Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 2. KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Ở LỚP 10. 2.1. Hệ phương trình đối xứng loại I. 2.1.1. Định nghĩa: Hệ đối xứng loại I là hệ mà khi ta vị trí của x và y thì hệ không thay đổi. Thường có dạng sau: 2.1.2. Phương pháp giải. Đặt: , . Điều kiện có nghiệm . Khi đó hệ (I) trở thành Ta giải phương trình bậc 2 đối với S sau đó sẽ tính được P rồi áp dụng định lý viét ta có thể tìm được x và y. Chú ý: Đối với hệ này nếu (x,y) là nghiệm thì (y,x) cũng là nghiệm 2.1.3. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: Giải: Đặt , Theo định lý Viét, x,y là nghiệm của phương trình: Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) thỏa mãn là: (1;3) và (3;1) Nhận xét: Nếu đơn giản chỉ là hệ đối xứng loại I thì chắc chắn sẽ được giải quyết một cách đơn giản. Nhưng trong thực tế rất nhiều bài toán người ta không ra nếu khi nhìn vào đã thấy ngay đó là hệ đối xứng loại I, mà người ta sẽ ra dưới dạng sau: (Trong đó U,V là các hàm của x,y) Ta sẽ xét ví dụ sau: Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: Rõ ràng chúng ta sẽ không thấy được đó là hệ đối xứng loại I ngay. Vậy đối với bài này thì chúng ta phải giải quyết nó như thế nào? Có dấu hiệu nào để biết nó là hệ loại I? Đó là những câu hỏi khiến chúng ta băn khoăn ở đây. Để trả lời các câu hỏi đó ta sẽ xem lời gải của bài này trước đã. Giải: Hệ tương đương với: Đặt thì hệ trở thành: Đặt thì hệ trở thành: Do điều kiện Theo định lí Viét (a,b) là nghiệm của phương trình: Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x,y)=(1,1) Một câu hỏi đặt ra ở đây là tại sao chúng ta nghĩ đến việc đặt và đây có phải đó là cách đặt duy nhất hay không? Câu trả lời ở đây trước hết đây không phải là cách đặt duy nhất. Ví dụ ta có thể đặt theo cách 2 như sau: . Khi đó hệ trở thành Đặt thì hệ trở thành (Đến đây thì công việc còn lại khá đơn giản) Chúng ta tiếp tục với ví dụ tiếp theo. Ví dụ 3: (Đề thi HSG tỉnh lớp 10 trường Lý Thái Tổ tỉnh Bắc Giang 2015 2016) Giải Đặt hệ tương đương với Dễ thấy đây là hệ loại I cơ bản bạn đọc hoàn toàn có thể tự giải Nhận xét: Lời giải ngắn gọn dễ hiểu nhưng để tìm ra phương án giải quyết nó thì thật không dễ, chưa nói đến những hệ phức tạp cồng kềnh làm nhiễu sang dạng khác. Vậy làm sao để có phương hướng đúng chính xác nhất? Để trả lời câu hỏi trên ta hãy đến với mục tiếp theo “cách nhận dạng” hệ loại I. 2.1.4. Cách nhận dạng Hãy để ý đến hệ (). Nếu đó là “hệ đối xứng loại I” thì ta có thể chọn m bất kỳ. Với ví dụ 1 ở trên cho ta thấy có thể chọn như cách 1, như cách 2 và có thể có vô số cách chọn m như vậy. Từ điều này dẫn đến cách nhận dạng và phương pháp giải của loại này. Đó là chắc chắn chúng ta sẽ biến đổi được một phương trình của hệ về dạng: . Đây chính là mấu chốt của vấn đề. Với nhận thức đó ta sẽ giải quyết một ví dụ sau. Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: Với cách nhìn nhận vấn đề trên trước hết bài này ta hãy tạm quên phương trình thứ (2) mà hãy để ý đến phương trình (1). Bây giờ việc tiếp theo là chọn m cho phù hợp. Giả sử chọn . Khi đó ta có cách đặt như sau: Đặt: hệ trở thành . (Việc còn lại là khá đơn giản, bạn đọc hoàn toàn có thể tự giải quyết) Ở đây ta có thể rèn luyện thêm cho học sinh về kỹ năng tính toán nhằm mục đích kiểm nghiệm phương pháp bằng cách chọn 2.1.5. Khai thác và phát triển hệ loại I Với ý tưởng trên ta có thể hoàn toàn ra một đề toán đủ khó để rèn luyện cho học sinh. Cho hệ đối xứng như sau: Bây giờ ta thay vào hệ trên ta có: . Đây là hệ đã đủ khó để học sinh giải quyết nó rồi Với cách làm trên thì ta có thể ra được vô số bài tập loại này cho học sinh giải mà không phải tìm tài liệu mất thời gian. 2.2. Hệ phương trình đối xứng loại II. 2.2.1. Định nghĩa: Hệ đối xứng loại II là hệ mà khi ta hoán đổi x, y thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại. Có dạng: . 2.2.2. Phương pháp giải: Lấy vế trừ của hai phương trình cho nhau ta thu được 2.2.3. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: Giải: Trừ vế theo vế ta thu được: . Hệ đã cho tương đương với: Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là: Ví dụ 2: (Đề thi khảo sát HSG lớp 10 tỉnh Hải Dương 2017 2018) Giải hệ phương trình: Giải: Trừ vế theo vế ta được: TH1 thế vào phương trình (1) ta được TH2 . Cộng hai phương trình ta được: suy ra hệ vô nghiệm suy ra Vậy hệ có tập nghiệm là: 2.2.4. Khai thác và phát triển hệ loại II Giống với trường hợp hệ loại I trên. Người ta sẽ không ra một hệ mà khi nhìn vào đã thấy ngay đó là hệ đối xứng loại II, mà người ta sẽ ra dưới dạng sau đây. Có dạng: . (Trong đó U, V là các hàm của x, y). Bây giờ chúng ta đi vào ví dụ sau sẽ rõ hơn. Ví dụ 4: (Thi thử ĐH CĐ THPT Lê Văn Hưu, Thanh Hóa 2011) Giải hệ phương trình: