bài tập trắc nghiệm toán lớp 12

33 5 0
  • Loading ...
1/33 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/09/2018, 20:07

3.4 CÁC DẠNG KHÁC Bài Tìm giá trị thực tham số hạn m  x1 = 2016   m xn +1 = ∀n ∈ N *  + xn để dãy số ( xn ) :  có giới hạn hữu Hướng dẫn giải *) m > ⇒ < xn < m ∀ n > Xét hàm số: f ( x) = −2mx m f '( x) = ⇒ f ( x ) nghịch biến ( 0;m ) ( x + 1) x + ta có Suy ( x2 n ),( x2 n +1 ) đơn điệu và bị chặn 0< m<  x1 > x3 > x5 > > 2017 ⇒ x1 > x2 , x3 ⇒  2016  x2 < x4 < x6 < < f ( f (1)) = 4m m ≤ 1, x2 = < ⇒ x2 n < ∀ n ∈ N * m +4 2017 +  a (1 + b ) = m lim x2 n = a, lim x2 n +1 = b ⇒ a < 1,  (I ) b (1 + a ) = m   Giả sử  a = b ( II )   a + a = m  ( I ) ⇔  b = a   ( III )   a + = m   a Khi Khi o < m ≤ hệ (I) có nghiệm nhất ⇒ ( xn ) có giới hạn hữu hạn 2< m< 2017 2016 hệ (II) có nghiệm nhất lớn và hệ (III) có nghiệm thỏa mãn ⇒ lim x2 n ≠ lim x2 n +1 ⇒ ( xn ) khơng có giới hạn +  x1 ≤ x3 ≤ x5 ≤ 2017 ≤ m < 2017 2016 ⇒ x1 > x2 , x1 ≤ x3 ⇒  2016  x2 ≥ x4 ≥ x6 ≥ ⇒ lim x2 n < lim x2 n +1 ⇒ ( xn ) khơng có giới hạn + m = 2017 2016 ⇒ xn = 2016 ∀ n ∈ N ⇒ l imxn = 2016 * a ≠ b Do  x1 > x3 < x5 < m > 2017 2016 ⇒ x1 < x2 , x1 > x3 ⇒   x2 < x4 < x6 < + ⇒ lim x2 n > lim x2 n +1 ⇒ ( xn ) khơng có giới hạn *) m < tượng tự ta có < m ≤ và m = − 2017 2016 Bài Cho số thực a, xét dãy số ( xn ) n≥1 được xác định a Tìm tất cả giá trị x1 = a, xn +1 = xn3 − xn − , n = 1, 2, xn2 + xn + để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó? Hướng dẫn giải Với Với lim x = −1 a = − xn = − 1, ∀ n ≥ nên n→ +∞ n a ≠ − xn + = ( xn−1 + 1) ( xn−1 + ) 3 xn2−1 + xn −1 + , xn + = 3 xn2−1 + xn −1 + , ∀n ≥ 3n−1 xn +  xn−1 +   a+2 = ÷ =  ÷ , ∀n ≥  a +1  Do xn +  xn −1 +  xn = Từ đó, tính được ( a + 1) 3n−1 − ( a + 2) ( a + 2) 3n−1 − ( a + 1) 3n−1 3n−1 , ∀n ≥ , a < − ⇒ a + > a + ⇒ lim xn = − n → +∞ Kết luận + a > − ⇒ a + < a + ⇒ lim xn = − n → +∞ + 3 a = − ⇒ xn = − , ∀ n ≥ ⇒ lim xn = − n → +∞ + 2 Bài Cho hai dãy số dương ( an ) n≥ , ( bn ) n ≥ + an +1   an + bn = − a n +1  2  xác định bởi: a0 = 3, b0 = và  an + = bn Với n = 0,1, 2, Chứng minh hai dãy hội tụ và tìm giới hạn chúng Hướng dẫn giải an = tan Ta chứng minh quy nạp π , bn = , n = 0,1, 2, (*) n π 3.2 cos n Thật 3.2 a0 = = tan Với n = , ta có a1 = Với n = , ta có π π = tan , b0 = = π 3.2 cos 3.2 , ( *) π π = tan = tan , b1 = = 3.2 3 cos π 3.21 , ( *) an = tan Giả sử khẳng định đến n = k , k ≥ , tức là an +1 = tan Ta chứng minh π , b = n π 3.2n cos n 3.2 π , bn+1 = n +1 π 3.2 cos n +1 3.2 Thật Từ ( 1) ta có π π π π π sin n + 2sin n +1 cos n +1 + sin + cos n +1 + an +1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2n +1 = = = π π π − an +1 cos n cos − sin n +1 3.2 3.2 3.2n +1 π π    sin n +1 + cos n +1 ÷ 3.2   3.2 = π π  π π    cos n +1 − sin n+1 ÷ cos n+1 + sin n +1 ÷ 3.2 3.2   3.2 3.2   π π π sin n +1 + cos n +1 tan n +1 + π 3.2 3.2 = 3.2 = ⇒ a n +1 = tan n +1 π π π 3.2 cos n +1 − sin n +1 − tan n +1 3.2 3.2 3.2 Khi từ ( ) , suy bn2+1 = an2+1 + = tan π 1 +1 = ⇒ bn +1 = n +1 π π 3.2 cos n +1 cos n +1 3.2 3.2 an = tan Như theo nguyên lý quy nạp lim an = lim tan n →+∞ n → +∞ Do π , bn = , n = 0,1, 2, n π 3.2 cos n 3.2 π 1 = tan = 0; lim bn = lim = =1 n n → +∞ π 3.2 cos n → +∞ cos n 3.2 lim an = 0; lim bn = Kết luận: n → +∞ Bài u1 = 2014  2 Cho dãy số (un ) xác định sau : un +1 = un + (1 − 2a)un + a ; ∀n = 1, 2, Tìm điều kiện a n → +∞ ■ để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Hướng dẫn giải và tính giới hạn Ta có: un +1 − un = (un − a) ≥ ⇒ un +1 ≥ un ; ∀n = 1, 2,3, * Suy dãy số (un ) tăng knn ; từ dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và dãy bị chặn Giả sử lim un = L ( L ∈ ¡ ) n → +∞ , chuyển qua giới hạn hệ thức un +1 = un + (1 − 2a )un + a 2 ta có: L = L2 + (1 − 2a) L + a ⇔ L = a lim u = L = a * - Nếu có số k ∈ ¥ mà uk > a un > a; ∀ n ≥ k trái với kết quả n→ +∞ n Do đó: uk ≤ a với k = 1, 2, hay un − (1 − 2a )u n + a ≤ a, ∀n = 1, 2,3, 2 ⇔ a − ≤ u1 ≤ a ⇔ a − ≤ 2014 ≤ a * Đảo lại: Nếu a − ≤ 2014 ≤ a ⇒ a − ≤ u1 ≤ a ⇒ (u1 − a + 1)(u1 − a) ≤ ⇒ u12 + (1 − 2a)u1 + a − a ≤ ⇒ u2 ≤ a và u1 ≤ u2 ⇒ a − ≤ u2 ≤ a Bằng quy nạp ta chứng minh được a − ≤ un ≤ a, ∀ n = 1, 2,3, (H/s trình bày ra) Như dãy (un ) tăng knn, bị chặn bới Kết luận: Với điều kiện Bài a , dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn lim u = a a − ≤ 2014 ≤ a dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ và n→ +∞ n Cho dãy số ( xn ) giới hạn hữu hạn  x1 = a  xn3   xn +1 = x − , n = 1, 2,3, n thỏa mãn  Tìm a cho dãy số xác định và có Hướng dẫn giải x3 f ( x) = , x ≠ ± Đặt 3x − Ta có x1 = a, xn+1 = f ( xn ) Ta có f '( x) = x4 − 6x2 ( 3x − 1) = x ( x − 1) ( 3x − 1) Bảng biến thiên Ta xây dựng dãy số sau a0 = , a0 = f ( a1 ) , a1 = f ( a2 ) , a2 = f ( a3 ) , Nhận thấy a1 , a3 , , a2 k + , < 0; a0 , a2 , , a2 k , >    3 −1 a1 ∈  − ;0 ÷ , a = f a ∈ 0; ( )  ÷  ÷ ÷     Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ⇒ a2 < a0 ⇒ f ( a3 ) < f ( a1 ) ⇒ a3 > a1 ⇒ f ( a4 ) > f ( a2 ) ⇒ a4 < a2 Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy ( a2k ) tăng và bị chặn − đơn điệu giảm, bị chặn và , dãy ( a2 k +1 ) đơn điệu lim ( a ) , lim ( a ) và Từ tồn k →+∞ k k →+∞ k +1 ( ) ( ) ( ) Ta có an = f ( an +1 ) = f f ( an + ) ⇒ lim an = f f ( lim an + ) ⇒ l = f f ( l )  2l  2 ÷ 3l −  1  ⇔l=  ⇔ l  l − ÷( l − 1) ( 20l − 15l + ) = 5   2l  3 ÷ −1  3l −  (*) (do Xét f ( x) =   x3 ;0 ÷÷  − , x ≠ ± , 3x − liên tục  0 x2 = f ( a ) < a = x1 và hàm số đồng biến nên dãy đơn điệu giảm, bị chặn Khi dãy hội tụ < a Khi ta khảo sát dãy từ x2 Trường hợp này dãy đơn điệu giảm và bị chặn nên hội tụ +) Nếu a = xn = ∀ n nên dãy hội tụ 5 Vậy dãy đơn điệu giảm, bị chặn nên hội tụ Vì f(x) là hàm lẻ nên trường hợp − 3 Khi ta lại có < a < 0, − < a < − , a < −1, a = −1 ta khảo sát tương tự Kết luận: Điều kiện để dãy xác định và có giới hạn hữu hạn là a≠± Bài ; a ≠ ± ; a ≠ an , ∀n = 1, 2,3, Cho dãy số { an } lim ( an − n ) = n →∞ xác định < a1 ≠ và an + = a n + Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a2 = a1 + >2 a1 (do a1 ≠ ) n , ∀n ≥ an Chứng minh Nhận xét: an > n, ∀ n ≥ Ta chứng minh nhận xét này phương pháp quy nap Thật Với n = ta có a2 > (đúng) Giả sử ak > k Ta có ak +1 = ak + k > k + ⇔ ak2 + k > ( k + 1) ak ak ⇔ ak2 − ( k + 1) ak + k > ⇔ ( ak − 1) ( ak − k ) > (đúng) Suy ak +1 > k + Như an > n, ∀ n ≥ (điều phải chứng minh) Mặt khác, an +1 − ( n + 1) = an + n n − ( n + 1) = an − n + − an an an2 − ( n + 1) an + n ( an − n ) ( an − 1) = = an an (1) Áp dụng (1) ta có  ( a2 − ) ( a2 − 1)  a3 − = a2   ( a − 3) ( a3 − 1)  a4 − = a3     ( an − n ) ( an − 1)  an +1 − ( n + 1) = an  Suy ( a3 − 3) ( a4 − ) ( an+1 − ( n + 1) ) = ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) ( a2 − 1) ( a3 − 3) ( a3 − 1) ( an − n ) ( an − 1) a2 a3 an ( a2 − ) ( a2 − 1) ( a3 − 1) ( an − 1) a2 a3 an      ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) 1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷  a2  a3   an  n  1 ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) ∏ 1 − ÷  (2) i =2  1− Ta lại có Suy Từ (2) a −1 = n +1 = an +1 an +1 n  1 i =2  i an + n −1 an an +1 < n an an > n ⇒ < an +1 (do an ) a1 a2 an −1 a1 = an a n a3 ∏ 1− a ÷ < a  ⇒ an +1 − ( n + 1) < ( a2 − ) ⇒ < an +1 − ( n + 1) < ( a2 − ) a1 a < ( a2 − ) an n (vì an > n ) a1 n a1 a = ⇒ lim ( a2 − ) = n→ ∞ Mà n → ∞ n n lim Do Bài lim ( an +1 − ( n + 1) ) = n →∞ hay lim ( an − n ) = n →∞ Cho p ∈ ¥ , a > và a1 > Xét dãy số ( an ) được xác định bởi: * với an +1 = 1 a  ( p − 1)an + p −1  p an  , n ≥ Chứng minh dãy số (an ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Hãy tìm giới hạn Hướng dẫn giải * Theo bất đẳng thức Cơsi ta có:  a ÷ a p a n +1 = an + an + + an + p −1 ≥ p p anp −1 p −1 = a p  4 43 an ÷ p an p −1   , với ∀ n ≥ (1) an +1 − an = 1 a   ( p − 1)an + p −1  − an p an  an anp − a a =− + =− ≤ 0; ∀ n ≥ p p.anp −1 p.anp −1 Do đó: Từ (1) và (2) ta có dãy số (an ) giảm và bị chặn suy dãy số ( an ) có giới hạn hữu hạn Giả sử lim an = L n → +∞ p ; ( L ≥ a ) n → +∞ (2) p a ; Chuyển qua giới hạn hệ thức ta có phương trình L= an +1 = 1 a  ( p − 1)an + p −1  p an  1 a  ( p − 1) L + ⇔ pLp = ( p − 1) Lp + a p −1   p L  p ⇔ Lp = a ⇔ L = a (thỏa mãn điều kiện) p Vậy lim an = a n → +∞ Cho trước số thực dương Bài α và xét dãy số dương ( xn ) thỏa mãn α n +1 x α − α +1 + < ( α + 1) α xn với * n ∈ ¥ Chứng minh dãy ( xn ) hội tụ và tìm giới hạn Hướng dẫn giải f ( x ) = xα + , x > Xét hàm số x Ta có f '( x) = α xα −1 − 1 α xα +1 − − = α +1 2 x x ; f '( x) = ⇔ x = x0 = α Ta có bảng biến thiên hàm f(x): Suy f ( x ) ≥ f ( x0 ) = α Do α n +1 x − α α +1 + α α +1 = (α + 1)α − α α +1 α − 1 α +1 + < ( α + 1) α ≤ xnα+1 + xn xn+1 Suy xn +1 < xn hay ( xn ) là dãy giảm Kết hợp với xn > với n ta suy dãy ( xn ) hội tụ α − α +1 β + ≤ (α + 1)α ⇒ β = x0 β Đặt lim xn = β > Chuyển qua giới hạn ta được α Vậy lim xn = α − α +1 un ∈ (0;1) ∀n ≥  Tìm tất cả số c > cho dãy số dãy số (un ) thỏa mãn un +1 (1 − un ) > c Bài hội tụ Với giá trị c tìm được tính giới hạn dãy (un ) Hướng dẫn giải Ta xét trường hợp sau + Nếu c> cun c un +1 > = ≥ 4cun ; ∀n ≥ 1 − un un (1 − un ) , từ giả thiết, ta có n −1 c> Từ quy nạp, ta suy un > (4c) u1 Do 4c > nên un → +∞ n → +∞ Do đó, khơng thỏa mãn  − − 4c + − 4c   a(1 − b) > c a , b ∈ ;  ÷÷, a < b  0< c< 2   + Nếu cho  b(1 − a ) > c Thật vây, lấy , tồn  − − c + − 4c  a ∈  ; ÷÷, 2   đặt b = a + x ( x > 0) , a (1 − b) > c ⇔ a (1 − a − x) > c ⇔ x < a (1 − a) − c a Chú ý là b(1 − a) > a(1 − a) > c Do đó, ta cần chọn thức nêu x > và b = a + x, được bất đẳng Xét dãy số (un ) xác định  a n = 2m un =  b n = 2m + 0< c< dãy (un ) thỏa mãn giả thiết không hội tụ Thành thử, không thỏa mãn + Nếu c= un 1 un +1 > = ≥ un 4(1 − un ) 4un (1 − un ) Suy dãy (un ) tăng và bị chặn Do đó, (un ) hội tụ , 1 x(1 − x) ≥ x= lim un = Đặt x = lim un , từ giả thiết ta có hay Vậy Bài 10 * Cho dãy số ( un ) xác định sau: u1 = , un +1 = un − un + , n ∈ ¥ Tìm giới hạn dãy ( sn ) với sn = 1 + + + , n ∈ ¥ * u1 u2 un Hướng dẫn giải Bài 20 a a a a0 = 1; a1 > 1; an +1 = n + ∀n = 1, 2,3, a n  2   Cho dãy số xác định Chứng minh tồn lim S n n → +∞ ( [ x ] là phần nguyên n Đặt x ) Hướng dẫn giải a −1 1 1 = = k +1 = − ak +1a  k  a a1a2 ak a1a2 ak +1 a1a2 ak a1a2 ak +1 k +1 2   ak +1 − Ta có n   1 Sn = ∑  − ÷= − a1a2 ak +1  a1 a1a2 an +1 k =1  a1a2 ak Suy Chứng minh lim ( a1a2 an+1 ) = +∞ n →+∞ Ta có : an > ∀ n ≥ n   ≠ n ⇒ an +1 > an + suy dãy cho là tăng Như an > an −1 + > > a1 + n − Vậy lim ( a1a2 an+1 ) = +∞ n →+∞ Bài 21 , suy Cho dãy số ( un ) ; ( ) lim S n = n →+∞ a1 u1 = 3, v1 =  2 un +1 = un + 2vn  được xác định sau  +1 = 2un lim 2n x→ ∞ và ( ∀n ∈ N ) lim 2n u1.u2 un x→ ∞ Tìm giới hạn sau: Hướng dẫn giải ( un +1 + 2.vn +1 = un2 + 2vn2 + 2.un = un + 2.vn ∀ n ∈ N Ta có: : Áp dụng (1) ta suy ra: Theo quy nạp ta có: ( un + 2.vn = un −1 + 2.vn −1 ( un + 2.vn = u1 + 2.v1 Lập luận tương tự ta có: un − 2.vn = ( ) 2n−1 ) ) (1) ( = 3+ 2 ) −1 2n (3) ) 2n−1 = ( ) +1 2n (2) k =1 ak +1a k  Sn = ∑   2 2n 2n   1 u = + + −  n 2      n n v =  + − −  n  2   Từ (2) và (3) ta suy ra:  ( ) ( ( 1 un =  2 Lại có: ( Tương tự ta có : ) +( ( ) −( +1 =  2  ) ) (  −1  <  2n +1 2n ) ( ) +1 ) n ) −1 n 2n , từ suy ra:  >  ( ) +1 2n un < + 2n ⇒ > n 2n ( ) +1 2n Mặt khác ta có: < un Do ta có dãy bất đẳng thức sau: ( 2n ) 1 2n +1  ÷ = 8 ( ) +1 2n < 2n < 2n un < + Như theo định lí kẹp ta suy Hơn theo đề bài ta có: Suy ra: Vậy u1.u2 un = n →∞ n →∞ ( n →∞ )( n→ ∞ +1 = 2un ⇒ un = Bài 22 ) + 1 = + 2 lim = + n→ ∞ Cho dãy số ( an ) lim ( an − n ) = n →∞ +1 2vn +1 = lim 2n +1 lim 2n n+1 n +1 n →∞ n →∞ 2 n Tóm lại ta có: n→ ∞ 1 2n = lim 2.lim 2n un lim 2n lim 2n n +1 n +1 n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ 2 = lim 2n 2un lim 2n = + lim 2n un = lim 2n = + v2 v3 +1 +1 vn+1 = = 2v1 2v2 2vn 2n v1 2n +1 lim 2n u1.u2 un = lim 2n n →∞ lim u1.u2 un = + 2 n và n→ ∞ xác định < a1 ≠ và an + = a n + Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a2 = a1 + >2 a1 (do a1 ≠ ) n , ∀n ≥ an Chứng minh Nhận xét: an > n, ∀ n ≥ Ta chứng minh nhận xét này phương pháp quy nap Thật Với n = ta có a2 > (đúng) Giả sử ak > k Ta có ak +1 = ak + k > k + ⇔ ak2 + k > ( k + 1) ak ak ⇔ ak2 − ( k + 1) ak + k > ⇔ ( ak − 1) ( ak − k ) > (đúng) Suy ak +1 > k + Như an > n, ∀ n ≥ (điều phải chứng minh) Mặt khác, an +1 − ( n + 1) = an + n n − ( n + 1) = an − n + − an an an2 − ( n + 1) an + n ( an − n ) ( an − 1) = = an an (1) Áp dụng (1) ta có  ( a2 − ) ( a2 − 1)  a3 − = a2   ( a − 3) ( a3 − 1)  a4 − = a3     ( an − n ) ( an − 1)  an +1 − ( n + 1) = an  Suy ( a3 − 3) ( a4 − ) ( an+1 − ( n + 1) ) = ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) ( a2 − 1) ( a3 − 3) ( a3 − 1) ( an − n ) ( an − 1) a2 a3 an ( a2 − ) ( a2 − 1) ( a3 − 1) ( an − 1) a2 a3 an      ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) 1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷  a2  a3   an  n  1 ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) ∏ 1 − ÷  (2) i =2  1− Ta lại có Suy Từ (2) a −1 = n +1 = an +1 an +1 n  1 i =2  i an + n −1 an an +1 < n an an > n ⇒ < an +1 (do an ) a1 a2 an −1 a1 = an a n a3 ∏ 1− a ÷ < a  ⇒ an +1 − ( n + 1) < ( a2 − ) ⇒ < an +1 − ( n + 1) < ( a2 − ) a1 a < ( a2 − ) an n (vì an > n ) a1 n a1 a = ⇒ lim ( a2 − ) = n→ ∞ Mà n → ∞ n n lim Do Bài 23 lim ( an +1 − ( n + 1) ) = n →∞ hay lim ( an − n ) = n →∞ Cho trước số thực dương α và xét dãy số dương ( xn ) thỏa mãn α n +1 x * n ∈ ¥ Chứng minh dãy ( xn ) hội tụ và tìm giới hạn Hướng dẫn giải f ( x ) = xα + , x > Xét hàm số x Ta có f ′( x) = α xα −1 − 1 α xα +1 − − = α +1 2 x x ; f ′( x) = ⇔ x = x0 = α Ta có bảng biến thiên hàm f ( x ) : Suy f ( x ) ≥ f ( x0 ) = α − α α +1 + α α +1 = (α + 1)α − α α +1 α − α +1 + < ( α + 1) α xn với Do x α n +1 α − 1 α +1 + < ( α + 1) α ≤ xnα+1 + xn xn+1 Suy xn +1 < xn hay ( xn ) là dãy giảm Kết hợp với xn > với n ta suy dãy ( xn ) hội tụ α − α +1 β + ≤ (α + 1)α ⇒ β = x0 β Đặt lim xn = β > Chuyển qua giới hạn ta được α Vậy lim xn = α Bài 24 − α +1 u1 , u2 ∈ (0;1)   43 un + = un +1 + un , ∀n ≥ thỏa mãn Chứng minh dãy (un ) có Cho dãy số thực ( un ) giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn Hướng dẫn giải  x1 = { u1 , u2 }  ( xn ) :   xn +1 = xn + xn 5  Xét dãy Ta thấy xn ∈ (0;1) x3 + xn + xn + xn + xn 133 xn +1 = xn3 + xn = n ≥ xn > xn Ta có 5 Vậy dãy ( xn ) tăng, bị chặn nên hội tụ, lim xn = a (0 < a ≤ 1) a = a3 + a ⇒ a = Chuyển qua giới hạn ta được: Ta chứng minh xn ≤ u2 n −1 ; u2 n < (*) quy nạp theo n Ta có x1 ≤ u1 ; u2 < Giả sử xn ≤ u2 n −1 ; u2 n < 4 xn +1 = xn3 + xn ≤ u23n + u2 n −1 = u2 n +1 < Suy 5 5 4 xn +1 = xn3 + xn ≤ xn3+1 + xn ≤ u23n+1 + u2 n = u2 n+ < 5 5 5 Vậy (*) với n nguyên dương Từ suy lim un = Bài 25  x1 = 2007   x = + xn ∀ n ≥  n+1 xn2 − Cho dãy số thực ( xn ) xác định bởi:  Chứng minh dãy số giới hạn và tìm giới hạn ( xn ) có Hướng dẫn giải Dễ dàng quy nạp xn > xn +1 = + Ta có: xn x −1 = n Vậy xn ≤ 2007 với f ( x) = + Xét n x x −1 + 1+ < 3+ x −1 ∀n ≥ n nên dãy bị chặn ⇒ f ′( x) = − (x − 1)  ⇒ f ′ ( x ) < 2 x > Ta có: x2 f ( x) = x ⇔ x = + ⇔ ( x − 3) = x −1 x2 − x ⇔ ( x − 3x) − 2( x − 3x) − =  x − x = −1 ( L) ⇔  x − x = x= + 15 =a Áp dụng định lý Lagrang có: n   xn +1 − a = f ( xn ) − f (a ) = f '(θ n ) xn − a < xn − a < <  →0 ÷ x1 − a  n →∞ 2 2 2 lim xn = a = Bài 26 + 15 Cho dãy số ( un )  u1 = e un2+1 lim 2  * xác định bởi:  un +1 = un − 2, ∀ n ∈ ¥ Tìm n→+∞ u1 u2 un Hướng dẫn giải u = a + , Vì u1 = e > nên đặt a a>1 Do 1  u2 = u − =  a + ÷ − = a + a a  Ta có n Bằng quy nạp, ta chứng minh được u n +1 = a + a2 n , ∀n ∈ ¥ Xét  i−1 ui = ∏  a + 2i−1 ∏ a i =1 i =1  n n −1 −1    n  2i−1     2n    = a − a − ÷  ÷∏  a + 2i−1 ÷ =  a − ÷  a + 2n ÷ ÷  a   a  i =1  a  a   a    1  n  a − ÷  a + 2n  u a  a ⇒ n2+1 =  u1 u2 un  2n   a − 2n ÷ a    ÷  ⇒ lim 2 un2+1 1  1  =  a − ÷ =  a + ÷ − = e2 − 2 n →+∞ u u u a  a  n Bài Cho dãy số ( xn ) xác định  x1 = a  xn2 +  x =  n +1 ( x + 3) , n = 1, 2,3, n  Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn Tính giới hạn Hướng dẫn giải Theo Cơsy  ( x − 1) ( xn + ) ≤ 1 16 xn =  xn + + − ÷ ≥ 1; xn +1 − xn = − n 2 xn +  ( xn + 3) dãy giảm, bị chặn 1, dãy có giới hạn Từ lim xn = a ⇒ a = Bài 27  x1 =  2014  x = + , n = 1, 2,3 n +  x { } + x n  n Cho dãy số , xác định bởi: Chứng minh dãy số { xn } có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn Hướng dẫn giải Xét hàm số f '( x) = f ( x) = + − 2014 ( 1+ x) f ( x3 ) ⇒ x2 > x4 ⇒ f ( x2 ) < f ( x4 ) ⇒ x3 < x5 ⇒ Suy dãy ( x2n +1 ) là dãy đơn điệu tăng và bị chặn, dãy ( x2n ) là dãy đơn điệu giảm và bị chặn, nên dãy ( x2 n +1 ) , ( x2n ) có giới hạn hữu hạn Giả sử lim x2 n +1 = a và lim x2 n = b , ( a, b ≥ ) Từ x2 n +1 = f ( x2 n ) ⇒ lim x2 n +1 = lim f ( x2 n ) ⇔ b = f (a ) x2n+ = f ( x2 n+1 ) ⇒ lim x2 n + = lim f ( x2 n +1 ) ⇔ a = f (b) 2014  b = + + a ⇔ a = b = 2015  2014 a = + 1+ b Vậy ta có hệ  Vậy lim xn = Bài 28 2015 Cho dãy số ( xn )  x1 = 2,1   xn − + xn2 + xn − ( *) , n = 1, 2,  xn +1 = được xác định  với số n nguyên dương n, đặt yn = ∑ i =1 x − Tìm lim yn i Hướng dẫn giải Ta có kết quả sau: với số thực a > bất kì, ta có a − + a + 8a − a − + a + a + a − + ( a + ) > = =a 2 Do 2,1 < x1 < x2 < Suy dãy ( xn ) là dãy tăng, giả sử bị chặn tức là có giới hạn lim xn = L > Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình x − + x + 8x − x= ⇔ x − = ( x + 3) ( x − ) phương trình này khơng có nghiệm hữu hạn lớn Suy dãy ( xn ) tăng và không bị chặn nên lim xn = +∞ Ta có xn − + xn2 + xn − xn +1 = ⇔ xn +1 − xn + = xn2 + xn − ⇔ ( xn+1 − xn + ) = xn2 + xn − ⇔ xn2+ − = ( xn + 3) ( xn − ) ⇔ x + xn + + 1 1 = 2n = = + xn − xn+1 − xn+1 − xn+1 − xn+1 − ⇔ 1 = − x − xn − xn+1 − n +1 n Suy yn = ∑ i =1 1 1 = − = 10 − xi2 − x1 − xn +1 − xn+1 − Vậy lim yn = 10  x0 = a ( ∀n ∈ ¥ )  x n ∈ ¥ x = x − ( ) ( )  n Dãy số thực n được xác định bởi:  n +1 Tìm tất cả giá trị Bài 29 a để xn < với số tự nhiên n Hướng dẫn giải Giả sử xn < với ∀n∈ ¥ 2 − < xn +1 < Từ xn + = xn +1 − < có Lại từ Suy Từ − 2 − 2− < xn2 − < − < xn < ⇒ − < xn < − , ∀ n ∈ ¥ có 2 xn − > xn + < 1, ∀n ∈ ¥ và xn +1 + 1 1 = xn2 − + = xn2 − = xn − xn + > xn + , ∀n ∈ ¥ 2 2 2 Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có: n n 1  2 1  2  2 a + = x0 + < x1 + <  ÷ x2 + < <  ÷ xn + <  ÷ , ∀ n ∈ ¥ 2  3 2  3  3 n 1  2 a+ =0⇒a =− lim  ÷ = 2 Mà n→+∞   nên phải có Thử lại với a=− 1 xn = − < 0, ∀ n Vậy a=− là giá trị nhất cần tìm  x1 = 2014  x = xn − 6sin xn , n ∈ ¥ * Cho dãy số thực (xn) xác định bởi:  n +1 Bài 30 Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức Xét hàm số f ( x ) = x − 6sin x , x > f '( x ) = Ta có: x3 x − ≤ sin x ≤ x, ∀ x ≥ 6 ( − cos x ) 33 ( x − 6sin x ) > 0, ∀x > ⇒ f(x) đồng biến với x > Do đó: f ( x ) > f ( ) = x > mà x2 = f ( x1 ) > x1 = 2014 > Vậy ta có xn +1 = f ( xn ) > 0, ∀ n ∈ N * xn+1 − xn = xn − 6sin xn − xn = xn − 6sin xn − xn3 Mặt khác: Vì x3 x − ≤ sin x ≤ x, ∀ x ≥ ⇒ xn – sinxn − xn 3 ( xn − 6sin xn ) + xn xn − 6sin xn + xn2 ⇔ x − x – 6sinx < 0, ∀ x > < xn > ⇒ xn+1 – xn < ⇒ ( xn ) là dãy giảm và bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử limxn = x( x ≥ 0) , ta có phương trình: x = x − 6sin x ⇔ x3 − x + 6sin x = Xét hàm số g ( x ) = x − x + 6sin x g ' ( x ) = x – + 6cosx g’’ ( x ) = x – sinx ≥ 0∀ x ≥ ⇒ g’ ( x ) ≥ g’ ( ) = Do g ( x ) đồng biến và liên tục với x ≥ ⇒ phương trình g ( x ) = có nghiệm nhất x= Vậy limxn = Cho hai dãy số dương ( an ) n≥ , ( bn ) n ≥ Bài 31 + an +1   an + bn = − a n +1  2  xác định bởi: a0 = 3, b0 = và  an + = bn Với n = 0,1, 2, Chứng minh hai dãy hội tụ và tìm giới hạn chúng Hướng dẫn giải an = tan Ta chứng minh quy nạp a0 = = tan Với n = , ta có a1 = Với n = , ta có π , bn = , n = 0,1, 2, (*) n π 3.2 cos n 3.2 Thật π π = tan , b0 = = π 3.2 cos 3.2 , ( *) π π = tan = tan , b1 = = 3.2 3 cos π 3.21 , ( *) an = tan Giả sử khẳng định đến n = k , k ≥ , tức là an +1 = tan Ta chứng minh + an +1 − an +1 π , bn = n π 3.2 cos n 3.2 π , bn +1 = n +1 π 3.2 cos n +1 3.2 Thật Từ ( 1) ta có π π π π π + 2sin n +1 cos n +1 + sin + cos n n +1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2n+1 = = = π π π cos n cos − sin n +1 3.2 3.2 3.2n +1 sin π π   π π π sin n +1 + cos n +1 tan n +1 +  sin n +1 + cos n+1 ÷ 3.2   3.2 3.2 3.2 = 3.2 = π π π π π  π π    cos n +1 − sin n +1 ÷ cos n +1 + sin n +1 ÷ cos 3.2n +1 − sin 3.2 n +1 − tan 3.2n +1 3.2 3.2  3.2 3.2   π ⇒ a n +1 = tan n +1 Khi từ 3.2 bn2+1 = an2+1 + = tan suy π 1 +1 = ⇒ bn +1 = n +1 π π 3.2 cos n +1 cos n +1 3.2 3.2 an = tan Như theo nguyên lý quy nạp π , bn = , n = 0,1, 2, n π 3.2 cos n 3.2 ( 2) , lim an = lim tan n →+∞ n → +∞ Do π 1 = tan = 0; lim bn = lim = =1 n n → +∞ π 3.2 cos n → +∞ cos n 3.2 lim an = 0; lim bn = Kết luận: n → +∞ Bài 32 u1 = 2014  2 Cho dãy số (un ) xác định sau: un +1 = un + (1 − 2a )un + a ; ∀n = 1, 2, Tìm điều kiện n → +∞ ■ a để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ và tính giới hạn Hướng dẫn giải Ta có: un +1 − un = (un − a) ≥ ⇒ un +1 ≥ un ; ∀n = 1, 2,3, * Suy dãy số (un ) tăng knn; từ dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và dãy bị chặn Giả sử lim un = L ( L ∈ ¡ ) n → +∞ , chuyển qua giới hạn hệ thức un +1 = un + (1 − 2a )un + a 2 ta có: L = L2 + (1 − 2a) L + a ⇔ L = a lim u = L = a * - Nếu có số k ∈ ¥ mà uk > a un > a; ∀ n ≥ k trái với kết quả n→ +∞ n Do đó: uk ≤ a với k = 1, 2, hay un − (1 − 2a )u n + a ≤ a, ∀n = 1, 2,3, 2 ⇔ a − ≤ u1 ≤ a ⇔ a − ≤ 2014 ≤ a * Đảo lại: Nếu a − ≤ 2014 ≤ a ⇒ a − ≤ u1 ≤ a ⇒ (u1 − a + 1)(u1 − a) ≤ ⇒ u12 + (1 − 2a)u1 + a − a ≤ ⇒ u2 ≤ a và u1 ≤ u2 ⇒ a − ≤ u2 ≤ a Bằng quy nạp ta chứng minh được a − ≤ un ≤ a, ∀ n = 1, 2,3, Như dãy (un ) tăng knn, bị chặn bới Kết luận: Với điều kiện Bài 33 a , dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn lim u = a a − ≤ 2014 ≤ a dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ và n→ +∞ n u1 =   un +1 = un + − 2, ∀n ∈ ¥ *  un Cho dãy số (un ) xác định công thức truy hồi  Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn Hướng dẫn giải 1 f ( x) = x + − 2; g ( x) = f ( f ( x)) − x = + −2 x x x+ − Đặt x Khi  2 −2  x − ÷( x + 1)  1  g '( x) = ≤ ⇒ g ( x) < g ( ) = ⇒ f ( f ( x)) < x, ∀x ∈ ( ;1) (*) 2   x4  x + − ÷ x   Mặt khác f '( x) < 0, ∀ x ∈ ( ;1) nên 1 1 )= ⇒ f ( f ( x)) > f ( ) = , ∀ x ∈ ( ;1) (**) 2 2 f ( x) < f ( 1 < f ( f ( x)) < x, ∀ x ∈ ( ;1) Từ (*) và (**) suy ra: Vậy: = u1 > u3 > lim u2 n −1 = n →∞ 1 ⇒ = u1 > u3 > u5 > , 2 Do (u2 n −1 ) là đơn điệu giảm và bị chặn nên tồn ( )   ;1 u2 n = f (u2 n−1 ) ⇒ lim u2 n = f lim u2 n−1 =  n →∞ n →∞ Vì f ( x) liên tục   nên Vậy dãy (un ) được phân tích thành hai dãy hội tụ tới giới hạn Do dãy (un ) có giới hạn Bài 34 Cho dãy số ( un ) u1 =  n uk  lim u − u = u − u , ∀ n ≥ ∑ ( )  n +1 n 2014 n n xác định  Tính n→ ∞ k =1 uk +1 − Hướng dẫn giải Theo giả thiết ta có: un +1 = un ( un − 1) + un 2014 mà u1 = suy = u1 < u2 < u3 < dãy ( un ) là dãy tăng lim u = L Giả sử dãy ( un ) bị chặn suy n→∞ n với ( L > ) lim un +1 = lim n →∞ un2 + 2013un L2 + 2012 L  L = ⇔ L= ⇔ 2014 2014 L = Vô lý L > Suy dãy ( un ) không bị chặn =0 n→∞ u n lim un = ∞ ⇒ lim n →∞ Ta có un2 + 2013un ⇔ un ( un − 1) = 2014 ( un+1 − un ) 2014  un  ⇔ = 2014  − ÷ un +1 −  un − un+1 −  un +1 =  1  ⇒ S n = 2014  − ÷ ⇒ lim Sn = 2014  u1 − un +1 −  x →∞ Cho dãy số thực ( xn ) Bài 35  x1 = 2014  x = xn − 6sin xn , n ∈ ¥ * Tính lim xn ? xác định bởi:  n+1 Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức Xét hàm số f ( x ) = x − 6sin x , x > f '( x ) = Ta có: x3 x − ≤ sin x ≤ x, ∀ x ≥ 6 ( − cos x ) 33 ( x − 6sin x ) > 0, ∀x > ⇒ f(x) đồng biến với x > Do đó: f ( x ) > f ( ) = 0∀ x > mà x2 = f ( x1 ) > x1 = 2014 > Vậy ta có xn +1 = f ( xn ) > 0, ∀ n ∈ N * xn+1 − xn = xn − 6sin xn − xn = Mặt khác: Vì xn − 6sin xn − xn3 ( xn − 6sin xn ) + xn xn − 6sin xn + xn2 x3 x − ≤ sin x ≤ x, ∀ x ≥ ⇔ x − x3 – 6sinx < ∀ x > ⇒ xn – 6sinxn − xn < xn > ⇒ xn+1 – xn < ⇒ ( xn ) là dãy giảm và bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử limxn = x( x ≥ 0) , ta có phương trình: x = x − 6sin x ⇔ x3 − x + 6sin x = Xét hàm số g ( x ) = x − x + 6sin x g ' ( x ) = x – + 6cosx g ′′ ( x ) = x – 6sinx ≥ 0," x ≥ ⇒ g ′ ( x ) ≥ g ′ ( ) = Do g ( x ) đồng biến và liên tục với có nghiệm nhất Vậy limxn = x= x ≥ ⇒ phương trình g ( x ) = ... ⇔ ( ak − 1) ( ak − k ) > (đúng) Suy ak +1 > k + Như an > n, ∀ n ≥ (điều phải chứng minh) Mặt khác, an +1 − ( n + 1) = an + n n − ( n + 1) = an − n + − an an an2 − ( n + 1) an + n ( an − n... , ta có: xm − xn = f ( xm−1 ) − f ( xn−1 ) ≤ q xm−1 − xn−1 ≤ ≤ q * m − n −1 xm− n+1 − x1 Mặt khác: 2014 < xn < 2014 + ln 5, ∀ n ∈ ¥ ⇒ ( xn ) bị chặn * Do đó: ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ¥ : q * m − n −1... cos , v3 = u3v2 = cos cos 2 phương pháp quy nạp ta chứng minh được un = un−1 + −1 = un −1 Mặt khác π π π π = cos cos 32 cos 33 cos 3n −1 2 2 π π π π = 2cos cos 32 cos 33 cos 3n −1 2 2 cos
- Xem thêm -

Xem thêm: bài tập trắc nghiệm toán lớp 12, bài tập trắc nghiệm toán lớp 12

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay