ứng dụng của bài toán GTLN- GTNN vào thực tế

21 2 0
  • Loading ...
1/21 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/09/2018, 20:10

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG I CHỦ ĐỀ 3.10 Ứng dụng toán GTLN, GTNN hàm số vào thực tế MỨC ĐỘ Câu [2D1-3.10-4] [THPT Ngô Sĩ Liên lần 3] Một hải đăng đặt vị trí A cách bờ 5km , bờ biển có kho hàng vị trí C cách B khoảng 7km Người canh hải đăng chèo thuyền từ A đến M bờ biển với vận tốc 4km /h từ M đến C với vận tốc 6km /h Xác định độ dài đoạn BM để người từ A đến C nhanh 7 A km B km C km D km Hướng dẫn giải Chọn D Gọi BM = x ( km ) , ≤ x ≤ Khi đó: AM = 25 + x MC = − x x + 25 − x + Theo đề ta có: f ( x ) = f ′( x) = x − 25 + x 25 + x x ≥ x ≥  ⇔ ⇔x=2 Cho f ′ ( x ) = ⇔ 25 + x = 3x ⇔   x = ±2  x = 20  Khi đó: f ( ) = 29 74 14 − , f ( 7) = f = 12 12 ( ( ) Vậy f ( x ) = f = x∈[ 0;7 ] Câu ) 14 − 12 [2D1-3.10-4] [THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2] Một đường dây điện nối từ nhà máy điện A đến đảo C hình vẽ Khoảng cách từ C đến B km Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách km Tổng chi phí lắp đặt cho km dây điện biển 40 triệu đồng, đất liền 20 triệu đồng Tính tổng chi phí nhỏ để hồn thành cơng việc trên(làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) A 114,64 triệu đồng B 164,92 triệu đồng C 106, 25 triệu đồng D 120 triệu đồng Hướng dẫn giải Chọn A Gọi M điểm đoạn AB để lắp đặt đường dây điện biển nối với điểm C Đặt BM = x ⇒ AM = − x ⇒ CM = + ( − x ) = 17 − x + x , x ∈ [ 0;4 ] Khi tổng chi phí lắp đặt : y = x.20 + 40 x − x + 17 đơn vị triệu đồng y′ = 20 + 40 x−4 x − x + 17 = 20 x − x + 17 + ( x − ) x − x + 17 12 − y′ = ⇔ x − x + 17 = ( − x ) ⇔ x = TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TỐN PHƯƠNG PHÁP  12 −  Ta có y  ÷ ÷ = 80 + 20 ≈ 114,64; y ( ) = 40 17 ≈ 164,92; y ( ) = 120   Câu [2D1-3.10-4] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Một cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách 300km Vận tốc dòng nước 6km / h Nếu vận tốc bơi cá nước đứng yên v (km/h) lượng tiêu hao cá t cho công thức E ( v ) = cv 3t Trong c số, E tính jun Tìm vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng tiêu hao A 9km/h B 6km/h C 15km/h D 12km/h Hướng dẫn giải Chọn A Giải Vận tốc cá bơi ngược dòng là: v − ( km/h) 300 Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách 300km t = v−6 Năng lượng tiêu hao cá để vượt khoảng cách là: v3 300 E ( v ) = cv = 300c ( jun ) , v > v−6 v−6 E ' ( v ) = 600cv Câu v−9 ( v − 6) v = ( loai ) ⇔ E' ( v) = ⇔  v = [2D1-3.10-4] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Một người ni cá nghiệm hồ.Người thấy đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình mõi cá sau vụ cân nặng P (n) = 480 − 20 n(gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất? A 14 B 18 C 10 D 12 Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Thế đáp án: Số cá mõi đơn 12 14 10 18 vị diện tích Số cân nặng: 2880 2800 2800 2160 TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP ( 480 − 20 n ) n(gam) Vậy chọn đáp án A Cách 2: Số cân nặng n cá là: f (n) = ( 480 − 20 n ) n = −20n + 480n = −20(n − 12) + 2880 ≤ 2880 Vậy giá trị lớn f (n) 2880 đạt n = 12 Câu [2D1-3.10-4] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Mỗi chuyến xe buýt có sức chứa tối đa 60 hành x   khách Một chuyến xe buýt chở x hành khách giá tiền cho hành khách  − ÷ 40   ( USD ) Khẳng định sau đúng A Một chuyến xe buýt thu lợi nhuận cao 135 ( USD ) B Một chuyến xe buýt thu lợi nhuận cao 160 ( USD ) C Một chuyến xe buýt thu lợi nhuận cao có 45 hành khách D Một chuyến xe buýt thu lợi nhuận cao có 60 hành khách Hướng dẫn giải Chọn B  x = 40 x  3x  ′ y = x − ⇒ y = − x + =0⇔  ≤ x ≤ 60 Số tiền thu là:  ÷ 40  10 1600   x = 120 ⇒ ymax = 160 ⇔ x = 40 Câu [2D1-3.10-4] [BTN 164] Một cá hồi bơi ngược dòng ( từ nơi sinh sống) để vượt khoảng cách 300km (tới nơi sinh sản) Vận tốc dòng nước 6km / h Giả sử vận tốc bơi cá nước đứng yên v km / h lượng tiêu hao cá t cho công thức E ( v ) = cv 3t c số cho trước E tính Jun Vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng cá tiêu hao bằng: A 10 km / h B km / h C 12 km / h D km / h Hướng dẫn giải Chọn B 300 300 ⇒ E = cv 3t = cv v−6 v−6 300 Xét hàm số E ( v ) = cv với v ∈ ( 6; +∞ ) v−6 −300.c.v 900cv E '( v) = + = 0⇒v =9 v−6 ( v − 6) Thời gian cá bơi: t = Dựa vào bảng biến thiên: ⇒ Emin ⇔ v = TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN Câu PHƯƠNG PHÁP [2D1-3.10-4] [BTN 164] Người ta cần làm bồn chứa dạng hình trụ tích 1000 lít inox để chứa nước, tính bán kính R hình trụ cho diện tích tồn phần bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất: A R = 3 2π B R = 2π C R = π D R = π Hướng dẫn giải Chọn B Gọi h R chiều cao bán kính đáy (đơn vị: mét) Ta có: V = hπ R = → h = π R2 Stp = 2π R + 2π Rh = 2π R + 2π R = 2π R + ( R > ) πR R f ( R ) ⇔ R = ⇒h= Cách 1: Khảo sát hàm số, thu 2π π3 Cách 2: Dùng bất đẳng thức: 4π 1 1 = 2π R + + ≥ 3 2π R = 3 2π πR R R R R Dấu xảy R = 2π Stp = 2π R + 2π Rh = 2π R + 2π R Câu [2D1-3.10-4] [BTN 163] Chiều dài bé thang AB để tựa vào tường AC mặt đất BC , ngang qua cột đỡ DH cao 4m song song cách tường CH = 0,5m là: A Xấp xỉ 5, 602 B Xấp xỉ 6,5902 C Xấp xỉ 5, 4902 Hướng dẫn giải D Xấp xỉ 5,5902 Chọn D Đặt CB = x , CA = y ta có hệ thức: 4 2x −1 8x + =1⇔ = ⇔ y= 2x y y 2x 2x −1 Ta có: AB = x + y  8x  Bài tốn quy tìm A = x + y = x +  ÷  2x −1  2 Khảo sát hàm số lập bảng biến thiên ta thấy GTNN đạt x = ; y = 5 hay AB = Câu [2D1-3.10-4] [BTN 163] Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là: TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN A r = 38 2π B r = PHƯƠNG PHÁP 36 2π C r = 36 2π D r = 38 2π Hướng dẫn giải Chọn A 81 81 Thể tích cốc: V = π r h = 27 ⇒ r h = ⇒ h = π π r Lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh nhỏ 812 812 S xq = 2π rl = 2π r r + h = 2π r r + = 2π r + 2 π r π r = 2π r + = 3π 812 812 812 812 r + ≥ π 2π r 2π r 2π r 2π r 814 (theo BĐT Cauchy) 4π 8 S xq nhỏ ⇔ r = 81 ⇔ r = ⇔ r = 2π r 2π 2π Câu 10 [2D1-3.10-4] [BTN 173] Một công ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2000.000 đồng tháng hộ có người th lần tăng giá cho thuê hộ 100.000 đồng tháng  2 hộ bị bỏ trống Muốn có thu nhập cao nhất, cơng ty phải cho thuê với giá hộ ? A 2.350.000 B 2.450.000 C 2.250.000 D 2.550.000 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi x giá cho thuê thực tế hộ, ( x – đồng; x ≥ 2000.000 đồng ) Số hộ cho thuê ứng với giá cho thuê: 1 50 − x + 90, ( 1) ( x − 2000000 ) = − 50000 50.000 Gọi F ( x ) hàm lợi nhuận thu cho thuê hộ, ( F ( x ) : đồng) 1   x + 90 ÷x = − x + 90x Ta có F ( x ) =  − 50.000  50.000  Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn F ( x ) = − x + 90x với điều kiện 50.000 x ≥ 2000.000 F '( x) = − x + 90 25.000 F '( x) = ⇔ − x + 90 = ⇔ x = 2.250.000 25.000 Ta lập bảng biến thiên: TRANG TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Suy F ( x ) đạt giá trị lớn x = 2.250.000 Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng hộ lãi lớn Nhận xét: Làm ta tìm hệ số biểu thức ( 1) ? 50000 Ta hiểu đơn giản sau: Số hộ cho thuê tháng ứng với số tiền cho thuê; 50 − m ( x − 2000.000 ) x = 2.000.000 số hộ thuê 50 Nếu số tiền cho thuê tăng lên x = 2.100.000 có hộ để trống, nghĩa có 48 người thuê Ta có: 50 − m ( 2.100.000 − 2.000.000 ) = 48 ⇔ m = 50000 Câu 11 [2D1-3.10-4] [BTN 169] Để thiết kế bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao 60cm , thể tích 96000cm3 Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70000 VNĐ/m2 loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100000 VNĐ/m2 Tính chi phí thấp để hồn thành bể cá A 32000 VNĐ B 83200 VNĐ C 320000 VNĐ D 832000 VNĐ Hướng dẫn giải Chọn B Gọi x, y ( m ) ( x > 0, y > ) chiều dài chiều rộng đáy bể, theo đề ta suy 0,16 Giá thành bể cá xác định theo hàm số sau: x 0,16  0,16 0,16    f ( x ) = 2.0,  x + ⇔ f ( x ) = 84000  x + ÷.70000 + 100000 x ÷+ 16000 (VNĐ) x  x x     0,16  f ′ ( x ) = 84000  − ÷, f ′ ( x ) = ⇔ x = 0, x   Ta có bảng biến thiên sau: 0, xy = 0, 096 ⇔ y = Dựa vào bảng biến thiên suy chi phí thấp để hoàn thành bể cá f ( 0, ) = 83200 VNĐ Câu 12 [2D1-3.10-4] [THPT CHUN LÊ KHIẾT] Cắt miếng giấy hình vng hình xếp thành hình chóp tứ giác hình Biết cạnh hình vng 20cm , OM = x ( cm ) Tìm x để hình chóp tích lớn nhất? TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP B x = 8cm C x = 7cm Hướng dẫn giải A x = 6cm D x = 9cm Chọn B Ta có: OM = x ⇒ AC = x , AM = x x x x Suy ra: OH = , MH = , SH = 10 − 2 2 x   x   10 SO = SH − OH =  − ÷ − ÷ = 20 ( 10 − x ) 2  2  2 1 20 V = SO.S đáy = 20 ( 10 − x ) x = 40 − x x 3 20 20  40 − x + x + x + x + x  20 152 40 − x x x x ≤ = ( )  ÷ 3   Dấu " = " xảy 40 − x = x ⇔ x = ⇔V = Câu 13 [2D1-3.10-4] [THPT Hoàng Hoa Thám - Khánh Hòa] Để chặn đường hành lang hình chữ L người ta dùng que sào thẳng dài đặt kín điểm chạm với hành lang (như hình vẽ) Biết a = 24 b = 3, hỏi sào thỏa mãn điều có chiều dài l tối thiểu ? A 27 B 15 51 Hướng dẫn giải C D 11 Chọn B TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TỐN PHƯƠNG PHÁP Đặt điểm hình vẽ Đặt DF = x , x > Ta có ∆ADF đồng dạng với ∆BDE nên l = AB = ( x + b ) 2 EB AF ab = ⇒ EB = ED DF x ab   +  a + ÷ = f ( x ) , x   f ′( x) = 2( x + b) −  a 2b  ab  ab  a + = x + b ( ) 1 − ÷  ÷ x  x2  x ÷   f ′ ( x ) = ⇔ x = a 2b = 12 Bảng biến thiên Vậy giá trị nhỏ l 1125 = 15 Câu 14 [2D1-3.10-4] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Một cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách 300km Vận tốc dòng nước 6km / h Nếu vận tốc bơi cá nước đứng yên v (km/h) lượng tiêu hao cá t cho công thức E ( v ) = cv 3t Trong c số, E tính jun Tìm vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng tiêu hao A 9km/h B 6km/h C 15km/h D 12km/h Hướng dẫn giải Chọn A Giải Vận tốc cá bơi ngược dòng là: v − ( km/h) 300 Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách 300km t = v−6 Năng lượng tiêu hao cá để vượt khoảng cách là: TRANG TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN E ( v ) = cv PHƯƠNG PHÁP 300 v3 = 300c ( jun ) , v > v−6 v−6 E ' ( v ) = 600cv v−9 ( v − 6) v = ( loai ) ⇔ E' ( v) = ⇔  v = Câu 15 [2D1-3.10-4] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Một người ni cá nghiệm hồ.Người thấy đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình mõi cá sau vụ cân nặng P (n) = 480 − 20 n(gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất? A 14 B 18 C 10 D 12 Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Thế đáp án: Số cá mõi đơn 12 14 10 18 vị diện tích Số cân nặng: 2880 2800 2800 2160 ( 480 − 20 n ) n(gam) Vậy chọn đáp án A Cách 2: Số cân nặng n cá là: f (n) = ( 480 − 20 n ) n = −20n + 480n = −20(n − 12) + 2880 ≤ 2880 Vậy giá trị lớn f (n) 2880 đạt n = 12 Câu 16 [2D1-3.10-4] [TTGDTX Vạn Ninh - Khánh Hòa] Một sợi dây có chiều dài 6m , chia thành hai phần Phần thứ uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vng Hỏi độ dài cạnh hình tam giác để tổng diện tích hai hình thu nhỏ nhất? A 12 ( m) 9+4 B 18 18 ( m) ( m) C 9+4 4+ Hướng dẫn giải D 36 ( m) 4+ Chọn C TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Giả sử cạnh tam giác có độ dài x , x ∈ ( 0; ) Vậy cạnh hình vng có độ dài − 3x 3 ( − 3x ) ⇒ S + S = x + ( − 3x ) Ta có S ∆ = x = x ; SW = ∆ W 2 16 16 2 ( − 3x ) ; f ( x) = x + 16 Đặt : ( ) + x − 18  ( − x ) ′ ( − 3x ) f ′( x) =  x + x− =  = 16  8  18 f ′( x) = ⇔ x = 3+9 ( ) Bảng biến thiên: 18 ( m) Vậy tổng diện tích hai hình nhỏ độ dài cạnh tam giác 9+4 Câu 17 [2D1-3.10-4] [THPT chun Lê Q Đơn] Mỗi chuyến xe buýt có sức chứa tối đa 60 hành x   khách Một chuyến xe buýt chở x hành khách giá tiền cho hành khách  − ÷ 40   ( USD ) Khẳng định sau đúng A Một chuyến xe buýt thu lợi nhuận cao 135 ( USD ) B Một chuyến xe buýt thu lợi nhuận cao 160 ( USD ) C Một chuyến xe buýt thu lợi nhuận cao có 45 hành khách D Một chuyến xe buýt thu lợi nhuận cao có 60 hành khách Hướng dẫn giải Chọn B  x = 40 x  3x  =0⇔  ≤ x ≤ 60 Số tiền thu là: y = x  − ÷ ⇒ y ′ = − x + 40  10 1600   x = 120 ⇒ ymax = 160 ⇔ x = 40 Câu 18 [2D1-3.10-4] [BTN 165] Một nhà có dạng tam giác ABC cạnh dài 10 ( m ) đặt song song cách mặt đất h ( m ) Nhà có trụ A, B, C vng góc với ( ABC ) Trên trụ A người ta lấy hai điểm M , N cho AM = x, AN = y góc ( MBC ) ( NBC ) 90° để mái phần chứa đồ bên Xác định chiều cao thấp nhà TRANG 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN PHƯƠNG PHÁP A 12 B 10 C Hướng dẫn giải D 10 Chọn D Để nhà có chiều cao thấp ta phải chọn N nằm mặt đất Chiều cao nhà NM = x + y Gọi I trung điểm BC Ta có ∆ABC ⇒ AI ⊥ BC , MN ⊥ ( ABC ) ⇒ MN ⊥ BC ,  MI ⊥ BC · ⇒ MIN = 900 từ suy ⇒ BC ⊥ ( MNI ) ⇒   NI ⊥ BC  10  ∆IMN vuông I nhận AI đường cao nên ⇒ AM AN = AI ⇒ xy =  ÷ ÷ = 75   Theo bất đẳng thức Côsi: x + y ≥ xy = 75 = 10 ⇔ x = y = Do chiều cao thấp nhà 10 Câu 19 [2D1-3.10-4] [BTN 164] Một cá hồi bơi ngược dòng ( từ nơi sinh sống) để vượt khoảng cách 300km (tới nơi sinh sản) Vận tốc dòng nước 6km / h Giả sử vận tốc bơi cá nước đứng yên v km / h lượng tiêu hao cá t cho công thức E ( v ) = cv 3t c số cho trước E tính Jun Vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng cá tiêu hao bằng: A 10 km / h B km / h C 12 km / h Hướng dẫn giải Chọn B 300 300 ⇒ E = cv 3t = cv Thời gian cá bơi: t = v−6 v−6 300 Xét hàm số E ( v ) = cv với v ∈ ( 6; +∞ ) v−6 −300.c.v 900cv E '( v) = + = 0⇒v =9 v−6 ( v − 6) D km / h Dựa vào bảng biến thiên: ⇒ Emin ⇔ v = TRANG 11 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Câu 20 [2D1-3.10-4] [BTN 164] Người ta cần làm bồn chứa dạng hình trụ tích 1000 lít inox để chứa nước, tính bán kính R hình trụ cho diện tích tồn phần bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất: A R = 3 2π B R = 2π C R = π D R = π Hướng dẫn giải Chọn B Gọi h R chiều cao bán kính đáy (đơn vị: mét) Ta có: V = hπ R = → h = π R2 Stp = 2π R + 2π Rh = 2π R + 2π R = 2π R + ( R > ) πR R f ( R ) ⇔ R = ⇒h= Cách 1: Khảo sát hàm số, thu 2π π3 Cách 2: Dùng bất đẳng thức: 4π 1 1 = 2π R + + ≥ 3 2π R = 3 2π πR R R R R Dấu xảy R = 2π Stp = 2π R + 2π Rh = 2π R + 2π R Câu 21 [2D1-3.10-4] [BTN 163] Chiều dài bé thang AB để tựa vào tường AC mặt đất BC , ngang qua cột đỡ DH cao 4m song song cách tường CH = 0,5m là: A Xấp xỉ 5, 602 B Xấp xỉ 6,5902 C Xấp xỉ 5, 4902 Hướng dẫn giải D Xấp xỉ 5,5902 Chọn D Đặt CB = x , CA = y ta có hệ thức: 4 2x −1 8x + =1⇔ = ⇔ y= 2x y y 2x 2x −1 Ta có: AB = x + y  8x  Bài tốn quy tìm A = x + y = x +  ÷  2x −1  2 Khảo sát hàm số lập bảng biến thiên ta thấy GTNN đạt x = ; y = 5 hay AB = Câu 22 [2D1-3.10-4] [BTN 163] Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là: TRANG 12 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN A r = 38 2π PHƯƠNG PHÁP B r = 36 2π C r = 36 2π D r = 38 2π Hướng dẫn giải Chọn A 81 81 Thể tích cốc: V = π r h = 27 ⇒ r h = ⇒ h = π π r Lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh nhỏ 812 812 S xq = 2π rl = 2π r r + h = 2π r r + = 2π r + 2 π r π r = 2π r + = 3π 812 812 812 812 r + ≥ π 2π r 2π r 2π r 2π r 814 (theo BĐT Cauchy) 4π 8 S xq nhỏ ⇔ r = 81 ⇔ r = ⇔ r = 2π r 2π 2π Câu 23 [2D1-3.10-4] [BTN 162] Cần phải đặt điện phía bàn hình tròn có bán kính a Hỏi phải treo độ cao để mép bàn nhiều ánh sáng sin α ( α góc nghiêng r2 tia sáng mép bàn, k số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng) Biết cường độ sáng C biểu thị công thức C = k A h = a B h = a 2 C h = a D h = 3a Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: r = a + h (Định lý Py-ta-go) h h sin α = = R a + h2 sin α h ⇒ C = k = k R a + h2 ( a2 + h ) Xét hàm f ( h) = ( h a +h 2 ) ( h > ) , ta có: TRANG 13 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN f ′( h) = (a f ′( h) = ⇔ + h ) − 2h (a (h 2 + h2 ) PHƯƠNG PHÁP a + h2 + a ) = 3.h a + h ⇔ h + a = 3h ⇔ h = a Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra: f ( h ) max ⇔ h = a a ⇒ C = k f ( h ) max ⇔ h = 2 Câu 24 [2D1-3.10-4] [BTN 161] Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí nhiên liệu làm vỏ lon thấp nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ V diện tích tồn phần hình trụ nhỏ nhà thiết kế phải thiết kế hình trụ có bán kính bao nhiêu? A V 2π B V 2π V π Hướng dẫn giải C D V π Chọn B Gọi hình trụ có chiều cao h , độ dài đường sinh l , bán kính đáy r Ta có: Stp = S day + S xq = 2π r + 2π rl ( 1) Mặt khác V = π r h ⇒ h = Thay vào công thức ( 1) ta được: Stp = 2π r + Xét hàm số f ( x ) = 2π x + V V ⇒l = πr πr 2V r 2V 2V V với x > Ta có f ′ ( x ) = 4π x − ; f ′ ( x ) = ⇔ x = x x 2π Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy f ( x ) đạt giá trị nhỏ x = Hay Stp đạt giá trị nhỏ r = 3 V 2π V 2π Câu 25 [2D1-3.10-4] [BTN 174] Một thợ xây muốn sử dụng sắt có chiều dài 4m , chiều rộng 1m để uốn thành 2m khung đúc bê tơng, khung hình trụ có đáy hình vng khung hình trụ có đáy hình tròn Hỏi phải chia sắt thành phần (theo chiều dài) để tổng thể tích khung nhỏ ? TRANG 14 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP A Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình tròn có chiều dài 4π + 14 , π +4 π +4 B Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình tròn có chiều dài 4π + 14 , π +4 π +4 C Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình tròn có chiều dài 4π , π +4 π +4 D Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình tròn có chiều dài , π +4 π +4 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi V1 , V2 thể tích khung hình trụ có đáy hình vng khung hình trụ có đáy hình tròn Gọi a chiều dài cạnh hình vng r bán kính hình tròn Ta có: V1 + V2 = a + π r (đơn vị thể tích) 2 ( − π r ) , < r < Suy V ( r ) = V1 + V2 = π r + ( − π r ) π V ′ ( r ) = 2π r − π ( − π r ) , V ′ ( r ) = ⇔ r = ( π + ) Lập bảng biến thiên suy Mà 4a + 2π r = ⇔ a =   Vmin =  ÷ π +4 Vậy, phải chia sắt thành phần: phần làm lăng trụ có đáy hình vng 4π ( m) ( π + 4) Câu 26 [2D1-3.10-4] [BTN 173] Một cơng ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2000.000 đồng tháng hộ có người thuê lần tăng giá cho thuê hộ 100.000 đồng tháng  2 hộ bị bỏ trống Muốn có thu nhập cao nhất, cơng ty phải cho th với giá hộ ? A 2.350.000 B 2.450.000 C 2.250.000 D 2.550.000 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi x giá cho thuê thực tế hộ, ( x – đồng; x ≥ 2000.000 đồng ) Số hộ cho thuê ứng với giá cho thuê: 1 50 − x + 90, ( 1) ( x − 2000000 ) = − 50000 50.000 Gọi F ( x ) hàm lợi nhuận thu cho thuê hộ, ( F ( x ) : đồng) 1   x + 90 ÷x = − x + 90x Ta có F ( x ) =  − 50.000 50.000   Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn F ( x ) = − x + 90x với điều kiện 50.000 x ≥ 2000.000 TRANG 15 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP x + 90 25.000 F '( x) = ⇔ − x + 90 = ⇔ x = 2.250.000 25.000 Ta lập bảng biến thiên: F '( x) = − Suy F ( x ) đạt giá trị lớn x = 2.250.000 Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng hộ lãi lớn Nhận xét: Làm ta tìm hệ số biểu thức ( 1) ? 50000 Ta hiểu đơn giản sau: Số hộ cho thuê tháng ứng với số tiền cho thuê; 50 − m ( x − 2000.000 ) x = 2.000.000 số hộ thuê 50 Nếu số tiền cho thuê tăng lên x = 2.100.000 có hộ để trống, nghĩa có 48 người thuê Ta có: 50 − m ( 2.100.000 − 2.000.000 ) = 48 ⇔ m = 50000 Câu 27 [2D1-3.10-4] [BTN 169] Để thiết kế bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao 60cm , thể tích 96000cm3 Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70000 VNĐ/m2 loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100000 VNĐ/m2 Tính chi phí thấp để hoàn thành bể cá A 32000 VNĐ B 83200 VNĐ C 320000 VNĐ D 832000 VNĐ Hướng dẫn giải Chọn B Gọi x, y ( m ) ( x > 0, y > ) chiều dài chiều rộng đáy bể, theo đề ta suy 0,16 Giá thành bể cá xác định theo hàm số sau: x 0,16  0,16 0,16    f ( x ) = 2.0,  x + ⇔ f ( x ) = 84000  x + ÷.70000 + 100000 x ÷+ 16000 (VNĐ) x  x x    0, xy = 0, 096 ⇔ y =  0,16  f ′ ( x ) = 84000  − ÷, f ′ ( x ) = ⇔ x = 0, x   Ta có bảng biến thiên sau: Dựa vào bảng biến thiên suy chi phí thấp để hồn thành bể cá f ( 0, ) = 83200 VNĐ TRANG 16 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Câu 28 [2D1-3.10-4] [BTN 166] Người ta cần chế tạo ly dạng hình cầu tâm O , đường kính 2R Trong hình cầu có hình trụ tròn xoay nội tiếp hình cầu Nước chứa hình trụ Hãy tìm bán kính đáy r hình trụ để ly chứa nhiều nước 2R R 2R R A r = B r = C r = D r = 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi h r chiều cao bán kính đáy hình trụ Bài tốn quy việc tính h r phụ thuộc theo R hình chữ nhật ABCD nội tiếp hình tròn ( O, R ) thay đổi V = π r h đạt giá trị lớn Ta có: AC = AB + BC ⇔ R = 4r + h     V = π  R − h ÷h = π  − h3 + R h ÷ ( < h < 2R )     2R   V ′ = π  − h2 + R ÷ ⇔ h = ±   2R Vậy V = Vmax = π R ⇔ h = 4R 2R R Lúc r = R − = ⇒r= 3 Câu 29 [2D1-3.10-4] [THPT Chun Bình Long] Một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 12 m , độ dài trục bé 8m Người ta dự định trồng hoa hình chữ nhật nội tiếp elip hình vẽ Hỏi diện tích trồng hoa lớn ? TRANG 17 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN A 576 m 13 PHƯƠNG PHÁP B 48 m C 62 m D 46 m Hướng dẫn giải Chọn B Đặt phương trình tắc ( E ) : 2 x y + = a b x2 y + = 36 16 đỉnh hình chữ nhật x A > , y A > Ta có 2a = 12 ⇒ a = , 2b = ⇒ b = Suy ( E ) : Chọn A ( x A ; y A ) x A2 y A2 ⇒ + = 1; 36 16 Diện tích hình chữ nhật S = x A y A = 48.2  x2 y  xA yA ≤ 48  A + A ÷ = 48  36 16  Câu 30 [2D1-3.10-4] [THPT Chuyên Phan Bội Châu] Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất mặt hàng đúng 10 ngày phải sử dụng hai máy A B Máy A làm việc x ngày cho số tiền lãi x + x (triệu đồng), máy B làm việc y ngày cho số tiền lãi 326 y − 27 y (triệu đồng) Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A ngày cho số tiền lãi nhiều nhất? (Biết hai máy A B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không ngày) A B C D Hướng dẫn giải Chọn D (1) Theo đề ta có x + y = 10 ⇔ y = 10 − x Và < y ≤ ⇒ ≤ x < 10 Số tiền lãi f ( x ) = x + x + 326 ( 10 − x ) − 27 ( 10 − x ) (thay (1) vào) ⇔ f ( x ) = 28 x − 810 x + 7776 x − 23740 với x ∈ [ 4;10 ) Ta có f ′ ( x ) = 84 x − 1620 x + 7776 f ′ ( x ) = ⇔ 84 x − 1620 x + 7776 = ⇔ x = ∨ x = Chỉ có x = ∈ [ 4;10 ) Bảng biến thiên 72 TRANG 18 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN PHƯƠNG PHÁP Câu 31 [2D1-3.10-4] [THPT Ngô Quyền] Một sở sản xuất khăn mặt bán khăn với giá 30.000 đồng tháng sở bán trung bình 3000 khăn Cơ sở sản xuất có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt Sau tham khảo thị trường, người quản lý thấy từ mức giá 30.000 đồng mà tăng giá thêm 1000 đồng tháng bán 100 Biết vốn sản xuất khăn không thay đổi 18.000 Hỏi sở sản xuất phải bán với giá để đạt lợi nhuận lớn A 43.000 đồng B 40.000 đồng C 39.000 đồng D 42.000 đồng Hướng dẫn giải Chọn C Hướng dẫn giải Gọi số tiền cần tăng giá khăn x (nghìn đồng) Vì tăng giá thêm (nghìn đồng) số khăn bán giảm 100 nên tăng x (nghìn đồng) số xe khăn bán giảm 100x Do tổng số khăn bán tháng là: 3000 − 100x Lúc đầu bán với giá 30 (nghìn đồng), khăn có lãi 12 (nghìn đồng) Sau tăng giá, khăn thu số lãi là: 12 + x (nghìn đồng) Do tổng số lợi nhuận tháng thu sau tăng giá là: f ( x ) = ( 3000 − 100 x ) ( 12 + x ) (nghìn đồng) Xét hàm số f ( x ) = ( 3000 − 100 x ) ( 12 + x ) ( 0; +∞ ) Ta có: f ( x ) = −100 x + 1800 x + 36000 = −100 ( x − ) + 44100 ≤ 44100 Dấu xảy x = Như vậy, để thu lợi nhuận cao sở sản xuất cần tăng giá bán khăn 9.000 đồng, tức khăn bán với giá 39.000 đồng Câu 32 [2D1-3.10-4] [BTN 170] Một ảnh hình chữ nhật cao 1, 4m đặt độ cao 1, 4m so với tầm mắt (tính từ đầu mép hình) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho · góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí ? Biết góc BOC nhọn A AO = 2, 4m B AO = 2, 6m C AO = 2m Hướng dẫn giải D AO = 3m Chọn A Đặt độ dài cạnh AO = x ( m ) , ( x > ) Suy BO = 3, 24 + x , CO = 10, 24 + x Ta sử dụng định lí cosin tam giác OBC ta có: TRANG 19 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP 2 OB + OC − BC ( 3, 24 + x ) + ( 10, 24 + x ) − 1,96 · = cos BOC = = 2OB.OC ( 3, 24 + x ) ( 10, 24 + x ) · Vì góc BOC nên tốn trở thành tìm x để F ( x ) = 5, 76 + x ( 3, 24 + x ) ( 10, 24 + x ) 5, 76 + x ( 3, 24 + x ) ( 10, 24 + x ) 2 đạt giá trị nhỏ Đặt ( 3, 24 + x ) 63 25 = 25t + 63 = t , ( t > 3, 24 ) Suy F ( t ) = t ( t + ) 25 t ( t + ) t+ Ta tìm t để F(t) đạt giá trị nhỏ    25 t ( t + ) − ( 25t + 63)  2t +  t ( t + 7) 25t + 63   F '( t ) = =  25 t t + ( )  25 t ( t + )     50 ( t + 7t ) − ( 25t + 63) ( 2t + )  = 25  2t ( t + ) t ( t + )    49t − 441 ÷=  ÷ 25  2t ( t + ) t ( t + )    ÷÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷   ÷ ÷  F '( t ) = ⇔ t = Bảng biến thiên 2 Thay vào đặt ta có: ( 3, 24 + x ) = ⇔ x = 144 ⇔ x = 2, m 25 Vậy để nhìn rõ AO = 2, 4m Câu 33 [2D1-3.10-4] [BTN 168] Một người thợ xây, muốn xây dựng bồn chứa thóc hình trụ tròn với thể tích 150m3 (như hình vẽ bên) Đáy làm bê tông, thành làm tôn nắp bể làm nhơm Tính chi phí thấp để bồn chứa thóc (làm tròn đến hàng nghìn) Biết giá thành vật liệu sau: bê tơng 100 nghìn đồng m , tơn 90 nghìn m nhơm 120 nghìn đồng m A 15037000 đồng B 15039000 đồng C 15040000 đồng Hướng dẫn giải D 15038000 đồng Chọn B TRANG 20 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Gọi r , h ( m ) ( r > 0, h > ) bán kính đường tròn đáy đường cao hình trụ theo 150 π r2 Khi chi phí làm nên bồn chứa thóc xác định theo hàm số : 150 2700 f ( r ) = 220π r + 90.2π r = 220π r + (nghìn đồng) πr r 27000 675 f ′ ( r ) = 440π r − , f ′( r ) = ⇔ r = =a r 11π BBT: đề ta có π r h = 150 ⇔ h =  675  Dựa vào BBT ta suy chi phí thấp f ( a ) = f  ÷ ÷ ≈ 15038,38797 nghìn đồng  11π  Câu 34 [2D1-3.10-4] [BTN 168] Anh Phong có ao với diện tích 50m để nuôi cá diêu hồng Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ 20con / m thu 1,5 cá thành phẩm Theo kinh nghiệm nuôi cá anh thấy thả giảm / m cá thành phầm thu tăng thêm 0,5kg Để tổng suất cao vụ tới anh nên mua cá giống để thả ? (giả sử khơng có hao hụt q trình ni) A 342 B 488 C 512 D 658 Hướng dẫn giải Chọn C Số cá anh Phong thả vụ vừa qua 50.20 = 1000 (con) 1500 = 1,5kg / Khối lượng trung bình cá thành phần 1000 Gọi x > số cá anh cần thả cho vụ tới nên tăng 0, 0625x kg/con Ta có phương trình tổng khối lượng cá thu T = f ( x ) = ( 1000 − x ) ( 1,5 + 0, 0625 x )  f ′ ( x ) = −0,125 x + 61 = ⇒ x = 488 ⇒ ⇒ max f ( x ) = 16384 ⇔ x = 488  f ′′ ( x ) = −0,125 Vậy vụ sau anh cần thả 1000 − 488 = 512 cá giống TRANG 21 ... ′( r ) = ⇔ r = =a r 11π BBT: đề ta có π r h = 150 ⇔ h =  675  Dựa vào BBT ta suy chi phí thấp f ( a ) = f  ÷ ÷ ≈ 15038,38797 nghìn đồng  11π  Câu 34 [2D1-3.10-4] [BTN 168] Anh Phong có ao... thiên: ⇒ Emin ⇔ v = TRANG TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN Câu PHƯƠNG PHÁP [2D1-3.10-4] [BTN 164] Người ta cần làm bồn chứa dạng hình trụ tích 1000 lít inox để chứa nước, tính bán kính... 3 2π R = 3 2π πR R R R R Dấu xảy R = 2π Stp = 2π R + 2π Rh = 2π R + 2π R Câu [2D1-3.10-4] [BTN 163] Chiều dài bé thang AB để tựa vào tường AC mặt đất BC , ngang qua cột đỡ DH cao 4m song
- Xem thêm -

Xem thêm: ứng dụng của bài toán GTLN- GTNN vào thực tế, ứng dụng của bài toán GTLN- GTNN vào thực tế

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay