biến đổi thức Các công thức bậc � A ( A �0) A2 A � � A ( A 0) A B A, B �0 A.B A B A B A2 B A B ( B �0) A B A B A B A B A �0, B A B ; A B A B A B A B A B A B A B Các công thức thức bậc cao 2k A3 A A3 B k 1 A2 k A A2 k 1 A A B 3 A A.B B 3 A3 B A B A A.B B II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Rút gọn biểu thức chứa thức: 1) Các toán biến đổi đại số thơng thường Ví dụ (Trích đề thi HSG huyện Nghi Xuân Hà Tĩnh) Tính giá trị biểu thức: A 14 A 14 1 3 5 Lời giải Ta có: Ví dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng năm 2010-2011) 1 Rút gọn A 127 48 127 48 2 Lời giải Ta có: A 127 48 127 48 = (8 7) (8 7) = | | | | (8>3 ) 6 Ví dụ (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Hòa Bình Năm 2010-2011) Cho a 11 11 Chøng minh r»ng a số nguyên 2 Li gii a 11 11 (3 2) (3 2) Tõ a số nguyên Vớ d (Trớch thi HSG Phú Thọ năm 2012-2013) 10 30 2 : 10 2 1 A= Rút gọn biểu thức: 10 30 2 : 10 2 1 = Lời giải Ta có: Ví dụ (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017) 4 4 Tính giá trị biểu thứcN= Lời giải Ta có: 2( ) 13 N= 13 25 10 2( ) = (4 3) (4 3) 2( ) ( 4 4 3) 27 10 (5 2)2 (5 2)2 2( ) 4 4 5 5 Ví dụ (Trích đề thi Chọn HSG tỉnh Long An năm 2012) Khơng sử dụng máy tính, thực phép tính: 2- + 4- 15 + 10 23 - A= Lời giải 1/ Ta có: 2A= + 4- 15 + 10 = 23 - ( 2- + 42 ( 15 + 10 23 - ) ) ( - + - 15 + = = ) 3- + ( 46 - ( 5- ) 5- ) +2 - 1+ - + 5 - = 5- 5- = =1 Ví dụ (Trích đề thi HSG huyện Nga Sơn-Thanh Hóa năm 2016-2017) 2 Rút gọn biểu thức: B = Lời giải.Ta có: 2 2 2 2 B 2 2 2 2 3 2 42 2 42 B (2 3)(3 3) (3 3)(2 3) (3 3)(3 3) B 1 � B 2 Ví dụ 8.(Trích đề thi HSG huyện Thạch Hà năm 2016-2017) 2.2016 2 So sánh 2017 2016 Lời giải Ta có: 2015 2014 2 2017 2016 ( 2017 2016 1)( 2017 2016 1) 2017 20162 (20152 1) (20142 1) 2017 2016 (2017 2016)(2017 2016) 2 2 2017 2016 2017 2016 2017 2016 2017 2016 2.2016 2017 20162 2017 2016 2.2016 Vậy 2017 2016 > 2017 2016 Ví dụ (Trích đề thi HSG huyện Kim Thành năm học 2012-2013) 2 2 x 9 x x 1 x 3 x Rút gọn biểu thức A = x x x 9 x x 1 x 3 x Lời giải.Rút gọn biểu thức A = x x ĐKXĐ: x � 4; x � x 9 x 2 = x 3 x 2 x 1 x x 1 x x 2x x x 2 x 3 x 2 x 3 x 3 x 2 x x 2 x 2 x 3 x 1 x 3 2) Các tốn rút gọn có sử dụng ẩn phụ để đơn giản hóa tốn A 4 7 � 7 �4 � Ví dụ Rút gọn biểu thức: 7 4 � 343 � 7� 4 Lời giải Đặt a � a a ta có: 2a 13a a2 A a 3 1� a a a a (a 1) 2� a a � a � a � a� a a 2a 2a 13a a 2a (7 a ) 0 a (a 1) a (a 1) a2 Do a B Ví dụ Rút gọn biểu thức: 25 125 4 Lời giải Đặt b � b 25, b 125, b 5, b 5b , b 5b B 3b 2b 3b3 Ta có: Mặt khác: 1 (b3 3b) (2b 4) b3 2b 3b (b3 3b) (2b 4) (b3 3b) (2b 4) b3 3b 2b (b 2b 3b 4)(b 3) b 2b 2b 9b 12 2b 2(b 9) b 2b �b � � � �2 � 4 �2 � B � � 1 �b � b Vậy Dạng Rút gọn biểu thức thức chứa hay nhiều ẩn số Thí dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm 2012-2013) A= Rút gọn biểu thức: x 50 x + 50 x + x 50 với x � 50 Lời giải.a) Ta có : A2 = x+ x - 50 - x + 50 x - 50 � A = x - 50 + x + 50 - x - 50 x + x - 50 � A = 2x - x - 50 x + x - 50 � A = x - x + 50 Vậy: A = 100 Nhưng theo giả thiết ta thấy A= x - 50 - x + 50 x + x - 50 a �b Cho biểu thức M= a b Rút gọi M tính giá trị biểu thức M biết a b ab Lời giải Rút gọn M= a b với a, b>0 a �b -Ta có a b � ab a b + Nếu a>b>0 ab � ab a b ab �( ab ) 1� a b ab 1 a b ab � a b � a b 0; ab � � ab 0 a b ab ab ab � 1� M 1 a b a b a b + 0 x= + - ( - 1) = x>1 Vậy P=0 2) Tìm giá trị ẩn để biểu thức số cho trước Ví dụ (Trích đề thi HSG thành phố Thanh Hóa năm 2016-2017) �x x � x 1 P� : � x x x x 1 x � � Với x �0, x �1 Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để Lời giải a) Ta có: P � �x x � x 1 � x x P� : � � x x �x x x x 1 x � � x 1 � x x ( x 1) ( x x 1) x 1 x x x x 1 x 1 x x 1 x x 1 b) Với x �0, x �1 Ta có: x 1 : x 1 � � x 1 : x 1� � � P 2 � � x x 1 7 x x 1 � x x � ( x 2)( x 3) x nên x � x (t/m) Vì Vậy P = x = Ví dụ (Trích đề thi HSG Ninh Bình năm học 2012-2013) x2 - x 2x + x 2(x - 1) + x x -1 Cho biểu thức: P = x + x + (x > 0, x �1) Rút gọn P Tìm giá trị x để P = x ( x3 1) x (2 x 1) 2( x 1)( x 1) P x x 1 x x 1 Lời giải 1/ Ta có: x ( x 1)( x x 1) x 2( x 1) x x 1 x x 1 2/ Ta có: P = x x = x x t 1 ( L) � t2 t � � t (TM ) � Đặt x = t, t �0 ta pt Ta có t = ta x = x = (thỏa mãn ĐK) Vậy x = P = Ví dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Hà Nam năm 2012-2013) P x y xy ( x y )(1 y ) ( x y )( x 1) ( x 1)(1 y ) Cho biểu thức: Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = Lời gii 1) Điều kiện để P xác định : P x(1 x ) y (1 x x y x y x y ) xy 1 x y x y 1 x 1 y xy y xy x 1 y y ( x y ) x x y y xy x x x 1 y 1 y x 1 x 1 y 1 1 x 1 y x y y x 1 x x y y y x 1 y x xy 2) P = � x 1 x 1 y 1 y 1 y y 1 y y x xy y 1� y y = với x 1 y 1 � x x = 0; 1; 2; ; Ta cã: + y �1 x �1 ۣ Thay vµo P ta có cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) tho¶ m·n Ví dụ (Trích đề Thi HSG huyện lớp 9) Cho biêu thức M = a Tìm giá trị x để biểu thức M có nghĩa rút gọn biểu thức M b Tìm x để M = Lời giải a/ ĐK x 0; x 4; x 9 x 9 x x x 1 x x Rút gọn M = Biến đổi ta có kết quả: = = x x x x x x 1 5 � x � x 16(TM ) x 3 M 5� b/ Ta có: 3) Tìm giá trị ẩn đê biểu thức thỏa mãn bất đẳng thức Ví dụ (Trích đề Thi HSG huyện Bình Giang năm 2012-2013) Cho biểu thức: 1) Rút gọn A A 2) Chứng tỏ rằng: Lời giải Ta có: A 1) x2 x2 x 1 x x x x 1 x với x �0, x �1 A x 1 x x x 1 x x 1 x 1 A A x x x x 1 x 1 x x 1 x x x x 1 A x x x x x 1 x x 1 x x 1 , với x �0, x �1 x 1 1 x A x x 3(x x 1) 2) Xét Do x �0, x �1 � 1� � x x x � x � 2� � 1 � A � A 3 Ví dụ 2.(Trích đề thi HSG huyện Vĩnh Lộc –Thanh Hóa năm 2016-2017) 3x x Cho biểu thức P = x x a Tìm ĐKXĐ rút gọn P b Tìm x để P < x 1 x 2 x x1 Lời giải a) Tìm ĐKXĐ: x �0, x �1 Ta có 3x x x 1 x 2 3x x ( x 1)( x 1) ( x 2)( x 2) x x 2 x 2 x ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) 3x x x x x3 x 2 ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) x 1 x 1 b) - Ta có: P < � x 1 0 x 1 � x 0( x 0) � x 1 � x 1 - Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với �x P < Ví dụ (Trích đề thi HSG huyện Cam Lộ) Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P b) Chứng minh P �0 x +1 x x +1 x - x +1 Lời giải a) ĐKXĐ: x �0 x +1 x x +1 x - x +1 P= x +1 x - x +1 x +1 x +1 x - x +1 = = x +1 x - x +1 x - x +1 x+ x x x +1 x - x +1 = x - x +1 b) x �0 x- 1� 3 � = � x � � 2� 4 x 1 � Do đó: P= x x - x +1 �0 Ví dụ 4.(Trích đề thi HSG thành phố Thanh Hóa năm 2016-2017) �x x � x 1 P� : � x x x x 1 x � � Với x �0, x �1 Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh: P2 2P Lời giải a) Ta có: � � �x x � x 1 � x x � x 1 P� : � : � � x x x x 1 x x x x � � � x 1 � � � x x ( x 1) ( x x 1) x x 1 c) Vì x �0 � x x �1 x 1 x x 1 : x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 �2 x x 1 � P �2 � P ( P 2) �0 �0 � P P �0 ۣ P 2P Dấu “=” xảy P = � x = Vậy P2 �2P Ví dụ (Trích đề thi HSG T.P Đà Nẵng năm học 2013-2014) Cho biểu thức: M a a a 1 a2 a a a 1 a a a a a a với a > 0, a Chứng minh M Lời giải a/ Ta có: Do a > 0, a nên: a a ( a 1)(a a 1) a a a a a ( a 1) a a a a a (a 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a 1) a a a a a a (1 a) a (1 a) a a 1 M 2 a 2 Do a 0; a �1 nên: ( a 1) � a a a M 24 a 3) Tìm giá trị ẩn để biểu thức nhận giá trị nguyên Ví dụ (Trích đề thi HSG huyện Phú Lộc năm 2016-2017) Cho biểu thức �3 x x A� x x � x 1 � 1 �: x 2 �x 1 1) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A 3) Tìm giá trị x để A số tự nhiên Lời giải 1) Điều kiện: �x �0 � �x �1 �3 x x � 1 A� �: x 1 x 2 �x x �x 1 2) Ta có: = x3 x 2 = x 1 x 1 x 2 3) Với điều kiện: Ta có: A = x 1 x 1 A Do đó: 2 ≥ với x ≥ nên ≤ x 1 Do đó: x Vậy � x 1 x 2 x 2 x 1 2 x > nên Mà x 1 x 1 �x �0 � �x �1 Vì A = � x 1 = �� x 1 x =1 x x 1 = x 1 = ≤2 x 1 =2 2 1 2 A số tự nhiên x x 2 Ví dụ 2.(Trích đề thi HSG tỉnh Hải Phòng năm 2016-2017) Cho biểu thức M a a a 1 a a a a 1 a a a a a a với a > 0, a N Với giá trị a biểu thức Lời giải.Với điều kiện a 0; a �1 thì: a 1 M a M a a 1 M a a 1 a 1 a � a 1 a 1 a 1 a a 1 a a -10 a a-5 Khi a 1 N � a a 1 a a -2 a a a B a 1 (dm M nhận giá trị nguyên? a 1 y A ):ay = -x - 3O -3 -2 -2 O -1 Ta thấy với a �1 � a a 2 -1 -2 -6 100-1,5x A -4 a 1 x< x �0 10 x 0 a (D): y = x => S C= x +xy = 0 (Do x,y,z > 0) 1,5x - -3 B ...CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN THỨC VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I LÝ THUYẾT Các đẳng thức đáng nhớ thường sử dụng a b a 2ab b ... thoả mãn Vớ d (Trích đề Thi HSG huyện lớp 9) Cho biêu thức M = a Tìm giá trị x để biểu thức M có nghĩa rút gọn biểu thức M b Tìm x để M = Lời giải a/ ĐK x 0; x 4; x 9 x 9 x ... Ví dụ (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Hòa Bình Năm 2010-2011) Cho a 11 11 Chứng minh a số nguyên 2 Lời giải a 11 11 (3 2) (3 2) Từ a số nguyên Vớ dụ (Trích đề thi HSG Phú